【19題結(jié)構(gòu)】 第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明一、單選題1．雙曲線的離心率為（

）A．1 B． C． D．22．已知直線，，則與的距離為（

）A．1 B．2 C． D．3．在正方體中，棱長為1，則等于（

）A．0 B．1 C． D．4．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在棱長為的正方體中，直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．5．已知曲線與x軸交于不同的兩點A，B，與y軸交于點C，則過A，B，C三點的圓的圓心軌跡為（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線6．已知是直線上的兩點，若沿軸將坐標平面折成的二面角，則折疊后兩點間的距離是（

）A．4 B． C．6 D．7．已知直線與圓，點在直線上，過點作圓的切線，切點分別為，當取最小值時，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知拋物線的焦點為F，過F的直線交E于A，B兩點，點P滿足，其中O為坐標原點，直線AP交E于另一點C，直線BP交E于另一點D，記，的面積分別為，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知向量，，則（

）A． B．C． D．10．已知圓和直線，點在直線上運動，直線、分別與圓相切于點、，則下列說法正確的是（

）A．切線長最小值為B．四邊形的面積最小值為C．最小時，弦所在的直線方程為D．弦長的最小值為11．已知分別是橢圓的左，右焦點，為橢圓上的一點，則下列說法正確的是（

）A．B．橢圓的離心率為C．直線被橢圓截得的弦長為D．若，則的面積為4第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．已知，，點在坐標平面上，且、、三點共線，則點的坐標為.13．已知直線和互相垂直，且，則的最小值為.14．設(shè)，是雙曲線：（，）的左、右焦點，點是右支上一點，若的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，且，使得，則的離心率為．四、解答題15．已知直線l過點，根據(jù)下列條件分別求直線l的方程：(1)直線l的傾斜角為45°；(2)直線l在x軸、y軸上的截距相等．16．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，M是AD的中點，N是AB的中點．(1)求證：平面ADE；(2)求直線CM與平面DEN所成角的正弦值．17．已知平面內(nèi)點，，以為直徑的圓過點.（1）求點的軌跡的方程；（2）過點且傾斜角為銳角的直線交曲線于，兩點，且，求直線的方程.18．如圖，在圓柱W中，點O1、O2分別為上、下底面的圓心，平面MNFE是軸截面，點H在上底面圓周上（異于N、F），點G為下底面圓弧ME的中點，點H與點G在平面MNFE的同側(cè)，圓柱W的底面半徑為1，高為2．（1）若平面FNH⊥平面NHG，證明：NG⊥FH；（2）若直線NH與平面NFG所成線面角α的正弦值等于，證明：平面NHG與平面MNFE所成銳二面角的平面角大于．19．我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，．如圖，設(shè)點，，是相應(yīng)橢圓的焦點，，和，是“果圓”與，軸的交點，是線段的中點．

(1)設(shè)是“果圓”的半橢圓上任意一點，且，．求證：當取得最小值時，在點處；(2)若是“果圓”上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標；(3)連接“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦．試研究：是否存在實數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，說明理由．參考答案：題號12345678910答案DCBCADCCACDBC題號11答案BCD1．D【分析】將雙曲線化成標準形式，從而得出a、b的值，用平方關(guān)系算出，再用雙曲線的離心率公式，可得離心率e的值.【解析】雙曲線化成標準形式為∴，，得由此可得雙曲線的離心率為故選：D2．C【分析】利用平行線間的距離公式求解即可.【解析】由題意得，與的距離．故選：C．3．B【分析】化簡得，再利用空間向量的數(shù)量積的運算計算即得解.【解析】解：由題得.故選：B4．C【分析】以為原點，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設(shè)點為上一點，則點到距離的最小值即為直線與之間的距離，利用空間中點到直線的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求解.【解析】如圖，以為原點，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設(shè)點為上一點，則點到距離的最小值即為直線與之間的距離，已知正方體棱長為2，所以，設(shè)，所以，，設(shè)與共線的單位向量，所以點到的距離，令，則當時，，所以直線與之間的距離為.故選：.5．A【分析】首先求點的坐標，再利用，可求得軌跡方程.【解析】的對稱軸為，由對稱性可知，圓心在上，令，，得，設(shè)點在點的左邊，所以點的坐標為，，設(shè)圓心為，根據(jù)，得，整理為，當時，此時，，，兩點重合，圓心為的軌跡方程為，所以，則，即圓心，所以圓心的軌跡方程為，而點滿足條件，所以圓心軌跡為一條直線.故選：A6．D【分析】由題意求出坐標，作出折疊后的圖形，利用空間向量表示各段模長和二面角的平面角，利用空間向量的線性運算和數(shù)量積的運算律即可求得兩點間距離.【解析】因是直線上的兩點，故有，如圖是折疊后的圖形，作軸于點，作軸于點，依題意，與所成的角為，則，由兩邊取平方，可得，故折疊后兩點間的距離是.故選：D.7．C【分析】由切線長公式知當時，最小，結(jié)合點到直線距離公式求得的最小值，然后作關(guān)于直線的對稱點，可知當點為與直線的交點時，最小，由對稱知，此時與重合，從而易得最小值．【解析】由可知圓心為，半徑，由題意，所以當時，取最小值，由點到直線的距離公式可得，此時，過作直線的對稱點，連接，，與直線的交點即為所求的點，由于與關(guān)于直線對稱，，與關(guān)于直線對稱，因此與就是同一條直線，即點即為所求的點，所以的最小值為.故選：C

8．C【分析】設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，，聯(lián)立拋物線方程結(jié)合韋達定理有，同理，從而，同理，結(jié)合三角形面積公式即可得解.【解析】根據(jù)已知條件作出圖形，如圖所示由題意知，又，所以.顯然直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為，Ax1,y由，得，顯然，所以.顯然直線BD的斜率不為0，設(shè)，直線BD的方程為，由，得，顯然，所以，又，所以，設(shè)，同理可得，.故選：C.【小結(jié)】關(guān)鍵點小結(jié)：關(guān)鍵在于同理思想的運用，通過韋達定理得出，，再結(jié)合三角形的面積公式即可.9．ACD【分析】由坐標計算向量的減法可得A正確；由模長的計算可得B錯誤；由數(shù)量積為零可得C正確；由向量的夾角公式可得D正確；【解析】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故，故C正確；對于D，，故，故D正確；故選：ACD．10．BC【分析】分析可知，當時，取最小值，結(jié)合勾股定理可判斷A選項；推導(dǎo)出，可得出，利用三角形的面積公式可判斷B選項；分析可知，當最小時，四邊形為正方形，求出線段的中點坐標，結(jié)合直線的點斜式方程可判斷C選項；分析可知，，求出的最小值，可判斷D選項.【解析】圓心為，半徑為，連接、，則，對于A選項，由勾股定理可得，當時，取最小值，此時，也取最小值，且，則，A錯；對于B選項，由切線長定理可得，又因為，，所以，，故，當且僅當時，等號成立，故四邊形面積的最小值為，B對；對于C選項，當取最小值時，，因為直線的斜率為，則，此時，直線的方程為，聯(lián)立可得，此時，點，線段的中點為，因為，且，所以，四邊形為正方形，此時，，且直線過線段的中點，則直線的方程為，即，C對；對于D選項，設(shè)，因為，則，因為，則，且為的中點，所以，，且，當時，取最小值，此時，，故，D錯.故選：BC.【小結(jié)】方法小結(jié)：圓的弦長的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式.11．BCD【分析】根據(jù)橢圓的定義與性質(zhì)結(jié)合勾股定理計算一一判定選項即可.【解析】因為橢圓方程為：，則其長軸長、短軸長、焦距分別為，所以，即A錯誤；B正確；當時，與聯(lián)立得，即直線被橢圓截得的弦長為，故C正確；若，則，即，則的面積為，故D正確.故選：BCD12．【分析】根據(jù)三點共線列方程，由此來求得點的坐標.【解析】由于點在坐標平面上，故可設(shè)，由于、、三點共線，所以，所以，所以，解得.所以.故答案為：13．/【分析】根據(jù)兩直線垂直得到，再利用基本不等式求解.【解析】解：由題得.所以.當且僅當時等號成立.所以的最小值為.故答案為：14．2【分析】設(shè)在第一象限，則點也在第一象限，根據(jù)得到，由兩種方法求解的面積，得到方程，求出，結(jié)合，求出，由兩點間距離公式得到，求出，故，代入雙曲線方程，求出，得到離心率.【解析】不妨設(shè)在第一象限，則點也在第一象限，設(shè)，，因為，所以，故，，又，故，解得，由雙曲線定義得，故，，又，又，故，故，又，故，，故，將代入中，得，解得，所以的離心率為.故答案為：2【小結(jié)】方法小結(jié)：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).15．(1)(2)或【分析】（1）由點斜式即可求解；（2）分截距是否為0進行討論即可求解.【解析】（1）因為直線l過點，直線l的傾斜角為45°；所以所求為，即；（2）當直線l在x軸、y軸上的截距都為0時，所求為，當直線l在x軸、y軸上的截距都為時，設(shè)所求為，由題意，解得符合題意，故所求為；綜上所述，符合題意的直線方程為或.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知線面關(guān)系，證明平面，有，又可證，可證得平面；（2）以C為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求線面角的正弦值.【解析】（1）證明：因為平面，平面，所以，由，知，，又，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，是的中點，所以，又，平面，所以平面．（2）平面，，以為坐標原點，以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值．17．（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意得到，即可得到軌跡方程.（2）首先設(shè)直線的方程為，，，與拋物線聯(lián)立得到，再根據(jù)根系關(guān)系和即可得到答案.【解析】（1）以為直徑的圓過點，即，整理得：，即點的軌跡方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，與拋物線聯(lián)立得消去得到，①，②.又，即，轉(zhuǎn)化得③.由①②③及，得.所以直線的方程為.【小結(jié)】關(guān)鍵點小結(jié)：本題主要考查拋物線的幾何意義，解決本題的關(guān)鍵是將已知條件轉(zhuǎn)化為，從而得到，屬于中檔題.18．（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）若平面⊥平面，因為平面平面，，所以平面，又知道平面，所以得證．（2）以為坐標原點，分別以為軸建立空間坐標系，根據(jù)直線與平面所成線面角的正弦值等于，得到點坐標，再將證明平面與平面所成銳二面角的平面角大于．轉(zhuǎn)化成證明平面與平面所成銳二面角的余弦值小于來解決．【解析】解：（1）由題知：面面，面面．因為，平面．所以平面．所以．（2）以為坐標原點，分別以為軸建立空間坐標系，所以，，，設(shè)，則設(shè)平面的法向量，因為，所以，所以，即法向量．因此所以，解得，所以點．設(shè)面的法向量；因為，所以，所以，即法向量．因為面的法向量，所以所以面與面所成銳二面角的平面角大于．【小結(jié)】本題的核心在考查空間向量的應(yīng)用，需要注意以下問題：（1）求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算，要認真細心，準確計算．（2）設(shè)分別為平面，的法向量，則二面角與互補或相等.求解時一定要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．19．(1)證明見解析(2)答案見解析(3)存在；【分析】（1）先求得，然后設(shè)出點的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式來求得正確答案.（2）先求得，然后設(shè)出點的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式來求得正確答案.（3）先證明斜率相同的橢圓的弦的中點在定直線上，據(jù)此可判斷“果圓”平行弦的中點軌跡是否落在某個橢圓上.【解析】（1）是“果圓”的半橢圓上任意一點，所以，，所以，所以.設(shè)，，二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為，由于，所以當時，取得最小值，此時，即在點處.（2）半橢圓，對應(yīng)，半橢圓，對應(yīng)，則，當在半橢圓上時，設(shè)，則，，，，二次函數(shù)的開口向下，由于，所以當或時取得最小值，當時，，①，當時，，②.所以當取得最小值時，在或或處，,設(shè)Px,y，且和同時位于"果圓"的半橢圓和半橢圓上，只需研究位于"果圓"的半橢圓上的情形即可.，當,即時,的最小值在時取到,此時的橫坐標是.當,即時,由于在時是遞減的,的最小值在時取到,此時的橫坐標是.綜上所述,若,當取得最小值時,點的橫坐標是；若,當取得最小值時,點的橫坐標是或.（3）我們證明一個結(jié)論：若斜率為的直線與橢圓交于兩點，則中點的軌跡在直線上,證明：設(shè)Ax1,則且，從而，故，故，故中點在直線上.

對于“果園”的弦的中點，若斜率，則設(shè)直線，它與“果圓”的交點是，，弦的中點滿足，消去可得弦的中點軌跡方程是，而，即，所以，若“果圓”弦所在直線