黑龍江省齊齊哈爾市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

高二數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為3，則（）A. B. C.1 D.5【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念即可得解.【解析】因?yàn)椋值奶摬繛?，則，故.故選：C.2.已知全集,則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解絕對(duì)值不等式與一元二次不等式,再根據(jù)集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算計(jì)算即可.【解析】由得或，或，由得所以故選:B.3.已知傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，則（）A.6 B.8 C.12 D.24【答案】C【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)后，求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得線段的長(zhǎng)【解析】設(shè)點(diǎn)、，拋物線的焦點(diǎn)為，由于直線過(guò)點(diǎn)，且該直線的傾斜角為，斜率為1，則直線的方程為，聯(lián)立方程，消去并整理得，，由韋達(dá)定理可得，由拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得故選：C.4.美學(xué)四大構(gòu)件是：史詩(shī)、音樂、造型（繪畫、建筑等）和數(shù)學(xué).素描是學(xué)習(xí)繪畫的必要一步，它包括了明暗素描和結(jié)構(gòu)素描，而學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描最重要的一步.某同學(xué)在畫“切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個(gè)橢圓（如圖所示），若“切面”所在平面與底面成角，則該橢圓的離心率為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取過(guò)橢圓長(zhǎng)軸與圓柱的軸在的截面，設(shè)圓柱的底面半徑為，計(jì)算出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)，可取得的值，由此可求得橢圓的離心率.【解析】取過(guò)橢圓長(zhǎng)軸與圓柱的軸在的截面，如下圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為，可知，截面為直角梯形，不妨設(shè)、為直角腰，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由題意可知，橢圓的短軸長(zhǎng)為，則，“切面”所在平面與底面所成的角等于，所以，，則，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，其中底面，底面扇環(huán)所對(duì)的圓心角為，扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑之比為1∶2，在上且為靠近的三等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值.【解析】以底面圓弧的圓心O為原點(diǎn)，CD為x軸，BA為y軸，過(guò)圓心O垂直于底面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑之比為1∶2，，則有，，，在上且為靠近的三等分點(diǎn)，則，，，異面直線與所成角的余弦值為.故選：D6.已知雙曲線的一條漸近線方程是分別為雙曲線的上，下焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的垂線在軸右側(cè)交雙曲線于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件求出以及，再直接求即可.【解析】因?yàn)橐粭l漸近線方程是，所以，設(shè)，又，得，所以.故選：A.7.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)為，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)為橢圓與雙曲線的交點(diǎn)，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)P為第一象限的交點(diǎn)，由橢圓和雙曲線的定義結(jié)合勾股定理化簡(jiǎn)得到，再利用柯西不等式即可得解.【解析】依題意，不妨設(shè)P為第一象限的交點(diǎn)，，則，因?yàn)樵谥?，，所以，即，則，即，所以，即，由柯西不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)滿足，所以的最大值為.故選：D.8.正方體的棱長(zhǎng)為為棱中點(diǎn)，為正方形內(nèi)（舍邊界）的動(dòng)點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)列等式，得到點(diǎn)的軌跡方程，理解方程含義為線段，結(jié)合圖形得到端點(diǎn)坐標(biāo)，求解.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,,則，.因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡為上底面中的一條線段.易知點(diǎn)的軌跡所在直線與上底面正方形的邊的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為故選：A二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分．9.直線，圓，下列結(jié)論正確的是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.直線與圓必有兩個(gè)交點(diǎn)C.直線與圓的相交弦長(zhǎng)的最大值為D.當(dāng)時(shí)，圓上存在3個(gè)點(diǎn)到直線距離等于1【答案】ABD【解析】【分析】利用直線過(guò)定點(diǎn)的求解方法求出定點(diǎn)即可判斷A；判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系；利用相交弦最長(zhǎng)的是直徑即可判斷C；利用圓心到直線的距離為1，再結(jié)合圖形即可判斷D.【解析】將直線的方程化為，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，選項(xiàng)A正確；圓的方程化為，圓心，半徑2，直線恒過(guò)定點(diǎn)到圓心的距離為，所以定點(diǎn)在圓C內(nèi)，故而直線與圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，所以選項(xiàng)B正確；直線與圓的相交，相交弦最長(zhǎng)的是直徑，故而相交弦長(zhǎng)的最大值為4，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離為1，如圖所示，x軸與圓的兩個(gè)交點(diǎn)O、B到直線的距離為1；又因?yàn)閳A半徑為2，所以直線與圓的交點(diǎn)A到直線的距離為1，故而圓上存在3個(gè)點(diǎn)到直線距離等于1，選項(xiàng)D正確.故選：ABD10.設(shè)是空間中兩兩夾角均為的三條數(shù)軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，若，則把有序數(shù)對(duì)叫作向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若向量，向量，則B.若向量，向量，則C.若向量，向量，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，D.若向量，向量，向量，則二面角的余弦值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意直接計(jì)算進(jìn)而判斷A；通過(guò)空間直角坐標(biāo)系數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算B；根據(jù)題意直接判斷C；根據(jù)題中的概念判斷得到三棱錐是棱長(zhǎng)為1的正四面體，再結(jié)合二面角定義法求解方法進(jìn)行求解判斷D.【解析】對(duì)于A，若向量，向量，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若向量，向量，此時(shí)在空間直角坐標(biāo)系中，故B正確；對(duì)于C，若向量，向量，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，顯然不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若向量，向量，向量，則三棱錐是棱長(zhǎng)為1的正四面體，如圖所示，取中點(diǎn)，連接，在等邊中，易知，,則即為二面角的平面角，在中，由余弦定理得，，所以二面角的余弦值為，故D正確.故選：BD11.經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，設(shè)，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.面積的最小值為8C.以焦半徑為直徑的圓與直線相切D.【答案】BC【解析】【分析】求拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，設(shè)直線為，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，，進(jìn)而結(jié)合拋物線方程和定義逐項(xiàng)分析判斷.【解析】由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，顯然直線斜率不為0，且可以不存在，此時(shí)直線與拋物線必相交，設(shè)直線為，聯(lián)立方程，消去x得，則，，對(duì)于選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，原點(diǎn)到直線的距離，所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最小值為8，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可知：線段的中點(diǎn)，則到y(tǒng)軸的距離為，所以以焦半徑為直徑的圓與直線相切，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?，故D錯(cuò)誤；故選：BC.12.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn):平面上到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓,該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息解決下面的問題:在長(zhǎng)方體中,,點(diǎn)在棱上,,動(dòng)點(diǎn)滿足為棱的中點(diǎn),為的中點(diǎn).以為原點(diǎn),所在的直線為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.下列說(shuō)法正確的是（）阿波羅尼奧斯A.若點(diǎn)只在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為B.若點(diǎn)只在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),則△的面積最小值為C.類比阿氏圓定義,點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí),的軌跡為球面的一部分D.若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)到平面的距離最小值為【答案】BC【解析】【分析】當(dāng)點(diǎn)只在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),可簡(jiǎn)化為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的距離問題,通過(guò)兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)運(yùn)算即可判斷項(xiàng)；當(dāng)點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí),通過(guò)空間直角坐標(biāo)系得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),借助空間中兩點(diǎn)的距離公式,化簡(jiǎn)整理可得點(diǎn)的軌跡方程,即可判斷項(xiàng)；當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),可借助項(xiàng)中點(diǎn)的軌跡方程得此時(shí)的軌跡方程,再根據(jù)空間中點(diǎn)到平面的距離運(yùn)算即可判斷項(xiàng).【解析】在平面內(nèi),設(shè)點(diǎn)由得即所以若點(diǎn)只在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為且當(dāng)點(diǎn)時(shí),△的面積最小為故錯(cuò)誤,正確；當(dāng)點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè),由得即的軌跡為球面的一部分,故正確；當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)由得即設(shè)平面的法向量為則令則所以點(diǎn)到平面的距離為由得所以點(diǎn)到面的距離最小值為故錯(cuò)誤.故選：BC.【小結(jié)】本題考查空間動(dòng)點(diǎn)軌跡問題,考查了轉(zhuǎn)化思想,計(jì)算能力,屬于中檔題.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把正確答案寫在答題卡相應(yīng)題的橫線上13.已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)_______．【答案】##【解析】【分析】由兩直線平行的條件，列方程求實(shí)數(shù)的值并檢驗(yàn).【解析】直線與直線平行，則有，即，解得或.經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，兩直線重合，舍去，符合題意，所以.故答案為：.14.若空間三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為_______．【答案】【解析】【分析】借助空間向量求點(diǎn)到直線的距離即可得.【解析】，，則，則.故答案為：.15.線段是圓的一條直徑，且是圓上的任意兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則的取值范圍_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的線性運(yùn)算可得，計(jì)算圓心O到直線CD的距離，根據(jù)點(diǎn)P在線段CD上，求出的取值范圍，即可求解.【解析】由題意知，連接，為的中點(diǎn)，則，可得，又因?yàn)?，則圓心O到直線CD的距離為，由點(diǎn)P在線段CD上可知，則，所以，即的取值范圍為.故答案為：.16.已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，的一條漸近線的方程為，且到的距離為3，為的第一象限上的一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為為的平分線，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合漸近線的知識(shí)可得，再利用角平分線的性質(zhì)以及雙曲線的定義可得，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解即可.【解析】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，取其中一條漸近線為，即，到漸近線的距離，由題意可得：，可得，則，因?yàn)闉榈钠椒志€，則，即，又因?yàn)椋傻?，所?故答案為：四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟．17.已知（1）過(guò)點(diǎn)A作直線，交直線和直線于兩點(diǎn)，A為線段的中點(diǎn)．求直線的方程；（2）若圓的圓心在直線上，圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．求圓的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求，進(jìn)而可求直線方程；（2）先求線段的垂直平分線方程，進(jìn)而結(jié)合圓的性質(zhì)求圓心和半徑，即可圓的方程.【小問1解析】設(shè)直線與直線交點(diǎn)，直線與直線交點(diǎn)，由題意可得：，解得，即，所以直線的方程為，即.【小問2解析】由題意可知：直線的斜率，線段的中點(diǎn)為，可知線段的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立方程，解得，可得圓的圓心為，半徑為，所以圓的方程為.18.在中，角的對(duì)邊分別為.（1）求角的大小；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用三角恒等變換運(yùn)算求解即可；（2）法一：利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換以及正弦函數(shù)的有界性分析求解；法二：利用余弦定理結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【小問1解析】因?yàn)?，即，可得又因?yàn)?，則，可得，且，可得.【小問2解析】法一：由正弦定理可得，則，可得，因?yàn)?，則，可得，所以周長(zhǎng)的最大值為法二：由余弦定理可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，解得，所以周長(zhǎng)的最大值為.19.《中華人民共和國(guó)愛國(guó)主義教育法》已由中華人民共和國(guó)第十四屆全國(guó)人民代表大會(huì)常務(wù)委員會(huì)第六次會(huì)議于2023年10月24日通過(guò)，現(xiàn)予公布，自2024年1月1日起施行．甲，乙兩同學(xué)組成“星隊(duì)”參加黑龍江省“愛國(guó)主義教育法”知識(shí)競(jìng)賽．現(xiàn)有A，B兩類問題，競(jìng)賽規(guī)則如下：①競(jìng)賽開始時(shí)，每個(gè)同學(xué)先從A類問題中隨機(jī)抽取一個(gè)問題進(jìn)行回答，答錯(cuò)的同學(xué)本輪競(jìng)賽結(jié)束；答對(duì)的同學(xué)再?gòu)腂類問題中隨機(jī)抽取一個(gè)問題進(jìn)行回答，無(wú)論答對(duì)與否，本輪競(jìng)賽結(jié)束．②若在本輪競(jìng)賽中“星隊(duì)”同學(xué)合計(jì)答對(duì)問題的個(gè)數(shù)不少于3個(gè)，則“星隊(duì)”可進(jìn)入決賽．已知甲同學(xué)能答對(duì)A類中問題概率為，能答對(duì)類中問題的概率為．乙同學(xué)能答對(duì)A類中問題的概率為，能答對(duì)類中問題的概率為．（1）設(shè)“甲同學(xué)答對(duì)0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)問題”分別記為事件，求事件的概率；（2）求甲乙兩同學(xué)組成“星隊(duì)”能進(jìn)入決賽的概率．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解；（2）設(shè)“乙同學(xué)答對(duì)1個(gè)，2個(gè)問題”分別記為事件，設(shè)事件表示“星隊(duì)能進(jìn)入決賽”，可知，根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式運(yùn)算求解.【小問1解析】因?yàn)榧淄瑢W(xué)能答對(duì)A類中問題的概率為，能答對(duì)類中問題的概率為，所以，，．【小問2解析】設(shè)“乙同學(xué)答對(duì)1個(gè)，2個(gè)問題”分別記為事件，因?yàn)橐彝瑢W(xué)能答對(duì)A類中問題的概率為，能答對(duì)類中問題的概率為，可得，設(shè)事件表示“星隊(duì)能進(jìn)入決賽”，可得，所以“星隊(duì)”能進(jìn)入決賽的概率為.20.已知雙曲線的離心率為，過(guò)點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)均在軸上方），點(diǎn)在線段上，且滿足．證明：在定直線上．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的性質(zhì)列式求即可；（2）設(shè)直線方程為，，聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理，不妨設(shè)，由，整理得，結(jié)合韋達(dá)定理即可得結(jié)果.【小問1解析】由題中條件可知，解得，所以雙曲線方程為．【小問2解析】由題意直線斜率存在，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立方程，消整理得，顯然，則，可得，，由題意可得：，解得，不妨設(shè)，因?yàn)?，即，可得，解得，所以在直線上.【小結(jié)】方法小結(jié)：求解定值問題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．21.圖1是直角梯形，，，，，，在線段上，且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2．（1）求證：平面平面（2）在棱上存在點(diǎn)，使