初中數(shù)學(xué)同步九年級(jí)上冊(cè)華師版《壓軸題》專題02解一元二次方程的六種考法含答案及解析

專題02解一元二次方程的七種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2類型一、利用直接開平方法解一元二次方程的復(fù)合型 2類型二、用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程 3類型三、配方法的應(yīng)用 6類型四、用公式法求解一元二次方程 9類型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程 11類型六、用十字相乘法求解一元二次方程 13類型七、換元法解一元二次方程 16壓軸能力測評(píng)（12題） 20解題知識(shí)必備知識(shí)點(diǎn)一、直接開方法解一元二次方程直接開方法解一元二次方程：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.要點(diǎn)：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時(shí)應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個(gè)方程的根.知識(shí)點(diǎn)二、配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.要點(diǎn)：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．知識(shí)點(diǎn)三．公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.2.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；③求出的值；④若，則利用公式求出原方程的解；若，則原方程無實(shí)根.知識(shí)點(diǎn)四.用因式分解法解一元二次方程（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.壓軸題型講練類型一、利用直接開平方法解一元二次方程的復(fù)合型例1.（23-24九年級(jí)上·江西萍鄉(xiāng)·期末）解方程：【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級(jí)上·吉林白山·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋骸咀兪接?xùn)練2】（23-24九年級(jí)上·江蘇常州·期中）解方程：．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋侯愋投?、用配方法解二次?xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程例2.（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）配方法解一元二次方程：．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）解方程(1)．(2)【變式訓(xùn)練2】（23-24九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）用配方法解方程：(1)；(2)；(3)；(4)【變式訓(xùn)練3】（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的過程如下，請(qǐng)你仔細(xì)閱讀，并回答問題：解：原方程可變形為，（第一步）∴，（第二步）∴，（第三步）∴，（第四步）∴，（第五步）∴，．（第六步）(1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答過程是從第______步開始出錯(cuò)的．(2)請(qǐng)寫出此題正確的解答過程．類型三、配方法的應(yīng)用例3.（23-24九年級(jí)上·新疆昌吉·階段練習(xí)）代數(shù)式有最值，其最值為．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·浙江湖州·階段練習(xí)）新定義：關(guān)于的一元二次方程與稱為“同族二次方程”．例如：與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程與是“同族二次方程”，則代數(shù)式的最小值是．【變式訓(xùn)練2】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）（1）當(dāng)__________時(shí)，多項(xiàng)式的最小值為__________．（2）當(dāng)__________時(shí)，多項(xiàng)式的最大值為__________．（3）當(dāng)、為何值時(shí)，多項(xiàng)式取最小值？并求出這個(gè)最小值．【變式訓(xùn)練3】（2024·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現(xiàn)，比較4m與的大小，填“>”“<”或“=”：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）論證，無論m取什么值，判斷4m與有怎樣的大小關(guān)系?試說明理由；（3）拓展，試通過計(jì)算比較．與的大?。愋退?、用公式法求解一元二次方程例4.（23-24八年級(jí)下·吉林長春·期中）解方程：．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級(jí)上·四川涼山·階段練習(xí)）用公式法解方程：．【變式訓(xùn)練2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）解方程：【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．類型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程例5．（23-24九年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）解關(guān)于的方程（因式分解方法）：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練1】（2023八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）用因式分解解方程：．【變式訓(xùn)練2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）解方程：．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·廣西崇左·期中）解方程：(1)；(2)．類型六、用十字相乘法求解一元二次方程例6.（23-24九年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）閱讀材料：解方程，我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：

③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海?）根據(jù)乘法原理，若，則或，則方程可以這樣求解：方程左邊因式分解得或試用上述這種十字相乘法解下列方程(1)；(2)；(3)；(4)．【變式訓(xùn)練1】（2024·廣東廣州·二模）解方程：．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）閱讀材料：解方程，我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：，②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海?）若，則或，所以方程可以這樣求解：方程左邊分解因式得∴或∴，上述這種解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．請(qǐng)參考以上方法解下列方程：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）（1）將進(jìn)行因式分解，我們可以按下面的方法解答：解：①堅(jiān)分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：．②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)（交叉相乘后的結(jié)果相加，其結(jié)果須等于多項(xiàng)式中的一次項(xiàng)）：

③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海覀儼堰@種用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法．（2）根據(jù)乘法原理：若，則或．試用上述方法和原理解下列方程：①；②；③；④．類型七、換元法解一元二次方程例6.（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)棰?，解得，．?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；原方程有四個(gè)根：，，，．這一方法，在由原方程得到方程①的過程中，利用“換元法”達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．(1)方程的解為________．(2)仿照材料中的方法，嘗試解方程．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·北京順義·階段練習(xí)）閱讀下列材料：為解方程可將方程變形為然后設(shè)，則，原方程化為①，解①得．當(dāng)時(shí)，無意義，舍去；當(dāng)時(shí)，，解得原方程的解為；上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題．(1)利用換元法解方程時(shí)，新字母設(shè)為，則___________，原方程化為___________，解得___________．(2)求方程的解．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·階段練習(xí)）解高次方程的思想就是“降次”，將含未知數(shù)的某部分用低次項(xiàng)替換，例如解四次方程時(shí)，可設(shè)，則原方程可化為，先解出y，將y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以將方程中某個(gè)部分看作一個(gè)整體，例如上述方程中，可將看作一個(gè)整體，得，解出的值，再進(jìn)一步求解即可．根據(jù)上述方法，完成下列問題：(1)若，則的值為___________；(2)解方程：．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）解方程時(shí)，我們可以將視為一個(gè)整體，設(shè)，則，原方程化為，解此方程，得，，當(dāng)時(shí)，，，∴；當(dāng)時(shí)，，，∴．∴原方程的解為，，，．以上方法就叫換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．運(yùn)用上述方法解答下列問題：(1)；(2)．壓軸能力測評(píng)（12題）一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·北京通州·期末）一元二次方程的解完全正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023·山東臨沂·一模）已知，（a為任意實(shí)數(shù)），則的值（

）A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．無法確定3．（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·期中）定義新運(yùn)算，對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)根，我們規(guī)定符號(hào)表示中較小值，如．，，按照這樣的規(guī)定，若，則的值是（

）A．2或 B．或 C．2或 D．或二、填空題4．（23-24八年級(jí)下·安徽淮北·階段練習(xí)）方程的解是．5．（23-24九年級(jí)上·廣東廣州·期中）如果與互為相反數(shù)，則的值為6．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期中）新定義，若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同類方程”．如與是“同類方程”．（1）與是“同類方程”，則；（2）現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同類方程”．那么代數(shù)式能取的最大值是．三、解答題7．（23-24八年級(jí)下·安徽池州·階段練習(xí)）解下列方程．(1)．(2)．8．（23-24九年級(jí)上·黑龍江綏化·期中）解方程：(1)(2)(3)(4)9．（23-24九年級(jí)下·四川眉山·階段練習(xí)）解方程：(1)．(2)（配方法）：．(3)（配方法）(4)（公式法）10．（23-24八年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）閱讀下列材料：(1)將分解因式，我們可以按下面方法解答：解：步驟：①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：．③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海ⅲ何覀儗⑦@種用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法．(2)根據(jù)乘法原理：若，則或．①；②．11．（23-24八年級(jí)下·安徽淮北·期末）閱讀下列材料：配方法是代數(shù)變形的重要手段，是研究相等關(guān)系和不等關(guān)系的常用方法，配方法不僅可以用來解一元二次方程，還可以用來求某些代數(shù)式的最值，我們可以通過以下方法求代數(shù)式的最小值．解：∵，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值．請(qǐng)根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)若，則；(2)求代數(shù)式的最值；(3)若代數(shù)式的最大值為8，求k的值．12．（23-24八年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）閱讀材料：為解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)，將原方程化為①，解得．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．原方程的解為．由原方程得到①的過程，利用換元法達(dá)到了簡化方程的目的，體現(xiàn)了整體轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．閱讀后解答問題：(1)利用上述材料中的方法解方程：；(2)已知一元二次方程的兩根分別為，求方程的兩根．

專題02解一元二次方程的七種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2類型一、利用直接開平方法解一元二次方程的復(fù)合型 2類型二、用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程 3類型三、配方法的應(yīng)用 6類型四、用公式法求解一元二次方程 9類型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程 11類型六、用十字相乘法求解一元二次方程 13類型七、換元法解一元二次方程 16壓軸能力測評(píng)（12題） 20解題知識(shí)必備知識(shí)點(diǎn)一、直接開方法解一元二次方程直接開方法解一元二次方程：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.要點(diǎn)：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時(shí)應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個(gè)方程的根.知識(shí)點(diǎn)二、配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.要點(diǎn)：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．知識(shí)點(diǎn)三．公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.2.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；③求出的值；④若，則利用公式求出原方程的解；若，則原方程無實(shí)根.知識(shí)點(diǎn)四.用因式分解法解一元二次方程（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.壓軸題型講練類型一、利用直接開平方法解一元二次方程的復(fù)合型例1.（23-24九年級(jí)上·江西萍鄉(xiāng)·期末）解方程：【答案】【分析】本題考查了解一元二次方程－直接開平方法．開平方求出的值，然后求出x的值即可．【詳解】解：，∴，則或，解得．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級(jí)上·吉林白山·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋骸敬鸢浮浚?【分析】本題考查一元二次方程的解法，熟知方程特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)慕夥ㄊ钦_解決本題的關(guān)鍵，用直接開平方法或因式分解法都可以．【詳解】解：開方得，或解得，．【變式訓(xùn)練2】（23-24九年級(jí)上·江蘇常州·期中）解方程：．【答案】，【分析】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握直接開平方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，∴或，解得，．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋骸敬鸢浮浚痉治觥勘绢}考查一元二次方程的解法，根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)解法是解題的關(guān)鍵．直接用開平方法求解即可．【詳解】解：原式直接開方得，，或，∴原方程的解為：，．類型二、用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程例2.（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）配方法解一元二次方程：．【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可．【詳解】解：兩邊同除以，得，移項(xiàng)，得，配方，得，即，開平方，得，∴，或，∴，．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）解方程(1)．(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直接開平方法解答即可；（2）根據(jù)配方法解答即可．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，，，，．【變式訓(xùn)練2】（23-24九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）用配方法解方程：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)【分析】本題考查解一元二次方程，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵：（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可；（3）利用配方法解一元二次方程即可；（4）利用配方法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，，，；（3）解：，，，；（4）解：，，，．【變式訓(xùn)練3】（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的過程如下，請(qǐng)你仔細(xì)閱讀，并回答問題：解：原方程可變形為，（第一步）∴，（第二步）∴，（第三步）∴，（第四步）∴，（第五步）∴，．（第六步）(1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答過程是從第______步開始出錯(cuò)的．(2)請(qǐng)寫出此題正確的解答過程．【答案】(1)配方；三(2)，【分析】（1）根據(jù)配方法解答即可．（2）根據(jù)配方法的基本步驟規(guī)范解答即可．本題考查了配方法解方程，熟練掌握配方法解方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）根據(jù)題意，這種解方程的方法是配方法，配方時(shí)，在第三步時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：配方法，第三步．（2）原方程可變形為，∴，∴，∴，∴，∴，．類型三、配方法的應(yīng)用例3.（23-24九年級(jí)上·新疆昌吉·階段練習(xí)）代數(shù)式有最值，其最值為．【答案】小1【分析】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，利用配方法把原代數(shù)式變形為，根據(jù)得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最小值1，∴有最小值，最小值為1，故答案為：小，1．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·浙江湖州·階段練習(xí)）新定義：關(guān)于的一元二次方程與稱為“同族二次方程”．例如：與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程與是“同族二次方程”，則代數(shù)式的最小值是．【答案】2019【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．利用“同族二次方程”定義列出關(guān)系式，再利用多項(xiàng)式相等的條件列出關(guān)于與的方程組，求出方程組的解得到與的值，進(jìn)而利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出代數(shù)式的最大值即可．【詳解】解：與是“同族二次方程”，，，解得，，則代數(shù)式能取的最小值是2019．故答案為：2019【變式訓(xùn)練2】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）（1）當(dāng)__________時(shí)，多項(xiàng)式的最小值為__________．（2）當(dāng)__________時(shí)，多項(xiàng)式的最大值為__________．（3）當(dāng)、為何值時(shí)，多項(xiàng)式取最小值？并求出這個(gè)最小值．【答案】（1）3，3（2）1，（3），，最小值是10【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）由配方可知，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，判斷出的值，然后進(jìn)行計(jì)算即可；（2）由配方可知，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，判斷出的值，然后進(jìn)行計(jì)算即可；（3）由配方可知，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，判斷出和的取值，然后進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式取最小值，且最小值為3；故答案為：3，3（2）當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式取最大值，且最大值為；故答案為：1，；（3），當(dāng)且，即時(shí)，多項(xiàng)式取最小值，并且最小值為．，，最小值是10．【變式訓(xùn)練3】（2024·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現(xiàn)，比較4m與的大小，填“>”“<”或“=”：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）論證，無論m取什么值，判斷4m與有怎樣的大小關(guān)系?試說明理由；（3）拓展，試通過計(jì)算比較．與的大?。敬鸢浮浚?），，；（2）總有，理由見解析；（3）【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是不等式的性質(zhì)、完全平方公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩個(gè)式子的差比較出數(shù)的大?。?）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別代入計(jì)算，再進(jìn)行比較得出結(jié)論填空即可；（2）根據(jù)，即可得出無論取什么值，判斷與有；（3）拓展：先求出，再判斷的正負(fù)，即可做出判斷．【詳解】解：（1）①當(dāng)時(shí)，，，則，②當(dāng)時(shí)，，，則，③當(dāng)時(shí)，，，則．故答案為：；；；（2）無論取什么值，判斷與有，理由如下：，無論取什么值，總有；（3）拓展：，故．類型四、用公式法求解一元二次方程例4.（23-24八年級(jí)下·吉林長春·期中）解方程：．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．本題直接利用公式法求解即可．【詳解】解：一元二次方程中，，，，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級(jí)上·四川涼山·階段練習(xí)）用公式法解方程：．【答案】【分析】本題考查公式法解一元二次方程，根據(jù)公式法，按步驟求解即可得到答案，熟記公式法解一元二次方程是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，．【變式訓(xùn)練2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）解方程：【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)公式法解一元二次方程，即可求解．【詳解】解：∴，∴解得：，【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)，(3)方程無解【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握利用公式法求解方程是解題的關(guān)鍵；（1）由題意易得，然后根據(jù)公式法可進(jìn)行求解；（2）由題意易得，然后根據(jù)公式法可進(jìn)行求解；（3）由題意易得，然后根據(jù)公式法可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：∴，∴，∴，∴；（2）解：∴，∴，∴，∴；（3）解：∴，∴，∴原方程無解．類型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程例5．（23-24九年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）解關(guān)于的方程（因式分解方法）：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）用提公因式法進(jìn)行因式分解，再解方程即可；（2）移項(xiàng)后，用提公因式法進(jìn)行因式分解，再解方程即可．【詳解】（1）解：①②∴．（2）解：①②∴．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合適的公因式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（2023八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）用因式分解解方程：．【答案】，【分析】采用因式分解法即可求解．【詳解】移項(xiàng)得，，提取公因式得，．故或，解得，．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解求解的方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）解方程：．【答案】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴或，解得．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·廣西崇左·期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法有直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法等．（1）先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．【詳解】（1）解：，因式分解得，即或，解得，．（2）解：，移項(xiàng)得，因式分解得，即或，解得，．類型六、用十字相乘法求解一元二次方程例6.（23-24九年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）閱讀材料：解方程，我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：

③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海?）根據(jù)乘法原理，若，則或，則方程可以這樣求解：方程左邊因式分解得或試用上述這種十字相乘法解下列方程(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可；（2）利用十字相乘法解方程即可；（3）利用十字相乘法解方程即可；（4）利用十字相乘法解方程即可．【詳解】（1）解：或∴，；（2）解：或∴，；（3）或∴，；（4）或∴，．【點(diǎn)睛】本題考查十字相乘法解方程，掌握十字相乘法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（2024·廣東廣州·二模）解方程：．【答案】，．【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解題的關(guān)鍵在于靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋驹斀狻拷猓海?，或，∴，．【變式?xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）閱讀材料：解方程，我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：，②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海?）若，則或，所以方程可以這樣求解：方程左邊分解因式得∴或∴，上述這種解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．請(qǐng)參考以上方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，；(2)，【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，進(jìn)一步求解可得答案；（2）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，進(jìn)一步求解可得答案．【詳解】（1）解：或∴，；（2）解：或∴，．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）（1）將進(jìn)行因式分解，我們可以按下面的方法解答：解：①堅(jiān)分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：．②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)（交叉相乘后的結(jié)果相加，其結(jié)果須等于多項(xiàng)式中的一次項(xiàng)）：

③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海覀儼堰@種用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法．（2）根據(jù)乘法原理：若，則或．試用上述方法和原理解下列方程：①；②；③；④．【答案】①，

②，

③，

④，【分析】根據(jù)題中十字相乘法的解法步驟求解即可．【詳解】解：①由題知，，，∴原方程可化為，∴或，∴，；②由題知，，，∴原方程可化為，∴或，∴，；③由題知，，，∴原方程可化為，∴或，∴，；④由題知，，，∴原方程可化為，∴或，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查十字相乘法解一元二次方程，理解題干中的十字相乘法的解法是解答的關(guān)鍵．類型七、換元法解一元二次方程例6.（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)棰?，解得，．?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；原方程有四個(gè)根：，，，．這一方法，在由原方程得到方程①的過程中，利用“換元法”達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．(1)方程的解為________．(2)仿照材料中的方法，嘗試解方程．【答案】(1)，(2)，；【分析】本題考查了根的判別式，換元法解一元二次方程，能夠正確換元是解此題的關(guān)鍵．（1）結(jié)合材料，利用，再換元，求出的值，再代入求出即可；（2）結(jié)合材料，利用，再換元，求出的值，再代入求出即可．【詳解】（1）解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，解得：，，?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，方程無解；故原方程的解為：，，故答案為：，．（2）解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，解得：，，?dāng)時(shí)，，解得：，；當(dāng)時(shí)，，即，，方程無解；故原方程的解為：，．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·北京順義·階段練習(xí)）閱讀下列材料：為解方程可將方程變形為然后設(shè)，則，原方程化為①，解①得．當(dāng)時(shí)，無意義，舍去；當(dāng)時(shí)，，解得原方程的解為；上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題．(1)利用換元法解方程時(shí)，新字母設(shè)為，則___________，原方程化為___________，解得___________．(2)求方程的解．【答案】(1)，；(2)【分析】本題考查了換元法解方程，正確換元是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意，可設(shè)，于是原方程變形為，利用因式分解法求解即可．（2）根據(jù)，轉(zhuǎn)化為方程，，解方程即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可設(shè)，于是原方程變形為，解得，故答案為：，；．（2）解：根據(jù)題意，得，方程轉(zhuǎn)化為，，故，解得；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程無解，故原方程的解為．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·階段練習(xí)）解高次方程的思想就是“降次”，將含未知數(shù)的某部分用低次項(xiàng)替換，例如解四次方程時(shí)，可設(shè)，則原方程可化為，先解出y，將y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以將方程中某個(gè)部分看作一個(gè)整體，例如上述方程中，可將看作一個(gè)整體，得，解出的值，再進(jìn)一步求解即可．根據(jù)上述方法，完成下列問題：(1)若，則的值為___________；(2)解方程：．【答案】(1)2(2)或或或【分析】本題考查了換元法解一元二次方程，注意，解方程時(shí)要解完整．（1）根據(jù)題意，設(shè)，然后解關(guān)于k的一元二次方程，再根據(jù)取值即可；（2）設(shè)，然后解關(guān)于t的一元二次方程，然后再來求關(guān)于y的一元二次方程．【詳解】（1）解：設(shè)，原方程為：，即，，，或，，，，故答案為：2；（2）解：設(shè)，原方程為：，即，，或，當(dāng)時(shí)，，，或；當(dāng)時(shí)，，，或；綜上，或或或．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）解方程時(shí)，我們可以將視為一個(gè)整體，設(shè)，則，原方程化為，解此方程，得，，當(dāng)時(shí)，，，∴；當(dāng)時(shí)，，，∴．∴原方程的解為，，，．以上方法就叫換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．運(yùn)用上述方法解答下列問題：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題主要考查了換元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判別式等知識(shí)，利用換元法解一元二次方程是解題關(guān)鍵．（1）先把要求的式子變形為，再進(jìn)行因式分解，求出符合條件的的值，從而得出的值；（2）根據(jù)已知條件設(shè)求出的值，即可獲得答案．【詳解】（1）解：，設(shè)，則原方程化為，∴，∴或（舍去），即，∴，；（2）解：，設(shè)，則原方程化為，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，可有，解得，，當(dāng)時(shí)，可有，∵，∴該方程無解，∴原方程的解為，．壓軸能力測評(píng)（12題）一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·北京通州·期末）一元二次方程的解完全正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴或，∴，故選：B．2．（2023·山東臨沂·一模）已知，（a為任意實(shí)數(shù)），則的值（

）A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．無法確定【答案】C【分析】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握整式的加減，完全平方式與配方法，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方式利用配方法把的代數(shù)式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性判斷即可．【詳解】，∵，∴，∴大于0，故選：C．3．（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·期中）定義新運(yùn)算，對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)根，我們規(guī)定符號(hào)表示中較小值，如．，，按照這樣的規(guī)定，若，則的值是（

）A．2或 B．或 C．2或 D．或【答案】B【分析】本題主要考查了解一元二次方程，新定義，分當(dāng)即時(shí)，當(dāng)即時(shí)，根據(jù)新定義可得方程和方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)即時(shí)，∵，∴，解得或（舍去）；當(dāng)即時(shí)，∵，∴，解得或（舍去）；綜上所述，的值是或，故選：B．二、填空題4．（23-24八年級(jí)下·安徽淮北·階段練習(xí)）方程的解是．【答案】【分析】本題考查了直接開平方法解一元二次方程，先移項(xiàng)，然后直接開平方法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：∴解得：，故答案為：．5．（23-24九年級(jí)上·廣東廣州·期中）如果與互為相反數(shù)，則的值為【答案】或3/3或【分析】利用相反數(shù)的定義得到，再解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得：，故答案為：或3．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，解一元二次方程，理解相反數(shù)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．6．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期中）新定義，若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同類方程”．如與是“同類方程”．（1）與是“同類方程”，則；（2）現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同類方程”．那么代數(shù)式能取的最大值是．【答案】6【分析】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，解二元一次方程組，理解“同類方程”的定義是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“同類方程”的定義，可得出b的值．（2）根據(jù)“同類方程”的定義，可得出a，b的值，從而解得代數(shù)式的最大值．【詳解】解：（1）與是“同類方程”，即與是“同類方程”，∴，解得，故答案為：（2）∵與是“同類方程”，∴，∴，∴，解得：，∴∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為6．故答案為：6．三、解答題7．（23-24八年級(jí)下·安徽池州·階段練習(xí)）解下列方程．(1)．(2)．【答案】(1)；(2)；【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的直接開平方法和因式分解法是解題的關(guān)鍵．（1）用直接開平方法解方程；（2）先把方程左邊利用十字相乘法分解因式，然后解方程．【詳解】（1）解：或解得；（2）解：因式分解，得或解得；8．（23-24九年級(jí)上·黑龍江綏化·期中）解方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】本題考查了直接開平方法法，因式分解法求解方程的根，選擇適當(dāng)解方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用因式分解法法求解即可．（2）利用直接開平方法求解即