藝考生專題講義06 基本不等式

考點05基本不等式知識梳理一、基本不等式公式幾個重要結(jié)論(1)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab>0)．(3)eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)三．利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)精講精練題型一公式的直接運用【例1】已知，那么的最小值是()A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】根據(jù)題意，，則，當且僅當時等號成立，即的最小值是4；故選：C.【方法總結(jié)】利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.【舉一反三】1．已知正數(shù)，滿足，則的最小值為_______.【答案】【解析】因為.當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為12，故答案為：122．若x>0，y>0，且x＋y＝18，則eq\r(xy)的最大值為?！敬鸢浮?【解析】因為x＋y＝18，所以eq\r(xy)≤eq\f(x＋y,2)＝9，當且僅當x＝y(tǒng)＝9時，等號成立．3．設(shè)a>0，則9a＋eq\f(1,a)的最小值為()A．4 B．5C．6 D．7【答案】6【解析】因為a>0，所以9a＋eq\f(1,a)≥2eq\r(9a×\f(1,a))＝6，當且僅當9a＝eq\f(1,a)，即a＝eq\f(1,3)時，9a＋eq\f(1,a)取得最小值6.題型二配湊型【例2】(1)當時，則的最大值為()A． B． C． D．(2)函數(shù)的最小值是()A． B．C． D．(3)若正數(shù)a，b滿足，，且，則的最小值為()A．4 B．6 C．9 D．16(4)已知f(x)＝，則f(x)在上的最小值為()A． B．C．－1 D．0【答案】(1)D；(2)D；(3)C；(4)D【解析】(1)∵，，，當，即時等號成立，∴，即最大值為，故選：D.因為，所以，當且僅當，即時等號成立.所以函數(shù)的最小值是.故選：D.(3)由，可得，，所以當且僅當，即時等號成立.故選：C(4)f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，當且僅當x＝，即x＝1時取等號．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.故選：D【方法總結(jié)】一般兩個因式相加時，兩個因式未知數(shù)部分（不含系數(shù)）成為倒數(shù)關(guān)系一般兩個因式相乘時，兩個因式因式部分成相反數(shù)（含系數(shù)）關(guān)系【舉一反三】1．設(shè)，則函數(shù)的最大值為()A．2 B． C． D．【答案】D【解析】，，，當且僅當，即時，等號成立，即函數(shù)的最大值為.故選：D2．已知，則的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】A【解析】，若，則，時等號成立；若，則，時等號成立∴的取值范圍為，故選：A.3．若，則取最大值時的值是?！敬鸢浮俊窘馕觥浚?，由基本不等式得，當且僅當，即，時取等號，取最大值時的值是．4．若，都是正數(shù)，且，則的最大值為?！敬鸢浮?【解析】由題意，可知：，當且僅當即時取等號；題型三條件型【例3】(1)已知，，且，則的最小值為()．A． B． C． D．(2)若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是()A． B． C．5 D．6【答案】(1)B(2)C【解析】(1)∵，，且，∴，當且僅當，即時等號成立，∴的最小值為.故選：B．(2)由已知可得，則，所以的最小值，應(yīng)選答案C．【方法總結(jié)】問題與條件一個為整式，一個為分式，整式未知數(shù)部分配成分式分母相同【舉一反三】1．已知，則的最小值是()A． B．4 C． D．3【答案】D【解析】因為，，，所以，當且僅當，即，時取等號.故選：D2．若，，則的最小值為()A．2 B．6 C．9 D．3【答案】D【解析】因為，，所以．當且僅當，即，時取等號.故選：D.3．已知向量，且為正實數(shù)，若滿足，則的最小值為()A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，因為，為正實數(shù)，則，當且僅當，即時取等號.故選：A.4．設(shè)，為正實數(shù)，滿足，則目標函數(shù)的最小值為()A．4 B．32 C．16 D．0【答案】C【解析】由，為正實數(shù)，滿足，可得，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為為．故選：C題型四換元型【例4】已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為()A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【解析】由題意，得，．法一：，當且僅當，即，時，的最小值為5．法二：由，得，則，當且僅當，即，時，的最小值為5．故選：B．【舉一反三】1．已知，則的最小值為()A． B．8 C．9 D．【答案】C【解析】由可得，，可得則當且僅當，即時取得等號.故選：C2．已知，，且，則的最小值為______.【答案】【解析】由得，所以當且僅當，即且時取得等號.故答案為：3．若正實數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】由可得當且僅當時，等號成立.則的最小值為故答案為：題型五求參數(shù)【例5】已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為()A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，轉(zhuǎn)化成求的最小值，，所以．

故選：D．【舉一反三】1．若，則恒成立的一個充分條件是()A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，由基本不等式，當且僅當即時，取等號，要使得恒成立，則，所以恒成立的一個充分條件是故選：B2．已知，，且，若不等式恒成立，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴．∵，，∴(當且僅當，即時取等號)，∴．故選：D3．已知x>0，y>0，且x+3y=xy，若t2﹣t≤