2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)突破：射影定理模型（原卷版）

a百?m模型介紹

1.射影定理定義

①直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng).

②每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).

2.如圖在RtZ\A8C中，NA4c=90°,是斜邊8C上的高，有射影定理如下:

@AD2=BD'DC；

回注意：直角三角形斜邊上有高時(shí)，才能用射影

@AB2=BD'BC；AC2=CD-BC.

定理！

rim

目自例題精講

【例1】.在矩形A8C。中，8￡，47交4。于點(diǎn)￡,G為垂足.若CG=C￡)=1,則AC的長(zhǎng)

【例2】.如圖：二次函數(shù)y=a?+fot+2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，若

C.-1D.-2

【例3】.將BC沿弦8c折疊，交直徑AB于點(diǎn)。，若AO=4,DB=5,則8c的長(zhǎng)是（)

C.V65D,2^15

A變式訓(xùn)練

【變式1]如圖，在△ABC中，若AB=AC,BC=2BD=6,DELAC,則AC'EC的值是.

【變式2].如圖所示，在矩形ABC。中，AELBD于點(diǎn)E,對(duì)角線AC,BD交于0,且BE：

ED=1：3,AD=6cm,貝！JAE=cm.

【變式3】.如圖，若拋物線y=o?+a+c（a#0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

若/。1C=NOCB.則ac的值為（）

A.-1B.-2C.」D.」

23

【變式4】.如圖，正方形ABC。中，E為A3上一點(diǎn)，于點(diǎn)R已知。歹=5所=5,

過C、。、尸的。O與邊AD交于點(diǎn)G,則DG=.

【變式5】.如圖，在△ABC中，以AC邊為直徑的。。交BC于點(diǎn)。，過點(diǎn)2作8GLAC

交。。于點(diǎn)E、H,連A。、ED、EC.若BD=8,DC=6,則CE的長(zhǎng)為.

【變式6】.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，過點(diǎn)A作AELBC交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在

BC的延長(zhǎng)線上，且CP=BE,連接。足

(1)求證：四邊形AEFD是矩形；

(2)連接AC,若NAC￡)=90°，A￡=4,CF=2,求EC和AC的長(zhǎng).

BECF

實(shí)戰(zhàn)演練

1.冢度「在矩形48。中，DELAC,垂足為點(diǎn)E.sinZAZ)E=A,A￡)=4,則A8的長(zhǎng)

為(

2.如圖，在矩形ABCD中，BD=2M.對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作AC的垂

線，交AC于點(diǎn)E,AE=3CE.則。E?的值為()

B.2MD.473

3.如圖，在正方形A8C。內(nèi)，以。點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的弧與以8C為直徑的半圓交

于點(diǎn)P,延長(zhǎng)CP、AP交AB、8C于點(diǎn)M、N.若AB=2,則A尸等于()

D

B2^c.喑

-5D?華

4.如圖，點(diǎn)P是。。的直徑54延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC與。。相切于點(diǎn)C,CDLAB,垂足為

D,連接AC、BC、OC,那么下列結(jié)論中：①PC2=B4?PB；@PC-OC=OP-CD；③

=OD-OP；?OA(CP-CD)=AP'CD,正確的結(jié)論有()個(gè).

5.如圖，在RtZXABC中，ZA=90°,AB=AC=8遍，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在底邊

BC上，S.FE±BE,貝I|C「長(zhǎng).

6.如圖，在矩形ABCZ)中，點(diǎn)E在邊A。上，把△ABE沿直線BE翻折，得到△G3E,BG

的延長(zhǎng)線交C。于點(diǎn)?尸為C。的中點(diǎn)，連結(jié)CG,若點(diǎn)E,G,C在同一條直線上，F(xiàn)G

=1,則C。的長(zhǎng)為,

cos/QEC的值為.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=fcc+l分別交x軸，y軸于點(diǎn)A,B,過點(diǎn)B作8c

交x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作C￡)J_BC交y軸于點(diǎn)過點(diǎn)。作交x軸于點(diǎn)E,

過點(diǎn)E作EFLOE交y軸于點(diǎn)尸.已知點(diǎn)A恰好是線段EC的中點(diǎn)，那么線段“'的長(zhǎng)

8.如圖，在菱形ABC。中，過點(diǎn)。作。交對(duì)角線AC于點(diǎn)E,連接BE,點(diǎn)尸是線

段BE上一動(dòng)點(diǎn)，作尸關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)P,點(diǎn)。是AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸。，DQ.若

AE=14,CE=18,則。。-P。的最大值為.

B

9.在矩形ABC。中，點(diǎn)E為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在8C邊上時(shí),將△ABE沿AE翻折，使點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線BD上點(diǎn)尸處，

AE交BD于點(diǎn)G.

①如圖1,若BC=、RAB,求/AFD的度數(shù)；

②如圖2,當(dāng)AB=4,且EF=EC時(shí)，求BC的長(zhǎng).

(2)在②所得矩形ABC。中，將矩形ABC。沿AE進(jìn)行翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C,當(dāng)點(diǎn)

E,C,。三點(diǎn)共線時(shí)，求8E的長(zhǎng).

圖I圖2備用圖

10.如圖，已知。。的半徑為2,A8為直徑，CD為弦,A2與CD交于點(diǎn)M,將弧C￡)沿

著C。翻折后，點(diǎn)A與圓心。重合，延長(zhǎng)。4至P,使AP=O4,連接尸C.

(1)求證：PC是的切線；

(2)點(diǎn)G為弧AD8的中點(diǎn)，在PC延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)。，連接QG交A8于點(diǎn)E,交弧

BC于點(diǎn)與8、C不重合).問GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不

是，請(qǐng)說明理由.

11.如圖1,在正方形A3C。中，點(diǎn)石是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A,B不重合)，連

接CE,過點(diǎn)B作BFVCE于點(diǎn)G,交AD于點(diǎn)F.

(1)求證：△ABF四△BCE；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到A2中點(diǎn)時(shí)，連接。G,求證：DC=DG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點(diǎn)C作CMLDG于點(diǎn)H,分別交AD,8尸于點(diǎn)

12.在平面直角坐標(biāo)系中，己知A(-4