2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中必刷壓軸60題【含答案】

期中真題必刷壓軸60題（17個(gè)考點(diǎn)專練）

一.三角形的角平分線、中線和高（共1小題）

（2023秋?永興縣期中）

1.已知：NMON=40。，OE平分NMON,點(diǎn)、A、B、C分別是射線OM、OE.ON上的動(dòng)點(diǎn)

（/、B、C不與點(diǎn)。重合）連接NC交射線OE于點(diǎn)D設(shè)/CMC=x。.

圖1圖2

（1）如圖1,若AB〃ON,則

①448。的度數(shù)是_____；

②當(dāng)時(shí)，工=；當(dāng)時(shí)，x=.

（2）如圖2,若則是否存在這樣的x的值，使得3408中有兩個(gè)相等的角？若存

在，求出x的值；若不存在說明理由.

二.三角形三邊關(guān)系（共2小題）

（2023秋?乾安縣期中）

2.已知a,b,c是A42C的三邊長，a=4,b=6,設(shè)三角形的周長是x.

（1）直接寫出c及x的取值范圍；

（2）若x是小于18的偶數(shù)

①求c的長；

②判斷△/8C的形狀.

（2023秋?平果市期中）

3.已知A42C的三邊長分別為a,b,c.

（1）若a,b,c滿足（a-6）2+（6-c）2=0,試判斷A48C的形狀；

（2）若a=5,6=2,且c為整數(shù)，求A42C的周長的最大值及最小值.

三.三角形內(nèi)角和定理（共13小題）

（2023秋?東港區(qū)校級(jí)期中）

試卷第1頁，共24頁

4.如圖，在△/BC中，BD、BE分別是高和角平分線，點(diǎn)尸在C4的延長線上，F(xiàn)H1BE

交BD于G,交BC于H,下列結(jié)論：①NDBE=NF；②2/BEF=NBAF+/C；③

Z^=1（Z^C-ZC）；@/BGH=/ABD+/C,正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

（2023秋?鐘祥市校級(jí)期中）

5.在zMBC中，乙4=36。.當(dāng)NC=°,△N8C為等腰三角形.

（2023秋?乾安縣期中）

6.在△48C中，NABD=NBAD=2ND,NC是2540的平分線，交40邊上的高BE于點(diǎn)

F.

⑴求—N5E的度數(shù)；

⑵求/BFC的度數(shù).

（2023秋?昌邑區(qū)校級(jí)期中）

7.如圖，AF,分別是△NBC的高和角平分線，且Z8=36。，ZC=76°,求ND4F的度

數(shù).

試卷第2頁，共24頁

8.在△/8C中,

⑴如圖①，如果N/=60。，N4BC和的平分線相交于點(diǎn)尸，那么/APC=

(2)如圖②，//8C和乙48的平分線相交于點(diǎn)尸，試說明=

(3)如圖③，/C8D和Z8CE的平分線相交于點(diǎn)P.猜想/8PC與//的關(guān)系并證明.

(2023秋?裕安區(qū)校級(jí)期中)

9.試解答下列問題：

(1)在圖1我們稱之為“8字形”，請(qǐng)直接寫出//、NB、/C、之間的數(shù)量關(guān)系：

(2)仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)是個(gè)；

(3)在圖2中，若/。=40。，NB=36。,/D4B和48CD的平分線4P和CP相交于點(diǎn)尸，并

且與C。、A8分別相交于M、N.求，尸的度數(shù).

(2023秋?柳江區(qū)期中)

10.如圖所示，已知AD為△4BC的角平分線，為△N2C外角//CE的平分線，且與AD

交于點(diǎn)D；

⑴若N/8C=60。，ZDCE=70°,貝!JZD=—°；

⑵若4BC=70°,NN=80°,貝l|/D=°；

(3)當(dāng)/4BC和//CB在變化，而立/始終保持不變，則』。是否發(fā)生變化？為什么？由此

試卷第3頁，共24頁

你能得出什么結(jié)論？（用含//的式子表示一。）

（2023秋?花山區(qū)校級(jí)期中）

11.如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品一圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形

圖”，請(qǐng)發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：

（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究/8DC與NB、/C之間的關(guān)系，并說明理由；

（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：

①如圖2,把一塊三角尺屹放置在△NBC上，使三角尺的兩條直角邊打、AZ恰好經(jīng)過點(diǎn)

B、C,若N/=50。，直接寫出/ABX+//CY的結(jié)果；

②如圖3,DC平分/4DB,EC平分乙4EB,若ND4E=50。,403￡=130。，求NDCE的

度數(shù);

③如圖4,乙4皿,乙48的10等分線相交于點(diǎn)Gl、G〉…、G?,若4DC=140。,/夙2=77。,

求//的度數(shù).

（2023秋?東港區(qū)校級(jí)期中）

12.如圖①，NMON=80。，點(diǎn)/、8在NMON的兩條邊上運(yùn)動(dòng)，與/。加的平分

線交于點(diǎn)C.

（1）點(diǎn)4、B在運(yùn)動(dòng)過程中，ZACB的大小

會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求出N/C3的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說明理由.

（2）如圖②，是NM45的平分線，ND的反向延長線交3C的延長線于點(diǎn)E,點(diǎn)/、8在

試卷第4頁，共24頁

運(yùn)動(dòng)過程中，NE的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求出/￡的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說明理由.

⑶若NMON=n,請(qǐng)直接寫出44cB=；NE=.

（2023秋?廬江縣期中）

13.已知：如圖1,在aABC中，CD是高，若NA=NDCB.

圖I圖2

（1）試說明NACB=90。；

（2）如圖2,若AE是角平分線，AE、CD相交于點(diǎn)F.求證：ZCFE=ZCEF.

（2023秋?潼南區(qū)期中）

14.請(qǐng)完成下面的說明：

①②

⑴如圖①所示，△NBC的外角平分線交于點(diǎn)G,試說明NBGC=90。乙4

⑵如圖②所示，若ZUBC的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)I,試說明48/。=90。+；乙4

⑶根據(jù)（1）,（2）的結(jié)論，你能說出/8GC和4B/C的關(guān)系嗎？

（2023秋?啟東市期中）

15.引入概念1：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)

三角形互為“等角三角形”.

引入概念2：從不等邊三角形一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把

這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形.若分成的兩個(gè)小三角形中一個(gè)是滿足有兩個(gè)角相等的三角

形，另一個(gè)與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割

試卷第5頁，共24頁

c

c

圖1圖2

(1)如圖1,在必中，4cB=90。，CDLAB,請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)“等角三角形”.

①—；②_.

(2)如圖2,在△48C中，CD為角平分線，乙4=40。，乙8=60。.請(qǐng)你說明CD是的等

角分割線.

(3)在△/BC中，若乙4=40。，CD為的等角分割線，請(qǐng)你直接寫出所有可能的N8度

數(shù).

(2023秋?岳陽樓區(qū)校級(jí)期中)

16.如圖1至圖2,在△NBC中，NB/C=e,點(diǎn)。在邊/C所在直線上，作。E垂直于直

錢BC,垂足為點(diǎn)E；為△4BC的角平分線，/4DE的平分線交直線8c于點(diǎn)G.

①NABC=

②求證：AC1AB；

試卷第6頁，共24頁

(2)如圖2,當(dāng)a<90。，OG與反向延長線交于點(diǎn)b,用含。的代數(shù)式表示/BAD；

(3)當(dāng)點(diǎn)。在直線/C上移動(dòng)時(shí)，若射線DG與射線相交，設(shè)交點(diǎn)為N,直接寫出N9VD

與a的關(guān)系式.

四.三角形的外角性質(zhì)(共3小題)

(2023秋?漢陰縣期中)

17.如下幾個(gè)圖形是五角星和它的變形.

(1)圖①中是一個(gè)五角星，求NN+N8+NC+ND+NE的和.

(2)如果把圖①中的點(diǎn)/向下移到2E上，形成如圖②中五個(gè)星的和(即

ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE)有無變化？說明你的結(jié)論的正確性.

(3)如果把圖②中點(diǎn)C向上移動(dòng)到2。上，形成如圖③的圖形，則此時(shí)五個(gè)角的和(即

ZCAD+ZB+ZACE+ZD+ZE)有無變化？說明你的理由.

18.在△4BC中，4E平分NB4C,ZC>.

(1)如圖1,若ADJ.BC于點(diǎn)D,48=40。，ZC=60°,則NE/D的度數(shù)為二(只寫答案,

不寫解答過程)

(2)如圖1,根據(jù)(1)的解答過程，猜想并寫出NB、NC、NE4D之間的數(shù)量關(guān)系且說明

理由；

(3)小明繼續(xù)探究，如圖2在線段NE上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PDLBC于點(diǎn)。，請(qǐng)直接寫出

試卷第7頁，共24頁

NB、/C、NEPD之間的數(shù)量關(guān)系.

（2023春?廣陵區(qū)期中）

19.【概念認(rèn)識(shí)】

如圖①，在△/BC中，若3D,BE叫做N/2C的“三分線”.其中，BD

是“鄰43三分線”，BE是“鄰3c三分線”.

【問題解決】

（1）如圖②，在A/BC,44=80。，ZB=45°,若乙8的三分線2D交NC于點(diǎn)。，求/BDC的

度數(shù)；

（2）如圖③，在ZUBC中，BP、CP分別是248C鄰8c三分線和/NC3鄰8c三分線，

ZBPC=140°,求乙4的度數(shù)；

【延伸推廣】

⑶在△4BC中，44。是ZUBC的外角，28的三分線所在的直線與的三分線所在

的直線交于點(diǎn)P若/4=加°（加>54）,/3=54。直接寫出N8PC的度數(shù).（用含加的代數(shù)式

表示）

五.全等三角形的性質(zhì)（共1小題）

（2022秋?朝陽區(qū)校級(jí)期中）

20.如圖①，在Rt/\48C中，ZC=90°,BC=9cm,AC=12cm,42=15cm,現(xiàn)有一動(dòng)

點(diǎn)、P,從點(diǎn)/出發(fā)，沿著三角形的邊NC->C8->8/運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)N停止，速度為3cm/s,

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為由.

試卷第8頁，共24頁

⑴如圖①，當(dāng)/=時(shí)，△/PC的面積等于△ABC面積的一半；

（2）如圖②，立）EF中,ZE=90°,DE=4cm,DF=5cm,ND=ZA.在△/BC的邊上,

若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。，與點(diǎn)尸同時(shí)從點(diǎn)N出發(fā)，沿著邊43fBCfC4運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)4停

止.在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻，恰好△/尸。與AZ）￡F全等，求點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度.

六.全等三角形的判定（共1小題）

（2023秋?東湖區(qū)期中）

21.如圖，ZUBC中，ZACB=90°,AC=6cm,5C=8cm,直線/經(jīng)過點(diǎn)C且與邊48相

交.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿4-Cf3路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)沿Cf4

路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)尸和點(diǎn)。的速度分別為lcm/s和2cm/s,兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)并開始計(jì)時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束.在某時(shí)刻分別過點(diǎn)P和點(diǎn)。作尸E，/于點(diǎn)E,。尸，/于點(diǎn)尸，

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，則當(dāng)/=_秒時(shí)，APEC與△QFC全等.

七.全等三角形的判定與性質(zhì)（共18小題）

（2023秋?臨湘市期中）

22.如圖，在△NBC中，48=/C,點(diǎn)。為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)3,C重合），連接

AD,作乙4?！?=40。，交線段/C于點(diǎn)E,下列結(jié)論：①NDEC=NBDA；②若

AB=DC,則③當(dāng)DE2/C時(shí)，則。為BC中點(diǎn)；④當(dāng)△NOE為等腰三角形時(shí),

4840=40。；其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

（2023秋?慈溪市校級(jí)期中）

23.添加輔助線是很多同學(xué)感覺比較困難的事情.如圖1,在RtZUBC中，ZABC=90°,

2

5。是高，E是ZX/aC外一點(diǎn)，BE-BA,ZE=ZC,DE=—BD,AD=16,BD=20,

試卷第9頁，共24頁

求△8DE的面積.同學(xué)們可以先思考一下…，小穎思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：在BD

上截取=（如圖2）.同學(xué)們，根據(jù)小穎的提示，聰明的你可以求得△3DE的面積

為.

圖1圖2

（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）

24.如圖，在AZBC中，N/C5=90。，點(diǎn)。在邊上，AD^AC,點(diǎn)￡1在8C邊上,

CE=BD,過點(diǎn)E作跖/C。交于點(diǎn)尸，若AF=2,BC=8,則。尸的長為

（2023秋?南陵縣校級(jí)期中）

25.如圖，在△4BC中，為8c邊的中線，￡為AD上一點(diǎn)，連接BE并延長交NC于點(diǎn)

F,若ZAEF=NFAE,BE=4,EF=1.6,則CF的長為.

（2023秋?船營區(qū)校級(jí)期中）

26.在△4BC中，AB=AC,。是邊8c上一點(diǎn)，點(diǎn)E在4D的右側(cè)，線段4E=AD,且

NDAE=ABAC=a.

試卷第10頁，共24頁

￡

Ikii圖2

（1）如圖1,若c=60。，連接CE,DE.則/4DE的度數(shù)為」5。與C￡的數(shù)量關(guān)系是

（2）如圖2,若a=90。，連接EC、BE.試判斷ABCE的形狀，并說明理由.

（2023秋?乾安縣期中）

27.如圖，己知?！旯?2,垂足為E,DF1AC,垂足為尸，若AE=CF,DA=DC.求

證：4D是/B/C的平分線.

（2022秋?吉林期中）

28.如圖，在△4BC中，AB=AC,點(diǎn)在邊8C上（點(diǎn)。不與點(diǎn)8,點(diǎn)C重合），作

ZADE=NB,DE交邊AC于點(diǎn)E.

⑴求證：/BAD=NCDE；

⑵若DC=AB,求證：AABD=ADCE；

（3）當(dāng)48=50。，且△/￡）￡是等腰三角形時(shí)，直接寫出/3ZM的度數(shù).

（2023秋?江干區(qū)校級(jí)期中）

29.在4DEF中，DE=DF,點(diǎn)B在EF邊上，且NEBD=60。，C是射線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

（不與點(diǎn)B重合，且BC我BE）,在射線BE上截取BA=BC,連接AC.

（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段BD上時(shí)，

①若點(diǎn)C與點(diǎn)D重合,請(qǐng)根據(jù)題意補(bǔ)全圖1,并直接寫出線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系為；

②如圖2,若點(diǎn)C不與點(diǎn)D重合，請(qǐng)證明AE=BF+CD；

試卷第11頁，共24頁

（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段BD的延長線上時(shí)，用等式表示線段AE,BF,CD之間的數(shù)量關(guān)系（直

接寫出結(jié)果，不需要證明）.

（2023春?三水區(qū)校級(jí)期中）

30.如圖：已知4。,0）、8（0,6）,且a、b滿足（a-2）2+|26-4|=0.

（2）如圖2,點(diǎn)C在線段上（不與/、2重合）移動(dòng)，ABVBD,且/COZ>=45。，猜想

線段NC、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；

⑶如圖3,若尸為x軸上異于原點(diǎn)。和點(diǎn)/的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸B,將線段尸B繞點(diǎn)尸順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90°至PE,直線/￡交y軸于點(diǎn)0,當(dāng)P點(diǎn)在x軸上移動(dòng)時(shí)，請(qǐng)判斷：線段8E和線

段8。中，哪條線段長為定值，并求出該定值.

（2023秋?壺關(guān)縣期中）

31.在中，乙4c5=90。，AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且4DLWN于。，BELMN于

試卷第12頁，共24頁

M

MD

B

圖1

圖2

N

⑴當(dāng)直線九W繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：?ADC=ACEB.②DE=AD+BE；

(2)當(dāng)直線"N繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明;

若不成立，說明理由.

(2023秋?海門市期中)

32.(1)如圖①，在四邊形中，AB=AD,NB=ND=90。,E,尸分別是邊BC,CD

上的點(diǎn)，且.請(qǐng)直接寫出線段M,BE,FD之間的數(shù)量關(guān)系：一；

(2)如圖②，在四邊形48co中，AB=AD,ZS+ZZ>=180°,E,尸分別是邊BC,CD上

的點(diǎn)，且=(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過程；

2

(3)在四邊形中，AB=AD,/8+/。=180。，E,尸分別是邊BC,CD所在直線上

的點(diǎn)，且=；NB4D.請(qǐng)直接寫出線段斯，BE,FD之間的數(shù)量關(guān)系：

圖①圖②備用圖備用圖

(2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期中)

33.如圖，在四邊形中，AD=BC=4,AB=CD,8。=6,點(diǎn)￡從。點(diǎn)出發(fā)，以每

秒1個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)廠從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿

Cf8fC勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)8出發(fā)沿AD向點(diǎn)。勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一

個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

試卷第13頁，共24頁

(1)試證明：AD//BC.

（2）在移動(dòng)過程中，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取某個(gè)值時(shí)，有△DEG與ABPG全等的情況

出現(xiàn)，請(qǐng)你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取哪些值時(shí)，ADEG與ABFG全等.

（2023秋?湖北期中）

點(diǎn)。是8c上一點(diǎn)，ZADE=NC.

圖1圖2

(1)如圖1,若NC=90。，ZDBE=135°,求證:

①NEDB=N4

@DA=DE

⑵如圖2,請(qǐng)直接寫出NDBE與/C之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，總有D4=O￡成立.

（2023秋?蓬江區(qū)校級(jí)期中）

35.如圖所示，已知，在中，ZACB=90°,/C=BC,直線經(jīng)過點(diǎn)C,且

于BN1MN千N.

⑴當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：MN=AM+BN；

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明;

若不成立，寫出線段/M、與之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

試卷第14頁，共24頁

（2023秋?涼州區(qū)校級(jí)期中）

36.【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,是△4BC的中線，延長ND至點(diǎn)￡,使瓦＞=/。，連接

BE,寫出圖中全等的兩個(gè)三角形

【理解與應(yīng)用】（2）填空：如圖2,即是底下的中線，若E尸=5,DE=3,設(shè)EP=x,

則%的取值范圍是

（3）已知：如圖3,4D是△NBC的中線，NBAC=ZACB,點(diǎn)Q在的延長線上，

QC=BC,求證：AQ-2AD.

（2023秋?鼓樓區(qū)期中）

37.如圖，ZsABC和ADEC都是等腰直角三角形，zACB=zDCE=90°,E在線段AC上，連

接AD,BE的延長線交AD于F.

（1）猜想線段BE、AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系：_（不必證明）；

（2）當(dāng)點(diǎn)E為aABC內(nèi)部一點(diǎn)時(shí)，使點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在AC的兩側(cè)，其它條件不變.

①請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形；

②（1）中結(jié)論成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

（2023秋?商丘期中）

38.已知△ABC的高所在直線與高3E所在直線相交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作尸G〃臺(tái)C,交直

線于點(diǎn)G.

試卷第15頁，共24頁

A

⑴如圖，若ZUBC為銳角三角形，43c=45。.

求證：①△8DF名△/OC,@FG+DC=AD.

（2）如圖，當(dāng)249C為135。時(shí)，寫出尸G,DC,4D之間的等量關(guān)系，說明相應(yīng)理由.

（2023秋?越秀區(qū)期中）

39.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，/（一2,0）,2（0,3）,C（3,0）,。（0,2）.

（1）求證：48=8且么8_1。。；

⑵以/為直角頂點(diǎn)在第二象限內(nèi)作等腰直角三角形/BE,過點(diǎn)E作彷，x軸于點(diǎn)尸，求點(diǎn)

F的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)P為了軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以/尸為直角邊作等腰直角三角形幺尸。，ZAPQ=90°,

。尺，工軸于點(diǎn)心當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，。尸-跳的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，

請(qǐng)說明理由.

八.全等三角形的應(yīng)用（共1小題）

（2023秋?乾安縣期中）

40.如圖，一條河流九W旁邊有兩個(gè)村莊A,B,AD工MN于D.由于有山峰阻擋，村莊B

到河邊的距離不能直接測量，河邊恰好有一個(gè)地點(diǎn)C能到達(dá)A,B兩個(gè)村莊，與A,B

的連線夾角為90。，且與A,B的距離也相等，測量C,。的距離為150m,請(qǐng)求出村莊B

到河邊的距離.

試卷第16頁，共24頁

MDCN

九.等腰三角形的性質(zhì)（共2小題）

（2023秋?榆樹市校級(jí)期中）

41.用一條長為18cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形.

（1）如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少？

（2）能圍成有一邊長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？

（2023秋?濱海新區(qū)校級(jí)期中）

42.如圖，在A48C中，LABC=2/-ACB,8。為―臺(tái)。的角平分線；

（1）若AB=BD,則乙4的度數(shù)為。（直接寫出結(jié)果）；

（2）如圖1,若E為線段上一點(diǎn)，ADEC=U：求證：AB=EC.

（3）如圖2,若E為線段8。上一點(diǎn)，乙DEC=U,求證：AB=EC.

一十.等腰三角形的判定（共1小題）

（2022秋?長春校級(jí)期中）

43.如圖，在△NBC中，NB=9Q°,AB=16cm,5C=12cm,AC=20cm,P、Q^AABC

邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)尸從點(diǎn)/開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm,點(diǎn)。從點(diǎn)3

開始沿3-CTN方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm,它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為f秒.

備用圖

（1）BP=（用f的代數(shù)式表示）.

試卷第17頁，共24頁

(2)當(dāng)點(diǎn)0在邊8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)一秒后，△「如是等腰三角形.

(3)當(dāng)點(diǎn)0在邊C/上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，△BC。是以BC或8。為底的等腰三角形？

一十一.等腰三角形的判定與性質(zhì)(共4小題)

(2022秋?跳北區(qū)校級(jí)期中)

44.如圖，在AZBC中，//8C和N/C8的平分線交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作EF〃8c交48于

E,交NC于E,若3￡=10,CF=3,求線段斯的長.

45.(1)如圖①，在△ABC中，ZABC,的平分線相交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作

DE//BC,分別交N5,NC于點(diǎn)D,E.求證：DE=DB+EC.

(2)如圖②，若尸是24BC的平分線和△4BC的外角44CG的平分線的交點(diǎn)，(1)中的

其他條件不變，請(qǐng)猜想線段DE,。。,EC之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

(2023秋?雙臺(tái)子區(qū)校級(jí)期中)

46.如圖，在△/8C中，AB=AC,點(diǎn)。，E,尸分別在邊上，且=

BD=CE.

(1)求證：即是等腰三角形；

(2)求證：Z5=ZDEF；

⑶當(dāng)乙4=40。時(shí)，求4DE尸的度數(shù).

試卷第18頁，共24頁

（2023秋?廣州期中）

47.如圖所示，在A45C中，乙BAC=15°,乙4cB=35。,乙42c的平分線AD交邊/C于點(diǎn)

D.

（1）求證：為等腰三角形；

（2）若NA4c的平分線/￡交邊3C于點(diǎn)￡,如下圖所示，求證：BD+AD^AB+BE,

（3）若乙B/C外角的平分線/E交C5延長線于點(diǎn)E,請(qǐng)你探究（2）中的結(jié)論是否仍然成立?

若不成立，寫出正確的結(jié)論并證明.

一十二.等邊三角形的性質(zhì)（共3小題）

（2023秋?西陵區(qū)校級(jí)期中）

48.如圖1,點(diǎn)尸、。分別是邊長為4cm的等邊△N2C邊48、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸從頂點(diǎn)A,

點(diǎn)0從頂點(diǎn)3同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為lcm/s.

⑴連接/。、CP交于點(diǎn)”，則在尸、。運(yùn)動(dòng)的過程中，變化嗎？若變化，則說明理

由，若不變，則求出它的度數(shù)；

試卷第19頁，共24頁

（2）試求何時(shí)APBQ是直角三角形？

（3）如圖2,若點(diǎn)P、。在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線43、BC上運(yùn)動(dòng)，直線“。、CP交點(diǎn)為

M,則NCMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

（2023秋?武江區(qū)校級(jí)期中）

49.如圖，在等邊△ABC中，/8=/C=8C=10厘米，Z>C=4厘米.如果點(diǎn)〃■以3厘米/

秒的速度運(yùn)動(dòng).

⑴如果點(diǎn)M在線段C8上由點(diǎn)。向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在線段區(qū)4上由B點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).它們同

時(shí)出發(fā)，若點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)速度相等.經(jīng)過2秒后，ABMN和△COM是否全

等？請(qǐng)說明理由.

（2）在（1）的條件下，當(dāng)兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，九W是一個(gè)直角三角形？

（3）若點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度不相等，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)M以原來的運(yùn)動(dòng)速

度從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，都順時(shí)針沿△4BC三邊運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過25秒點(diǎn)M與點(diǎn)N第一次相遇，請(qǐng)直

接寫出點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度是多少厘米/秒？

（2023秋?承德期中）

50.已知：如圖，AABC是邊長為3c加的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、0同時(shí)從48兩點(diǎn)出發(fā)，分

別沿/8、8C方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1c加/s,當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、。兩點(diǎn)停止

運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間《s）,當(dāng)/為何值時(shí)，APB。是直角三角形？

一十三.等邊三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）

（2023秋?寧江區(qū)校級(jí)期中）

51.如圖，點(diǎn)。是等邊△NBC內(nèi)一點(diǎn)，。是△/BC外的一點(diǎn)，乙408=110。，ZBOC=a,

△BOC知ADC,ZOCD=60°,連接

試卷第20頁，共24頁

(1)求證：A。。是等邊三角形；

⑵當(dāng)a=150。時(shí)，試判斷△4。。的形狀，并說明理由;

(3)當(dāng)々=時(shí)，是等腰三角形.

(2023秋?二道區(qū)校級(jí)期中)

52.如圖，AA8C是等邊三角形.

(1)如圖①，DE//BC,分別交48、/C于點(diǎn)D、E.求證：AADE是等邊三角形；

⑵如圖②，A4DE仍是等邊三角形，點(diǎn)8在的延長線上，連接CE,貝吐8EC是多少度,

試判斷線段/￡、BE、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2023秋?朔州期中)

53.如圖，己知△4BC和ACDE均為等邊三角形，且點(diǎn)3、C、。在同一條直線上，連接

AD,BE,交CE和NC分別于G、“點(diǎn)，連接G”.

⑴求證：AD=BE；

(2)求證：ABCH咨A4CG；

(3)試猜想：ACG”是什么特殊的三角形，并加以說明.

一十四.含30度角的直角三角形(共1小題)

(2023秋?船營區(qū)校級(jí)期中)

54.如圖，在△ABC中，N4cB=90°,44=30。，48的垂直平分線分別交48和NC于點(diǎn)

試卷第21頁，共24頁

D,E.

(1)求證：AE=2CE；

(2)連接CO,請(qǐng)判斷△BCD的形狀，并說明理由.

一十五.多邊形內(nèi)角與外角(共3小題)

(2023秋?前郭縣期中)

55.在四邊形/BCD中，/比1。的平分線交邊3c于點(diǎn)E,N4DC的平分線交直線/￡于

點(diǎn)。.

⑴當(dāng)點(diǎn)。在四邊形的內(nèi)部時(shí).

①如圖①，若AD〃BC,ZB=40°,ZC=70°,貝I|ZDOE=°,

(2)如圖②，試探索48、/C和NDOE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)。在四邊形的外部時(shí)，請(qǐng)你直接寫出/8、/C和乙DOE之間的數(shù)量

關(guān)系.

(2023秋?漢陰縣期中)

56.如圖，小東在操場的中心位置，從點(diǎn)A出發(fā)，每走6m向左轉(zhuǎn)60。，

^60/

-?

_____a匚

JB、

(1)小東能否走回點(diǎn)A處？若能，請(qǐng)求出小東一共走了多少米；若不能，請(qǐng)說明理由.

(2)小東走過的路徑是一個(gè)什么幾何圖形？并求這個(gè)幾何圖形的內(nèi)角和.

試卷第22頁，共24頁

（2023秋?澄海區(qū)校級(jí)期中）

57.“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)中的一種重要思想，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)

化為簡單的問題，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題.

（1）請(qǐng)你根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)求出下面星形圖①中ZA+/B+NC+ND+NE的度數(shù)；

（2）若將圖①中的星形截去一個(gè)角，如圖②，請(qǐng)你求出+++++的度數(shù);

（3）若再將圖②中的星形進(jìn)一步截去角，你能由題（2）中所得的方法或規(guī)律，猜想出圖③中的

4+NB+NC+ND+NE+/+NG+/H+NN+/N的度數(shù)嗎？（只要寫出結(jié)論，不需要寫出解

題過程）

一十六.作圖-軸對(duì)稱變換（共2小題）

（2023秋?臨江市期中）

58.A48C在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.A.B、C三點(diǎn)在格點(diǎn)上.

（1）作出A42C關(guān)于x軸對(duì)稱的A4//G，并寫出點(diǎn)C/的坐標(biāo)；

（2）作出△/8C關(guān)于y對(duì)稱的△血星。2，并寫出點(diǎn)G的坐標(biāo).

（2023秋?東城區(qū)校級(jí)期中）

59.已知/M4N=3O。，點(diǎn)B為邊上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段48上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,

8重合），點(diǎn)尸關(guān)于直線/N的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)0,連接工。，8。，點(diǎn)A關(guān)于直線8。的對(duì)稱點(diǎn)

試卷第23頁，共24頁

為點(diǎn)C,連接尸0,CP.

圖1圖2

(1)如圖1,若點(diǎn)P為線段的中點(diǎn).

①直接寫出，的度數(shù)；

②依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段CP與4尸的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,若線段CP與2。交于點(diǎn)。.

①設(shè)=求/。尸。的大小(用含々的式子表示)；

②用等式表示線段PC,DQ,DP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

一十七.軸對(duì)稱-最短路線問題(共1小題)

(2023秋?濱海新區(qū)校級(jí)期中)

60.如圖，NMON=60。，點(diǎn)、A、B分別是射線OM、射線CW上的動(dòng)點(diǎn)，連接ZAMB

的角平分線與ZNBA的角平分線交于點(diǎn)P.

(2)在點(diǎn)A、8運(yùn)動(dòng)的過程中，一尸的大小是否發(fā)生改變？若不改變，請(qǐng)求出一尸的度數(shù)；若

改變請(qǐng)說明理由；

(3)連接。尸，C是線段O尸上的動(dòng)點(diǎn)，。是線段。區(qū)上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S/OB=12,08=6時(shí)，求

4C+CD的最小值.

試卷第24頁，共24頁

1.⑴①20。；②120。，60°

（2）存在,x=20、35、50、125

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，角平分線的相關(guān)計(jì)算,

平行線性質(zhì)，分類討論的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

（1）①根據(jù)角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)可求解；②可分兩種情況：當(dāng)ABAD=ZABD

時(shí)，當(dāng)=時(shí)，根據(jù)三角形點(diǎn)的內(nèi)角和定理分別計(jì)算可求解；

（2）可分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)。在線段03上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)。在線段OS延長線上時(shí)，再分別從當(dāng)

N4BD=2ND4B=90。時(shí)，當(dāng)乙4D3=2/D43時(shí)，當(dāng)/D43=244D3N時(shí)，三個(gè)角度分別計(jì)算可

求解.

【詳解】（1）解：@---ZMON=4Q°,OE平分NM0N,

ZAOB=ZBON=20°,

AB//ON,

/ABO=20°；

ABAD=ZABD,

ABAD=20°,

AAOB+ZABO+ZOAB=180°,

ZAOB+ZABO+ZOAC+ABAD=180°,

ZOAC=1800-ZAOB-ZABO-ABAD=180°-20°-20°-20°=120°,

???ABAD=ABDA,ZABO=20°,

ZBAD=80°,

ZAOB+ZABO+NOAB=180°,

ZOAC=60°；

故答案為：①20。；②120。，60°；

（2）①當(dāng)點(diǎn)。在線段。5上時(shí)，

???OE是AMON的角平分線，

ZAOB=-AMON=20°,

2

???ABLOM,

：.ZAOB+ZABO=90°,

ZABO=70°,

答案第1頁，共78頁

若ABAD=ZABD=70°,則x=20,

若ZBAD=ABDA=1(180°-70°)=55°,貝!]x=35,

若NADB=NABD=70°,則Z8/D=180°-2x70°=40°,貝!]x=50,

②當(dāng)點(diǎn)。在射線BE上時(shí)，因?yàn)橐?3￡=110。，

所以只有=此時(shí)x=125.

綜上可知，存在這樣的x的值，且x=20、35、50、125.

2.(1)12cx<20；(2)①c=4,c=6；②A42C是等腰三角形.

【分析】(1)根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出。的取值范圍即可求得答案；

(2)①根據(jù)周長的范圍以及x是小于18的偶數(shù)可求得x值即可求得c的長；

②根據(jù)三角形三邊的長度即可判斷a/BC的形狀.

【詳解】(1)因?yàn)椤?4,b=6,

所以2<c<10,

故周長x的范圍為12Vx<20；

(2)①因?yàn)橹荛L為小于18的偶數(shù)，

所以x=16或無=14,

當(dāng)x為16時(shí)，c=6,

當(dāng)尤為14時(shí)，c=4；

②當(dāng)c=6時(shí)，b=c,AA8C為等腰三角形；

當(dāng)c=4時(shí)，a=c,A43c為等腰三角形，

綜上，A48C是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的判定等，熟練掌握三角形三邊關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.

3.(1)等邊三角形；(2)最大值13,最小值11

【分析】(1)根據(jù)完全平方式的非負(fù)性即可得出結(jié)果；

(2)根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出答案.

【詳解】解：⑴；(a-b)2+(b-c)2—0,

■■a-b—0,b-c=0,

■■a=b=c,

，AABC是等邊三角形；

答案第2頁，共78頁

(2)?.-a—5,b—2,且c為整數(shù)，

?--5-2<c<5+2,即3<c<7,

■?■c—4,5,6,

.?.當(dāng)c=4時(shí)，A42c周長的最小值=5+2+4=11；

當(dāng)c=6時(shí)，AJ8C周長的最大值=5+2+6=13.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題

的關(guān)鍵.

4.C

【分析】①根據(jù)8OL/C，F(xiàn)HLBE,以及/尸GO=Z8G〃即可推出=/尸；②根

據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明即可；③證明//BZ)=9()o-/A4C,由①知：

/DBE=N尸即可證明NF=；C—NC)；④由同角的余角相等證明ZBGH=/BED,

再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)即可推出=+即可判斷.

【詳解】解：

:"F+/FGD=90。.

?：FH工BE,

,"DBE+/BGH=90°.

,?"FGD=/BGH,

???NDBE=ZF.

故①正確；

vBE平分ZABC,

/ABE=/CBE=-/ABC.

2

???ZBEF=ZCBE+ZC,

2ZBEF=2(/CBE+ZC)=ZABC+2ZC.

vZBAF=ZABC+ZC,

；.2NBEF=NBAF+NC.

故②正確；

???BE平分ZABC,

??./ABE=-ZABC=-(l80°-ABAC-ZC)=90°--NBAC--ZC.

2222

BD_LAC,

答案第3頁，共78頁

；,/ABD=900—/BAC.

ZDBE=ZABE-ZABD=(90°-1ABAC-|zC)-(90°-ABAC)=|{ABAC-ZC).

由①知：NDBE=NF,

...NF=；(NBAC—NC).

故③正確；

■■BD1AC,FH1BE,

：.NBGH+ZDBE=90°,ABED+ZDBE=90°.

ZBGH=ABED=ZCBE+ZC.

???BE平分/ABC,

ZABE=ZCBE,

："BGH=NABE+ZC.

：.NBGH豐4ABD+ZC

故④錯(cuò)誤；

綜上可知，正確的有①②③，共3個(gè)，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，同角的余角相等等知識(shí),

正確運(yùn)用三角形的高、角平分線的概念以及三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

5.72。、36。、108°

【分析】在等腰三角形中，當(dāng)不確定乙(為頂角還是底角時(shí)，分類處理：(1)當(dāng)乙4=36。為頂

角，可得底角NC的值.(2)當(dāng)乙4=36。為底角時(shí)，ZC為頂角或底角，根據(jù)內(nèi)角和性質(zhì)代入

求解即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)當(dāng)〃1=36。為頂角時(shí)，ZC=18°°~36°=72°；

2

(2)當(dāng)乙4=36。為底角時(shí)，NC若為底角，貝比。=乙4=36。，

NC若為頂角，NC=180。-36。-36。=108。，

故答案為72。、36。、108°

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，本題關(guān)鍵在于不確定等腰三角形

的頂角與底角的情況下，要注意分類討論.

6.(1)18°

(2)54°

答案第4頁，共78頁

【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的定義和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形內(nèi)

角和定理是解題的關(guān)鍵.

（1）首先根據(jù)題意以及三角形內(nèi)角和定理求出一。，和的度數(shù)，利用直角

三角形兩銳角互余求出答案即可；

（2）利用角平分線定義以及外角性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）解：???在△ABC中，N4BD=NBAD=2ND,JLZABD+ZBAD+Z￡>=180°,

2ND+2ZD+ND=5ND=180。，

ND=36°,ZABD=ZBAD=72°,

■.■BELAD,

.-.ZAEB=90°,

NABE=90°-ZBAD=18°；

（2）「/C是的平分線，

...ABAC=ZCAD=-ZBAD=36°,

2

???/AFC為的外角，

NBFC=ABAC+NABF=54°.

7.20°

【分析】由N3NC的度數(shù)利用三角形內(nèi)角和定理可求出/A4c的度數(shù)，根據(jù)平分

/8/C可得出NC4。的度數(shù)，在RM/Ob中可求出/C4尸的度數(shù)，再根據(jù)

ZDAF=ACAD-NCAF即可求出結(jié)論.

【詳解】解：???/5=36。，ZC=76°,

ABAC=180°-ZS-ZC=68°.

?；4D平分NBAC,

ZCAD=-ZBAC=34°.

2

AF1BC,ZC=76°,

/C4F=90°-ZC=14°,

ZDAF=ZCAD-NCAF=34°-14°=20°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

/C4F及/C4D的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

8.（1）120°

答案第5頁，共78頁

(2)見解析

(3)Z5PC=90°-1Z^,證明見解析

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，外角性質(zhì).

(1)根據(jù)角平分線定義可得=NACB=2NPCB,再利用三角形內(nèi)角和定理

計(jì)算即可；

(2)根據(jù)角平分線定義可得=^-ZACD=ZPCD,再利用外角性質(zhì)即可求

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出；

(3)根據(jù)角平分線定義及三角形內(nèi)角和定理機(jī)器推論進(jìn)行證明即可得出本題答案.

【詳解】(1)解：???//8C和N/C3的平分線相交于點(diǎn)P,

；./ABC=2ZPBC,ZACB=2ZPCB,

■.■ZA=180。-(//8C+//C3)=180。-2(NPBC+ZPCB),

.-.ZA=180。-2(180°-NBPC),

：.ZA=-180°+2ZBPC,

.-.ZA+180°=2ZBPC,

ZBPC=90°+-Z^=90°+-x60°=120°,

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故答案為：120。；

(2)解：???/4BC和乙4co的平分線相交于點(diǎn)尸，

NABC=ZPBC,-ZACD=ZPCD,

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???NNCD=ZA+NABC,NPCD=NBPC+NPBC,

.-.ZBPC=-ZA；

2

(3)解:猜想：/BPC