初中數學同步九年級上冊滬科版《壓軸題》專題04二次函數與最值的四種類型含答案及解析

專題04二次函數與最值的四種類型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、線段最值 1類型二、周長最值 4類型三、面積最值 6類型四、區(qū)間內最值 12壓軸能力測評（10題） 13類型一、線段最值類型二面積最值利用割補法（鉛錘線法）：過動點豎直作切割線，將幾何圖形切割成兩個圖形分別求面積然后求和化簡即可得到相應的二次函數解析式，配方可得最大面積.類型三在區(qū)間范圍內一般步驟：(1)求出對稱軸；(2)將區(qū)間以對稱軸為臨界分情況討論，利用二次函數的增減性求最值或取值范圍：若M(m,yM),N(n,yN)為拋物線上兩點，且M點在N點左側①區(qū)間在對稱軸左側時：如圖①，當a>0時，最大值為yM,最小值為yN;如圖②，當a<0時，最大值為yN,最小值為yM;②對稱軸在區(qū)間內時：M點比N點更靠近對稱軸，如圖③，當a>0時，最大值為yN,最小值為頂點縱坐標；如圖④，當a<0時，最大值為拋物線頂點縱坐標，最小值為yN;③區(qū)間在對稱軸右側時：如圖,當a>0時，最大值為yN,最小值為yM;如圖⑥，當a<0時，最大值為yM,最小值為yN。類型一、線段最值例．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，B，C兩點的坐標分別為（3，0）和（0，3）．（1）直線BC的解析式為________．（2）求拋物線所對應的函數解析式．（3）①頂點D的坐標為________；②當0≤x≤4時，二次函數的最大值為_______，最小值為__________．（4）若點M是第一象限的拋物線上的點，過點M作x軸的垂線交BC于點N，求線段MN的最大值．【變式訓練1】．如圖，拋物線與軸交、兩點，直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．(1)求拋物線及直線AC的函數表達式；(2)若P點是線段AC上的一個動點，過P點作軸的平行線交拋物線于F點，求線段PF長度的最大值．【變式訓練2】．如圖，在平面直角坐標系中，已知點B的坐標為，且，拋物線圖象經過A，B，C三點．(1)求A，C兩點的坐標；(2)求拋物線的解析式；(3)若點P是直線下方的拋物線上的一個動點，作于點D，當的值最大時，求此時點P的坐標及的最大值．【變式訓練3】．如圖，已知拋物線與一直線相交于兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．

(1)求拋物線及直線的函數表達式；(2)設點，求使的值最小時m的值；(3)若點P是拋物線上位于直線上方的一個動點，過點P作軸交于點Q，求的最大值．類型二、周長最值例．如圖，經過原點的拋物線y=2x2+mx與軸交于另一點

(1)求的值和拋物線頂點的坐標；(2)在軸上求一點，使的周長最?。咀兪接柧?】．如圖，在直角坐標系中，已知點，，頂點在坐標原點的拋物線經過點B．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上一動點P，設點P到x軸的距離為，點P到點A的距離為，試說明；(3)將點B繞點A順時針方向得到點C，拋物線上一動點P，當的周長有最小值時，求點P坐標．【變式訓練2】．已知拋物線與x軸交于和B（3，0）兩點，且與y軸交于點C（0，3）．(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線頂點M坐標及四邊形ABMC的面積；(3)若點P是對稱軸上一點，求當△APC周長最短時，求點P的坐標．【變式訓練3】．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．(1)求此拋物線的解析式和對稱軸．(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PAC的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，說明理由．類型三、面積最值例．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過、兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點是直線上方拋物線上的一動點，當面積最大時，請求出點的坐標；【變式訓練1】．如圖，二次函數的圖象交軸于點、、交軸于點，點的坐標為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點、交拋物線于點．(1)求這個二次函數的解析式；(2)若點在線段上運動（點與點、點不重合），求面積的最大值，并求出此時點的坐標．【變式訓練2】．如圖，二次函數的圖象交軸于，，交軸于．

(1)求這個二次函數的解析式的一般式；(2)若點為該二次函數圖象在第四象限內一個動點，求點運動過程中，四邊形面積的最大值，并求出此時點的坐標．【變式訓練3】．在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸的交點為兩點，與軸交于點，頂點為，其對稱軸與軸交于點．(1)連接，試判斷的形狀，并說明理由；(2)點為第三象限內拋物線上一點，的面積記為，求的最大值及此時點的坐標；類型四、區(qū)間范圍內最值例．函數的最大值和最小值分別為（

）A．4和 B．5和 C．5和 D．和4【變式訓練1】．已知二次函數，當時，y的最小值為，則a的值為（

）A．或4 B．4或 C．或4 D．或【變式訓練2】．當時，二次函數的最小值為15，則的值為（

）A．或8 B．8 C．6 D．或6【變式訓練3】．已知二次函數，當時，二次函數的最大值為，最小值為，若，則a的值為（

）A．1或 B．2或 C．2或 D．或1．如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是1,0，C點坐標是．(1)求拋物線的解析式；(2)求出點B的坐標以及的面積；(3)若點P為拋物線對稱軸上的一個動點，當周長最小時求出點P的坐標．2．如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，D為頂點，其中點B的坐標為（5，0），點D的坐標為（1，3）．(1)求該二次函數的表達式；(2)試問在該二次函數圖象上是否存在點G，使得的面積是的面積的？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖，直線與拋物線相交于和，點是線段AB上異于、的動點，過點作軸于點，交拋物線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如果設點的坐標為，則點的坐標可表示為__________；(3)在（2）的條件下，請用含有的式子表示的長，并確定長度的最大值．4．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像與軸交于，兩點，點的坐標為，與軸交于點C0,?3，點為拋物線的頂點(1)求這個二次函數的解析式；(2)求的面積5．如圖，拋物線經過，兩點，與軸交于點，為第一象限拋物線上的動點，連接，，，，與相交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)設的面積為，的面積為，當時，求點的坐標；6．綜合與探究：如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，P是拋物線上的一個動點，設點P的橫坐標為，過點P作軸交x軸于點D，交直線于點，連接，，，與直線交于點F．

(1)求A，B，C三點的坐標及直線的函數表達式；(2)當的面積等于面積的時，求點P的坐標；7．如圖，若要建一個矩形場地，場地的一面靠墻，墻長，另三邊用籬笆圍成，籬笆總長，設垂直于墻的一邊為，矩形場地的面積為

(1)S與x的函數關系式為，其中x的取值范圍是；(2)當矩形場地的面積最大時，求矩形場地的長與寬，并求出矩形場地面積的最大值．8．張大爺要圍城一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的墻，另一邊用總長為32米的籬笆恰好圍成．圍成的花圃是如圖所示的矩形．設邊的長為x米，矩形的面積為S平方米．(1)求S與x之間的函數關系式(2)當x為何值時，S有最大值？并求出其最大值．9．已知拋物線與軸交于、兩點，其中點在點的右側，與軸交于點．(1)求點、的坐標；(2)點為拋物線上一點且在第一象限內，求面積的最大值；10．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過、兩點，其頂點為，連接，點是線段上一個動點（不與、重合）．

(1)求拋物線的函數解析式，并寫出頂點的坐標；(2)過點作軸于點，連接．求面積的最大值．

專題04二次函數與最值的四種類型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 4類型一、線段最值 4類型二、周長最值 11類型三、面積最值 17壓軸能力測評 26類型一、線段最值類型二面積最值利用割補法（鉛錘線法）：過動點豎直作切割線，將幾何圖形切割成兩個圖形分別求面積然后求和化簡即可得到相應的二次函數解析式，配方可得最大面積.類型三在區(qū)間范圍內一般步驟：(1)求出對稱軸；(2)將區(qū)間以對稱軸為臨界分情況討論，利用二次函數的增減性求最值或取值范圍：若M(m,yM),N(n,yN)為拋物線上兩點，且M點在N點左側①區(qū)間在對稱軸左側時：如圖①，當a>0時，最大值為yM,最小值為yN;如圖②，當a<0時，最大值為yN,最小值為yM;②對稱軸在區(qū)間內時：M點比N點更靠近對稱軸，如圖③，當a>0時，最大值為yN,最小值為頂點縱坐標；如圖④，當a<0時，最大值為拋物線頂點縱坐標，最小值為yN;③區(qū)間在對稱軸右側時：如圖,當a>0時，最大值為yN,最小值為yM;如圖⑥，當a<0時，最大值為yM,最小值為yN。類型一、線段最值例．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，B，C兩點的坐標分別為（3，0）和（0，3）．（1）直線BC的解析式為________．（2）求拋物線所對應的函數解析式．（3）①頂點D的坐標為________；②當0≤x≤4時，二次函數的最大值為_______，最小值為__________．（4）若點M是第一象限的拋物線上的點，過點M作x軸的垂線交BC于點N，求線段MN的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）①；②4，-5；（4）【分析】（1）設直線BC的解析式為，把點B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解；（2）把點B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解；（3）①將拋物線解析式化為頂點式，即可求解；②根據拋物線的頂點式，可得當時，有最大值4，再由二次函數的增減性，即可求解；（4）設點，則，可得，即可求解．【詳解】解：（1）設直線BC的解析式為，把點B（3，0）和C（0，3）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為；（2）把點B（3，0）和C（0，3）代入得：，解得：，∴拋物線所對應的函數解析式為；（3）①，∴點；②∵，∴當時，有最大值4，∴在直線的左側時，隨的增大而增大；在直線的右側時，隨的增大而減小，當時，，當時，，∴當0≤x≤4時，二次函數的最大值為4，最小值為-5；（4）設點，則，∴，∴當時，的值最大，最大值為．【點睛】本題主要考查了二次函數和一次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數和一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．【變式訓練1】．如圖，拋物線與軸交、兩點，直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．(1)求拋物線及直線AC的函數表達式；(2)若P點是線段AC上的一個動點，過P點作軸的平行線交拋物線于F點，求線段PF長度的最大值．【答案】(1)，y=﹣x﹣1(2)【分析】（1）將A、B的坐標代入拋物線中，易求出拋物線的解析式；將C點橫坐標代入拋物線的解析式中，即可求出C點的坐標，再由待定系數法可求出直線AC的解析式．（2）PE的長實際是直線AC與拋物線的函數值的差，可設P點的橫坐標為x，用x分別表示出P、E的縱坐標，即可得到關于PE的長、x的函數關系式，根據所得函數的性質即可求得PE的最大值．【詳解】（1）解：將A（﹣1，0），B（3，0）代入，得：，解得：，∴拋物線的解析式為．將C點的橫坐標x=2代入，得y=-3，∴C（2，-3）；設直線AC的解析式為，把點A（﹣1，0），C（2，-3）代入得：，解得：，∴直線AC的函數解析式是y=﹣x﹣1；（2）解：設P點的橫坐標為x（﹣1≤x≤2），則P（x，﹣x﹣1），F（x，）；∵P點在E點的上方，∴PF=（﹣x﹣1）﹣（）=，∴當x=時，PF的最大值為．【點睛】此題考查了一次函數、二次函數解析式的圖象和性質，利用數形結合思想解答是解題的關鍵．【變式訓練2】．如圖，在平面直角坐標系中，已知點B的坐標為，且，拋物線圖象經過A，B，C三點．(1)求A，C兩點的坐標；(2)求拋物線的解析式；(3)若點P是直線下方的拋物線上的一個動點，作于點D，當的值最大時，求此時點P的坐標及的最大值．【答案】(1)(2)(3)，的最大值為【分析】（1）根據，即可求解；（2）設拋物線的表達式為：，再把點代入，即可求解；（3）先求出直線的表達式，然后過點P作y軸的平行線交于點H，根據，可得，設點，則點，可得的長，再根據二次函數的性質，即可求解．【詳解】（1）解：∵點B的坐標為，∴，∵，∴，∴點；（2）解：設拋物線的表達式為：，把點代入得：，解得：，故拋物線的表達式為：；（3）解：∵直線過點，∴可設其函數表達式為：，將點代入得：解得：，故直線的表達式為：，過點P作y軸的平行線交于點H，∵，，∵軸，，∴，∵，∴，設點，則點，∴，∵，∴有最大值，當時，其最大值為，此時點．【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及一次函數、等腰直角三角形的性質、圖象的面積計算等，其中（3），用函數關系表示，是本題解題的關鍵【變式訓練3】．如圖，已知拋物線與一直線相交于兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．

(1)求拋物線及直線的函數表達式；(2)設點，求使的值最小時m的值；(3)若點P是拋物線上位于直線上方的一個動點，過點P作軸交于點Q，求的最大值．【答案】(1)拋物線為，直線AC為(2)(3)的最大值為．【分析】（1）根據待定系數法即可求得結果；（2）作直線，作點D關于直線的對稱點，得坐標為，連結交直線于點M，此時三點共線時，最小，即最小，利用待定系數法求出直線的函數關系式，進而求出求出m的值；（3）設，則，表示出，根據二次函數的性質即可求得的最大值．【詳解】（1）解：由拋物線過點得，解得，∴拋物線為；設直線為過點，得，解得，∴直線為；（2）解：∵，∴，令，則，解得或，即拋物線與x軸的另一個交點為，作直線，作點D關于直線的對稱點，得坐標為，如圖，

連接交直線于點M，此時三點共線時，最小，即最小，設直線的關系式為：，把點和代入得，得，，∴直線NM的函數關系式為：，當時，，∴；（3）解：如圖，

∵軸交于點Q，∴設，則，∴，∵，∴有最大值，最大值為．【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了二次函數待定系數法，利用函數關系式求最值，利用對稱知識求最值，正確地作出輔助線是解題的關鍵．類型二、周長最值例．如圖，經過原點的拋物線y=2x2+mx與軸交于另一點

(1)求的值和拋物線頂點的坐標；(2)在軸上求一點，使的周長最?。敬鸢浮?1)，頂點的坐標是(2)點的坐標為【分析】（1）將點代入拋物線解析式即可求解；（2），因為定值，故求的最小值即可．【詳解】（1）解：∵拋物線y=2x2+mx∴，解得，∴，∴拋物線頂點的坐標是.（2）解：∵，為定值∴當的值最小時，的周長最小如圖，作點關于軸對稱的點，連接交軸于點，點即為所求.

設直線的解析式為，將，代入，得，解得，∴直線的解析式為.∴點的坐標為.【點睛】本題考查拋物線與圖形周長問題．將“的周長最小”轉化為“的值最小”是解題關鍵．【變式訓練1】．如圖，在直角坐標系中，已知點，，頂點在坐標原點的拋物線經過點B．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上一動點P，設點P到x軸的距離為，點P到點A的距離為，試說明；(3)將點B繞點A順時針方向得到點C，拋物線上一動點P，當的周長有最小值時，求點P坐標．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）設拋物線的解析式：，把代入即可得到k的值即可；（2）設P點坐標為，過P作軸于F，軸于H，則有，又，，在中，利用勾股定理得到，既有結論；（3）過點B作軸于E，過點C作軸于D，易證，得到，，得到C點坐標為，則的周長，則的周長，要使最小，則C、P、H三點共線，P點坐標為．【詳解】（1）解：設拋物線的解析式：∵拋物線經過點，∴，解得，所以拋物線的解析式為：；（2）設P點坐標為，過P作軸于F，軸于H，如圖，∵點P在拋物線上，∴，∴，∵，，在中，，∴；（3）解：過點B作軸于E，過點C作軸于D，如圖，∵點B繞點A順時針方向旋轉得到點C，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴C點坐標為；作直線，過C點作的垂線，交拋物線于P點，則P即為所求的點．∵，，∴，∴的周長，要使最小，則C、P、H三點共線，∴此時P點的橫坐標為3，把代入，得到，即P點坐標為．【點睛】本題考查了點在拋物線上，點的橫縱坐標滿足二次函數的解析式和頂點在原點的二次函數的解析式為：；也考查了旋轉的性質、勾股定理以及兩點之間線段最短．【變式訓練2】．已知拋物線與x軸交于和B（3，0）兩點，且與y軸交于點C（0，3）．(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線頂點M坐標及四邊形ABMC的面積；(3)若點P是對稱軸上一點，求當△APC周長最短時，求點P的坐標．【答案】(1)(2)9(3)（1，2）【分析】（1）用待定系數法求函數的解析式即可；（2）根據，即可求解；（3）連接BC與對稱軸交于點P，連接AP，當B、P、C三點共線時，PA+PC有最小值，此時△APC周長最短，直線BC與對稱軸的交點即為所求點P．【詳解】（1）解：設拋物線解析式為，把點C（0，3）代入得：，解得：a=-1，∴拋物線解析式為；（2）解：，∴點M的坐標為（1，4），如圖，過點M作MN⊥x軸于點N，則點N的坐標為（1，0），∵B（3，0），∴BN=2，MN=4，ON=1，∵點，C（0，3），∴OC=3，OA=1，∴，，，∴；（3）解：連接BC與對稱軸交于點P，連接AP，∵A、B關于對稱軸對稱，∴AP=BP，∴PA+PC=PB+PC≥BC，即當B、P、C三點共線時，PA+PC有最小值，最小值為BC的長，此時△APC周長最短設直線BC的解析式為y=kx+n，∴，解得：，∴直線BC的解析式為，當x=1時，y=2，∴點P的坐標為（1，2）．【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，利用軸對稱求最短距離是解題的關鍵．【變式訓練3】．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．(1)求此拋物線的解析式和對稱軸．(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PAC的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；對稱軸為x＝(2)存在，P的坐標為（，﹣）【分析】（1）利用待定系數解答，即可求解；（2）連接PB，由拋物線的對稱性得：PA＝PB，可得【詳解】（1）解：設該拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，∵該拋物線過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得：解得：

∴此拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．∵拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣2＝﹣∴拋物線的對稱軸為x＝．（2）解：存在，理由如下：連接PB由拋物線的對稱性得：PA＝PB∴△PAC的周長PA+PC+AC＝PB+PC+AC，∴當B、P、C三點共線時，PB+PC最小，即當B、P、C三點共線時，△PAC的周長最小，設直線BC的解析式為y＝kx+m，將點B（4，0），點C（0，﹣2）代入，得，解得：，即直線BC的解析式為y＝x﹣2．令x＝，則有y＝﹣2＝﹣，即點P的坐標為（，﹣）．∴在此拋物線的對稱軸上存在點P，使△PAC的周長最小，此時點P的坐標為（，﹣）．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．類型三、面積最值例．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過、兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點是直線上方拋物線上的一動點，當面積最大時，請求出點的坐標；【答案】(1)(2)，【分析】本題考查了二次函數的總和運用，待定系數法求解析式，面積問題；（1）由一次函數的解析式可求出點和點坐標．再代入拋物線解析式中即可求出和的值，即得出拋物線解析式；（2）過作EG軸，交直線于，設，)，則，)，則可用表示出EG的長，最后利用三角形面積公式即可求出的值，再利用二次函數的性質即得出答案；【詳解】（1）當x=0時，，，當時，，解得：x=6，，把和代入拋物線中得：，解得：，拋物線的解析式為：；（2）如圖，過作EG軸，交直線于，設)，則)，，，，，有最大值，此時；【變式訓練1】．如圖，二次函數的圖象交軸于點、、交軸于點，點的坐標為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點、交拋物線于點．(1)求這個二次函數的解析式；(2)若點在線段上運動（點與點、點不重合），求面積的最大值，并求出此時點的坐標．【答案】(1)(2)面積最大值為，此時點【分析】本題考查了二次函數的解析式求解、二次函數與面積問題，掌握點的坐標－線段長度－圖形面積的轉化是解決第二問的關鍵．（1）由對稱軸可得點的坐標，再由二次函數的交點式即可求解；（2）設點，求出直線的解析式，可分別得出，根據即可建立函數關系式求解．【詳解】（1）解：∵點的坐標為，對稱軸是直線，∴點的坐標為，∴二次函數的解析式為：（2）解：令，則∴點的坐標為設直線的解析式為：，則，解得：，∴直線的解析式為：，設點，則∴∵，∴當時，面積最大，最大值為，此時點【變式訓練2】．如圖，二次函數的圖象交軸于，，交軸于．

(1)求這個二次函數的解析式的一般式；(2)若點為該二次函數圖象在第四象限內一個動點，求點運動過程中，四邊形面積的最大值，并求出此時點的坐標．【答案】(1)二次函數的解析式為；(2)當點的坐標為時，四邊形的面積最大，最大值為4．【分析】本題主要考查二次函數圖象與幾何圖形的綜合．（1）運用待定系數法解二次函數解析式即可求解；（2）如圖，連接，作軸交于點，可求出直線的解析式，設點的坐標為，的坐標為，用含的式子表示四邊形的面積，根據二次函數圖象的性質即可求解．【詳解】（1）解：∵二次函數的圖象交軸于點，，交軸于點，∴，解得，∴二次函數的解析式為；（2）解：如圖，連接，作軸交于點，

設直線的解析式為，將點和點的坐標代入，∴，解得，∴，∴設點的坐標為，的坐標為，∴，∴，∴當時，四邊形的面積取得最大值，此時，∴，∴當點的坐標為時，四邊形的面積最大，最大值為4．【變式訓練3】．在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸的交點為兩點，與軸交于點，頂點為，其對稱軸與軸交于點．(1)連接，試判斷的形狀，并說明理由；(2)點為第三象限內拋物線上一點，的面積記為，求的最大值及此時點的坐標；【答案】(1)是直角三角形，理由見解析(2)最大值為，此時點的坐標為【分析】（1）根據勾股定理的逆定理，即可求解；（2）過點P作軸交于點H，則，可得當最大時，S最大，根據題意可以得到直線的函數解析式，然后設點P的坐標為，則點H的坐標為，利用二次函數的性質可以得到的最大值，以及此時點P的坐標．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由如下：如圖，

∵，∴點D的坐標為，∵點，，∴，，，∴，∴是直角三角形；（2）解：如圖，過點P作軸交于點H，則，

∴當最大時，S最大，設直線的解析式為，把點，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，設點P的坐標為，則點H的坐標為，∴，∴，∴當時，有最大值，最大值為，此時點的坐標為．【點睛】本題考查了二次函數的性質、二次函數的最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和數形結合的思想解答．類型四、區(qū)間范圍內最值例．函數的最大值和最小值分別為（

）A．4和 B．5和 C．5和 D．和4【答案】C【分析】本題主要考查二次函數的最值，熟練掌握二次函數的圖像和性質是解題的關鍵．根據函數求出對稱軸，根據二次函數的性質進行計算即可．【詳解】解：中，對稱軸，故在對稱軸處求出最小值，當時，，當時，，時，，故選C．【變式訓練1】．已知二次函數，當時，y的最小值為，則a的值為（

）A．或4 B．4或 C．或4 D．或【答案】B【分析】本題考查二次函數的性質、二次函數的最值，熟練掌握二次函數的圖象及性質，根據二次函數的性質，在指定的范圍內準確求出函數的最小值是解題的關鍵．分兩種情況討論：當時，，解得；當時，在，，解得．【詳解】解：的對稱軸為直線x=2，頂點坐標為，當時，在，函數有最小值，∵y的最小值為，∴，∴；當時，在，當x=?1時，函數有最小值，∴，解得；綜上所述：a的值為4或，故選：B．【變式訓練2】．當時，二次函數的最小值為15，則的值為（

）A．或8 B．8 C．6 D．或6【答案】A【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征以及二次函數的最值，利用二次函數圖象上點的坐標特征找出當時的值是解題的關鍵．利用二次函數圖象上點的坐標特征找出當時的值，結合當時函數有最小值15，即可得出關于的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：當時，有，解得：，．當時，函數有最小值15，或，或，故選：A．【變式訓練3】．已知二次函數，當時，二次函數的最大值為，最小值為，若，則a的值為（

）A．1或 B．2或 C．2或 D．或【答案】D【分析】依據題意，由，故拋物線的對稱軸是直線，拋物線開口向下，又當時，二次函數的最大值為，最小值為，若，進而分類討論計算可以得解．【詳解】解：由題意，∵，∴拋物線的對稱軸是直線，拋物線開口向下．①當時，即，∵時，y隨x的增大而增大，∴當時，取最小值為；當時，取最大值為；又∵，∴∴，不合題意．②當時，∵時，y隨x的增大而減小，∴當時，取最大值為；當時，取最小值為；又∵，∴，∴，不合題意．③當時，即.∴當時，取最大值為若當時，取最小值為；∴，∴（舍去）或．當時，取最小值為；∴，∴，∴（舍去）或．綜上，或．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數的性質、二次函數的最值，一元二次方程的解法，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．1．如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是1,0，C點坐標是．(1)求拋物線的解析式；(2)求出點B的坐標以及的面積；(3)若點P為拋物線對稱軸上的一個動點，當周長最小時求出點P的坐標．【答案】(1)(2)，(3)【分析】本題主要考查二次函數與一次函數的綜合，掌握待定系數法是解題的關鍵．（1）將點A，C代入解析式中即可得到拋物線的解析式；（2）解即可求出B點坐標，的高是C點的縱坐標，計算結果即可．（3）因為的長度不變，要使周長最小，就是最小，而A，B關于對稱軸對稱，所以就是的最小值，此時D點就是與拋物線對稱軸的交點．先用待定系數法求出直線的解析式，再求出拋物線的對稱軸，即可求出交點．【詳解】（1）（1）將代入y=ax2+bx+3中得解得∴拋物線的解析式為（2）解：令解得∴點B的坐標．∴∴的面積．（3）設直線的解析式為將代入得解得∴直線AC的解析式為拋物線的對稱軸為因為的長度不變，要使周長最小，就是最小，而A，B關于對稱軸對稱，所以就是的最小值，此時P點就是與拋物線對稱軸的交點．當時，∴點P的坐標為∴拋物線的對稱軸上存在點，使的周長最小．2．如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，D為頂點，其中點B的坐標為（5，0），點D的坐標為（1，3）．(1)求該二次函數的表達式；(2)試問在該二次函數圖象上是否存在點G，使得的面積是的面積的？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，G的坐標為或．【分析】（1）依題意，利用二次函數的頂點式即可求．（2）先求線段所在的直線解析式，求利用點到直線的公式，即可求與的高，利用三角形面積公式即可求．【詳解】（1）依題意，設二次函數的解析式為將點B代入得，得∴二次函數的表達式為：（2）存在點G，當點G在x軸的上方時，設直線交x軸于P，設P（t，0），作于E，于F．由題意：，∵，∴∴，∴，解得，∴直線DG的解析式為，由，解得或，∴G．當點G在x軸下方時，如圖2所示，∵∴當點G在的延長線上時，存在點G使得，此時，的直線經過原點，設直線的解析式為，將點D代入得，故，則有整理得，，得（舍去），當時，，故點G為．綜上所述，點G的坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力，二次函數的圖象與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，要學會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．3．如圖，直線與拋物線相交于和，點是線段AB上異于、的動點，過點作軸于點，交拋物線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如果設點的坐標為，則點的坐標可表示為__________；(3)在（2）的條件下，請用含有的式子表示的長，并確定長度的最大值．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）已知在直線上，可求得的值，拋物線圖象上的、兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求得待定系數的值．（2）可設出點橫坐標，根據直線AB和拋物線的解析式表示出、的縱坐標，（3）可設出點橫坐標，根據直線AB和拋物線的解析式表示出、的縱坐標，進而得到關于與點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出的最大值．【詳解】（1）解：，在直線上，，，)，在拋物線上，∴解得∴拋物線的解析式為（2）設動點的坐標為，則點的坐標為，故答案為：（3）解：，∵，∴當時，線段最大為【點睛】此題主要考查了二次函數解析式的確定、二次函數最值的應用以及直角三角形的判定、函數圖象交點坐標的求法等知識.善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件.4．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像與軸交于，兩點，點的坐標為，與軸交于點C0,?3，點為拋物線的頂點(1)求這個二次函數的解析式；(2)求的面積【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數綜合：（1）利用待定系數法求解即可；（2）先求出點A和點D坐標，再根據解析求解即可．【詳解】（1）解：將，代入得，解得∴二次函數的解析式為：；（2）解：將配方得頂點式∴頂點，在中，當時，解得或，∴，∴，∴．5．如圖，拋物線經過，兩點，與軸交于點，為第一象限拋物線上的動點，連接，，，，與相交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)設的面積為，的面積為，當時，求點的坐標；【答案】(1)(2)或【分析】本題主要考查二次函數的綜合問題．（1）將，代入，利用待定系數法確定函數解析式；（2）根據圖形得到：，即．運用三角形的面積公式求得點的縱坐標，然后由二次函數圖像上點的坐標特征求得點的橫坐標即可；【詳解】（1）解：∵拋物線經過，兩點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）∵，∴∴．令，則，∴．

∵，，∴，，∴，∴．設，∴，∴或，∴或【點睛】本題主要考查二次函數的綜合問題，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式、二次函數的性質，以及三角形面積公式等知識點．6．綜合與探究：如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，P是拋物線上的一個動點，設點P的橫坐標為，過點P作軸交x軸于點D，交直線于點，連接，，，與直線交于點F．

(1)求A，B，C三點的坐標及直線的函數表達式；(2)當的面積等于面積的時，求點P的坐標；【答案】(1)，，，直線的函數表達式為(2)【分析】本題考查了二次函數的圖像與性質，待定系數法求解析式，兩點之間的距離，用到了三角形相似和方程思想，（1）對于函數，分別令，求，，三點的坐標，利用待定系數法求直線的函數表達式；（2）過作軸，由平行得到，根據相似的性質和得到，再結合兩點之間距離建立方程求點；【詳解】（1）解：當時，，，令得或，，，設直線為，代入得，，，，，直線的函數表達式為；（2）過作軸交于點，