藝考生專題講義16 三角函數(shù)的圖象與性質

考點16三角函數(shù)的圖象與性質知識梳理一．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義域RR{x|x≠Q(mào)UOTE+kπ,k∈Z}值域[-1,1][-1,1]R單調(diào)性在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上單調(diào)遞增;在[2kπ+,2kπ+]QUOTE(k∈Z)上單調(diào)遞減在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上單調(diào)遞減在(kπ-,kπ+)QUOTE(k∈Z)上單調(diào)遞增最值x=2kπ+QUOTE(k∈Z)時,ymax=1;x=2kπ-QUOTE(k∈Z)時,ymin=-1x=2kπ(k∈Z)時,ymax=1;x=2kπ+π(k∈Z)時,ymin=-1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心(kπ,0)(k∈Z)對稱中心(kπ+,0)(k∈Z)對稱中心(,0)QUOTE(k∈Z)對稱軸l:x=kπ+QUOTE(k∈Z)對稱軸l:x=kπ(k∈Z)最小正周期2π2ππ二．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．(3)用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點如下表所示：xeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0三．函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑精講精練題型一周期【例1】下列函數(shù)中，最小正周期為的是（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知周期為，周期為，周期為，周期為.【方法總結】求三角函數(shù)最小正周期的常用方法公式法：將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝eq\f(2π,|ω|)求得；y＝Atan(ωx＋φ)＋B,(2)圖象法：利用變換的方法或作出函數(shù)的圖象，通過觀察得到最小正周期.【舉一反三】1．函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得函數(shù)的最小正周期為2．下列函數(shù)的最小正周期為π的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，函數(shù)的最小正周期是，A不符合題意；對于B，函數(shù)的最小正周期是，B符合題意；對于C，函數(shù)的最小正周期是，C不符合題意；對于D，函數(shù)的最小正周期是，D不符合題意.3．在函數(shù)①，②，③，④中，最小正周期為π的函數(shù)有（）A．①③ B．①④C．③④ D．②③【答案】D【解析】①由余弦函數(shù)的奇偶性可知，，最小值周期為；②由翻折變換可知，函數(shù)的圖象如圖：由圖知的最小值周期為；③由周期公式得，所以的最小值周期為；④的最小值周期為.4．函數(shù)是（）A．周期為π的奇函數(shù) B．周期為π的偶函數(shù)C．周期為2π的奇函數(shù) D．周期為2π的偶函數(shù)【答案】D【解析】因為，所以該函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù)．題型二對稱性【例2】已知函數(shù)，下列結論中錯誤的是（

）A．的最小正周期為 B．的圖像關于直線對稱C．在上單調(diào)遞增 D．的值域為[-1，1]【答案】C【分析】根據(jù)周期公式的計算即可判斷A，代入，取最大值，即可判斷B,根據(jù)整體范圍即可驗證C,D.【解析】的最小正周期為,故A正確，當時，，故的圖像關于直線對稱，B正確，當時，，故C錯誤，，故D正確.【方法總結】【舉一反三】1．函數(shù)的一條對稱軸是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，可得，令，可得.所以函數(shù)的一條對稱軸是.2．若函數(shù)的圖像關于軸對稱，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)的圖像關于軸對稱，所以當時，取得最值，所以，得，對于A，若，則，解得，不合題意，對于B，若，則，解得，不合題意，對于C，若，則，解得，題意，對于D，若，則，解得，不合題意，3．函數(shù)的圖象（

）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于直線對稱 D．關于直線對稱【答案】D【解析】由題設，由余弦函數(shù)的對稱中心為，令，得，，易知A、B錯誤；由余弦函數(shù)的對稱軸為，令，得，，當時，，易知C錯誤，D正確；4．下列關于函數(shù)的說法正確的是（

）A．圖象關于點成中心對稱 B．圖象關于直線成軸對稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】A【解析】當時，，所以是函數(shù)的中心對稱，所以A選項正確，B選項錯誤.C選項，注意到時，，而不存在，所以C選項錯誤.D選項，注意到時，，而不存在，所以D選項錯誤.題型三單調(diào)性【例3】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【方法總結】【舉一反三】1．函數(shù)在下列哪個區(qū)間上單調(diào)遞增（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，，得，令可得，的一個增區(qū)間為，結合選項可得C符合題意.2．下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得．所以在上不單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增．3．已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞減【答案】C【解析】依題意可知，，記，則，對于A選項，因為，所以，則在上單調(diào)遞增，故A錯誤；對于B選項，因為，所以，則在上不單調(diào)，故B錯誤；對于C選項，因為，所以，則在上單調(diào)遞減，故C正確；對于D選項，因為，所以，則在上不單調(diào)，故D錯誤.4．若函數(shù)在上恰有兩個零點，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由題意得：函數(shù)在上恰有兩個零點，，解得：①，又在上單調(diào)遞增，，解得：②，由①②式聯(lián)立可知的取值范圍是.故選：B題型四奇偶性【例4】函數(shù)是（

）A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)【答案】D【解析】，由于，且的定義域為全體實數(shù)，所以是奇函數(shù)，注意到它的周期為.故選：D.【方法總結】【舉一反三】1．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且最小正周期為1的函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對A，其最小正周期為，故A錯誤；對B，設，且，解得，其定義域為，關于原點對稱，其最小正周期為，故B正確；對C，其最小正周期為，故C錯誤；對D，設，定義域為，關于原點對稱，則，則其為偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B.2．下列函數(shù)中，周期是，又是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A.周期是，A錯誤；對于B.周期是，因為是偶函數(shù)，B錯誤；對于C.周期是，因為是偶函數(shù)，C錯誤；對于D.周期是，又是奇函數(shù)，D正確；故選：D.3．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】是奇函數(shù)，則只需，所以，所以時，.故選：D.4．函數(shù)向左平移個單位得到，若是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，在中，向左平移得到，所以，因為為偶函數(shù)，所以，又因為，所以，故選：D.題型五值域(最值)【例5】函數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．0【答案】C【解析】由題意可得，所以的最大值為．【舉一反三】1．函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)，因為，所以函數(shù)的值域為故選：B.2．函數(shù)的最大值和最小值分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，則當，即時，，當，即時，，所以所求最大值、最小值分別為.故選：A3．若函數(shù)的最大值為，則a的值等于（

）A．2 B． C．0 D．【答案】D【解析】由于，所以時，取最大值，故，所以，4．函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，∵，∴當時，函數(shù)取得最小值為，當時，函數(shù)取得最大值為2，故函數(shù)的值域為，故選：A．題型六圖象變換【例6】（1）把函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標伸長到原來的倍，最后把圖像向左平移個單位長度，則所得圖像表示的函數(shù)的解析式為A． B． C． D．【答案】B【解析】把函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的，所得圖像的函數(shù)解析式為，再把縱坐標伸長到原來的倍，所得圖像的函數(shù)解析式為，最后把圖像向左平移個單位長度，所得圖像的函數(shù)解析式為.故選B.（2）將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位后得到函數(shù)，若為偶函數(shù)，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位后，得到函數(shù)，因為函數(shù)是偶函數(shù)，．當時，．故選：A【方法總結】函數(shù)圖像平移異名化同名的公式：，.【舉一反三】1．要得到的圖像，只需將函數(shù)的圖像()A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】B【解析】，，需將函數(shù)的圖象向右平移個單位.故選：B.2．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象對應的函數(shù)為()A． B．C． D．【答案】B【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得函數(shù)解析式為.故選：B.3．(多選)把函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變)，再將圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說法不正確的是()A．g(x)在上單調(diào)遞增B．g(x)的圖象關于對稱C．g(x)的最小正周期為4πD．g(x)的圖象關于y軸對稱【答案】BCD【解析】把函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的得到的圖象，再將圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象．若，則，∴在上單調(diào)遞增，故A正確，不符合題意；由知，g(x)的圖象不關于點對稱，故B錯誤，符合題意；g(x)的最小正周期為π，故C錯誤，符合題意；∵，∴g(x)的圖象不關于y軸對稱，故D錯誤，符合題意．故選：BCD.4．將函數(shù)的圖像向左平移個單位后所得函數(shù)圖像關于原點中心對稱，則_________．【答案】【解析】解：根據(jù)題意得函數(shù)的圖像向左平移個單位后得到的函數(shù)解析式為：，由函數(shù)圖象關于原點中心對稱，故，即所以.故答案為：題型七求解析式【例7】函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】依題意，所以，由于圖象過，所以，由于，所以，所以.由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故選：D【方法總結】由函數(shù)的圖象求解析式的方法：（1）；（2）；（3）；（4）由圖象上的已知點求.【舉一反三】1．數(shù)的一段圖象如圖所示，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，函數(shù)的一段圖象，可得，所以，又由，解得.故選：B.2．(多選)函數(shù)(＞0，0＜＜)(xR)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則()A．函數(shù)的解析式為(xR)B．函數(shù)的一條對稱軸方程是C．函數(shù)的對稱中心是(，0)，kZD．函數(shù)是偶函數(shù)【答案】BD【解析】對于選項，由圖象可知周期為，所以，由圖象過，則，解得，又0＜＜，則，所以函數(shù).所以A選項不正確；對于B選項，當時，，為最小值，所以選項B正確；對于C選項，當時，，顯然對稱中