江蘇省揚州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題

第一學(xué)期期末檢測高二數(shù)學(xué)一、單項選擇題（本大題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由傾斜角與斜率關(guān)系，結(jié)合傾斜角的范圍即可求解.【解析】由得，故傾斜角滿足為，，故.故選：C2.在等比數(shù)列中，，，則（）A.14 B.16 C.28 D.32【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到，求出答案.【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)可得，即，解得.故選：D3.某質(zhì)點沿直線運動，位移S（單位：）與時間（單位：）之間的關(guān)系為，則當(dāng)時該質(zhì)點的瞬時速度為（）A.10m/s B.11m/s C.13m/s D.28m/s【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【解析】因為，所以，所以，即當(dāng)時該質(zhì)點的瞬時速度為10m/s.故選：A4.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則實數(shù)m的值為（）A. B. C.3 D.9【答案】B【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程對比列方程即可得解.【解析】由題意雙曲線的一條漸近線方程為，所以，解得.故選：B.5.已知k為實數(shù)，則直線與圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相離 C.相切 D.無法確定【答案】A【解析】【分析】由直線過定點，利用點在圓內(nèi)即可得直線與圓相交.【解析】易知恒過定點，且易知點在點內(nèi)，所以直線與圓相交；故選：A6.已知M是橢圓上一動點，則該點到橢圓短軸端點的距離的最大值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)為橢圓上一動點，利用兩點間距離公式結(jié)合動點在橢圓上，由二次函數(shù)求最值即可.【解析】設(shè)為橢圓上一動點，由橢圓，不妨取橢圓短軸一端點B，則，由可得，則，由知，當(dāng)時，.故選：C7.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′x，若，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出原不等式的解集.【解析】構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)的定義域為，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由可得，即，解得.所以，不等式的解集為.故選：A.8.在中，已知D為邊BC上一點，，．若的最大值為2，則常數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令且，求得外接圓半徑為，若，結(jié)合已知得點在圓被分割的優(yōu)弧上運動，進(jìn)而確定的最大，只需與圓相切，綜合運用兩點距離、圓的性質(zhì)、正弦定理、三角恒等變換列方程求參數(shù).【解析】令且，即，則外接圓半徑為，若，的外接圓方程為，所以，令圓心為，即點在圓被分割的優(yōu)弧上運動，如下圖，要使的最大，只需與圓相切，由上易知，則，而，由圓的性質(zhì)有，中，，顯然，由，則，所以，可得（負(fù)值舍），故，而，所以，整理得，則.故選：D【小結(jié)】關(guān)鍵點小結(jié)：令且，得到點在圓被分割的優(yōu)弧上運動為關(guān)鍵.二、多項選擇題（本大題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．）9.已知為兩條不重合的直線，則下列說法中正確的有（）A.若斜率相等，則平行B.若平行，則的斜率相等C.若的斜率乘積等于，則垂直D.若垂直，則的斜率乘積等于．【答案】AC【解析】【分析】利用兩直線平行或垂直與斜率之間的關(guān)系逐項判斷即可得出結(jié)論.【解析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可知若斜率相等，則平行；若平行，當(dāng)都與軸平行時，的斜率不存在，即可得A正確，B錯誤；易知若的斜率乘積等于，則垂直；若垂直,當(dāng)與軸平行，與軸平行時，直線的斜率為，的斜率不存在，即可得C正確，D錯誤；故選：AC10.橢圓與雙曲線（）A.有相同的焦點 B.有相等的焦距C.有相同的對稱中心 D.可能存在相同的頂點【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線方程分別寫出焦點坐標(biāo)，求出焦距，對稱中心以及可能的頂點坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.【解析】由橢圓方程可知其焦點坐標(biāo)為，焦距為，關(guān)于原點成中心對稱，左、右頂點坐標(biāo)為；由雙曲線方程可知其焦點坐標(biāo)為，因此兩曲線焦點不同，即A錯誤；焦距為，可得B正確；雙曲線也關(guān)于原點成中心對稱，即C正確；當(dāng)時，雙曲線的左、右頂點坐標(biāo)為，即D正確；故選：BCD11.已知函數(shù)，下列說法中正確的有（）A.函數(shù)的極大值為B.函數(shù)在點處的切線方程為C.D.若曲線與曲線無交點，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可知A正確；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B正確；由的單調(diào)性可得，變形整理可判斷C正確；將兩曲線無交點等價轉(zhuǎn)換成方程無解，構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)單調(diào)性求得當(dāng)時不合題意，由時函數(shù)的最小值可解得，即可得D正確.【解析】易知函數(shù)的定義域為0,+∞，則，令可得，當(dāng)時，f′x>0，可得在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，f′x<0，可得在上單調(diào)遞減，對于A，由單調(diào)性可得在處取得極大值，即A正確；對于B，易知切線斜率為，所以切線方程為，即B正確；對于C，利用的單調(diào)性可得，即，也即，可得，所以，即C錯誤；對于D，若曲線y=fx與曲線無交點，即方程沒有實數(shù)根，也即無解；令，則，若，在0,+∞上恒成立，即在0,+∞上單調(diào)遞減；不妨取，則，易知，，此時在上有解，不合題意；若，令，解得；所以當(dāng)時，，此時在時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時在時單調(diào)遞增；此時在處取得極小值，也是最小值；即，依題意可得，所以即可；解得，即的取值范圍是，所以D正確.故選：ABD【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：在求解D選項時，關(guān)鍵在于將兩曲線無交點等價轉(zhuǎn)換成方程無解，構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)單調(diào)性分類討論以及時函數(shù)的單調(diào)性，即可解得的取值范圍.12.已知無窮數(shù)列an，．性質(zhì)，，；性質(zhì)，，，下列說法中正確的有（）A.若，則an具有性質(zhì)sB.若，則an具有性質(zhì)tC.若an具有性質(zhì)s，則D.若等比數(shù)列an既滿足性質(zhì)s又滿足性質(zhì)t，則其公比的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)性質(zhì)的定義可判斷選項A；根據(jù)性質(zhì)的定義可判斷選項B；根據(jù)性質(zhì)的定義可得，，利用累加法可證選項C；對于D，結(jié)合選項C，可得，由an滿足性質(zhì)，分和討論求出，再由an滿足性質(zhì)得，令，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可驗證滿足題意.【解析】對于A，因為，對，，即，所以an不具有性質(zhì)，故A錯誤；對于B，，對，，，，故B正確；對于C，若an具有性質(zhì)，令，則，即，，，又，所以，，故C正確；對于D，an是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，又，，若an滿足性質(zhì)，由選項C得，即，，，由，，得，當(dāng)時，得，即，對，又，，當(dāng)時，不妨設(shè)，則，，解得，，綜上，若an滿足性質(zhì)，則.若an滿足性質(zhì)，對，，，可得，即，令，則，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由an滿足性質(zhì)，，成立，所以等比數(shù)列an既滿足性質(zhì)s又滿足性質(zhì)t，則其公比的取值范圍為.故D正確.故選：BCD.【小結(jié)】思路小結(jié)：選項C，由題意可得，，累加法可得，結(jié)合，可判斷；選項D，由an滿足性質(zhì)，結(jié)合選項C得，分和討論恒成立求出，又由an滿足性質(zhì)，得，令，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可驗證滿足題意.三、填空題（本大題共4小題）13.寫出過點的被圓所截的弦長為的直線方程______．（寫出一條直線即可）【答案】（或，答案不唯一）【解析】【分析】由題意分滿足題意的直線斜率是否存在進(jìn)行討論，結(jié)合圓心到直線的距離公式、弦長公式進(jìn)行驗算或者求解即可.【解析】當(dāng)滿足題意的直線斜率不存在即直線方程為時，圓心到該直線的距離為，而圓的半徑為，此時該直線被圓所截的弦長為，故直線方程滿足題意；當(dāng)滿足題意的直線斜率存在時，不妨設(shè)直線方程為，圓心到該直線的距離為，而圓的半徑為，若該直線被圓所截弦長為，則有，解得，即此時滿足題意的直線方程為.故答案為：（或，答案不唯一）.14.曲率是衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)定義：若f′x是的導(dǎo)函數(shù)，是f′x的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=fx在點處的曲率．已知，則曲線y=fx在點1,f1處的曲率為【答案】2【解析】【分析】計算出f′x及后代入計算即可得【解析】，，故，，則.故答案為：.15.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《解析九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差會成等差數(shù)列．在楊輝之后，對這類高階等差數(shù)列的研究一般稱為“垛積術(shù)”"，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前5項分別為1，4，10，20，35，則該數(shù)列的第6項為______．【答案】56【解析】【分析】利用高階等差數(shù)列的定義，分別計算出前后兩項的差，再由等差數(shù)列定義即可求得第6項的值為56.【解析】由題意可知，所給數(shù)列為高階等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的第6項為，根據(jù)所給定義：用數(shù)列的后一項減去前一項得到一個新數(shù)列，再利用新數(shù)列的后一項減去前一項也得到一個新數(shù)列，即可得到一個首相為3公差為1的等差數(shù)列，計算規(guī)律如下所示：則需滿足，解得.該數(shù)列的第6項為56.故答案：5616.已知橢圓的左、右焦點分別為，過作斜率為的直線交橢圓C于A，B兩點，以AB為直徑的圓過，則橢圓C的離心率為______．【答案】##【解析】【分析】由題意聯(lián)立與，結(jié)合韋達(dá)定理與以及離心率公式和平方關(guān)系即可得解.【解析】由題意直線的斜率，且過點，不妨設(shè)，所以它的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得，化簡并整理得，所以，因為以AB為直徑的圓過，所以，所以，即，解得.故答案為：.【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：關(guān)鍵是由以AB為直徑的圓過得到，由此結(jié)合韋達(dá)定理以及離心率公式平方關(guān)系即可順利得解.四、解答題（本大題共6小題，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列定義求出公差和公比即可得出數(shù)列an和b（2）利用分組求和并根據(jù)等差等比數(shù)列前n項和公式即可得出數(shù)列的前n項和．【小問1解析】設(shè)等差數(shù)列an公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q由可得，．則有，．所以．所以．所以，．【小問2解析】，令；所以數(shù)列的前n項和為,即可得數(shù)列的前n項和.18.已知函數(shù)在處取得極小值5．（1）求實數(shù)a，b的值；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由題意得到，，求出，，檢驗后得到答案；（2）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到極值和最值情況，得到答案.【小問1解析】，因為在處取極小值5，所以，得，此時所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以在時取極小值，符合題意所以，．又，所以．【小問2解析】，所以列表如下：00,1122,33f

00

1↗極大值6↘極小值5↗10由于，故時，．19.已知數(shù)列an的首項，前n項和為，且．設(shè)．（1）求數(shù)列bn（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)求出，證明出bn是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，得到通項公式；（2）求出，裂項相消法求和得到，結(jié)合，得到答案.【小問1解析】在數(shù)列an中，①，②，由①-②得：，即，，所以，即，在①中令，得，即，而，故．則，即，又，所以，所以數(shù)列bn是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；【小問2解析】，，又因為，所以，所以.20.已知點，是圓上的一動點，點是線段的中點．（1）求點的軌跡方程；（2）已知、是直線上兩個動點，且．若恒為銳角，求線段中點的橫坐標(biāo)取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)點Px0,y0，由中點坐標(biāo)公式可得出，由已知可得出，將代入等式，化簡可得出點的軌跡方程；（2）設(shè)，則，分析可知以中點為圓心，為半徑的圓與圓外離，利用圓與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于的不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍，即為所求.【小問1解析】解：設(shè)Px0,y0，因為點是線段的中點，則，可得因為點在圓上，則，即，整理可得，所以點的軌跡方程為.【小問2解析】解：設(shè)，則，當(dāng)在圓上運動時，恒為銳角，等價于以中點為圓心，為半徑的圓與圓外離．且圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以，解得或，所以線段中點的橫坐標(biāo)取值范圍為．21.已知拋物線C頂點為坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過點．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若拋物線C開口向右，準(zhǔn)線l上兩點P，Q關(guān)于x軸對稱，直線PA交拋物線C于另一點M，直線QA交拋物線C于另一點N，證明：直線MN過定點．【答案】（1）或（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）方法1：設(shè)，，求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立解得點的坐標(biāo)，同理得點坐標(biāo)，從而求得直線的方程，可得證；方法2：設(shè)，Mx1,y1，Nx2,y2，與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，，求出直線的方程，從而得點縱坐標(biāo)，同理得點縱坐標(biāo)，由對稱性可得證.【小問1解析】設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2pxp>0將A坐標(biāo)代入，得，所以；將A坐標(biāo)代入，得，所以，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．【小問2解析】方法1：由拋物線C開口向右得標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線，設(shè)，，則，即，由，得，所以，所以，，所以，用代m，得，則，所以，化簡得所以，直線MN過定點．方法2：由拋物線C開口向右得標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線，直線MN不垂直于y軸，設(shè)，Mx1,y由得，所以，，所以，所以，令，則，同理．因為P，Q關(guān)于x軸對稱，所以，則．所以，直線MN過定點．【小結(jié)】方法小結(jié)：過定點問題的兩大類型及解法（1）動直線l過定點問題．解法：設(shè)動直線方程(斜率存在)為，由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動直線過定點；（2）動曲線C過定點問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點．22.已知函數(shù)．（是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若，，求不等式的解集；（2）若，證明：對任意，成立；（3）若，試討論函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．【答案】（1）（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)，時，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，再由結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出原不等式的解集；（2）當(dāng)時，，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論成立；（3）當(dāng)時，對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，當(dāng)時，直接利用單調(diào)性結(jié)合可得出結(jié)論；當(dāng)時，分析可知，函數(shù)存在唯一的極值點，對極值點與的大小進(jìn)行分類討論，利用