初中數(shù)學(xué)同步九年級上冊滬科版《壓軸題》專題09反比例函數(shù)與一次函數(shù)的五類模型含答案及解析

專題09反比例函數(shù)與一次函數(shù)的五類模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像綜合判斷 2類型二、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交點問題 3類型三、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應(yīng)用 5類型四、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的幾何綜合 7類型五、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其它綜合應(yīng)用 9壓軸能力測評 111一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像綜合判斷根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式確定一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是熟練掌握兩類函數(shù)的性質(zhì)。對于同一個字母或者比例系數(shù)符號要求要相同或者對于各函數(shù)形式中，對應(yīng)的字母意義分析。2一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交點問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．3一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應(yīng)用反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像性質(zhì)、待定系數(shù)法等綜合知識。二元一次方程組的應(yīng)用。平面直角坐標系中點坐標和特殊角的結(jié)合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)點坐標的特點，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4一次函數(shù)與反比例函數(shù)的幾何綜合（1）掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，一般用點的坐標表示圖形面積；．（2）解題時，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，同時要注意運用數(shù)形結(jié)合的思想；（3）涉及到平行四邊形性質(zhì)及應(yīng)用等，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分列方程組解決問題；（4）反比例函數(shù)的性質(zhì)、的意義，兩點間距離公式、三角形的面積、解方程，都是運用的關(guān)鍵；（5）作圖要根據(jù)步驟做規(guī)范作圖。5一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其它綜合應(yīng)用類型一、一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像綜合判斷根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式確定一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是熟練掌握兩類函數(shù)的性質(zhì)。對于同一個字母或者比例系數(shù)符號要求要相同或者對于各函數(shù)形式中，對應(yīng)的字母意義分析。例．一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一直角坐標系中的圖像可能是（

）A．B．C． D．【變式訓(xùn)練1】．函數(shù)與在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．【變式訓(xùn)練2】．如圖所示，滿足函數(shù)y=kx?1和的大致圖象是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【變式訓(xùn)練3】．函數(shù)和在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（

）A．

B．

C．

D

類型二、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交點問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．例．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，則不等式的解集是（）A． B．或C．或 D．【變式訓(xùn)練1】．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點和點，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A．或 B．或x>1C．或 D．或【變式訓(xùn)練2】．若雙曲線與直線的兩個交點分別為，，若，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在直角坐標系中，直線與坐標軸交于，兩點，與雙曲線交于點，連接，過點作軸，垂足為點，且．則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①；②點到的距離為；③方程有一個解為；④當，．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個類型三、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應(yīng)用反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像性質(zhì)、待定系數(shù)法等綜合知識。二元一次方程組的應(yīng)用。平面直角坐標系中點坐標和特殊角的結(jié)合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)點坐標的特點，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例．某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，臨床實驗中測得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/毫升）與服藥時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系圖象由一條線段和一段曲線組成，如圖（當時，y與x成反比例）．則血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時間為（

）

A．4小時 B．6小時 C．8小時 D．10小時【變式訓(xùn)練1】．為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，建設(shè)生態(tài)文明，德州市某工廠自年月開始限產(chǎn)并進行治污改造，其月利潤萬元與月份之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數(shù)圖像的一部分，治污完成后是一次函數(shù)圖像的部分，下列選項錯誤的是（

）A．月份的利潤為萬元B．治污改造完成后每月利潤比前一個月增加萬元C．月份該廠利潤達到萬元D．治污改造完成前后共有個月的利潤低于萬元【變式訓(xùn)練2】．某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，經(jīng)多年動物實驗，首次用于臨床人體試驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度（微克/毫升）與服藥時間小時之間函數(shù)關(guān)系如圖所示（當時，與成反比例）．血液中藥物濃度不低于微克毫升的持續(xù)時間為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】．小亮為了求不等式>x+2的解集，繪制了如圖所示的反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=x+2的圖像，觀察圖像可得該不等式的解集為（

）A． B． C． D．或類型四、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的幾何綜合反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像性質(zhì)、待定系數(shù)法等綜合知識。二元一次方程組的應(yīng)用。平面直角坐標系中點坐標和特殊角的結(jié)合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)點坐標的特點，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，點A的坐標為，點P是第一象限反比例函數(shù)圖象上一動點(1)求k的值及點B的坐標；(2)連接，若的面積為，求點P坐標：(3)過點P作直線平行于交反比例函數(shù)于點Q，是否存在點P使得?若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由．【變式訓(xùn)練1】．如圖，直線與雙曲線相交于、兩點，與x軸相交于點C．(1)分別求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)連接、，求的面積；(3)直接寫出當時，關(guān)于x的不等式的解集．【變式訓(xùn)練2】．如圖，點B、是反比例函數(shù)圖象上的兩點，過點B的直線與x軸交于點A，軸，垂足為D，CD與AB交于點E，點B的橫坐標為6．(1)求k、b的值；(2)求的面積．【變式訓(xùn)練3】．某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜．如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度與時間之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段（即：當時，大棚內(nèi)的溫度是時間的反比例函數(shù)），已知點A坐標為．請根據(jù)圖中信息解答下列問題：(1)當時，求大棚內(nèi)的溫度y與時間x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度；(3)若大櫥內(nèi)的溫度低于時，蔬菜會受到傷害，問這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害？類型五、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其它綜合應(yīng)用（1）掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，一般用點的坐標表示圖形面積；．（2）解題時，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，同時要注意運用數(shù)形結(jié)合的思想；（3）涉及到平行四邊形性質(zhì)及應(yīng)用等，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分列方程組解決問題；（4）反比例函數(shù)的性質(zhì)、的意義，兩點間距離公式、三角形的面積、解方程，都是運用的關(guān)鍵；（5）作圖要根據(jù)步驟做規(guī)范作圖。例．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點與點．(1)求這個一次函數(shù)的表達式；(2)根據(jù)圖象，直接寫出不等式的解集；(3)若動點是第二象限內(nèi)雙曲線上的點（不與點重合），過點作軸的平行線交直線于點，連接，，，，若的面積等于的面積的三分之一，則點的橫坐標為．【變式訓(xùn)練1】．已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)相交于A，B兩點，A點橫坐標為2．(1)______；當，x取值范圍是______．(2)若A點坐標為，則B點坐標為______；（用a，b表示）(3)將正比例函數(shù)圖象向下平移3個單位長度，分別交反比例函數(shù)圖象于點C，D．交y軸于點E．連接，，求的面積．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，B兩點，與y軸正半軸，x軸分別相交于C，D兩點．(1)求點A的坐標及反比例函數(shù)的表達式；(2)求證：；(3)若點P是位于點C上方的y軸上的動點，過P，A兩點的直線與該反比例函數(shù)的圖象交于另一點E，連接．當，且的面積為18時，求點E的坐標．【變式訓(xùn)練3】．已知點、點都在反比例函數(shù)圖象上．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)過點Q分別作兩坐標軸的垂線，垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積為S，求S；(3)一次函數(shù)的圖象過點P、Q，求一次函數(shù)的表達式，并根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集．1．一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點，當時，（寫出的取值范圍）2．已知一次函數(shù)與（，是常數(shù)，且，）的圖象如圖所示，它們的兩個交點坐標分別是，則分式方程的解是；．3．如圖，直線與雙曲線的圖象在第一象限內(nèi)交于點A，過A點的另一直線交雙曲線于第三象限內(nèi)的點B，則不等式的解集是．4．如圖，直線與y軸交于點A，與反比例函數(shù)的圖象交于點C，過點C作軸于點B，，則k的值為．5．如圖，直線與反比例函數(shù)的圖像在第一象限交于點．若，則的值為．6．將的圖象先向左平移個單位，再向下平移個單位，得到的新雙曲線與直線相交于兩點，其中一個交點的橫坐標為，另一個交點的縱坐標為，則．7．飲水機接通電源會自動加熱，加熱時水溫每分鐘上升，溫度到停止加熱．然后水溫開始下降，此時水溫與時間成反比例函數(shù)關(guān)系，水溫降至?xí)r，飲水機重復(fù)上述程序開始加熱，加熱時水溫與時間的關(guān)系如圖所示．水溫從開始加熱至，然后下降至這一過程中，水溫不低于的時間為．

8．規(guī)定：在平面直角坐標系中，橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點為整點，雙曲線經(jīng)過點，直線與y軸相交于點，與雙曲線相交于點，線段、及、兩點之間的曲線所圍成的區(qū)域記作．（1）；（2）若區(qū)域（不包括邊界）內(nèi)的整點的個數(shù)大于等于，則的取值范圍是．9．已知一次函數(shù)和反比例函數(shù)相交于點和點．(1)＝，＝；(2)連接，在反比例函數(shù)的圖象上找一點，使，求出點的坐標；(3)點為軸正半軸上任意一點，過點作軸的垂線交反比例函數(shù)和一次函數(shù)分別于點，且滿足，求的值．10．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)直接寫出當時，求x的取值范圍；(3)若點是軸上的點，的面積是4，求點的坐標．

專題09反比例函數(shù)與一次函數(shù)的五類模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像綜合判斷 2類型二、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交點問題 5類型三、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應(yīng)用 9類型四、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的幾何綜合 12類型五、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其它綜合應(yīng)用 19壓軸能力測評 271一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像綜合判斷根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式確定一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是熟練掌握兩類函數(shù)的性質(zhì)。對于同一個字母或者比例系數(shù)符號要求要相同或者對于各函數(shù)形式中，對應(yīng)的字母意義分析。2一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交點問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．3一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應(yīng)用反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像性質(zhì)、待定系數(shù)法等綜合知識。二元一次方程組的應(yīng)用。平面直角坐標系中點坐標和特殊角的結(jié)合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)點坐標的特點，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4一次函數(shù)與反比例函數(shù)的幾何綜合（1）掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，一般用點的坐標表示圖形面積；．（2）解題時，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，同時要注意運用數(shù)形結(jié)合的思想；（3）涉及到平行四邊形性質(zhì)及應(yīng)用等，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分列方程組解決問題；（4）反比例函數(shù)的性質(zhì)、的意義，兩點間距離公式、三角形的面積、解方程，都是運用的關(guān)鍵；（5）作圖要根據(jù)步驟做規(guī)范作圖。5一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其它綜合應(yīng)用類型一、一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像綜合判斷根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式確定一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是熟練掌握兩類函數(shù)的性質(zhì)。對于同一個字母或者比例系數(shù)符號要求要相同或者對于各函數(shù)形式中，對應(yīng)的字母意義分析。例．一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一直角坐標系中的圖像可能是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，根據(jù)四個選項中的圖象，先由反比例函數(shù)圖象得到的正負，進而得到直線圖象即可得到答案，熟記一次函數(shù)圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、如圖所示：反比例函數(shù)中的，則直線中，即直線過第一三四象限，該選項不符合題意；B、如圖所示：反比例函數(shù)中的，則直線中，即直線過第一三四象限，該選項符合題意；C、如圖所示：反比例函數(shù)中的，則直線中，即直線過第一二四象限，該選項不符合題意；D、如圖所示：反比例函數(shù)中的，則直線中，即直線過第一二四象限，該選項不符合題意；故選：B．【變式訓(xùn)練1】．函數(shù)與在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合分析．根據(jù)每個函數(shù)圖象分析出對應(yīng)的參數(shù)范圍，再綜合對比即可．【詳解】解：A、由反比例函數(shù)的圖象在可一、三象限知，則，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二，三，四象限，與圖象不符，故A不符合題意；B、反比例函數(shù)的圖象在二、四象限可知當，則，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，三象限，與圖象相符，故B符合題意；C、由反比例函數(shù)的圖象在可一、三象限知，則，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二，三，四象限，與圖象不符，故C不符合題意；D、由反比例函數(shù)的圖象在二、四象限可知當，則，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，三象限，與圖象不符，故D不符合題意；故選：B．【變式訓(xùn)練2】．如圖所示，滿足函數(shù)y=kx?1和的大致圖象是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】B【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，關(guān)鍵是由的取值確定函數(shù)所在的象限．分別根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的特點解答即可．【詳解】解：，函數(shù)過點，故不合題意；當時，函數(shù)過第一、三、四象限，函數(shù)在一、三象限；當時，函數(shù)過第一、二、四象限，函數(shù)在二、四象限；故符合題意；故選：．【變式訓(xùn)練3】．函數(shù)和在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（

）A．

B．

C．

D

【答案】D【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象等知識點，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答是解題的關(guān)鍵．利用一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點逐項判斷即可．【詳解】解：在函數(shù)和，當時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，函數(shù)的圖象過第一、二、四象限，故選項A、B錯誤，選項D正確，當時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，函數(shù)的圖象過第一、二、三象限，故選項C錯誤．故選：D．類型二、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交點問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．例．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，則不等式的解集是（）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題，利用圖象法確定不等式的解集即可．【詳解】解：由圖象可知，的解集為：或；故選C．【變式訓(xùn)練1】．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點和點，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A．或 B．或x>1C．或 D．或【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像與交點問題，先求出m值，觀察圖象，在上方的函數(shù)圖象所對應(yīng)函數(shù)值較大，據(jù)此得到對應(yīng)的自變量取值范圍是不等式的解集，會利用函數(shù)圖象解不等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】把點代入得：，解得，由圖象可得不等式的解集是或，故選A．【變式訓(xùn)練2】．若雙曲線與直線的兩個交點分別為，，若，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，根據(jù)已知條件得到點，與點，關(guān)于原點對稱是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知條件得到點，與點，關(guān)于原點對稱，求得，，，，代入，求得．【詳解】解：∵雙曲線與直線的兩個交點分別為，，∴與點關(guān)于原點對稱，∴，，，，∵，∴，∴，故選：A．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在直角坐標系中，直線與坐標軸交于，兩點，與雙曲線交于點，連接，過點作軸，垂足為點，且．則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①；②點到的距離為；③方程有一個解為；④當，．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】先求出，，得，，從而得，．從而，利用面積公式計算判斷①，利用面積法求出點到的距離判斷②，利用數(shù)形相結(jié)合判斷③和④即可．【詳解】解：直線中，當x=0時，，令，則，解得，∴，，∴，∴，∵軸軸，∴∵軸，∴，∴，∵．∴．∴，∴，故①錯誤；設(shè)點到的距離為為，∵軸，，∴，∵，即，∴點到的距離為為，故②正確；∵，，∴，∵直線與坐標軸交于，兩點，與雙曲線交于點，∴方程有一個解為，故③正確；∵當時，直線在雙曲線的下方，∴當時，，故④正確．∴正確的個數(shù)是個，故選∶．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸的交點及一次函數(shù)與雙曲線的交點問題，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸的交點及一次函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型三、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應(yīng)用反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像性質(zhì)、待定系數(shù)法等綜合知識。二元一次方程組的應(yīng)用。平面直角坐標系中點坐標和特殊角的結(jié)合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)點坐標的特點，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例．某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，臨床實驗中測得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/毫升）與服藥時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系圖象由一條線段和一段曲線組成，如圖（當時，y與x成反比例）．則血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時間為（

）

A．4小時 B．6小時 C．8小時 D．10小時【答案】B【分析】分別求出線段與曲線的函數(shù)解析式，再求出函數(shù)值為4時對應(yīng)的自變量x的值，即可求得此時持續(xù)時間．【詳解】解：時，設(shè)線段的解析式為，由于線段過點，則有，解得：，即線段解析式為；當時，設(shè)，把點代入中，得，即，當時，，得；當時，，得；∴血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時間為（小時）；故選：B．【點睛】本題是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，考查了求函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量值，其中待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合．【變式訓(xùn)練1】．為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，建設(shè)生態(tài)文明，德州市某工廠自年月開始限產(chǎn)并進行治污改造，其月利潤萬元與月份之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數(shù)圖像的一部分，治污完成后是一次函數(shù)圖像的部分，下列選項錯誤的是（

）A．月份的利潤為萬元B．治污改造完成后每月利潤比前一個月增加萬元C．月份該廠利潤達到萬元D．治污改造完成前后共有個月的利潤低于萬元【答案】D【分析】利用已知點求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，然后逐項分析即可解答．【詳解】解：A、設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，把代入得，，反比例函數(shù)的解析式為：，∵當時，，月份的利潤為萬元，正確，不合題意；B、治污改造完成后，從月到月，利潤從萬到萬，故每月利潤比前一個月增加萬元，正確，不合題意；C、設(shè)一次函數(shù)解析式為：，則，解得：，故一次函數(shù)解析式為：，當時，，解得：，∴治污改造完成后的第個月，即月份該廠利潤達到萬元，正確，不合題意．D、當時，，解得：，∴只有月，月，月共個月的利潤低于萬元，不正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比函數(shù)的應(yīng)用，正確求出函數(shù)解析是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，經(jīng)多年動物實驗，首次用于臨床人體試驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度（微克/毫升）與服藥時間小時之間函數(shù)關(guān)系如圖所示（當時，與成反比例）．血液中藥物濃度不低于微克毫升的持續(xù)時間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分別利用正比例函數(shù)以及反比例函數(shù)解析式，再利用y＝6分別得出x的值，進而得出答案．【詳解】解：當0≤x≤4時，設(shè)直線解析式為：y＝kx，將（4，8）代入得：8＝4k，解得：k＝2，故直線解析式為：y＝2x，當4≤x≤10時，設(shè)反比例函數(shù)解析式為：y＝，將（4，8）代入得：8＝，解得：a＝32，故反比例函數(shù)解析式為：y＝；因此血液中藥物濃度上升階段的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x（0≤x≤4），下降階段的函數(shù)關(guān)系式為y＝（4≤x≤10）．當y＝6，則6＝2x，解得：x＝3，當y＝6，則6＝，解得：x＝，∵?3＝（小時），∴血液中藥物濃度不低于6微克/毫升的持續(xù)時間小時故選A．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．小亮為了求不等式>x+2的解集，繪制了如圖所示的反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=x+2的圖像，觀察圖像可得該不等式的解集為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】結(jié)合函數(shù)圖像的上下位置關(guān)系結(jié)合交點的坐標，即可得出不等式的解集．【詳解】解：觀察函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)：當x＜-3或0＜x＜1時，反比例函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像的上方，∴不等式>x+2的解集為x＜-3或0＜x＜1．故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像的交點坐標滿足兩函數(shù)解析式．類型四、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的幾何綜合反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像性質(zhì)、待定系數(shù)法等綜合知識。二元一次方程組的應(yīng)用。平面直角坐標系中點坐標和特殊角的結(jié)合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)點坐標的特點，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，點A的坐標為，點P是第一象限反比例函數(shù)圖象上一動點(1)求k的值及點B的坐標；(2)連接，若的面積為，求點P坐標：(3)過點P作直線平行于交反比例函數(shù)于點Q，是否存在點P使得?若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)，(2)點坐標為，或(3)，或，【分析】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)中的幾何意義，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交點坐標，三角形面積，兩點間距離公式等，運用分類討論思想和方程思想是解題關(guān)鍵．（1）運用待定系數(shù)法即可求得的值，聯(lián)立方程組可求得點的坐標；（2）設(shè)，過點、分別作軸的垂線，垂足分別為、，則，，分兩種情況：當時，當時，分別利用三角形面積建立方程即可求得答案；（3）設(shè)直線的解析式為，與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立可得，則，，進而可得，根據(jù)，建立方程求解可得，即直線的解析式為，聯(lián)立方程組即可求得答案．【詳解】（1）把代入，得，，代入，得，，反比例函數(shù)的解析式為，聯(lián)立方程組得：，解得：，，；（2）設(shè)，過點、分別作軸的垂線，垂足分別為、，則，，當時，如圖1，則，，，，，，即，解得：（舍去），，，；當時，如圖2，則，，，，，，即，解得：，（舍去），；綜上所述，點坐標為，或；（3）存在點使得，點坐標為，或，．，設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立，得，整理得：，則，，又，，則，，，，，，、均在第一象限，，，直線的解析式為，聯(lián)立得，解得：，，，或，．【變式訓(xùn)練1】．如圖，直線與雙曲線相交于、兩點，與x軸相交于點C．(1)分別求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)連接、，求的面積；(3)直接寫出當時，關(guān)于x的不等式的解集．【答案】(1)一次函數(shù)的表達式為；反比例函數(shù)表達式為(2)4(3)或【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式、三角形面積等；解題時著重使用一次函數(shù)，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強．（1）將已知點坐標代入反函數(shù)表達式，再求解B的坐標，再求解一次函數(shù)的解析式即可；（2）先求解D的坐標，結(jié)合點A，點B的坐標，然后根據(jù)的面積即可以解決問題；（3）根據(jù)圖象即可解決問題．【詳解】（1）解：將代入，得，∴反比例的解析式為；把代入，∴，∴，將，代入，得：，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為，（2）解：對于，當時，∴點D的坐標為0,4，∴點B的坐標為，，∴的面積；（3）解：觀察圖象，當時，關(guān)于x的不等式的解集是或．【變式訓(xùn)練2】．如圖，點B、是反比例函數(shù)圖象上的兩點，過點B的直線與x軸交于點A，軸，垂足為D，CD與AB交于點E，點B的橫坐標為6．(1)求k、b的值；(2)求的面積．【答案】(1)，(2)2【分析】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)交點坐標以及待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式：（1）代入點C坐標求得反比例函數(shù)的關(guān)系式，再計算點B的坐標，將點B坐標代入一次函數(shù)解析式求解即可；（2）分別求出點A、D和E的坐標，由三角形的面積的計算方法進行計算即可．【詳解】（1）解：∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為；∵點B的橫坐標為6，∴點B的縱坐標為4，即點，將代入得：，則；（2）解：∵，軸，∴點，由（1）可得，直線解析式為，當時，，點，當時，，∴點E的坐標為，∴．【變式訓(xùn)練3】．某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜．如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度與時間之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段（即：當時，大棚內(nèi)的溫度是時間的反比例函數(shù)），已知點A坐標為．請根據(jù)圖中信息解答下列問題：(1)當時，求大棚內(nèi)的溫度y與時間x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度；(3)若大櫥內(nèi)的溫度低于時，蔬菜會受到傷害，問這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害？【答案】(1)AB解析式為：(2)恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為(3)恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉，蔬菜才能避免受到傷害【分析】（1）應(yīng)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象求出當時，y的值即可得出答案；（3）先求出反比例函數(shù)解析式，然后代入臨界值求出x，最后求出答案即可．【詳解】（1）解：設(shè)線段解析式為，∵線段過點，代入得，解得，∴解析式為：；（2）解：∵解析式為：，當時，，∴恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為；（3）解：設(shè)雙曲線解析式為：，∵，∴，

∴雙曲線解析式為：，把代入中，解得：，∴，∴恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉，蔬菜才能避免受到傷害．【點睛】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，求一次函數(shù)解析式，求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是明確題意，注意臨界點的應(yīng)用．類型五、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其它綜合應(yīng)用（1）掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，一般用點的坐標表示圖形面積；．（2）解題時，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，同時要注意運用數(shù)形結(jié)合的思想；（3）涉及到平行四邊形性質(zhì)及應(yīng)用等，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分列方程組解決問題；（4）反比例函數(shù)的性質(zhì)、的意義，兩點間距離公式、三角形的面積、解方程，都是運用的關(guān)鍵；（5）作圖要根據(jù)步驟做規(guī)范作圖。例．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點與點．(1)求這個一次函數(shù)的表達式；(2)根據(jù)圖象，直接寫出不等式的解集；(3)若動點是第二象限內(nèi)雙曲線上的點（不與點重合），過點作軸的平行線交直線于點，連接，，，，若的面積等于的面積的三分之一，則點的橫坐標為．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）由反比例函數(shù)解析式求出點、的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)圖象即可求得；（3）先求得的面積，設(shè)點的坐標為，，則，用表示出的面積，從而列出關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：點與點在反比例函數(shù)的圖象上，，，，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，，解得，一次函數(shù)的表達式為；（2）觀察圖象可知，不等式的解集為或；（3）在直線中，令，則，，，設(shè)點的坐標為，，則，如圖，連接，，，，，點到直線的距離為，的面積等于的面積的三分之一，的面積，整理得：或，解得：或，又或，點的橫坐標為或．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形面積．本題屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練1】．已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)相交于A，B兩點，A點橫坐標為2．(1)______；當，x取值范圍是______．(2)若A點坐標為，則B點坐標為______；（用a，b表示）(3)將正比例函數(shù)圖象向下平移3個單位長度，分別交反比例函數(shù)圖象于點C，D．交y軸于點E．連接，，求的面積．【答案】(1)4，或(2)(3)【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及函數(shù)的交點問題、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會利用圖象根據(jù)條件確定自變量取值范圍，屬于中考?？碱}型．（1）把A點橫坐標代入正比例函數(shù)可求得A點坐標，代入反比例函數(shù)解析式可求得k，可求得反比例函數(shù)解析式；根據(jù)圖象反比例函數(shù)的圖象在正比例函數(shù)圖象的上方，即可寫出x的取值范圍．（2）根據(jù)點A和點B關(guān)于原點對稱即可得點B的坐標；（3）過點B作軸交于點I，由條件可求得D、C的坐標，用的面積減去的面積即可求出．【詳解】（1）解：A點橫坐標為2，，即，，即，∵點A和點B關(guān)于原點對稱，∴，由圖像可知，時，或；故答案為：4，或；（2）解：∵點A和點B關(guān)于原點對稱，A點坐標為，∴B點坐標為，故答案為：；（3）解：由題意可得，，，聯(lián)立得，即，解得，，過點B作軸交于點I，則，，的高為6，底為3，的高為1，底為3，．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，B兩點，與y軸正半軸，x軸分別相交于C，D兩點．(1)求點A的坐標及反比例函數(shù)的表達式；(2)求證：；(3)若點P是位于點C上方的y軸上的動點，過P，A兩點的直線與該反比例函數(shù)的圖象交于另一點E，連接．當，且的面積為18時，求點E的坐標．【答案】(1)，反比例函數(shù)解析式為(2)見解析(3)【分析】（1）把點A的坐標代入一次函數(shù)解析式中求得a，即可求出A點坐標；把點A坐標代入反比例函數(shù)式中求得m，即可求得反比例函數(shù)解析式；（2）由一次函數(shù)解析式可求得點C、D的坐標，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式可求得點B的坐標，分別計算即可證明；（3）由已知及（2）的結(jié)論得C點是的中點，則可求得k的值，進而求得點C的坐標；連接，易得；設(shè)點，則可求得直線解析式，求得點P的坐標，由建立方程即可求得t的值，最后求得點E的坐標．【詳解】（1）解：把點A的坐標代入一次函數(shù)解析式中，得：，即A點坐標為；把點A坐標代入反比例函數(shù)式中，得：，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）證明：在一次函數(shù)解析式中，令，得；令，得；點C、D的坐標為、，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，即，消去y整理得：，解得：，當時，，∴點B的坐標為；∵，，∴；（3）解：∵，，∴，∴C點是的中點，且C、D為線段的三等分點，由A、C、D三點坐標得：，解得：，∴點C的坐標為；如圖，連接，∵C、D為線段的三等分點，，∴；設(shè)點，設(shè)直線解析式為，把A、E兩個點坐標分別代入得：，解得：，即直線解析式為，令，得∴點P的坐標為，∵，∴，解得：，∴點E的坐標為．【點睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，等底等高三角形面積相等等知識，有一定的綜合性．第（3）小題中把的面積轉(zhuǎn)化為求出的面積是解此問的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．已知點、點都在反比例函數(shù)圖象上．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)過點Q分別作兩坐標軸的垂線，垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積為S，求S；(3)一次函數(shù)的圖象過點P、Q，求一次函數(shù)的表達式，并根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)，或．【分析】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法確定不等式的解集是解本題的關(guān)鍵．（1）把點代入反比例函數(shù)可得答案；（2）先求解Q的坐標，再利用矩形面積公式可得答案；（3）利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可，再利用函數(shù)圖象可得的解集．【詳解】（1）解：∵點在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）∵點在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴，點Q分別作兩坐標軸的垂線，垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積為S，∴；（3）∵一次函數(shù)的圖象過點，∴，解得：，∴直線為，由圖象可得：的解集為：或．1．一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點，當時，（寫出的取值范圍）【答案】或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，不等式的解集等知識點，熟練運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．利用數(shù)形結(jié)合思想，觀察函數(shù)圖象即可發(fā)現(xiàn)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時的取值范圍，即為不等式的解集．【詳解】解：觀察函數(shù)圖象即可發(fā)現(xiàn)，在直線左側(cè)以及軸和直線之間時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，即，當或時，，故答案為：或．2．已知一次函數(shù)與（，是常數(shù)，且，）的圖象如圖所示，它們的兩個交點坐標分別是，則分式方程的解是；．【答案】1【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標的橫坐標，即可得到分式方程的解．【詳解】解：一次函數(shù)與的兩個交點坐標分別是，分式方程的解是，，故答案為：，．3．如圖，直線與雙曲線的圖象在第一象限內(nèi)交于點A，過A點的另一直線交雙曲線于第三象限內(nèi)的點B，則不等式的解集是．【答案】或【分析】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，學(xué)生做題時注意靈活運用．先求出，從而求出得到B?4,?1即可求解．【詳解】解：∵直線與雙曲線的圖象在第一象限內(nèi)交于點A，A點的橫坐標是2把代入解析式，解得：則把代入得：在中，令，則則B∴不等式的解集是或故答案為：或．4．如圖，直線與y軸交于點A，與反比例函數(shù)的圖象交于點C，過點C作軸于點B，，則k的值為．【答案】5【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，確定點C坐標是解題的關(guān)鍵．先求出點坐標，進而求出點坐標，得到點坐標，即可得出結(jié)論．【詳解】∵直線與軸交于點，與反比例函數(shù)的圖像交于點，∴，∴，∵，∴，∴，∴時，，故，∴，故答案為：5．5．如圖，直線與反比例函數(shù)的圖像在第一象限交于點．若，則的值為．【答案】48【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、兩點之間的距離公式、一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先利用兩點之間的距離公式求出點的坐標，再代入計算即可得．【詳解】解：由題意，設(shè)點的坐標為，∵，∴，即，解得或（舍去），∴，將點代入得：，故答案為：48．6．將的圖象先向左平移個單位，再向下平移個單位，得到的新雙曲線與直線相交于兩點，其中一個交點的橫坐標為，另一個交點的縱坐標為，則．【答案】?2【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”得平移后解析式，與一次函數(shù)聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出與的關(guān)系式，套入所求代數(shù)式即可得出結(jié)果．本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，聯(lián)立方程得交點坐標，本題的關(guān)鍵是利用了根與系數(shù)的關(guān)系得出、的關(guān)系．【詳解】解：根據(jù)題意，平移后反比例函數(shù)解析式為：，和一次函數(shù)聯(lián)立得：，整理得：，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，有一根是，則，，當時，，，．故答案為：?2．7．飲水機接通電源會自動加熱，加熱時水溫每分鐘上升，溫度到停止加熱．然后水溫開始下降，此時水溫與時間成反比例函數(shù)關(guān)系，水溫降至?xí)r，飲水機重復(fù)上述程序開始加熱，加熱時水溫與時間的關(guān)系如圖所示