2023中考數(shù)學(xué)常見幾何模型《最值模型-將軍飲馬》含答案解析

專題09最值模型…將軍飲馬

最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，將軍飲馬問題是由軸對稱衍生而來，同時還需

掌握平移型將軍飲馬，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主,

中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的將軍飲馬問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方

便掌握。

在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法

還有:利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”

等。

模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）

【模型解讀】在一條直線機(jī)上，求一點P,使融+尸5最小;

（1）點A、5在直線機(jī)兩側(cè)：（2）點A、5在直線同

側(cè)：

A*

*

B

-------------------------?m

【最值原理】兩點之間線段最短。上圖中/’是A關(guān)于直線機(jī)的對稱點。

例1.（2022,湖南婁底?中考真題）菱形ABCD的邊長為2,NABC=45。，點？、。分別是BC、

BD上的動點，CQ+P。的最小值為.

例2.（2022?四川眉山,中考真題）如圖，點?為矩形4BCD的對角線AC上一動點，點￡為BC

的中點，連接產(chǎn)￡,PB,若AB=4，BC=46,則PE+陽的最小值為.

例3.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，點E為A。的中點，

將ACDE沿CE翻折得ACME,點M落在四邊形4BCE內(nèi).點N為線段CE上的動點，過點

N作NP//EM交MC于點P,則MN+NP的最小值為.

例4.（2022?江蘇南京?模擬預(yù)測）【模型介紹】

古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸

同側(cè)的兩個軍營A8.他總是先去A營，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營.如圖①，他時

常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決

了這個問題.如圖②，作點B關(guān)于直線I的對稱點B'，連結(jié)A?與直線/交于點尸，連接PB,

則AP+5P的和最小.請你在下列的閱讀、理解、應(yīng)用的過程中，完成解答.理由：如圖

③，在直線/上另取任一點尸'，連結(jié)AP',BP，BP，回直線/是點B,9的對稱軸，點

p,P'在/上，

（1）0PB=,PB=,SAP+PB=AP+PR=.在AAP'B'

中，回+^AP+PB<AP'+P'B'，即AP+m最小.

【歸納總結(jié)】在解決上述問題的過程中，我們利用軸對稱變換，把點在直線同側(cè)的問

題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用"兩點之間線段最短"，即轉(zhuǎn)化為"三角形兩邊之和大于

第三邊”的問題加以解決（其中點？為A?與/的交點，即A,P,?三點共線）.由此，可

拓展為“求定直線上一動點與直線同側(cè)兩定點的距離和的最小值”問題的數(shù)學(xué)模型.

【模型應(yīng)用】（2）如圖④，正方形ABCD的邊長為4,￡為川?的中點，方是AC上一動點.求

石尸+EB的最小值.

解析：解決這個問題，可借助上面的模型，由正方形對稱性可知，點E與。關(guān)于直線AC對

稱，連結(jié)￡）￡交AC于點/，則針+2的最小值就是線段ED的長度，則轉(zhuǎn)+”的最

小值是__________

圖⑥

（3）如圖⑤，圓柱形玻璃杯，高為14物，底面周長為16cm,在杯內(nèi)離杯底3cm的點C處有一

滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿4c機(jī)與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達(dá)峰的最

短路程為cm.

（4）如圖⑥，在邊長為2的菱形ABCD中，ZABC=60°,將4廊沿射線BD的方向平移，

得到AA'RD'，分別連接AC,A。，B'C,則AC+8'C的最小值為.

模型2.平移型將軍飲馬（將軍過橋模型）

【模型解讀】已知，如圖1將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往8點的軍營，橋必須垂直于

河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？

考慮長度恒定，只要求AM+NB最小值即可.問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通

過平移，使AM與A?連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A'位置（圖

2）.

問題化為求A'N+N2最小值，顯然，當(dāng)共線時，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）.

將軍A將軍A

圖1圖2圖3

【最值原理】兩點之間線段最短。

例1.（2022?重慶中考模擬）如圖，已知直線/1〃匕，乩/2之間的距離為8,點P到直線/i

的距離為6,點Q到直線匕的距離為4,PQ=4廊，在直線/i上有一動點4直線匕上有一

動點B,滿足AB_L/2,且%+AB+BQ最小，此時%+BQ=.

例2.（2022?廣西?二模）已知，在河的兩岸有A,B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊

的直線距離AB=10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修

建一座橋MN垂直于兩岸，M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為（）

A.2>713B.1+3如C.3+后D.屈

模型3.修橋選址模型

【模型解讀】已知A、8是兩個定點，P、。是直線機(jī)上的兩個動點，P在。的左側(cè)，且P。

間長度恒定,在直線機(jī)上要求尸、Q兩點，使得出+PQ+Q8的值最小。（原理用平移知識解）

⑴點A、B在直線機(jī)兩側(cè):（2）點A、B在直線m同側(cè):

A.C

如圖1如圖2

（1）如圖1,過A點作AC〃/"，且AC長等于PQ長，連接8C,交直線機(jī)于。，。向左平移PQ

長，即為P點，此時尸、。即為所求的點。

（2）如圖2,過A點作AE〃s，且AE長等于PQ長，作B關(guān)于m的對稱點8',連接B，E,交

直線根于。，。向左平移PQ長，即為P點，此時P、。即為所求的點。

【最值原理】兩點之間線段最短。

例1.（2022.山東青島九年級一模）如圖，已知A（3,1）與B（1,0）,PQ是直線y=x上

的一條動線段且PQ=加（Q在P的下方），當(dāng)4P+PQ+QB最小時，Q點坐標(biāo)為（）

A.(―,—)B.(迎，迎)C.(0,0)D.(1,1)

3333

例2.(2022?四川自貢?中考真題)如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是AD的中點,

線段EF在邊屈上左右滑動；若郎=1，則GE+CF的最小值為

例3.(2022?廣東?九年級期中)如圖，CO是直線x=l上長度固定為1的一條動線段.已知

A(-1,0),B(0,4),則四邊形ABC。周長的最小值為.

模型4.求多條線段和(周長)最小值

【模型解讀】在直線機(jī)、”上分別找兩點P、Q,使加+PQ+QB最小。

(1)兩個點都在直線外側(cè)：(2)一個點在內(nèi)側(cè)，一個點

在外側(cè)：

(3)兩個點都在內(nèi)側(cè):

A1

m

（4）臺球兩次碰壁模型

1）已知點A、2位于直線“z,”的內(nèi)側(cè)，在直線72、機(jī)分別上求點。、E點、,使得

圍成的四邊形AOEB周長最短.

2）已知點A位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點P、Q點、PA+PQ+QA

周長最短.

【最值原理】兩點之間線段最短。

例1.（2022?江蘇九年級一模）如圖，RQABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,F分別是

AB,BC,AC邊上的動點，則ADEF的周長的最小值是（）

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

例2.（2022?湖北武漢市?九年級期中）如圖，點A在y軸上，G、B兩點在X軸上，且G（-

3,0）,B（-2,0）,HC與GB關(guān)于y軸對稱，ZGAH=60°,P、Q分別是AG、AH上的動

點，則BP+PQ+CQ的最小值是（）

A.6B.7C.8D.9

例3.（2022?湖北青山?八年級期中）如圖，在RtA/WC中，/ACB=90。，NABC=30。，AC=

2,以BC為邊向左作等邊A8CE,點。為AB中點，連接CD,點P、Q分別為CE、8上的動

點.

（1）求證：AAOC為等邊三角形；（2）PD+PQ+QE

E

例4.（2022?山東泰安,中考真題）如圖，ZAQB=30。，點/W、N分別在邊。1、06上，且

OM=3,ON=5,息P、Q分別在邊08、上，則"尸+PQ+QV的最小值是（）

C.5^4-2D.-J35-2

模型5.求兩條線段差最大值

【模型解讀】在一條直線m上，求一點P,使與PB的差最大;

（1）點A、B在直線機(jī)同側(cè)：

A

A

延長AB交直線機(jī)于點P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P,A-P,B<AB,而/H-P8=AB

此時最大，

因此點尸為所求的點。

（2）點A、8在直線機(jī)異側(cè)：

B'

*、、

過B作關(guān)于直線m的對稱點B'，連接AB'交點直線m于P,此時PB=PBPA-PB最大值為AB,

【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。

例1.（2022?四川成都?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，過點。作OE1CD交對角線AC

于點￡,連接班，點?是線段放上一動點，作p關(guān)于直線的對稱點P，點。是AC上

一動點，連接尸。，DQ.若恁=14，CE=18,則。。-PQ的最大值為.

Q/EI

例2.（2022?河南南陽?一模）如圖，已知0ABe為等腰直角三角形，AC=BC=6,0BCD=15°,

P為直線。上的動點，貝U|B4—P2|的最大值為.

例3.（2022?江蘇?九年級月考）如圖，點A,B在直線的同側(cè)，A到MN的距離AC=8,

B到肱V的距離即=5,已知CD=4,尸是直線肱V上的一個動點，記Q4+PB的最小值

為a,|P4-尸耳的最大值為。，則的值為（)

C.140D.130

課后專項訓(xùn)練

1.（2022?山東泰安?二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,點、E、F分別是邊BC、

CO上的動點，且EF=4,點M是EF的中點，點。是AB的中點，連接P。、PM,則PQ+PM

的最小值為（）

A.10B.6A/3C.8D.80

2.（2022?廣東廣州?二模）如圖，在等腰直角三角形ABC中,0ABe=90。，AB=6,線段尸0

在斜邊AC上運(yùn)動，且尸。=2.連接BP,BQ.則"尸。周長的最小值是（）

A

A.6A/2+2B.2A/19+2C.8D.4#+2

3.（2022?安徽合肥?二模）如圖，在矩形A2CD中，點￡、尸、G、"分別是邊A3、BC、CD、

D4上的動點（不與端點重合），若四點運(yùn)動過程中滿足AE=CG、BF=DH,且AB=10、BC=5,

則四邊形EFG”周長的最小值等于（）

C.5后D.50

4.（2022?湖北鄂州?中考真題）如圖，定直線MN〃PQ,點8、C分別為MN、尸。上的動點,

且8C=12,8c在兩直線間運(yùn)動過程中始終有SBCQ=60。.點A是腦V上方一定點，點。是

PQ下方一定點，^.AE//BC//DF,AE=4,DF=8,AD=24g,當(dāng)線段BC在平移過程中,

D.12715

5.（2022?山東濰坊?八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知4（0,1）,司4,2）,尸。是x

軸上的一條動線段，且PQ=1,當(dāng)AP+PQ+QB取最小值時，點。坐標(biāo)為.

6.（2022?江蘇南通,一模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P機(jī)+2）,點。（n,0）,

點M（l,1）,則PQ+QM最小值為

7.（2022?江蘇南通?一模）如圖，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,AZMBC于點。，點

E、廠分別是線段AB、AO上的動點，且則BF+CE的最小值為

8.（2022?浙江金華?八年級期末）在綜合實踐課上，小明把邊長為2c機(jī)的正方形紙片沿著對

角線AC剪開，如圖/所示.然后固定紙片AABC,把紙片AADC沿AC的方向平移得到△AOC,

連43,D'B,D'C,在平移過程中：（1）四邊形48。。的形狀始終是_；（2）4B+ZXB的

最小值為

9.（2022?貴州遵義中考真題）如圖，在等腰直角三角形ABC中，N54C=90°,點N

分別為BC,AC上的動點，且4V=CM,A5=V2.當(dāng)AM+BN的值最小時，CM的長為

A

10.（2022?廣西賀州?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,E,尸分別是AD,

A8的中點，NADC的平分線交于點G,點P是線段。G上的一個動點，貝心他的周

長最小值為.

11.（2022?黑龍江?中考真題）如圖，菱形A8C。中，對角線AC,8。相交于點O,ZBAD=60°,

AD=3,AH是ABAC的平分線，CE1AH于點￡,點尸是直線AB上的一個動點，則OP+PE

的最小值是.

12.（2022?安徽安慶?八年級期末）如圖，在四邊形ABC。中，ZBCD=50°,ZB=ZD=90°,

在BC、CD上分別取一點M、N,使△4WN的周長最小，則//VMN=

13.（2021?山東威海?八年級期中）【源模：模型建立】

白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河.一一《古從軍行》唐李欣

詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題，我們稱之為"將軍飲馬”問題.關(guān)鍵是利用軸對稱變換，把

直線同側(cè)兩點的折線問題轉(zhuǎn)化為直線兩側(cè)的線段問題,從而解決距高和最短的一類問題."將

軍飲馬”問題的數(shù)學(xué)模型如圖所示：

【新模1:模型應(yīng)用】

如圖1,正方形ABCD的邊長為3,點E在邊AB上，且膽=1，尸為對角線AC上一動點,

欲使△BEE周長最小.

（1）在圖中確定點尸的位置（要有必要的畫圖痕跡，不用寫畫法）；

（2）△8EE周長的最小值為.

【新模2：模型變式】

（3）如圖2,在矩形ABCD中，AB=5,旬=%在矩形ABCD內(nèi)部有一動點乙滿足

SWAB=；S矩形加8,則點戶到A,B兩點的距離和PA+PB的最小值為.

【超模：模型拓廣】

（4）如圖3,ZABD=NBDE=90°,AB=2<即=DE=3.請構(gòu)造合理的數(shù)學(xué)模型，并

借助模型求J/+4+7（3-X）2+9（X>O）的最小值.

E

BD

14.(2022?江蘇?南外雨花分校一模)閱讀并解答下列問題：老師給出了以下思考題：如圖1,

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,3),B(5,1),C(a,0),D(a+2,0),連接

AC,CD、DB,求AC+CD+OB的最小值.

【思考交流】

小明：如圖2,先將點A向右平移2個單位長度到點4,作點8關(guān)于x軸的對稱點3,連

接48/交x軸于點D,將點D向左平移2個單位長度得到點C,連接此時AC+CZXDB

的最小值等于43+CD

小穎：如圖3,先將點A向右平移2個單位長度到點4,作點4關(guān)于x軸的的的點4，連

接A2B可以求解.

小亮：對稱和平移還可以有不同的組合...

【嘗試解決】在圖2中AC+CD+DB的最小值是,

【靈活運(yùn)用】如圖4,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,3),B(5,1),C(a,1),

ZXa+2,0),連接AC、CD、DB,則AC+CD+DB的最小值是,此時a=.并

請在圖5中用直尺和圓規(guī)作出AC+CQ+DB最小時CD的位置(不寫作法，保留作圖痕跡).

【拓展提升】如圖6,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,3),C是一次函數(shù)方尤圖像

上一點，。與y軸垂直且C￡>=2(點D在點C右側(cè)),連接AC,CD,AD,直接寫出AC+CD+DA

的最小值是,此時點C的坐標(biāo)是.

15.(2022?浙江,九年級專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OAC8的頂點。在坐標(biāo)原點,

頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A(3,0),B(0,4),。為邊。2的中點.

(1)若E為邊OA上的一個動點，求ACDE的周長最小值；

(2)若E、E為邊上的兩個動點，且EF=1,當(dāng)四邊形CDE尸的周長最小時，求點E、尸的

坐標(biāo).

16.(2022?廣東?九年級專題練習(xí))如圖已知EF//GH,AC_LE尸于點C,BD±

EF于點、D交HG于點、K.AC=3,DK=2,BK=4.(1)若CD=6,點M是CD

上一點，當(dāng)點M到點A和點B的距離相等時，求CM的長；(2)若CD=4

2

點尸是上一點，點。是以'上一點，連接AP,PQ,QB,求AP+PQ+Q8的

最小值.

G-----------------------------------------------H

B

專題09最值模型…將軍飲馬

最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，將軍飲馬問題是由軸對稱衍生而來，同時還需

掌握平移型將軍飲馬，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主,

中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的將軍飲馬問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方

便掌握。

在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法

還有:利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”

模型1.求兩條線段和的最小值(將軍飲馬模型)

【模型解讀】在一條直線機(jī)上，求一點P,使BL+P3最小;

(1)點A、5在直線機(jī)兩側(cè)：(2)點A、5在直線同

側(cè)：

AA

A

B

【最值原理】兩點之間線段最短。上圖中，'是A關(guān)于直線，"的對稱點。

例L（2022?湖南婁底?中考真題）菱形ABCD的邊長為2,ZABC=45。，點P、Q分別是BC、

8。上的動點，CQ+PQ的最小值為.

【答案】72

【分析】過點C作CE0AB于E,交B。于G,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短

可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，在直角三角形

BEC中，勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，過點C作CE0AB于E,交BD于G,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及

垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點F重合，。與G重合時，PQ+QC最小,

BPFC

?.?菱形ABC。的邊長為2,ZABC=45°,.1RtABEC中，EC=—BC=y[l

2

PQ+QC的最小值為0故答案為：V2

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)求線段和的

最小值是解題的關(guān)鍵.

例2.（2022?四川眉山?中考真題）如圖，點尸為矩形A3CD的對角線AC上一動點，點E為BC

的中點，連接PE,PB,若AB=4,BC=4幣,則PE+P3的最小值為.

【答案】6

【分析】作點B關(guān)于AC的對稱點交AC于點F,連接B'E交AC于點P,則PE+PB的

最小值為B'E的長度；然后求出B力和BE的長度，再利用勾股定理即可求出答案.

【詳解】解:如圖，作點B關(guān)于AC的對稱點B,交AC于點F,連接BE交AC于點P,則PE+PB

的最小值為3Z的長度；

B

S4C是矩形的對角線，a4B=CD=4,EMBC=90°,

在直角0WBC中，AB=4,BC=4A/30tanZACB=—==—,回ZACB=30°,

BC4石3

由對稱的性質(zhì)，得B，B=2BF,B'BIAC,0BF=1BC=273,0B'B=2BF=4也

@BE=EF=26，NCB/=60。，甌BEF是等邊三角形,

SBE=BF=B'F,團(tuán)ABES'是直角三角形，

0B'E=yjBB'2-BE2=7（4^）2-（2A/3）2=6.國產(chǎn)石+尸3的最小值為6；故答案為：6.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，

特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的找到點P使得FE+PB有

最小值.

例3.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，在邊長為2的正方形A8CD中，點￡為的中點，

將ACDE沿CE翻折得ACME,點M落在四邊形A8CE內(nèi).點N為線段CE上的動點，過點

N作NP//EM交MC于點P,則MN+NP的最小值為

【分析】過點M作AW3CD于凡推出MN+NP的最小值為的長，證明四邊形。EMG為

菱形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：作點P關(guān)于CE的對稱點P,

由折疊的性質(zhì)知CE是SDCM的平分線，回點P在CD上，

過點M作MFBC。于R交CE于點G,

0MN+NP=MN+NP'4MF,?MN+NP的最小值為MF的長，

連接DG,DM,由折疊的性質(zhì)知CE為線段的垂直平分線，

SAD=CD=2,DE=1,0CE=^/i2+22=A/5,

El-CExDO=-CDxDE,回。。=述，回E0=@，

2255

回AffiaCD,0￡DC=9O°,0DE0MF,^\EDO=^GMO,

EICE為線段OM的垂直平分線，^\DO=OM,SDOE=^MOG=90°,

^DOESBMOG,^DE=GM,團(tuán)四邊形OEMG為平行四邊形，

aWOG=90°,回四邊形。EMG為菱形，?EG=2OE=q5,GM=DE=1,EICG=孑叵，

55

回。EELWF,即DE3\GF,00CFG0ECDE,

FGCG338

團(tuán)---=---,即/G二飛-0FG=—，^\MF=1+—=—,

DECE555

1-V5

QQ

回MV+NP的最小值為丁故答案為：

【點睛】此題主要考查軸對稱在解決線段和最小的問題，熟悉對稱點的運(yùn)用和畫法，知道何

時線段和最小，會運(yùn)用勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)求線段長度是解題的關(guān)鍵.

例4.（2022,江蘇南京?模擬預(yù)測）【模型介紹】

古希臘有一個著名的"將軍飲馬問題"，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸

同側(cè)的兩個軍營48.他總是先去A營，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營.如圖①，他

時常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解

決了這個問題.如圖②，作點B關(guān)于直線/的對稱點玄，連結(jié)A9與直線/交于點尸，連接PB,

則AP+BP的和最小.請你在下列的閱讀、理解、應(yīng)用的過程中，完成解答.理由：如圖

③，在直線/上另取任一點P',連結(jié)AP，BP',B'P,回直線/是點3,B'的對稱軸，點尸，

P'在/上，

中，SAB'<AP'+P'B',SAP+PB<AP,+P'B',即AP+3P最小.

【歸納總結(jié)】在解決上述問題的過程中，我們利用軸對稱變換，把點在直線同側(cè)的問題

轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點之間線段最短”，即轉(zhuǎn)化為"三角形兩邊之和大于第

三邊”的問題加以解決（其中點尸為48'與/的交點，即A,P,夕三點共線）.由此，可拓

展為“求定直線上一動點與直線同側(cè)兩定點的距離和的最小值”問題的數(shù)學(xué)模型.

【模型應(yīng)用】（2）如圖④，正方形ABCO的邊長為4,E為48的中點，尸是AC上一動點.求

EF+W的最小值.

解析：解決這個問題，可借助上面的模型，由正方形對稱性可知，點3與。關(guān)于直線AC對

稱，連結(jié)DE交AC于點尸，則所+￡8的最小值就是線段即的長度，則EF+FB的最小

值是.

螞蟻力

（3）如圖⑤，圓柱形玻璃杯，高為14cm,底面周長為16c〃z,在杯內(nèi)離杯底3cm的點C處有

一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿4。"與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達(dá)峰的

最短路程為cm.

（4）如圖⑥，在邊長為2的菱形A5CD中，ZABC=60°,將A4BD沿射線8。的方向平移，

得到AAE。'，分別連接AC,AD,B'C,則A'C+3'C的最小值為.

【答案】（1）PB',P'B',AB'；（2）275;（3）17；（4）273

【分析】（1）根據(jù)對稱性即可求解；

（2）根據(jù)正方形的對稱性知B關(guān)于AC的對稱點是D,連接ED,則ED是砂+EB的最小值；

（3）先將玻璃杯展開，再根據(jù)勾股定理求解即可；

（4）分析知：當(dāng)AZ'與B'C垂直時，AC+3'C值最小，再根據(jù)特殊角計算長度即可；

【詳解】解：（1）根據(jù)對稱性知：PB=PB,PB=PB,AP+PB=AP+PB=AB,

故答案為：PB',P'B',AB';

（2）根據(jù)正方形的對稱性知B關(guān)于AC的對稱點是D,連接ED回￡口是郎+^6的最小值

又回正方形的邊長為4,E是AB中點回￡0=在彳=26回跖+用的最小值是2百；

（3）由圖可知：螞蟻到達(dá)峰的最短路程為AC的長度：

[?]AE=AE=4cm,BF=3cm,BC=Scm,EB=11cm[?]AB=15cm

回AC=y/AB2+BC2=7152+82=17cm

（4）團(tuán)在邊長為2的菱形ABCD中，ZABC=60°,將AABZ）沿射線8。的方向平移，得到

AA'B'D'

SAB=AB=2,ZABD=30°當(dāng)4月與垂直時，A'C+3'C值最小

0AB//AB//CD,AB=AB=CD回四邊形A力CO是矩形，ZBAC=30°

0BC=—,A'C=^^AC+B'C=2y/3

33

【點睛】本題考查"將軍飲馬"知識遷移，掌握"將軍飲馬”所遵循的數(shù)學(xué)原理，判斷出最小是

解題關(guān)鍵.

模型2.平移型將軍飲馬（將軍過橋模型）

【模型解讀】已知，如圖1將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往8點的軍營，橋必須垂直于

河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？

考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可.問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通

過平移，使AM與A?連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在4位置（圖

2）.

問題化為求A'N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）.

將軍A將軍A

圖1圖2圖3

【最值原理】兩點之間線段最短。

例1.（2022?重慶中考模擬）如圖，已知直線/1〃匕，乩/2之間的距離為8,點P到直線/i

的距離為6,點Q到直線匕的距離為4,PQ=4回，在直線/i上有一動點4直線/2上有

一動點B,滿足AB_L/2,且%+AB+BQ最小，此時%+BQ=.

【答案】16.

【詳解】作PELi于E交卜于F,在PF上截取PC=8,連接QC交I2于B,作BALi于A,此

時PA+AB+BQ最短.作QD_LPF于D.在RtAPQD中，VZD=90°,PQ=/J^,PD=18,

DQ=^PQ：-PDZ',?,AB=PC=8,AB〃PC,...四邊形ABCP是平行四邊形，；.PA=BC,

CD=10,.?.PA+BQ=CB+BQ=QC=J0Q：+CD：=J156+100=16.故答案為16.

例2.（2022?廣西?二模）已知，在河的兩岸有A,B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊

的直線距離AB=10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修

建一座橋MN垂直于兩岸，M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為（）

A.2^/13B.1+375C.3+737D.底

【答案】A

【分析】作BB，垂直于河岸，使BB，等于河寬，連接AB-與靠近A的河岸相交于M,作MN

垂直于另一條河岸，則MNIBBB，且MN=BB-于是MNBBJ為平行四邊形，故MB-BN；根據(jù)

“兩點之間線段最短”,AB，最短，即AM+BN最短,此時AM+BN=AB'.

【詳解】解：如圖，作BB，垂直于河岸，使BB，等于河寬，連接AB，，與靠近A的河岸相交于

M,作MN垂直于另一條河岸，則MNI3BB，且MN=BBT于是MNBB，為平行四邊形，故MB，

=BN.

根據(jù)"兩點之間線段最短"，AB，最短，即AM+BN最短.

回AB=10千米，BC=l+3+4=8千米，團(tuán)在RTAABC中，AC=A/AB2-BC2=6>

在RTAAB（中，B，C=l+3=4千米，I3AB，=JAC?+B'C一=2如千米;故選A.

【點睛】本題考查了軸對稱一最短路徑問題，要利用"兩點之間線段最短"，但許多實際問題

沒這么簡單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點之

間線段最短的問題.目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

模型3.修橋選址模型

【模型解讀】已知A、B是兩個定點，P、。是直線機(jī)上的兩個動點，尸在Q的左側(cè)，且P。

間長度恒定,在直線機(jī)上要求尸、。兩點，使得B4+PQ+Q8的值最小。(原理用平移知識解)

(1)點A、B在直線相兩側(cè):(2)點A、B在直線”2同側(cè):

如圖1如圖2

(1)如圖1,過A點作AC〃叫且AC長等于長，連接BC,交直線加于0,Q向左平移P。

長，即為P點，此時尸、。即為所求的點。

(2)如圖2,過A點作AE〃九且AE長等于PQ長，作B關(guān)于根的對稱點方,連接方及交

直線機(jī)于Q,。向左平移P。長，即為P點，此時P、。即為所求的點。

【最值原理】兩點之間線段最短。

例1.(2022.山東青島九年級一模)如圖，已知人(3,1)與B(1,0),PQ是直線y=x上

的一條動線段且PQ=^(Q在P的下方)，當(dāng)AP+PQ+QB最小時，Q點坐標(biāo)為()

B.(返，返)C.(0,0)

D.(1,1)

A包33

【解答】解：作點B關(guān)于直線y=x的對稱點B，（0,1）,過點A作直線MN,使得MN平行

于直線y=x,并沿MN向下平移加單位后得A（2,0）連接AF交直線y=x于點Q,如圖

理由如下：,:AA'=PQ=?,AA〃PQ.?.四邊形APQA是平行四邊形：.AP=A'Q

:AP+PQ+QB=8'Q+AQ+PQ且PQ=J^.?.當(dāng)AQ+8'Q值最小時，AP+PQ+QB值最小

根據(jù)兩點之間線段最短,即A,Q,三點共線時AQ+BC值最小

VB'(0,1),A(2,0)直線AB'的解析式)/=-」x+l

2

—x+1,即X=2，Q點坐標(biāo)（2,—）故選：A.

；.x=

2333

例2.（2022?四川自貢?中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是AD的中點,

線段所在邊48上左右滑動；若EF=1,則GE+CF的最小值為

【答案】3亞

【分析】如圖，作G關(guān)于AB的對稱點G,在C。上截取C”=l,然后連接HG咬AB于E,在

EB上截取EF=1,此時GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到

G'H=EG'+EH=EG+CF,再由勾股定理求出HG'的長，即可求解.

【詳解】解：如圖，作G關(guān)于A8的對稱點G,在8上截取CH=1,然后連接HG咬AB于E,

在EB上截取EF=1,此時GE+CF的值最小，

H

D

0G'E=G￡,AG=AG',

團(tuán)四邊形ABC。是矩形，EMB0CD,AD=BC=2SCH^iEF,

團(tuán)CH=EF=1,El四邊形EFCH是平行四邊形，

B1EH=CF,BG'H=EG'+EH=EG+CF,

EL4B=4,BC=AD=2,G為邊4。的中點，EMG=AG'=1

WG'=AD+AG'=2+1=3,DH=4-1=3,

0HG'=ylDH2+DG'2=V32+32=30，

即GE+CF的最小值為34.故答案為：3也

【點睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，確定

GE+CF最小時E,F位置是解題關(guān)鍵.

例3.(2022?廣東?九年級期中)如圖，C。是直線x=l上長度固定為1的一條動線段.已知

A(-1,0),B(0,4),則四邊形ABC。周長的最小值為.

【答案】3應(yīng)+而+6

【分析】在y軸上取點E,使BE=CO=L則四邊形BCDE為平行四邊形，根據(jù)勾股定理得

到AB,作點A關(guān)于直線x=l的對稱點A,得到A、E、。三點共線時，AO+DE最小值為AE

的長，根據(jù)勾股定理求出AE,即可得解；

【詳解】解：如圖，在y軸上取點E,使BE=CD=1,則四邊形BCDE為平行四邊形，

；B(0,4),A(-1,0),；.0B=4,0/(=1,：.0E=3,/4B=712+42=V17-

作點A關(guān)于直線x=l的對稱點A,(3,0),AD=A'D,

：.AD+DE=A'D+DE,即A、E、。三點共線時，AO+DE最小值為AE的長，

在RtZWOE中，由勾股定理得AE=J32+32=3立，

：.C四邊形ABC。最小值=4B+CO+BC+/W=4B+CO+AE=7F7+l+5=VF7+6.故答案為：

3應(yīng)+至+6.

【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題、勾股定理、位置與坐標(biāo)，準(zhǔn)確分析作圖計算是解

題的關(guān)鍵.

模型4.求多條線段和(周長)最小值

【模型解讀】在直線機(jī)、〃上分別找兩點P、Q,使協(xié)+尸。+。3最小。

(1)兩個點都在直線外側(cè):(2)一個點在內(nèi)側(cè)，一個點

在外側(cè):

A

B

A

m

B

Br

（3）兩個點都在內(nèi)側(cè):

（4）臺球兩次碰壁模型

1）已知點A、B位于直線九"的內(nèi)側(cè)，在直線小機(jī)分別上求點。、E點，使得

圍成的四邊形仍周長最短.

2）已知點A位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA

周長最短.

【最值原理】兩點之間線段最短。

例1.（2022?江蘇九年級一模）如圖，RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,F分別是

AB,BC,AC邊上的動點，則ADEF的周長的最小值是（）

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

【答案】C

【分析】如圖作。關(guān)于直線AC的對稱點M,作。關(guān)于直線BC的對稱點N,連接CM,CM

CD,EN,FM,ON,DM.由N/WC4=NOC4,ZBCN=ZBCD,ZACD+ZBCD=90°,推出N/WCD+

ZNCD=180°,可得M、B、N共線，由DF+DE+EF=FM+EN+EF,FM+EN+EF>MN,可知當(dāng)M、F、

E、N共線時，且CD_LAB時，OE+EF+FO的值最小，最小值=2CD,求出CD的值即可解決問

題.

【詳解】解：如圖，作。關(guān)于直線AC的對稱點M,作。關(guān)于直線BC的對稱點N,連接CM,

CN,CD,EN,FM,ON,DM.

：.DF=FM,DE=EN,CD=CM,CD=CN,：.CD=CM=CN,

:/MCA=/DCA,ZBCN=ZBCD,ZACD+ZBCD=90°,

：.ZMCD+ZNCD=180°,：.M,C、N共線，:DF+DE+EF=FM+EN+EF,

'：FM+EN+EF>MN,.?.當(dāng)M、F、E、N共線時，且CO_LAB時，OE+EF+FD的值最小，最小值

為MN=2CD,

,11.AB-AC12

\'CD±AB,：.-*AB*CD=-?AB?AC,..CD=------------=—=2.4,

22AB5

.?.DE+EF+FD的最小值為4.8.故選：C.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短問題、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識，解題的關(guān)

鍵是靈活運(yùn)用軸對稱以及垂線段最短解決最短問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

例2.(2022?湖北武漢市?九年級期中)如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G(-

3,0),B(-2,0),HC與GB關(guān)于y軸對稱，NGAH=60。，P、Q分別是AG、AH上的動

點，則BP+PQ+CQ的最小值是()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】分別作B、C關(guān)于AG和AH對稱的點￡、C,連接BP、CQ、B'C.C'Q,PQ,得

出BP+PQ+CQ的最小值為8'C',再依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定和軸對稱的性質(zhì)分別求得

B'P+PN和C'Q+QN即可求得.

【詳解】解：分別作B、C關(guān)于AG和AH對稱的點g、C,連接BP、CQ、B'C、C'Q,PQ

：HC與GB關(guān)于y軸對稱，