2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)突破：圓冪定理（原卷版）

大招

圓賽定理

D

模型探究

1.弦切角定理

（1）弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.

（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.

如圖所示，直線PT切圓。于點(diǎn)C,BC、AC為圓。的弦，則有（/PC4為

弦切角）.

2、相交弦定理

【結(jié)論1】如圖，中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P,半徑為r,則

①AP?BP=CP?DP,

②AP?BP=CP?DP=r2-OP2-

3、切割線定理

【結(jié)論2】如圖，PBC是。。的一條割線，PA是。。的一條切線，切

點(diǎn)為A,半徑為r,則①PA?=PB?PC,②PA?=PB?PC=PO2-r2

D

c

4、割線定理

【結(jié)論3】如圖，PAB、PCD是。。的兩條割線，半徑為r,則

①PA?PB=PC?PD

②PA?PB=PC?PD=OP2-r2

國口訣：從兩線交點(diǎn)處引出的共線線段的乘積相等

例題精講

考點(diǎn)一：相交弦定理

【例1].己知：如圖弦A2經(jīng)過。。的半徑0c的中點(diǎn)P,且AP=2,PB=3,則是O。的

C.272D.276

A變式訓(xùn)練

【變式17].如圖，。。的弦A3、CQ相交于點(diǎn)E,若CE：BE=2：3,貝UAE：DE=

【變式1-2].如圖，在。。的內(nèi)接四邊形ABC。中，AC±BD,CA=CB,過點(diǎn)A作AC的

垂線交CD的延長線于點(diǎn)E,連結(jié)3E.若cos/AC2=g，則理的值為

5CE一

考點(diǎn)二：弦切角定理

【例2】.如圖，割線必2過圓心。，PD切。0于D,C是BD上一點(diǎn)，ZPDA=20°,則

/C的度數(shù)是度.

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].如圖，已知NP=45°,角的一邊與。。相切于A點(diǎn)，另一邊交。。于2、C

兩點(diǎn)，OO的半徑為百5,AC=2A歷，則AB的長度為（

D.5

【變式2-2].如圖，3尸是。。的切線，弦。C與過切點(diǎn)的直徑AB交于點(diǎn)E,0c的延長線

和切線交于點(diǎn)P,連接AD,BC.若DE=DA=處良，BC=2,則線段CP的長為.

3-

A

考點(diǎn)三：切割線定理

【例3].如圖，直線抬過半圓的圓心O,交半圓于A,8兩點(diǎn)，PC切半圓與點(diǎn)C,已知

PC=3,PB=L則該半圓的半徑為.

A變式訓(xùn)練

【變式3-1].如圖，Rtz\ABC中，ZC=90°,。為AB上一點(diǎn)，以。為圓心，0A為半徑

作圓。與BC相切于點(diǎn)。，分別交AC、A8于E、F,若CD=2CE=4,則。。的直徑為

ED

A.1040C.5D.12

I"

【變式3-2].如圖，在四邊形ABC。中，以AB為直徑的半圓。經(jīng)過點(diǎn)C,D.AC與BD

相交于點(diǎn)E,CD2^CE-CA,分別延長AB,OC相交于點(diǎn)尸，PB=BO,8=2、歷.則

BO的長是.

【變式3-3].如圖，在RtaABC中，ZC=90°,BE平分NABC交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)。在

AB±.,DELEB.

(1)求證：AC是△BDE1的外接圓的切線；

(2)若AD=2%，AE=6圾，求3。的長.

考點(diǎn)四：割線定理

【例4].如圖，過點(diǎn)尸作。。的兩條割線分別交。。于點(diǎn)A、8和點(diǎn)C、D,已知外=3,

AB=PC=2,則PD的長是()

A變式訓(xùn)練

【變式4-1].如圖，P是圓。外的一點(diǎn)，點(diǎn)8、￡）在圓上，尸8、分別交圓。于點(diǎn)A、C,

【變式4-2].已知直角梯形ABCD的四條邊長分別為AB=2,BC=CD=10,AD=6,過8、

D兩點(diǎn)作圓，與BA的延長線交于點(diǎn)E,與CB的延長線交于點(diǎn)F,則BE-BF的值為.

1.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于AB為。。的直徑，CM切。。于點(diǎn)C,ZBCM=60°,

則NB的正切值是（）

C.返D.V3

2

2.如圖，從圓外一點(diǎn)P引圓的切線E4,點(diǎn)A為切點(diǎn)，割線尸。2交O。于點(diǎn)。、B.已知

B4=12,PD=8,則S“8P：SADAP=

3.如圖，在△ABC中，AB=ACfZC=72°,。0過AB兩點(diǎn)且與5C切于3,與AC交于

D,連接8。，若8C=遙-1,則AC=.

4.如圖，O。的直徑42=8,將弧2C沿弦BC折疊后與NABC的角平分線相切，貝^△48。

的面積為.

5.如圖，OO是△ABC的外接圓，/3AC=45°,AO_L8C于點(diǎn)。，延長AD交。。于點(diǎn)E,

若BD=4,CD=1,則。E的長是

A

6.如圖，已知AC=AB,AD=5,DB=4,ZA=2ZE.貝UC2>￡)E=

7.如圖：BE切O。于點(diǎn)B,CE交O。于C,D兩點(diǎn)，且交直徑于AB于點(diǎn)P,OXLCD于

H,OH=5,連接BC、OD,且BC=BE,NC=40°,劣弧2。的長是_.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。。經(jīng)過點(diǎn)A(4,3),點(diǎn)8與點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)8與原

點(diǎn)。重合，且A8=AC,AC與。。交于點(diǎn)。，延長AO與OO交于點(diǎn)￡,連接CE、DE

與了軸分別交于點(diǎn)G、F,則tan/Z)FO=,tan/A=

9.如圖，在△ABC中，AB=AC,。。是△ABC的外接圓，C。是。。的切線，C為切點(diǎn),

且CD=CB,連接AD,與O。交于點(diǎn)E.

(1)求證AD=AB；

(2)若AE=5,BC=6,求。。的半徑.

10.如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，C￡>是。。的直徑，ABLCZ)于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作。。

的切線交O的延長線于點(diǎn)E連接EB.

(1)求證：EB是OO的切線.

(2)若AC=4返，tanNAC￡>=4，求。0的半徑.

2

11.如圖，正方形ABC。內(nèi)接于OO,點(diǎn)E為A8的中點(diǎn)，連接CE交8。于點(diǎn)孔延長CE

交。。于點(diǎn)G,連接8G.

(1)求證：FB?=FE?FG；

(2)若AB=6,求尸8和EG的長.

12.如圖，。。的割線P8A交。。于A、B,PE切OO于E,NAPE的平分線和AE、BE

分別交于C、D,PE=4&,PB=4,ZAEB=6Qa.

(1)求證：APDESAPCA；

(2)試求以E4、PB的長為根的一元二次方程；

(3)求。。的面積.(答案保留it)

13.如圖，圓。上有A,B,C三點(diǎn)，AC是直徑，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E,

點(diǎn)尸在A8延長線上，且FC=FE.

(1)求證：CF是圓。的切線；

14.如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)P在AB的延長線上，點(diǎn)C在O。上，且

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)已知PC=20,尸8=10,點(diǎn)￡)是金的中點(diǎn)，DE1AC,垂足為E,DE交AB于點(diǎn)、F,

求斯的長.

15.已知：如圖，尸尸是O。的切線，PE=PF,A是O。上一點(diǎn)，直線AE、AP分別交O。

于2、D,直線。E交O。于C,連接8C,

(1)求證：PE//BC；

(2)將PE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E移到圓內(nèi)，并在OO上另選一點(diǎn)A,如圖2.其

他條件不變，在圖2中畫出完整的圖形.此時(shí)尸￡與3c是否仍然平行？證明你的結(jié)論.

圖1圖2

16.已知AABC是。。的內(nèi)接三角形，/BAC的平分線與。。相交于點(diǎn)。，連接。8.

(1)如圖①，設(shè)NABC的平分線與A。相交于點(diǎn)/,求證：BD=DI；

(2)如圖②，過點(diǎn)。作直線Z)E〃BC,求證：OE是。。的切線；

(3)如圖③，設(shè)弦BO,AC延長后交。。外一點(diǎn)凡過廠作AD的平行線交8c的延長

線于點(diǎn)G,過G作。。的切線G8(切點(diǎn)為X),求證：FG=HG.

圖①圖②圖③

17.【提出問題】小聰同學(xué)類比所學(xué)的“圓心角”與“圓周角”的概念，將頂點(diǎn)在圓內(nèi)（頂

點(diǎn)不在圓心）的角命名為圓內(nèi)角.如圖1中，ZAEC,即就是圓內(nèi)角，所對的分別

是々、BD,那么圓內(nèi)角的度數(shù)與所對弧的度數(shù)之間有什么關(guān)系呢？

【解決問題】小聰想到了將圓內(nèi)角轉(zhuǎn)化為學(xué)過的兩種角，即圓周角、圓心角，再進(jìn)一步

解決問題：

解：連接BC,OA,OC,OB,0D.

如圖2,在△BCE中，ZAEC=ZEBC+ZECB

,：ZEBC=