2024-2025學(xué)年滬教版八年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：直角三角形的性質(zhì)（含答案）

第29講直角三角形的性質(zhì)（七大題型）

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、知道直角三角形中兩銳角互余；2、學(xué)會直角三角形中30。角的性質(zhì)及推論;

3、掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半.

02思維導(dǎo)圖

L一

1

2■急三焦影上的-學(xué)

3t三/SWmftM論

■SMU三a中你。

?SBMKTmmwvvwiI

SV6

■BTarM

03知識清單

直角三角形的性質(zhì)

定理1:直角三角形的兩個銳角互余.

定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

推論1：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于

30°.

要點：這個定理的前提條件是“在直角三角形中“，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜

邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.

試卷第1頁，共18頁

【即學(xué)即練1】

1.如圖，在RtZUBC中，ZABC=90°,ZC=30°,若48=2,則/C=()

【即學(xué)即練2】

2.如圖，在△ABC中，/ACB=90°,/B=2cm,點。為AB的中點，則8=()

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【即學(xué)即練3】

3.如圖，在RtZ\/CB中，ZACB=90°,CDL/B于點D,ZBCD=3ZACD,E是N8的中

【即學(xué)即練4】

4.如圖，△48。中，AD是高，E、尸分別是48、NC的中點.若/2=11,AC=10,則四

邊形AEDF的周長為.

【即學(xué)即練5】

試卷第2頁，共18頁

5.如圖，在△/BC中，AB=AC,40平分/A4C,點E是42的中點，ZBAC=40°,則

ZADE=

「題型精講

04

題型1:直角三角形的兩個銳角互余

【典例11

6.如圖，在RtA48C中，NC=90。，乙4=55。，則/8的度數(shù)為（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

【典例2】.

7.直角三角形的一銳角是50。，那么另一銳角是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【典例3】.

8.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,則與乙4互余的角有（）

C.3個D.4個

題型2：Rt▲中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半

試卷第3頁，共18頁

【典例4】.

9.如圖，在△/BC中，ZC=90°,ZS=30°,4B=4.則NC的長度是（）

【典例5】.

10.如圖，在反5。中，ZACB=90°,ZA=30°,CD1AB,BD=1.則N3長為（）.

A.3B.4C.5D.6

題型3：Rt▲中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半與三角形其他性質(zhì)結(jié)合

【典例6】.

11.如圖，已知乙408=60。，點P在邊0/上，OP=8,點、M、N在邊08上，PM=PN,

若MN=2,則（W=（）

A.1B.2C.3D.4

【典7】.

12.如圖，在△NBC中，ZC=90°,44=15。，點。是NC上一點，連接AD,

ZDBC=60°,BC=2,則/。長是（）

試卷第4頁，共18頁

B

【典例8】

13.如圖，廠房屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中斜梁43=/C=8m,且頂角

ZBAC=120°f則高（）

A.16mB.8mC.4m

【典例9】.

14.等腰三角形的頂角為120。，腰長為6,則它底邊上的高等于（

【典例101

15.如圖，在△4BC中，AB=AC,Z5=30°,AD，AB交BC于點、D,AD=2,則BC的

長是（）

題型4：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

【典例111

16.如圖，公路/C、8c互相垂直，公路的中點M與點C被湖隔開，若測得N2的長

為3.6km,則M、C兩點間的距離為（）

試卷第5頁，共18頁

A.1.8kmB.3kmC.1kmD.3.6km

【典例12].

17.已知直角三角形斜邊上的高線為2,斜邊上的中線長3,則直角三角形的面積為（）

A.5B.6C.7D.8

【典例131.

18.如圖，在RtZX/BC中，乙48c=90。，/C=60。，點。為邊/C的中點，BD=2,則2C

的長為（）

A.V3B.2#>C.2D.4

【典例141.

19.如圖，在△4BC中，N8=/C,/8/C的平分線交8c于點。，E為NC的中點，若/8=10,

則。E的長是（）

A.8B.6C.5D.4

【典例15].

試卷第6頁，共18頁

20.如圖，在△4BC中，44c8=90。，點。為的中點，點E在NC上，^.AE=BE,

連接CD交3E于點尸，若N/=25。，則乙DFE的度數(shù)（）

題型5：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半與三角形其他性質(zhì)結(jié)合

【典例161

21.如圖，△ABC中，N/C2=90。，點E為的中點，點。在上，且AD,CE

相交于點尸，若48=20。，則/DEE等于.

【典例17].

22.如圖，在△ABC中，NABC=90。,點。是5C邊上的一點，點E是4D的中點，連結(jié)

BE.若點。在邊/C的垂直平分線上，且DC=6,則BE的長為.

【典例181

23.如圖，△NBC中，AB=AC=n,BC=8,AD平分/B4C交BC于點D,點E為AC

的中點，連接DE,則ACDE的周長為.

【典例19].

試卷第7頁，共18頁

24.如圖，在RMABC中，ZACB=90°,/8=40。，點。是的中點，將“CD沿CD對

折，點A落在點4處，4。與8c相交于點E,則NBEA的度數(shù)為.

【典20】.

25.如圖，在RtZ\/8C中，NZC2=90。，點。為N8的中點，連接C。，過點2作BE,CD

于點、E,點、F為AC上一點,NCDF=NCBA,若8c=1,AB=2,則所的長

為.

題型6：直角三角形的性質(zhì)綜合

【典例21].

26.如圖，在RtZk/8C中，44cB=90°,43的垂直平分線QE交8c的延長線于尸，若

/尸=30。，DE=\,則防的長是.

【典例22].

27.如圖，等邊A/BC中，點P是。延長線上一點，點。是5c上一點，且尸5=尸。.若

CP+CD=10,BD=3,則N8的長為.

試卷第8頁，共18頁

p

A

【典例231

28.如圖，在△/BC中，垂直平分分別交48、BC于點、D、E,NE平分

NBAC/B=3Q°,DE=2,則8c的長為.

【典例241.

29.如圖，在ZUBC中，AB=AC,OE垂直平分42.若8￡_L/C,AF1BC,垂足分別

為點E,F,連接斯，則/EFC=.

【典例25]

30.如圖，在△NBC中，AB=BC,AABC=90°,。在△4BC內(nèi)部，以C。為直角邊作等

腰直角三角形CDE,ZCDE=90°,連接4D,且乙4cD+/G4E=60。，若CD=8,S△皿=36,

則AE=

試卷第9頁，共18頁

題型7：解答題

【典例26].

31.已知如圖，在△48C中，AB=AC,ZB=30°,ADYAC,求證：CD=2BD.

【典例271.

32.如圖，CD是的斜邊42上的中線，乙4=30。.

⑴求的度數(shù).

⑵若48=10,求ABDC的周長.

【典例281

33.如圖，在RtZk/8C中，44c8=90。，CD是斜邊43上的中線，過點/作/ELCZ)于

點、F,交CB于點、E.

(1)求證：NCAE=NB；

Q)若NEAB=NDCB,求證：BE=2CE.

【典例291

34.如圖，ZUBC中，AD是高，CE是中線，點G是CE的中點，OGLCE,點G為垂

足.

試卷第10頁，共18頁

⑴求證：DC=BE；

⑵若N/￡C=60。，求/BCE的度數(shù).

【典例301

35.如圖，在△NBC中，點。在上，且CD=C8,點E為8。的中點，點尸為ZC的中

點，連接斯交C。于點/，連接

(1)求線段E尸、/C之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)若N8/C=45。，求線段/M、DM、8c之間的數(shù)量關(guān)系.

【典例31].

36.如圖，在四邊形/BCD中，NC平分/24D,且/8+/。=180。.

⑴求證：CB=CD；

(2)如圖2,其余條件不變，若N4CD=90。,AB=CD,ND=。.

(3)如圖3,其余條件不變，若/B4D=120°,判斷的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

強(qiáng)化訓(xùn)練

、單選題

37.在直角三角形中，若斜邊上的中線長為6,則斜邊長為(

C.12D.無法確定

試卷第11頁，共18頁

38.在用A/8C中，//。8=90。,//=30。,/8=2,則8c為()

A.4B.2C.1D.不能確定

39.如圖，ZX/BC中，為中線，AD1AC,ABAD=30°,AB=3,則NC長()

BDC

A.2.5B.2C.1D.1.5

40.如圖，ZL4BC的三個內(nèi)角比為1：1：2,且30=240,則4C&）是（）

A

A.5°B.10°C.15°D.45°

41.如圖，4OP=CBOP=\5。,PCWOA,PDLOA,若PC=4,則PZ）等于（）

/

ODA

A.3B.2.5C.2D.1

42.如圖，在△/5C中，ZC=90°,AC-二3,/5=30。，點P是5。邊上的動點，則,尸長

不可能是（）

A

CPB

A.5B.4C.6D.7

43.如圖，在用A42C中，乙4c3=90。，乙4=65。，CDLAB,垂足為。，E是5c的中點,

連接他，貝吐。EC的度數(shù)是（）

試卷第12頁，共18頁

c

A.50°B.40°C.30°D.25°

44.如圖，等邊三角形/BC中，D、E分別在/8,/C邊上，且交于p點,

則圖中60度的角共有()

A

BC

A.6個B.5個C.4個D.3個

45.在四邊形48。中，448c=4DC=90。，點E為對角線NC的中點，N8C/=43。,

ZACD=25°,連接8。，BE,DE,貝！JZBZ)E=()

A.25°B.22°C.30°D.32°

46.如圖，在等邊△4BC中，D,E分別是2C,/C邊上的點，且4&=CD,與BE相交

于點尸，。尸垂直于BE.則/尸：8尸=()

試卷第13頁，共18頁

E

C.1:3D.1:4

二、填空題

47.在RtZX/BC中，ZC=90°,NB=60°,AB=12,貝l]3C=.

48.如圖，在放A45c中，ZC=9O°,BD平分UBC,AD=4,CD=2,那么41=度.

49.在4IBC中，乙4cB=90°,CA=CB,4D是448C中NCX8的平分線，點E在直線48上,

如果DE=2CD,那么Z^DE=.

50.如圖，在△/8C中，ZACB=90°,=30°,CE=2,邊的垂直平分線交于點。,

交/C于點E,那么/E的長為.

51.如圖，在△4BC中，點。在邊8c上，AB=AD,點、E,點尸分別是/C,8。的中點,

跖=3.5,則/C的長為.

試卷第14頁，共18頁

A

52.如圖，在△4BC中，/ABC=90°,點。是5c邊上的一點，點￡是/。的中點，連結(jié)

BE.若點。在邊/C的垂直平分線上，且DC=6,則BE的長為.

53.在A48c中，N3=15。，448C的面積為3,過點N作/。1/8交邊3c邊于點D.設(shè)

BC=x,BD=y.那么y與x之間的函數(shù)解析式.（不寫函數(shù)定義域）.

54.如圖，在等腰RSABC中，NACB=90。,4C=BC,點、M,N分別是邊/及8。上的動點，

△2九W與△B'MN關(guān)于直線對稱，點2的對稱點為夕.當(dāng)/8MS'=30。且CN=AW時,

若CMBC=2,則AAMC的面積為.

C

三、解答題

55.房梁的一部分如圖所示，其中8。，/。,//=30。,/8=7.4111,點。是/2的中點，且

DE1AC,垂足為E,求的長.

試卷第15頁，共18頁

B

56.如圖,在等邊三角形ABC中，點。、E分別在邊BC、AC上，DE〃AB,過點E作EF上DE,

交的延長線于點?

（1）求N尸的度數(shù)；

⑵若CD=2.5,求。尸的長.

57.如圖，在A45C中,AB=AC,乙8=30。.

（1）在8c邊上求作一點N,使得NN=3N；（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，求證：CN=2BN.

58.已知：如圖，在△ZBC中，AB=CB,4840=45。，高4）與高BE相交于點尸，G為BF

的中點.

(1)DG=DE；

試卷第16頁，共18頁

⑵NDEG=/DEC.

59.己知：如圖，在四邊形/BCD中，ABAD=ZBCD=90°,4c平分/BAD,點、E是BD

中點，AF1BD,垂足為點尸.求證：

(\)AABF=ADAF；

(2)CB=CD.

60.如圖，△4BC和△NDE中，AB=AD,NB=ND,BC=DE.邊/。與邊BC交于點尸

(不與點8,C重合),點、B,E在4D異側(cè).

(1)若/8=30。，ZAPC=70°,求/C4E的度數(shù)；

(2)當(dāng)N8=30。，AB1AC,/8=6時，設(shè)/尸=x,請用含x的式子表示PD,并寫出尸。的

最大值.

61.在△4BC中，ZACB=60°,點。在48邊上，連接CO,ZADC=1ABCD+AACD.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：△ABC為等邊三角形；

試卷第17頁，共18頁

(2)如圖2,點￡在/C邊上，連接BE交CD于尸，若4E=BD,求/CEE的度數(shù)；

⑶如圖3,在(2)的條件下，點尸是BE中點，點G在以延長線上，連接CG,且

/ACG=/BCD,過點C作S上帥于點“，若CG=16,DF+EH=3,求線段&尸的

長.

試卷第18頁，共18頁

1.D

【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，在直角三角形中，如果有一個

角是30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)得出AB=^AC,代入求解即可.

【詳解】VZABC=90°,ZC=30°,AB=2,

AB=-AC=2

2

，/C=4

故選D.

2.A

【分析】本題考查直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???N/C8=90。，點。為AB的中點，

：.CD^-AB=\cm,

2

故選A.

3.45。##45度

3

【分析】先由/BCD=3ZACD得出/BCD=—x90°=67.5,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求

1+3

出N2的度數(shù)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得CE=8E,算出NECS,最后結(jié)

合三角形的外角性質(zhì)作答即可.本題考查了直角三角形斜邊上的中線，三角形外角性質(zhì)，直

角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊中線的性質(zhì).

【詳解】解：,.?/2。=3乙4。，^ACB=90°,

3

ZBCD=——x90°=67.5°,

1+3

CD1AB,

在R3CD中，ZB=90°-ZBCD=90°-67.5°=22.5°,

???￡是48的中點，

：.CE=BE,NECB=NB=22.5°

/AEC=NECB+ZB=45°

故答案為：45°

4.21

答案第1頁，共40頁

【分析】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟記直角三角形中，斜邊上的中線

等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)分別求出DE.DF,根據(jù)線段中點的概念分別求出AE、

AF,進(jìn)而求出四邊形/即尸的周長.

【詳解】解：40是△48。的高，

ZADB=ZADC=90°,

?E、尸分別是NC的中點，

.-.DE=-AB=—,DF=-AC=5,AE=-AB=—,AF=-AC=5,

222222

???四邊形/EOF的周長尸+4F=21,

故答案為：21.

5.20

【分析】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，

根據(jù)角平分線的概念得到NE4D=；/A4C=20。,然后利用等腰三角形三線合一性質(zhì)得到

AD1BC,然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到===進(jìn)而求解即

可.

【詳解】AD平分ZBAC,ZBAC=40°

.-.ZEAD=-ZBAC=20°

2

?；AB=AC,AD平分/BAC,

AD1BC

???點E是48的中點，

.-.AE=BE=DE=-AB

2

：.NEAD=NEDA=20°.

故答案為：20.

6.B

【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求解即可.

【詳解】解:VZC=90°,

:.ZA+ZB=90°,

4=55°,

答案第2頁，共40頁

:.ZB=35°.

故選：B.

【點睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟記“直角三角形的兩銳角互余”是解題的關(guān)鍵.

7.A

【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可求解.

【詳解】解：???直角三角形的一銳角是50。，

另一銳角是90。-50。=40。.

故選A.

【點睛】本題考查了直角三角形的兩銳角互余，掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】由“直角三角形的兩銳角互余”，結(jié)合題目條件，找出與乙4互余的角.

【詳解】解：???乙4c8=90。，。是N8邊上的高線，

山+4=90。，AA+^ACD=90°,

???與、互余的角有2個，故B正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余.

9.D

【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：,??在△4BC中，ZC=90°,48=30。，AB=4.

.-.AC=-AB=2.

2

故選：D.

【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中30度所對的直角邊

等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

10.B

【分析】先利用兩個直角等量代換得出48。=44,再利用30。角所對的直角邊是斜邊的

一半求出8C的長度，然后則的長度可求.

【詳解】解：■:CDLAB,

ZADC=ZBDC=90°,

+ZACD=90°,ZBCD+ZACD=90°,

答案第3頁，共40頁

:.ZBCD=ZA=30°,

■■■BD=1,

BC=2BD=2

AB=2BC=4.

故選：B.

【點睛】本題主要考查含30。角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握30。角所對的直角

邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

11.C

【分析】作于。，根據(jù)30。角所對直角邊是斜邊一半的性質(zhì)可得的長，根據(jù)等

腰三角形三線合一的性質(zhì)求出,即可得出OM的長.

【詳解】解：如圖，過P作血W,交MN于點、D,

在RMOPD中，AAOB=60°,OP=8,

；.NAPD=30°,

.-.OD=-OP=-x8=4,

22

???PM=PN,PD1MN,MN=2,

.-.MD=ND=-MN=-x2=1,

22

：.OM=OD-MD=4-\^3,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了含30。角的直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是過點尸作尸。，肱V.

12.A

【分析】由直角三角形兩銳角互余可得=30。，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得

NABD=15°,從而得到乙4,最后根據(jù)等角對等邊可得4D=AD即可解答.

答案第4頁，共40頁

【詳解】解：???/Q5C=60。，ZC=90°,

Z5DC=90°-60°=30°,

：.BD=2BC=4,

ZBDC=ZA+ZABD,ZA=15°

???/力皿=15。，

ABD=/A,

*，?AD=BD=4.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的

性質(zhì)等知識點，靈活運(yùn)用等角對等邊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.C

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì).

根據(jù)等腰三角形的頂角NBAC=120°可求得底角N3=NC=30°,因此在RtA/BD中,

AD=^AB,即可解答.

［詳解］AB=AC,ABAC=120°,

；.NB=NC=30°

,■AD是高,

AADB=90°,

...AD=gAB=gx8=4(m).

故選：C

14.A

【分析】過點/作/DL8C,垂足為D,利用等腰三角形的性質(zhì)可得/5=NC=30。，然

后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答.

【詳解】解：如圖：過點/作ADL8C,垂足為D,

答案第5頁，共40頁

.-.ZS=ZC=1(180°-Z8/C)=30。，

???AD1BC,

ZADC=90°,

.-.AD^-AC^3,

2

???底邊上的高為3,

故選：A.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三

角形的性質(zhì)，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.C

【分析】先根據(jù),求出NC的度數(shù)，再根據(jù)刈_L力。，求出5。的長，從而得出NADB

的度數(shù)，再根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出。C的長，即可得出答案.

【詳解】解：???/5=4C,

Z5=ZC=30°,

???AB1AD,

BD=2AD=2x2=4,

???ZB+ZADB=90°,

ZADB=60°,

???ZADB=ADAC+ZC=60°,

.??ADAC=30°,

/DAC=/C,

.?.DC=AD=29

??.BC=BD+DC=4+2=6.

故選：C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、含30。角的直角三角形的性質(zhì);

熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，求出5。和CD的長度是解決問題的關(guān)鍵.

16.A

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CM=代入求出即可.

【詳解】W：■■-ACVBC,

.-.ZACB=90°,即△NC8是直角三角形，為斜邊，

答案第6頁，共40頁

為48的中點，

-.CM=-AB,

2

vAB=3.6km,

CM=—AB=1.8km,

2

故選：A.

【點睛】此題考查直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，能根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出

CM=^ABAB是解題的關(guān)鍵.

17.B

【分析】根據(jù)直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半，求出斜邊的長，再利用三角形面

積公式即可求解.

【詳解】???直角三角形斜邊的中線為3,

???直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半，

???該直角三角形的斜邊長為3x2=6,

???直角三角形斜邊上的高線為2,

???直角三角形面積為：6X2X1=6,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的知識，掌握直角三角

形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解答本題的關(guān)鍵.

18.C

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得乙4=30。，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出

AC=2BD=4,再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：■■-^ABC=90°,ZC=6O°,

山=30°,

?.?點。為邊NC的中點，BD=2

.-.AC=2BD=4,

：.BC=—AC=2,

2

故選：C.

【點睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，含30度角的直

答案第7頁，共40頁

角三角形的性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點是解題關(guān)鍵.

19.C

【分析】利用等腰三角形三線合一以及直角三角形斜邊上的中線進(jìn)行求解即可.

[Wl■■-AB=AC=10,平分Z2/C,

AD1BC,

.-.ZADC=9Q°,

為NC的中點，

.-.DE=-AC=5,

2

故選C.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線.熟練掌握等腰三角形三線

合一和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

20.C

【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解NNC￡>=25。，根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可求得NBEC=50。，再利用三角形外角的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：,㈤為月8的中點，ZACB=90°,

CD=AD,

ZACD=ZA=25°,

AE=BE,

??.ZABE=ZA=25°,

??.NBEC=ZA+/ABE=50°,

??.ZDFE=ZACD+ZBEC=25°+50°=75°,

故選：c.

【點睛】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì),

求解乙4C。，/3EC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

21.60°##60度

【分析】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義和性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半；等腰三角形中等邊對等角；三

角形中任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得==進(jìn)而可得N￡CB=/B=20。，再根據(jù)

答案第8頁，共40頁

三角形外角的定義和性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：UBC中，N/CB=90。，點E為的中點，

CE=-AB=BE,

2

NECB=ZB=20°,

AD=BD,

ABAD=/B=20°,

/./ADC=/BAD+/B=40°,

ZDFE=ZADC+/ECB=40°+20°=60°,

故答案為：60°.

22.3

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，先根據(jù)線段垂直平分

線的性質(zhì)得=CD=6,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出答案?

【詳解】???點。在/C的垂直平分線上，

AD=CD=6,

???/ZBC=90。，點E是4D的中點,

：.BE=-AD=3-

2

故答案為：3.

23.16

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì).由題意易得

CD=BD=4,DE=CE=6,進(jìn)而問題可求解.

【詳解】解：???/8=/C=12,4D平分/3/C,

：.BD=CD,AD1BC,

v5C=8,

CD=BD=4,

,:點、E為AC的中點，

.-.DE=CE=-AC=6,

2

的周長為CD+CE+DE=16；

故答案為：16.

24.120°##120度

答案第9頁，共40頁

【分析】本題考查直角三角形中的折疊問題，涉及三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵

是掌握折疊的性質(zhì).

由//C8=90。，Z5=40°,得44=50。，根據(jù)。是斜邊的中點，得//CD=乙4=50。，

可得/40。=180。-//0-乙4=80。，而將A/CO沿對折，使點A落在點4處，有

ACDA!=ZADC=60°,即知N8DE=18(T-NCZ)H-N/DC=20。，從而可得答案.

【詳解】解：,.?//C8=90。，ZB=40°,

N4=50°,

?.?。是斜邊48的中點，

:.CD=-AB=AD,

2

:.ZACD=ZA=50°,

ZADC=1SO°-ZACD-ZA=80°,

???將A4CD沿CD對折，使點A落在點H處，

ZCDA'=ZADC=80°,

ZBDE=1800-ZCDA'-ZADC=20°,

ABED=1800-NBDE-NB=180°-20°-40°=120°,

故答案為：120。.

25.-##0.5

2

【分析】先根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得CD==1,又由5c=1可

得△3。為等邊三角形，進(jìn)而可得則可得ZDC尸=30。.由

BELCD,根據(jù)“等腰三角形三線合一”可得=30。，DE=；.又由

NCDF=NCBA=ABDC=60?？傻肁CDFABDE,進(jìn)而可得DF=DE,則可得NEDF是等

邊三角形，由此可得所的長.

【詳解】解：在RtA4BC中，N/C8=90。，點。為的中點，，AB=2,

：.CD=BD=AD=-AB=\,

2

又=

.?.△8C。為等邊三角形，

/BCD=ZCBD=ZBDC=60°,

ZDCF=ZACB-ZBCD=90°-60°=30°,

答案第10頁，共40頁

?.?BELCD,

ADBE=-ZCBD=30°,且?！?

222

?.ZDCF=ZDBE,

XvZCDF=ZCBA,ZCBA=ZBDC=60°,

/CDF=ZBDE=60°,

在和ABDE中,

ZDCF=ZDBE

<DC=DB,

/CDF=NBDE

:.ACDF^^BDE(ASA),

:.DF=DE=~,

2

:.^EDF是等邊三角形，

EF=DE=-.

2

故答案為：—.

2

【點睛】本題主要考查了“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的性質(zhì)，等邊三角形的

判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

26.2

【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，其中靈活利用垂直平分線的性

質(zhì)和直角三角形30。角所對的邊等于斜邊的一半是解答本題的關(guān)鍵.

連接BE,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，說明=進(jìn)一步說明

BE=EF,然后再根據(jù)直角三角形中，30。所對的直角邊等于斜邊的一半即可.

【詳解】解：如圖：連接BE

■■■AB的垂直平分線DE交BC的延長線于F,

???AE=BE,NABE=ZA,NA+NAED=9Q°,

?.?在Rt^4BC中，ZACB=90°,

答案第11頁，共40頁

??.ZECF=90°

??.ZF+ZC^F=90°,

?：/AED=/FEC,

=/方=30。，

：./ABE=/A=3。。,ZABC=90°-ZA=60°,

???ZCBE=ZABC-/ABE=30°,

???/CBE=/F,

???BE=EF,

在RtaBEZ)中，BE=2DE=2x\=2,

:.EF=2.

故答案為2

16

27.—

3

【分析】本題主要考查了含有30度的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)

等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.由必=尸。可過尸作垂直，利用三線合一求出

133

DM=-BD=-,再設(shè)CZ)=x,則CP=10—x,CM=x+~,最后在Rt△尸CM中，利用30

222

度所對直角邊是斜邊的一半建立方程，求出X,進(jìn)而求出8C,即可得解.

【詳解】解：過尸作PM」3c于點"，

P

3

設(shè)CD=x,貝(JCM=CQ+QM=X+5,

vCP+CZ)=10,

：.CP=10-x,

???△45C是等邊三角形，

ZC=60°,AB=BC,

答案第12頁，共40頁

???PMIBC,

/PMC=90°,

ZMPC=30°,

131

：.CM=-CP,BPx+|=-(10-x),

7

解得無=H，

71

:.BC=BD+CD=3+-=—,

33

.?"=竺.

3

故答案為：—.

28.6

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，

先線段垂直平分線的性質(zhì)得出/￡=利用等邊對等角得出/以￡=/8=30。，利用角平

分線的定義得出/A4c=2/民4￡=60。，利用三角形內(nèi)角和定理求出NC=90。，利用角平分

線的性質(zhì)得出CE=OE=2,利用含30。的直角三角形的性質(zhì)求出8￡=2?！?4,進(jìn)而即可

求解.

【詳解】解：--DE垂直平分AB,

?t?AE=BE,

ZBAE=ZB=30°,

???/￡平分/8/C,

ABAC=2/BAE=60°,

ZC=180°-ZS-ABAC=90°,

CE=DE=2,

?；NBDE=90°,NB=30°,

■■■BE=2DE=4

:.BC=BE+CE=6,

故答案為：6.

29.45°##45度

【分析】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)三線合一證明,

直角三角形斜邊中線性質(zhì)，運(yùn)用等腰三角形三線合一證明是解題關(guān)鍵.根據(jù)題意可證

答案第13頁，共40頁

是等腰直角三角形，NB4c=45。，根據(jù)等腰三角形三線合一可得/C/尸=22.5。，根據(jù)同角

的余角相等可得/CB￡=22.5。，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)可證△5FE是等腰三角形，

進(jìn)而求出其外角ZEFC的度數(shù).

【詳解】解：,??。內(nèi)垂直平分BEVAC,

BE=AE,是等腰直角三角形，

???/BAE=/ABE=45°.

vAB=AC,AFIBC,

??./C/尸=22.5。，BF=CF,

???在直角MFC和直角XBEC中,ZCAF和/CBE都和NC互余，

；?NCBE=NCAF=225。,

■：BF=CF=-BC,

2

二點尸是BC中點，斯是直角aBEC的中線，

.-.EF=-BC,

2

BF=EF,

:"BEF=NCBE=22.5°,

ZEFC=ZCBE+ZBEF=22.5°+22.5°=45°.

故答案為：45°.

30.18

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)，由三

角形內(nèi)角和定理求出乙=30。，再由直角三角形的性質(zhì)得出===最

后再由三角形面積公式計算即可得出答案.

【詳解】解：如圖，作ZWLZE于"，

ZCDE=90°,

ZDCE+ZDEC=90°,

答案第14頁，共40頁

??.NCAE+ZACD+ZAED=90°,

-ZCAE+ZACD=60°,

："DEH=30。,

：.DH=-DE=-DC=4,

22

???SADF=36=4AEx4,

AAUE2

AE=18,

故答案為：18.

31.證明見解析

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角

三角形的小侄子，先根據(jù)等邊對等角得到/C=/8=30。，則由三角形內(nèi)角和定理得到

ZBAC=120°f由垂直的定義得到4UC=90。，則

CD=2AD,ABAD=ABAC-ADAC=30°,進(jìn)一步證明Z5=Z&4Z）,得到5。=/。，則

CD=2BD.

【詳解】證明：???在A/BC中，AB=AC,NB=30。,

??.NC=NB=3。。,

???ABAC=180°-ZJ9-ZC=120°,

???ADIAC,

：.ZDAC=90°,

:.CD=2AD,ZBAD=ABAC-ADAC=30°,

；.ZB=ZBAD,

???BD=AD,

.'.CD=2BD.

32.（1）4=60。

⑵ABDC的周長為15

【分析】此題考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，

（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解即可；

（2）首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=O8=g/8=5,然后證明出A3DC是等邊三角

形，進(jìn)而求解即可.

【詳解】（1）解：?.?"=90。,4=30°,

答案第15頁，共40頁

Z.B=60°.

(2)解：???。。是的斜邊邊上的中線，且48=10,

：.CD=DB=-AB=5,

2

■：ZB=60°,

.?.△8DC是等邊三角形，

.?.△8Z)C的周長為15.

33.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)/E_LCD,得出/C4E+//C尸=90。，根據(jù)//CF+NDC8=90。，推出

NCAE=ZDCB,根據(jù)CD是斜邊上的中線，得出CO=AD=,進(jìn)而得出ZB=ZDCB,

即可等量代換求證；

(2)由(1)可得：ZCAE=ZDCB=ZB,則NC4E=NDCB=NB=NE4B,得出則/￡平

分/BAC,推出/C=/D,進(jìn)而得出A/CD為等邊三角形，則NC4E=；NCNQ=30。，得

出4E=2CE,根據(jù)等角對等邊得出=即可求證.

【詳解】(1)證明：???/￡，CD,

.-.ZCAE+ZACF=90°,

NACB=90°,

ZACF+ZDCB^90°,

ZCAE=ZDCB,

???。是斜邊上的中線，

■,CD=BD=-AB,

2

■.ZB=ZDCB,

.-.ZCAE=ZB；

(2)解：由(1)可得：ZCAE=ZDCB=ZB,

ZEAB=ZDCB,

ZCAE=ZDCB=NB=/EAB,則AE平分/2/C,

???AEVCD,

：.AC=AD,

答案第16頁，共40頁

???C。是斜邊45上的中線，

:,CD=AD,

???△/CD為等邊三角形，貝IJ/C4D=6