2024-2025學年滬教版八年級數學上冊專項復習：直角三角形的性質（含答案）

第29講直角三角形的性質（七大題型）

01學習目標

學習目標

1、知道直角三角形中兩銳角互余；2、學會直角三角形中30。角的性質及推論;

3、掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半.

02思維導圖

L一

1

2■急三焦影上的-學

3t三/SWmftM論

■SMU三a中你。

?SBMKTmmwvvwiI

SV6

■BTarM

03知識清單

直角三角形的性質

定理1:直角三角形的兩個銳角互余.

定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

推論1：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于

30°.

要點：這個定理的前提條件是“在直角三角形中“，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜

邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數關系.

試卷第1頁，共18頁

【即學即練1】

1.如圖，在RtZUBC中，ZABC=90°,ZC=30°,若48=2,則/C=()

【即學即練2】

2.如圖，在△ABC中，/ACB=90°,/B=2cm,點。為AB的中點，則8=()

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【即學即練3】

3.如圖，在RtZ\/CB中，ZACB=90°,CDL/B于點D,ZBCD=3ZACD,E是N8的中

【即學即練4】

4.如圖，△48。中，AD是高，E、尸分別是48、NC的中點.若/2=11,AC=10,則四

邊形AEDF的周長為.

【即學即練5】

試卷第2頁，共18頁

5.如圖，在△/BC中，AB=AC,40平分/A4C,點E是42的中點，ZBAC=40°,則

ZADE=

「題型精講

04

題型1:直角三角形的兩個銳角互余

【典例11

6.如圖，在RtA48C中，NC=90。，乙4=55。，則/8的度數為（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

【典例2】.

7.直角三角形的一銳角是50。，那么另一銳角是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【典例3】.

8.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,則與乙4互余的角有（）

C.3個D.4個

題型2：Rt▲中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半

試卷第3頁，共18頁

【典例4】.

9.如圖，在△/BC中，ZC=90°,ZS=30°,4B=4.則NC的長度是（）

【典例5】.

10.如圖，在反5。中，ZACB=90°,ZA=30°,CD1AB,BD=1.則N3長為（）.

A.3B.4C.5D.6

題型3：Rt▲中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半與三角形其他性質結合

【典例6】.

11.如圖，已知乙408=60。，點P在邊0/上，OP=8,點、M、N在邊08上，PM=PN,

若MN=2,則（W=（）

A.1B.2C.3D.4

【典7】.

12.如圖，在△NBC中，ZC=90°,44=15。，點。是NC上一點，連接AD,

ZDBC=60°,BC=2,則/。長是（）

試卷第4頁，共18頁

B

【典例8】

13.如圖，廠房屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中斜梁43=/C=8m,且頂角

ZBAC=120°f則高（）

A.16mB.8mC.4m

【典例9】.

14.等腰三角形的頂角為120。，腰長為6,則它底邊上的高等于（

【典例101

15.如圖，在△4BC中，AB=AC,Z5=30°,AD，AB交BC于點、D,AD=2,則BC的

長是（）

題型4：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

【典例111

16.如圖，公路/C、8c互相垂直，公路的中點M與點C被湖隔開，若測得N2的長

為3.6km,則M、C兩點間的距離為（）

試卷第5頁，共18頁

A.1.8kmB.3kmC.1kmD.3.6km

【典例12].

17.已知直角三角形斜邊上的高線為2,斜邊上的中線長3,則直角三角形的面積為（）

A.5B.6C.7D.8

【典例131.

18.如圖，在RtZX/BC中，乙48c=90。，/C=60。，點。為邊/C的中點，BD=2,則2C

的長為（）

A.V3B.2#>C.2D.4

【典例141.

19.如圖，在△4BC中，N8=/C,/8/C的平分線交8c于點。，E為NC的中點，若/8=10,

則。E的長是（）

A.8B.6C.5D.4

【典例15].

試卷第6頁，共18頁

20.如圖，在△4BC中，44c8=90。，點。為的中點，點E在NC上，^.AE=BE,

連接CD交3E于點尸，若N/=25。，則乙DFE的度數（）

題型5：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半與三角形其他性質結合

【典例161

21.如圖，△ABC中，N/C2=90。，點E為的中點，點。在上，且AD,CE

相交于點尸，若48=20。，則/DEE等于.

【典例17].

22.如圖，在△ABC中，NABC=90。,點。是5C邊上的一點，點E是4D的中點，連結

BE.若點。在邊/C的垂直平分線上，且DC=6,則BE的長為.

【典例181

23.如圖，△NBC中，AB=AC=n,BC=8,AD平分/B4C交BC于點D,點E為AC

的中點，連接DE,則ACDE的周長為.

【典例19].

試卷第7頁，共18頁

24.如圖，在RMABC中，ZACB=90°,/8=40。，點。是的中點，將“CD沿CD對

折，點A落在點4處，4。與8c相交于點E,則NBEA的度數為.

【典20】.

25.如圖，在RtZ\/8C中，NZC2=90。，點。為N8的中點，連接C。，過點2作BE,CD

于點、E,點、F為AC上一點,NCDF=NCBA,若8c=1,AB=2,則所的長

為.

題型6：直角三角形的性質綜合

【典例21].

26.如圖，在RtZk/8C中，44cB=90°,43的垂直平分線QE交8c的延長線于尸，若

/尸=30。，DE=\,則防的長是.

【典例22].

27.如圖，等邊A/BC中，點P是。延長線上一點，點。是5c上一點，且尸5=尸。.若

CP+CD=10,BD=3,則N8的長為.

試卷第8頁，共18頁

p

A

【典例231

28.如圖，在△/BC中，垂直平分分別交48、BC于點、D、E,NE平分

NBAC/B=3Q°,DE=2,則8c的長為.

【典例241.

29.如圖，在ZUBC中，AB=AC,OE垂直平分42.若8￡_L/C,AF1BC,垂足分別

為點E,F,連接斯，則/EFC=.

【典例25]

30.如圖，在△NBC中，AB=BC,AABC=90°,。在△4BC內部，以C。為直角邊作等

腰直角三角形CDE,ZCDE=90°,連接4D,且乙4cD+/G4E=60。，若CD=8,S△皿=36,

則AE=

試卷第9頁，共18頁

題型7：解答題

【典例26].

31.已知如圖，在△48C中，AB=AC,ZB=30°,ADYAC,求證：CD=2BD.

【典例271.

32.如圖，CD是的斜邊42上的中線，乙4=30。.

⑴求的度數.

⑵若48=10,求ABDC的周長.

【典例281

33.如圖，在RtZk/8C中，44c8=90。，CD是斜邊43上的中線，過點/作/ELCZ)于

點、F,交CB于點、E.

(1)求證：NCAE=NB；

Q)若NEAB=NDCB,求證：BE=2CE.

【典例291

34.如圖，ZUBC中，AD是高，CE是中線，點G是CE的中點，OGLCE,點G為垂

足.

試卷第10頁，共18頁

⑴求證：DC=BE；

⑵若N/￡C=60。，求/BCE的度數.

【典例301

35.如圖，在△NBC中，點。在上，且CD=C8,點E為8。的中點，點尸為ZC的中

點，連接斯交C。于點/，連接

(1)求線段E尸、/C之間的數量關系；

(2)若N8/C=45。，求線段/M、DM、8c之間的數量關系.

【典例31].

36.如圖，在四邊形/BCD中，NC平分/24D,且/8+/。=180。.

⑴求證：CB=CD；

(2)如圖2,其余條件不變，若N4CD=90。,AB=CD,ND=。.

(3)如圖3,其余條件不變，若/B4D=120°,判斷的數量關系，并說明理由.

強化訓練

、單選題

37.在直角三角形中，若斜邊上的中線長為6,則斜邊長為(

C.12D.無法確定

試卷第11頁，共18頁

38.在用A/8C中，//。8=90。,//=30。,/8=2,則8c為()

A.4B.2C.1D.不能確定

39.如圖，ZX/BC中，為中線，AD1AC,ABAD=30°,AB=3,則NC長()

BDC

A.2.5B.2C.1D.1.5

40.如圖，ZL4BC的三個內角比為1：1：2,且30=240,則4C&）是（）

A

A.5°B.10°C.15°D.45°

41.如圖，4OP=CBOP=\5。,PCWOA,PDLOA,若PC=4,則PZ）等于（）

/

ODA

A.3B.2.5C.2D.1

42.如圖，在△/5C中，ZC=90°,AC-二3,/5=30。，點P是5。邊上的動點，則,尸長

不可能是（）

A

CPB

A.5B.4C.6D.7

43.如圖，在用A42C中，乙4c3=90。，乙4=65。，CDLAB,垂足為。，E是5c的中點,

連接他，貝吐。EC的度數是（）

試卷第12頁，共18頁

c

A.50°B.40°C.30°D.25°

44.如圖，等邊三角形/BC中，D、E分別在/8,/C邊上，且交于p點,

則圖中60度的角共有()

A

BC

A.6個B.5個C.4個D.3個

45.在四邊形48。中，448c=4DC=90。，點E為對角線NC的中點，N8C/=43。,

ZACD=25°,連接8。，BE,DE,貝！JZBZ)E=()

A.25°B.22°C.30°D.32°

46.如圖，在等邊△4BC中，D,E分別是2C,/C邊上的點，且4&=CD,與BE相交

于點尸，。尸垂直于BE.則/尸：8尸=()

試卷第13頁，共18頁

E

C.1:3D.1:4

二、填空題

47.在RtZX/BC中，ZC=90°,NB=60°,AB=12,貝l]3C=.

48.如圖，在放A45c中，ZC=9O°,BD平分UBC,AD=4,CD=2,那么41=度.

49.在4IBC中，乙4cB=90°,CA=CB,4D是448C中NCX8的平分線，點E在直線48上,

如果DE=2CD,那么Z^DE=.

50.如圖，在△/8C中，ZACB=90°,=30°,CE=2,邊的垂直平分線交于點。,

交/C于點E,那么/E的長為.

51.如圖，在△4BC中，點。在邊8c上，AB=AD,點、E,點尸分別是/C,8。的中點,

跖=3.5,則/C的長為.

試卷第14頁，共18頁

A

52.如圖，在△4BC中，/ABC=90°,點。是5c邊上的一點，點￡是/。的中點，連結

BE.若點。在邊/C的垂直平分線上，且DC=6,則BE的長為.

53.在A48c中，N3=15。，448C的面積為3,過點N作/。1/8交邊3c邊于點D.設

BC=x,BD=y.那么y與x之間的函數解析式.（不寫函數定義域）.

54.如圖，在等腰RSABC中，NACB=90。,4C=BC,點、M,N分別是邊/及8。上的動點，

△2九W與△B'MN關于直線對稱，點2的對稱點為夕.當/8MS'=30。且CN=AW時,

若CMBC=2,則AAMC的面積為.

C

三、解答題

55.房梁的一部分如圖所示，其中8。，/。,//=30。,/8=7.4111,點。是/2的中點，且

DE1AC,垂足為E,求的長.

試卷第15頁，共18頁

B

56.如圖,在等邊三角形ABC中，點。、E分別在邊BC、AC上，DE〃AB,過點E作EF上DE,

交的延長線于點?

（1）求N尸的度數；

⑵若CD=2.5,求。尸的長.

57.如圖，在A45C中,AB=AC,乙8=30。.

（1）在8c邊上求作一點N,使得NN=3N；（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，求證：CN=2BN.

58.已知：如圖，在△ZBC中，AB=CB,4840=45。，高4）與高BE相交于點尸，G為BF

的中點.

(1)DG=DE；

試卷第16頁，共18頁

⑵NDEG=/DEC.

59.己知：如圖，在四邊形/BCD中，ABAD=ZBCD=90°,4c平分/BAD,點、E是BD

中點，AF1BD,垂足為點尸.求證：

(\)AABF=ADAF；

(2)CB=CD.

60.如圖，△4BC和△NDE中，AB=AD,NB=ND,BC=DE.邊/。與邊BC交于點尸

(不與點8,C重合),點、B,E在4D異側.

(1)若/8=30。，ZAPC=70°,求/C4E的度數；

(2)當N8=30。，AB1AC,/8=6時，設/尸=x,請用含x的式子表示PD,并寫出尸。的

最大值.

61.在△4BC中，ZACB=60°,點。在48邊上，連接CO,ZADC=1ABCD+AACD.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：△ABC為等邊三角形；

試卷第17頁，共18頁

(2)如圖2,點￡在/C邊上，連接BE交CD于尸，若4E=BD,求/CEE的度數；

⑶如圖3,在(2)的條件下，點尸是BE中點，點G在以延長線上，連接CG,且

/ACG=/BCD,過點C作S上帥于點“，若CG=16,DF+EH=3,求線段&尸的

長.

試卷第18頁，共18頁

1.D

【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質的應用，在直角三角形中，如果有一個

角是30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

根據含30度角的直角三角形性質得出AB=^AC,代入求解即可.

【詳解】VZABC=90°,ZC=30°,AB=2,

AB=-AC=2

2

，/C=4

故選D.

2.A

【分析】本題考查直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半是解題的關鍵.

【詳解】解：???N/C8=90。，點。為AB的中點，

：.CD^-AB=\cm,

2

故選A.

3.45。##45度

3

【分析】先由/BCD=3ZACD得出/BCD=—x90°=67.5,再根據直角三角形兩銳角互余求

1+3

出N2的度數，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得CE=8E,算出NECS,最后結

合三角形的外角性質作答即可.本題考查了直角三角形斜邊上的中線，三角形外角性質，直

角三角形兩銳角互余，解題的關鍵是掌握直角三角形斜邊中線的性質.

【詳解】解：,.?/2。=3乙4。，^ACB=90°,

3

ZBCD=——x90°=67.5°,

1+3

CD1AB,

在R3CD中，ZB=90°-ZBCD=90°-67.5°=22.5°,

???￡是48的中點，

：.CE=BE,NECB=NB=22.5°

/AEC=NECB+ZB=45°

故答案為：45°

4.21

答案第1頁，共40頁

【分析】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質，熟記直角三角形中，斜邊上的中線

等于斜邊的一半是解題的關鍵.

根據直角三角形斜邊上的中線的性質分別求出DE.DF,根據線段中點的概念分別求出AE、

AF,進而求出四邊形/即尸的周長.

【詳解】解：40是△48。的高，

ZADB=ZADC=90°,

?E、尸分別是NC的中點，

.-.DE=-AB=—,DF=-AC=5,AE=-AB=—,AF=-AC=5,

222222

???四邊形/EOF的周長尸+4F=21,

故答案為：21.

5.20

【分析】此題考查了等腰三角形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，

根據角平分線的概念得到NE4D=；/A4C=20。,然后利用等腰三角形三線合一性質得到

AD1BC,然后利用直角三角形斜邊中線的性質得到===進而求解即

可.

【詳解】AD平分ZBAC,ZBAC=40°

.-.ZEAD=-ZBAC=20°

2

?；AB=AC,AD平分/BAC,

AD1BC

???點E是48的中點，

.-.AE=BE=DE=-AB

2

：.NEAD=NEDA=20°.

故答案為：20.

6.B

【分析】根據直角三角形的兩銳角互余求解即可.

【詳解】解:VZC=90°,

:.ZA+ZB=90°,

4=55°,

答案第2頁，共40頁

:.ZB=35°.

故選：B.

【點睛】此題考查了直角三角形的性質，熟記“直角三角形的兩銳角互余”是解題的關鍵.

7.A

【分析】根據直角三角形的兩銳角互余即可求解.

【詳解】解：???直角三角形的一銳角是50。，

另一銳角是90。-50。=40。.

故選A.

【點睛】本題考查了直角三角形的兩銳角互余，掌握直角三角形的性質是解題的關鍵.

8.B

【分析】由“直角三角形的兩銳角互余”，結合題目條件，找出與乙4互余的角.

【詳解】解：???乙4c8=90。，。是N8邊上的高線，

山+4=90。，AA+^ACD=90°,

???與、互余的角有2個，故B正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質，直角三角形的兩銳角互余.

9.D

【分析】根據含30度角的直角三角形的性質即可求解.

【詳解】解：,??在△4BC中，ZC=90°,48=30。，AB=4.

.-.AC=-AB=2.

2

故選：D.

【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質，掌握直角三角形中30度所對的直角邊

等于斜邊的一半是解題的關鍵.

10.B

【分析】先利用兩個直角等量代換得出48。=44,再利用30。角所對的直角邊是斜邊的

一半求出8C的長度，然后則的長度可求.

【詳解】解：■:CDLAB,

ZADC=ZBDC=90°,

+ZACD=90°,ZBCD+ZACD=90°,

答案第3頁，共40頁

:.ZBCD=ZA=30°,

■■■BD=1,

BC=2BD=2

AB=2BC=4.

故選：B.

【點睛】本題主要考查含30。角的直角三角形的性質，解題的關鍵是掌握30。角所對的直角

邊是斜邊的一半是解題的關鍵.

11.C

【分析】作于。，根據30。角所對直角邊是斜邊一半的性質可得的長，根據等

腰三角形三線合一的性質求出,即可得出OM的長.

【詳解】解：如圖，過P作血W,交MN于點、D,

在RMOPD中，AAOB=60°,OP=8,

；.NAPD=30°,

.-.OD=-OP=-x8=4,

22

???PM=PN,PD1MN,MN=2,

.-.MD=ND=-MN=-x2=1,

22

：.OM=OD-MD=4-\^3,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了含30。角的直角三角形性質、等腰三角形的“三線合一”性質，解題

的關鍵是過點尸作尸。，肱V.

12.A

【分析】由直角三角形兩銳角互余可得=30。，然后根據三角形外角的性質求得

NABD=15°,從而得到乙4,最后根據等角對等邊可得4D=AD即可解答.

答案第4頁，共40頁

【詳解】解：???/Q5C=60。，ZC=90°,

Z5DC=90°-60°=30°,

：.BD=2BC=4,

ZBDC=ZA+ZABD,ZA=15°

???/力皿=15。，

ABD=/A,

*，?AD=BD=4.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余的性質、三角形外角的性質、等腰三角形的

性質等知識點，靈活運用等角對等邊的性質是解題的關鍵.

13.C

【分析】本題考查等腰三角形的性質，含30。角的直角三角形的性質.

根據等腰三角形的頂角NBAC=120°可求得底角N3=NC=30°,因此在RtA/BD中,

AD=^AB,即可解答.

［詳解］AB=AC,ABAC=120°,

；.NB=NC=30°

,■AD是高,

AADB=90°,

...AD=gAB=gx8=4(m).

故選：C

14.A

【分析】過點/作/DL8C,垂足為D,利用等腰三角形的性質可得/5=NC=30。，然

后利用含30度角的直角三角形的性質進行計算即可解答.

【詳解】解：如圖：過點/作ADL8C,垂足為D,

答案第5頁，共40頁

.-.ZS=ZC=1(180°-Z8/C)=30。，

???AD1BC,

ZADC=90°,

.-.AD^-AC^3,

2

???底邊上的高為3,

故選：A.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握等腰三

角形的性質，以及含30度角的直角三角形的性質是解題的關鍵.

15.C

【分析】先根據,求出NC的度數，再根據刈_L力。，求出5。的長，從而得出NADB

的度數，再根據30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出。C的長，即可得出答案.

【詳解】解：???/5=4C,

Z5=ZC=30°,

???AB1AD,

BD=2AD=2x2=4,

???ZB+ZADB=90°,

ZADB=60°,

???ZADB=ADAC+ZC=60°,

.??ADAC=30°,

/DAC=/C,

.?.DC=AD=29

??.BC=BD+DC=4+2=6.

故選：C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、三角形內角和定理、含30。角的直角三角形的性質;

熟練掌握等腰三角形的性質，求出5。和CD的長度是解決問題的關鍵.

16.A

【分析】根據直角三角形斜邊上的中線性質得出CM=代入求出即可.

【詳解】W：■■-ACVBC,

.-.ZACB=90°,即△NC8是直角三角形，為斜邊，

答案第6頁，共40頁

為48的中點，

-.CM=-AB,

2

vAB=3.6km,

CM=—AB=1.8km,

2

故選：A.

【點睛】此題考查直角三角形斜邊上的中線性質，能根據直角三角形斜邊上的中線性質得出

CM=^ABAB是解題的關鍵.

17.B

【分析】根據直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半，求出斜邊的長，再利用三角形面

積公式即可求解.

【詳解】???直角三角形斜邊的中線為3,

???直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半，

???該直角三角形的斜邊長為3x2=6,

???直角三角形斜邊上的高線為2,

???直角三角形面積為：6X2X1=6,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的知識，掌握直角三角

形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解答本題的關鍵.

18.C

【分析】根據三角形內角和定理可得乙4=30。，由直角三角形斜邊上的中線的性質得出

AC=2BD=4,再利用含30度角的直角三角形的性質求解即可.

【詳解】解：■■-^ABC=90°,ZC=6O°,

山=30°,

?.?點。為邊NC的中點，BD=2

.-.AC=2BD=4,

：.BC=—AC=2,

2

故選：C.

【點睛】題目主要考查三角形內角和定理及直角三角形斜邊上中線的性質，含30度角的直

答案第7頁，共40頁

角三角形的性質等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵.

19.C

【分析】利用等腰三角形三線合一以及直角三角形斜邊上的中線進行求解即可.

[Wl■■-AB=AC=10,平分Z2/C,

AD1BC,

.-.ZADC=9Q°,

為NC的中點，

.-.DE=-AC=5,

2

故選C.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質和直角三角形斜邊上的中線.熟練掌握等腰三角形三線

合一和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵.

20.C

【分析】由直角三角形的性質可得，即可求解NNC￡>=25。，根據等腰三角形的性

質及三角形外角的性質可求得NBEC=50。，再利用三角形外角的性質可求解.

【詳解】解：,㈤為月8的中點，ZACB=90°,

CD=AD,

ZACD=ZA=25°,

AE=BE,

??.ZABE=ZA=25°,

??.NBEC=ZA+/ABE=50°,

??.ZDFE=ZACD+ZBEC=25°+50°=75°,

故選：c.

【點睛】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質，三角形外角的性質,

求解乙4C。，/3EC的度數是解題的關鍵.

21.60°##60度

【分析】本題考查直角三角形斜邊中線的性質、等腰三角形的性質、三角形外角的定義和性

質，解題的關鍵是掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半；等腰三角形中等邊對等角；三

角形中任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

根據直角三角形斜邊中線的性質可得==進而可得N￡CB=/B=20。，再根據

答案第8頁，共40頁

三角形外角的定義和性質即可求解.

【詳解】解：UBC中，N/CB=90。，點E為的中點，

CE=-AB=BE,

2

NECB=ZB=20°,

AD=BD,

ABAD=/B=20°,

/./ADC=/BAD+/B=40°,

ZDFE=ZADC+/ECB=40°+20°=60°,

故答案為：60°.

22.3

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，直角三角形的性質，先根據線段垂直平分

線的性質得=CD=6,再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出答案?

【詳解】???點。在/C的垂直平分線上，

AD=CD=6,

???/ZBC=90。，點E是4D的中點,

：.BE=-AD=3-

2

故答案為：3.

23.16

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質及直角三角形斜邊中線的性質.由題意易得

CD=BD=4,DE=CE=6,進而問題可求解.

【詳解】解：???/8=/C=12,4D平分/3/C,

：.BD=CD,AD1BC,

v5C=8,

CD=BD=4,

,:點、E為AC的中點，

.-.DE=CE=-AC=6,

2

的周長為CD+CE+DE=16；

故答案為：16.

24.120°##120度

答案第9頁，共40頁

【分析】本題考查直角三角形中的折疊問題，涉及三角形的內角和定理的應用，解題的關鍵

是掌握折疊的性質.

由//C8=90。，Z5=40°,得44=50。，根據。是斜邊的中點，得//CD=乙4=50。，

可得/40。=180。-//0-乙4=80。，而將A/CO沿對折，使點A落在點4處，有

ACDA!=ZADC=60°,即知N8DE=18(T-NCZ)H-N/DC=20。，從而可得答案.

【詳解】解：,.?//C8=90。，ZB=40°,

N4=50°,

?.?。是斜邊48的中點，

:.CD=-AB=AD,

2

:.ZACD=ZA=50°,

ZADC=1SO°-ZACD-ZA=80°,

???將A4CD沿CD對折，使點A落在點H處，

ZCDA'=ZADC=80°,

ZBDE=1800-ZCDA'-ZADC=20°,

ABED=1800-NBDE-NB=180°-20°-40°=120°,

故答案為：120。.

25.-##0.5

2

【分析】先根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得CD==1,又由5c=1可

得△3。為等邊三角形，進而可得則可得ZDC尸=30。.由

BELCD,根據“等腰三角形三線合一”可得=30。，DE=；.又由

NCDF=NCBA=ABDC=60。可得ACDFABDE,進而可得DF=DE,則可得NEDF是等

邊三角形，由此可得所的長.

【詳解】解：在RtA4BC中，N/C8=90。，點。為的中點，，AB=2,

：.CD=BD=AD=-AB=\,

2

又=

.?.△8C。為等邊三角形，

/BCD=ZCBD=ZBDC=60°,

ZDCF=ZACB-ZBCD=90°-60°=30°,

答案第10頁，共40頁

?.?BELCD,

ADBE=-ZCBD=30°,且?！?

222

?.ZDCF=ZDBE,

XvZCDF=ZCBA,ZCBA=ZBDC=60°,

/CDF=ZBDE=60°,

在和ABDE中,

ZDCF=ZDBE

<DC=DB,

/CDF=NBDE

:.ACDF^^BDE(ASA),

:.DF=DE=~,

2

:.^EDF是等邊三角形，

EF=DE=-.

2

故答案為：—.

2

【點睛】本題主要考查了“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的性質，等邊三角形的

判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

26.2

【分析】本題考查了垂直平分線的性質、直角三角形的性質，其中靈活利用垂直平分線的性

質和直角三角形30。角所對的邊等于斜邊的一半是解答本題的關鍵.

連接BE,根據垂直平分線的性質、直角三角形的性質，說明=進一步說明

BE=EF,然后再根據直角三角形中，30。所對的直角邊等于斜邊的一半即可.

【詳解】解：如圖：連接BE

■■■AB的垂直平分線DE交BC的延長線于F,

???AE=BE,NABE=ZA,NA+NAED=9Q°,

?.?在Rt^4BC中，ZACB=90°,

答案第11頁，共40頁

??.ZECF=90°

??.ZF+ZC^F=90°,

?：/AED=/FEC,

=/方=30。，

：./ABE=/A=3。。,ZABC=90°-ZA=60°,

???ZCBE=ZABC-/ABE=30°,

???/CBE=/F,

???BE=EF,

在RtaBEZ)中，BE=2DE=2x\=2,

:.EF=2.

故答案為2

16

27.—

3

【分析】本題主要考查了含有30度的直角三角形、等腰三角形的性質、等邊三角形的性質

等內容，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.由必=尸?？蛇^尸作垂直，利用三線合一求出

133

DM=-BD=-,再設CZ)=x,則CP=10—x,CM=x+~,最后在Rt△尸CM中，利用30

222

度所對直角邊是斜邊的一半建立方程，求出X,進而求出8C,即可得解.

【詳解】解：過尸作PM」3c于點"，

P

3

設CD=x,貝(JCM=CQ+QM=X+5,

vCP+CZ)=10,

：.CP=10-x,

???△45C是等邊三角形，

ZC=60°,AB=BC,

答案第12頁，共40頁

???PMIBC,

/PMC=90°,

ZMPC=30°,

131

：.CM=-CP,BPx+|=-(10-x),

7

解得無=H，

71

:.BC=BD+CD=3+-=—,

33

.?"=竺.

3

故答案為：—.

28.6

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，角平分線的性質，含30。的直角三角形的性質，

先線段垂直平分線的性質得出/￡=利用等邊對等角得出/以￡=/8=30。，利用角平

分線的定義得出/A4c=2/民4￡=60。，利用三角形內角和定理求出NC=90。，利用角平分

線的性質得出CE=OE=2,利用含30。的直角三角形的性質求出8￡=2?！?4,進而即可

求解.

【詳解】解：--DE垂直平分AB,

?t?AE=BE,

ZBAE=ZB=30°,

???/￡平分/8/C,

ABAC=2/BAE=60°,

ZC=180°-ZS-ABAC=90°,

CE=DE=2,

?；NBDE=90°,NB=30°,

■■■BE=2DE=4

:.BC=BE+CE=6,

故答案為：6.

29.45°##45度

【分析】本題考查了線段垂直平分線性質，等腰三角形的性質與判定，根據三線合一證明,

直角三角形斜邊中線性質，運用等腰三角形三線合一證明是解題關鍵.根據題意可證

答案第13頁，共40頁

是等腰直角三角形，NB4c=45。，根據等腰三角形三線合一可得/C/尸=22.5。，根據同角

的余角相等可得/CB￡=22.5。，根據直角三角形斜邊中線性質可證△5FE是等腰三角形，

進而求出其外角ZEFC的度數.

【詳解】解：,??。內垂直平分BEVAC,

BE=AE,是等腰直角三角形，

???/BAE=/ABE=45°.

vAB=AC,AFIBC,

??./C/尸=22.5。，BF=CF,

???在直角MFC和直角XBEC中,ZCAF和/CBE都和NC互余，

；?NCBE=NCAF=225。,

■：BF=CF=-BC,

2

二點尸是BC中點，斯是直角aBEC的中線，

.-.EF=-BC,

2

BF=EF,

:"BEF=NCBE=22.5°,

ZEFC=ZCBE+ZBEF=22.5°+22.5°=45°.

故答案為：45°.

30.18

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質、三角形內角和定理、直角三角形的性質，由三

角形內角和定理求出乙=30。，再由直角三角形的性質得出===最

后再由三角形面積公式計算即可得出答案.

【詳解】解：如圖，作ZWLZE于"，

ZCDE=90°,

ZDCE+ZDEC=90°,

答案第14頁，共40頁

??.NCAE+ZACD+ZAED=90°,

-ZCAE+ZACD=60°,

："DEH=30。,

：.DH=-DE=-DC=4,

22

???SADF=36=4AEx4,

AAUE2

AE=18,

故答案為：18.

31.證明見解析

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質與判定，三角形內角和定理，含30度角的直角

三角形的小侄子，先根據等邊對等角得到/C=/8=30。，則由三角形內角和定理得到

ZBAC=120°f由垂直的定義得到4UC=90。，則

CD=2AD,ABAD=ABAC-ADAC=30°,進一步證明Z5=Z&4Z）,得到5。=/。，則

CD=2BD.

【詳解】證明：???在A/BC中，AB=AC,NB=30。,

??.NC=NB=3。。,

???ABAC=180°-ZJ9-ZC=120°,

???ADIAC,

：.ZDAC=90°,

:.CD=2AD,ZBAD=ABAC-ADAC=30°,

；.ZB=ZBAD,

???BD=AD,

.'.CD=2BD.

32.（1）4=60。

⑵ABDC的周長為15

【分析】此題考查了直角三角形的性質，等邊三角形的性質和判定，

（1）根據直角三角形兩銳角互余求解即可；

（2）首先根據直角三角形的性質得到CD=O8=g/8=5,然后證明出A3DC是等邊三角

形，進而求解即可.

【詳解】（1）解：?.?"=90。,4=30°,

答案第15頁，共40頁

Z.B=60°.

(2)解：???。。是的斜邊邊上的中線，且48=10,

：.CD=DB=-AB=5,

2

■：ZB=60°,

.?.△8DC是等邊三角形，

.?.△8Z)C的周長為15.

33.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據/E_LCD,得出/C4E+//C尸=90。，根據//CF+NDC8=90。，推出

NCAE=ZDCB,根據CD是斜邊上的中線，得出CO=AD=,進而得出ZB=ZDCB,

即可等量代換求證；

(2)由(1)可得：ZCAE=ZDCB=ZB,則NC4E=NDCB=NB=NE4B,得出則/￡平

分/BAC,推出/C=/D,進而得出A/CD為等邊三角形，則NC4E=；NCNQ=30。，得

出4E=2CE,根據等角對等邊得出=即可求證.

【詳解】(1)證明：???/￡，CD,

.-.ZCAE+ZACF=90°,

NACB=90°,

ZACF+ZDCB^90°,

ZCAE=ZDCB,

???。是斜邊上的中線，

■,CD=BD=-AB,

2

■.ZB=ZDCB,

.-.ZCAE=ZB；

(2)解：由(1)可得：ZCAE=ZDCB=ZB,

ZEAB=ZDCB,

ZCAE=ZDCB=NB=/EAB,則AE平分/2/C,

???AEVCD,

：.AC=AD,

答案第16頁，共40頁

???C。是斜邊45上的中線，

:,CD=AD,

???△/CD為等邊三角形，貝IJ/C4D=6