藝考生專題講義12 對數(shù)函數(shù)

考點12指數(shù)函數(shù)知識梳理1．對數(shù)的概念如果a(a>0，a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么數(shù)b叫作以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝b，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)．(1)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：ab＝NlogaN＝b；(2)負數(shù)和零沒有對數(shù)；(3)loga1＝0，logaa＝1．2.兩個重要對數(shù)(1)常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)叫常用對數(shù)，記作：lgN，常用的兩個恒等式：lg10＝1，lg2＋lg5＝1．(2)自然對數(shù)：以無理數(shù)e＝2.71828…為底的對數(shù)叫自然對數(shù)，記作：lnN，常用的兩個恒等式：lne＝1，lneq\f(1,e)＝－1．3．對數(shù)的性質與運算法則(1)對數(shù)的運算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(2)對數(shù)的重要公式①換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad.＝N；logaaN＝N(a>0且a≠1)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM.4．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質a>10<a<1圖象性質定義域：(0，＋∞)值域：R過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0當x>1時，y>0當0<x<1時，y<0當x>1時，y<0當0<x<1時，y>0是(0，＋∞)上的增函數(shù)是(0，＋∞)上的減函數(shù)5．反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線y＝x對稱．精講精練題型一對數(shù)函數(shù)的定義域【例1】(1)函數(shù)的定義域是()A． B． C． D．(2)已知的定義域為，那么的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】(1)A(2)A【解析】對于函數(shù)，有，解得，因此，函數(shù)的定義域是.故選：A.(2)由條件可知恒成立，即，解得：，所以的取值范圍是.故選：A【舉一反三】1已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為()A． B． C． D．【答案】D【解析】已知函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)，有，即，解得.因此，函數(shù)的定義域為.故選：D.2.函數(shù)的定義域為()A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可知解得且.所以函數(shù)的定義域為故選：D3．函數(shù)的定義域是()A． B．C． D．【答案】D【解析】由題可得，，解得．所以函數(shù)的定義域是．故選：D．題型二對數(shù)函數(shù)的單調性【例2】函數(shù)的單調遞增區(qū)間為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，函數(shù)應滿足：，解得：；而在上單增，在上單減；∵是減函數(shù)，∴的單調遞增區(qū)間為故選：D【例3】已知，，，則，，的大小關系是()A． B． C． D．【答案】A【解析】，即；，即；，即，所以.故選：A【方法總結】比較對數(shù)值大小的常見類型及解題方法常見類型解題方法底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調性直接進行判斷底數(shù)為同一字母需對底數(shù)進行分類討論底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進行比較底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1，0等中間量進行比較【舉一反三】1．函數(shù)的單調遞增區(qū)間是()A． B． C． D．【答案】D【解析】對于函數(shù)，，解得或，所以，函數(shù)的定義域為.內層函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，外層函數(shù)為增函數(shù)，因此，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.故選：D.2．已知，，，則()A． B．C． D．【答案】D【解析】，即；，即.所以.故選：D3．設函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，，可得是偶函數(shù)，所以等價于當時，因為單調遞增，單調遞減，所以為單調遞增函數(shù)，所以，即，整理可得，解得：或，所以使得成立的x的取值范圍是，故選：B4．已知，，，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，則，所以，故選：B5．已知，，，則下列關系正確的是()A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，，所以，故選：D．題型三對數(shù)函數(shù)的值域【例4】若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知，函數(shù)的值域包含，當時，符合題意；當時，則，解得；當時，顯然不符合題意，故實數(shù)的取值范圍是．故選：A.【例5】已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)a的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】B【解析】時，，又的值域為，則時，的值域包含，，解得：.故選：B【舉一反三】1．已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域包含，所以，存在，使得，即，而函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，，.故選：D.2．