藝考生專題講義06 基本不等式

考點(diǎn)05基本不等式知識(shí)梳理一、基本不等式公式幾個(gè)重要結(jié)論(1)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab>0)．(3)eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)三．利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)精講精練題型一公式的直接運(yùn)用【例1】已知，那么的最小值是()A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】根據(jù)題意，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值是4；故選：C.【方法總結(jié)】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.【舉一反三】1．已知正數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi)______.【答案】【解析】因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為12，故答案為：122．若x>0，y>0，且x＋y＝18，則eq\r(xy)的最大值為?！敬鸢浮?【解析】因?yàn)閤＋y＝18，所以eq\r(xy)≤eq\f(x＋y,2)＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時(shí)，等號(hào)成立．3．設(shè)a>0，則9a＋eq\f(1,a)的最小值為()A．4 B．5C．6 D．7【答案】6【解析】因?yàn)閍>0，所以9a＋eq\f(1,a)≥2eq\r(9a×\f(1,a))＝6，當(dāng)且僅當(dāng)9a＝eq\f(1,a)，即a＝eq\f(1,3)時(shí)，9a＋eq\f(1,a)取得最小值6.題型二配湊型【例2】(1)當(dāng)時(shí)，則的最大值為()A． B． C． D．(2)函數(shù)的最小值是()A． B．C． D．(3)若正數(shù)a，b滿足，，且，則的最小值為()A．4 B．6 C．9 D．16(4)已知f(x)＝，則f(x)在上的最小值為()A． B．C．－1 D．0【答案】(1)D；(2)D；(3)C；(4)D【解析】(1)∵，，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴，即最大值為，故選：D.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以函數(shù)的最小值是.故選：D.(3)由，可得，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：C(4)f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)取等號(hào)．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.故選：D【方法總結(jié)】一般兩個(gè)因式相加時(shí)，兩個(gè)因式未知數(shù)部分（不含系數(shù)）成為倒數(shù)關(guān)系一般兩個(gè)因式相乘時(shí)，兩個(gè)因式因式部分成相反數(shù)（含系數(shù)）關(guān)系【舉一反三】1．設(shè)，則函數(shù)的最大值為()A．2 B． C． D．【答案】D【解析】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即函數(shù)的最大值為.故選：D2．已知，則的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】A【解析】，若，則，時(shí)等號(hào)成立；若，則，時(shí)等號(hào)成立∴的取值范圍為，故選：A.3．若，則取最大值時(shí)的值是。【答案】【解析】，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，取最大值時(shí)的值是．4．若，都是正數(shù)，且，則的最大值為?！敬鸢浮?【解析】由題意，可知：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)；題型三條件型【例3】(1)已知，，且，則的最小值為()．A． B． C． D．(2)若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是()A． B． C．5 D．6【答案】(1)B(2)C【解析】(1)∵，，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為.故選：B．(2)由已知可得，則，所以的最小值，應(yīng)選答案C．【方法總結(jié)】問(wèn)題與條件一個(gè)為整式，一個(gè)為分式，整式未知數(shù)部分配成分式分母相同【舉一反三】1．已知，則的最小值是()A． B．4 C． D．3【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故選：D2．若，，則的最小值為()A．2 B．6 C．9 D．3【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以．?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故選：D.3．已知向量，且為正實(shí)數(shù)，若滿足，則的最小值為()A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，因?yàn)?，為正?shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：A.4．設(shè)，為正實(shí)數(shù)，滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為()A．4 B．32 C．16 D．0【答案】C【解析】由，為正實(shí)數(shù)，滿足，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為為．故選：C題型四換元型【例4】已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為()A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【解析】由題意，得，．法一：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，的最小值為5．法二：由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，的最小值為5．故選：B．【舉一反三】1．已知，則的最小值為()A． B．8 C．9 D．【答案】C【解析】由可得，，可得則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào).故選：C2．已知，，且，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】由得，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)取得等號(hào).故答案為：3．若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】由可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.則的最小值為故答案為：題型五求參數(shù)【例5】已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為()A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，轉(zhuǎn)化成求的最小值，，所以．

故選：D．【舉一反三】1．若，則恒成立的一個(gè)充分條件是()A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋苫静坏仁?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，要使得恒成立，則，所以恒成立的一個(gè)充分條件是故選：B2．已知，，且，若不等式恒成立，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴．∵，，∴(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào))，∴．故選：D3．已知x>0，y>0，且x+3y=xy，若t2﹣t≤