藝考生專題講義46 定點、定值、定直線

考點46定點、定值、定直線知識梳理求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．二．直線定點問題的求解的基本思路如下：①假設直線方程，與橢圓方程聯立，整理為關于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關系，代入韋達定理可整理得到變量間的關系，從而化簡直線方程；④根據直線過定點的求解方法可求得結果.三．解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數法：參數解決定點問題的思路：①引進動點的坐標或動直線中的參數表示變化量，即確定題目中核心變量(通常為變量)；②利用條件找到過定點的曲線之間的關系，得到關于與的等式，再研究變化量與參數何時沒有關系，得出定點的坐標；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.精講精練題型一定值【例1】(2024·北京豐臺區(qū)·高三一模)已知橢圓長軸的兩個端點分別為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點，連接并延長交橢圓于點.(ⅰ)求證：直線的斜率之積為定值；(ⅱ)判斷三點是否共線，并說明理由.【答案】(1)；(2)(ⅰ)證明見解析；(ⅱ)是，理由見解析.【解析】(1)由題意得，所以，所以橢圓C的方程為.(2)(ⅰ)證明：設，因為在橢圓上，所以.因為直線的斜率為，直線的斜率為，所以直線的方程為.所以點的坐標為.所以直線的斜率為.所以直線的斜率之積為：.(ⅱ)三點共線.設直線斜率為，易得.由(ⅰ)可知直線斜率為，所以直線的方程為.聯立可得.解得點的縱坐標為，所以點的坐標為.所以，直線的斜率為，直線的斜率為.因為直線的斜率等于直線的斜率，所以三點共線.【舉一反三】1．(2024·陜西寶雞市·高三二模(文))已知橢圓：()的左?右焦點分別為，，離心率為，點是橢圓上一點，的周長為.(1)求橢圓的方程；(2)直線：與橢圓交于，兩點，且四邊形為平行四邊形，求證：的面積為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)因為的周長為，所以，即.又離心率，解得，，.∴橢圓的方程為.(2)設，，，將代入消去并整理得，則，，，∵四邊形為平行四邊形，∴，得，將點坐標代入橢圓方程得，點到直線的距離為，，∴平行四邊形的面積為.故平行四邊形的面積為定值為.2．(2024·四川遂寧市·高三二模(文))如圖，已知橢圓：的左焦點為，直線與橢圓交于，兩點，且時，.(1)求的值；(2)設線段，的延長線分別交橢圓于，兩點，當變化時，直線與直線的斜率之比是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，請說明理由.【答案】(1)；(2)為定值5.【解析】(1)設，則，由題意得焦點為所以，.當時，有.聯立得，，從而.將代入，得，所以，故.(2)由(1)知，，橢圓：.設：，代入橢圓：，得.而，即，從而.同理：，.從而.于是.所以，的斜率之比為定值5.題型二定點【例2】(2024·河南月考(文))已知橢圓的兩焦點為，，點在橢圓上，且的面積最大值為．(Ⅰ)求橢圓的標準方程；(Ⅱ)點為橢圓的右頂點，若不平行于坐標軸的直線與橢圓相交于兩點(均不是橢圓的右頂點)，且滿足，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析，定點坐標為．【解析】(Ⅰ)由橢圓的對稱性可知：當點落在橢圓的短軸的兩個端點時的面積最大，此時，解得：．由得：．橢圓的標準方程為．(Ⅱ)設，，直線的方程為，聯立得：，則，即，，．．橢圓的右頂點為，，，，即，．整理可得：，解得：，，(，均滿足)．當時，的方程為，直線過右頂點，與已知矛盾；當時，的方程為，過定點，直線過定點，定點坐標為【舉一反三】1．(2024·黑龍江大慶市·高三一模(理))已知焦點在軸上的橢圓：，短軸長為，橢圓左頂點到左焦點的距離為．(1)求橢圓的標準方程；(2)如圖，已知點，點是橢圓的右頂點，直線與橢圓交于不同的兩點，兩點都在軸上方，且．證明直線過定點，并求出該定點坐標．【答案】(1)；(2)證明見解析，.【解析】(1)由得，所以橢圓的標準方程為.(2)當直線斜率不存在時，直線與橢圓交于不同的兩點分布在軸兩側，不合題意.所以直線斜率存在，設直線的方程為.設、，由得，所以，.因為，所以，即，整理得化簡得，所以直線的方程為，所以直線過定點.2．(2024·全國高三月考(文))已知斜率為的的直線與橢圓交于點，線段中點為，直線在軸上的截距為橢圓的長軸長的倍.(1)求橢圓的方程；(2)若點都在橢圓上，且都經過橢圓的右焦點，設直線的斜率分別為，，線段的中點分別為，判斷直線是否過定點，若過定點.求出該定點，若不過定點，說明理由.【答案】(1)；(2)過定點，.【解析】設，則，且兩式相減得即，即，所以又直線的方程為，令，得所以，所以橢圓的方程為.(2)由題意得，直線的方程分別為，設，聯立，得，所以，則同理所以由得，所以直線的方程為整理得，所以直線過定點.題型三定直線【例3】(2024·深圳實驗學校高中部)如圖，已知拋物線直線交拋物線C于A，B兩點，O為坐標原點.(1)證明：；(2)設拋物線C在點A處的切線為，在點B處的切線為，證明：與的交點M在一定直線上.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】1)設，，把代入，得.由韋達定理得，..所以(2)，，故經過點的切線的方程為：，即，①同理，經過點的切線的方程為：，②，得.即點M在直線上.【舉一反三】1．(2024·浙江溫州市)已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線交拋物線于，兩點.(1)求拋物線的標準方程；(2)過點，分別作拋物線的切線，，點為直線，的交點.(i)求證：點在一條定直線上；(ii)求面積的取值范圍.【答案】(1)；(2)(i)證明見解析；(ii).【解析】(1)拋物線的焦點到準線的距離為2，可得，所以拋物線的標準方程為.(2)聯立方程組消去得，，∴，由得，，所以切線方程為切線方程為聯立直線?方程可解得，.(i)所以點的坐標為.所以點在定直線上(ii)點到直線的距離為.所以的面積為所以當時，有最小值.面積的取值范圍是.2．(2024·云南昆明市·昆明一中高三月考(理))已知點P是拋物線上的動點，且位于第一象限．圓，點P處的切線l與圓O交于不同兩點A，B，線段的中點為D，直線與過點P且垂直于x軸的直線交于點M．(1)求證：點M在定直線上；(2)設點F為拋物線C的焦點，切線l與y軸交于點N，求與面積比的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2).【解