2024-2025學(xué)年華師大版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中押題測試卷（一）（含答案及解析）

2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測試卷（一）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：（華師版）九年級上全冊

5.難度系數(shù)：0.7?

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。）

1.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.V4B.V13C.V8D.V0J

2.下列方程中，屬于一元二次方程的是（）

2

A.x—2y=1B.%2+3=-C.x2-2y+4=0D.x2-2x+1=0

3.若2a=3b,則下列比列式正確的是（）

4.下列計算正確的是（）

A.2）2=2B.15^4

c.（V3-V2）2=1D.(V2+I)2=3

5.用配方法解方程/-2%-5=0時，原方程應(yīng)變形為（

A.(x+I)2=6B.(%—I)2=6C.(X+2)2=9D.(久-2)2=9

6.關(guān)于x的一元二次方程k/+4%-2=0有實數(shù)根，則左的取值范圍是（）

A.fc>-2B.fc>-2_l./c^0C.k>-25,k^0D.fc<-2

7.如圖，已知/1=42,那么添加下列一個條件后，不能判定△ABC-△4DE的是()

ABACcABBC

A.Z.C=Z.EB.乙B=LADEc-茄=癡D-布=族

8.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB,他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊OF保

持水平，并且邊DE與點8在同一直線上.已知紙板的兩條邊DE=0.4m,EF=0.3m,測得邊DF離地面

的高度AC=1.5m,CD=20m,則樹高4B為()

A.16.5mB.13.5mC.15mD.12m

9.“指尖上的非遺一一麻柳刺繡”，針線勾勒之間，繡出世間百態(tài).在一幅長80cm,寬50cm的刺繡風(fēng)景畫

的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2,設(shè)金色

紙邊的寬度為第cm(風(fēng)景畫四周的金色紙邊寬度相同)，則列出的方程為()

A.(50+%)(80+%)=5400B.(50-x)(80-x)=5400

C.(50+2x)(80+2%)=5400D.(50-2x)(80-2x)=5400

10.如圖，正方形ABCO的邊長為6,點E是BC的中點，連接4E與對角線80交于點G,連接CG并延長，交

于點F,連接。E交于點“，連接以下結(jié)論：①CFJ.DE；②普=今?AD=AH；@GH=^/5.其

中正確結(jié)論的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

二.填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分.）

11.若療存在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

12.如圖，在AABC中，ZXCB=9O°,ZB=3O°,CD是高.若4。=2,貝舫。=

13.揚州某毛絨玩具廠對一批毛絨玩具進(jìn)行抽檢的結(jié)果如下:

抽取的毛絨玩具數(shù)幾2050100200500100015002000

優(yōu)等品的頻數(shù)機19479118446292113791846

0.9500.9400.9100.9200.9240.9210.9190.923

優(yōu)等品的頻率?

從這批玩具中，任意抽取的一個毛絨玩具是優(yōu)等品的概率的估計值是（精確到0.01）

14.如圖，兩塊邊長都為3cm的小正方形沿虛線剪開，拼成一個大正方形，則大正方形的邊長為

cm.

15.如圖，在△ABC中，DE\\BC,DF\\AC,AD=5,BD=10,DE=6,貝!|BF=

16.如圖，正方形ABCD和正方形BEFG的邊長分別為1和3,點C在邊BG上，線段DF、EG交于點連

接DE、BM,貝l]BM=.

三.解答題（本題共8小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.(8分)計算：

(1)(-V3)(-1)2-V^8-11-V21;

⑵J(百-2)2-(百+2)(V3-2).

18.(8分)解方程：

(l)x2—6x—7=0；

(2)3久2+1=4x.

19.(8分)如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，己知AABC中4(—1,2)、B(2,l)、C

(4,5)?

⑴畫出△A8C關(guān)于x軸對稱的△4中1的；

⑵以原點。為位似中心，在x軸的上方畫出A4B2c2，使2c2與AABC位似，且A&B2c2與

△4BC相似比為2,并寫出。2的坐標(biāo).

20.(8分)如圖，￡為2D上一點，若4DAC=4B,CD=CE,求證:

(1)△2BD-ACAE-,

(2)CD-BD=AD-AE.

21.（8分）關(guān)于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+l=0.

（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若方程有一個根是3,求它的另一個根和k的值.

22.（10分）如圖，在河流的右岸邊有一高樓A8,左岸邊有一坡度i=l：2的山坡CF,點C與點3在同一

水平面上，CF與2B在同一平面內(nèi).某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量樓AB的高度，在坡底C處測得樓頂/的

仰角為45。，然后沿坡面CF上行了20?米（即CD=20?米）到達(dá)點。處，此時在。處測得樓頂/的

n

仰角為26.7。.（參考數(shù)據(jù)：sin26.7°?0.45,cos26.7°?0.89,la

26.7°-0.5）

（1）求點C到點D的水平距離CE的長；

（2）求樓48的高度.

23.（10分）2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛.某商店以每件35元的價格購進(jìn)某款亞

運會吉祥物，以每件58元的價格出售.經(jīng)統(tǒng)計，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400

件.

(1)求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；

(2)從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價1元，月銷售

量就會增加20件.當(dāng)該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達(dá)8400元？

24.(12分)【探究證明】

(1)如圖1,矩形N5CD中，EFLGH,EF分別交4B、CD于點E、F,G8分別交2c于點G、

EFAD

”rj，求平證、/：正_=而；

【模型應(yīng)用】

(2)如圖3,四邊形ABCD中，乙42c=90。，48=40=10,BC=CD=5,AMLDN,點、M、N分別在邊

BC、AB±,求瑞的值.

【變式拓展】

(3)如圖3,平行四邊形4BCD,AB=2,AD=6,^BAD=60°,直線/與平行四邊形相交，將平行四邊

形沿直線/折疊，當(dāng)其中有一組對角頂點重合時，請直接寫出折痕的長度.

D

圖3

2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測試卷（一）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：（華師版）九年級上全冊

5.難度系數(shù)：0.7?

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。）

1.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.V4B.V13C.V8D.V0J

【答案】B

【分析】此題考查了最簡二次根式，能熟記最簡二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵.注意：滿足下列兩個

條件的二次根式，叫最簡二次根式①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不能含有能

開得盡方的因數(shù)或因式.

根據(jù)最簡二次根式的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：A、次=2不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

B、而是最簡二次根式，故本選項符合題意；

C、向=2近，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

D、加=嚼，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

故選：B.

2.下列方程中，屬于一元二次方程的是（）

2

A.x—2y=1B.x2+3=-C.x2—2y+4=0D.x2—2x+1=0

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次

方程，即可求解.

【詳解】解：A、x-2y=l,含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項不符合題意;

B、/+3=：不是整式方程，不是一元二次方程，故該選項不符合題意；

C、x2-2y+4=0,含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項不符合題意；

D、x2-2x+l=0,是一元二次方程，故該選項符合題意；

故選：D

3.若2a=34則下列比列式正確的是（）

ab八b2-23

A-2=3B.3=hC.-=3D.-=-

【答案】c

【分析】本題考查了比例的基本性質(zhì)，如果a:b=c:d或￡=那么ad=bc,即比例的內(nèi)項之積與外項之

積相等；反之，如果ad=bc,那么a:b=c：d或：=（（bd于0）.據(jù)此對各選項分析即可.

【詳解】解：A.由；碧3a=2瓦故不符合題意;

B.由三=：得ab=6,故不符合題意;

C.由渭得2a3b,符合題意;

D.由]=.得3a=2b,故不符合題意;

故選：C.

4.下列計算正確的是（)

A.J(-2)2=2B.J10T=]

c.(V3-V2)2=1D.(V2+I)2=3

【答案】A

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì),二次根式的混合運算，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵.根

據(jù)二次根式的性質(zhì)可判斷A,B；根據(jù)完全平方公式可判斷C,D.

【詳解】解：A.=2,正確;

B.V10-1==^/10>故不正確;

C.(V3-V2)2-3-2V6+2=5-276.故不正確;

D.(V2+l)2=2+2A/2+1=3+2V2，故不正確；

故選A.

5.用配方法解方程2x-5=0時，原方程應(yīng)變形為()

222

A.(x+I)=6B.(x-1)=6C.(x+2)2=9D.(x_2)=9

【答案】B

【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

首先將常數(shù)項移到等號的右側(cè)，將等號左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，即可將等號左邊的代

數(shù)式寫成完全平方形式即可.

【詳解】解：丫/一2%一5=0,

???X2—2x+1=5+1,

???(x—I)2=6,

故選：B.

6.關(guān)于x的一元二次方程入2+4x-2=0有實數(shù)根，則上的取值范圍是()

A.k>-2B.k>-2S.k0C.k>-25.k^0D.k<-2

【答案】C

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義，對于一元二次方程以2

+bx+c=0(a#0)，若A=F—4ac>0,則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若小二川―4ac=0,則方程有

兩個相等的實數(shù)根，若A=F-4ac<0,則方程沒有實數(shù)根，若卬冷是該方程的兩個實數(shù)根，據(jù)此求

解即可.

【詳解】解：,??關(guān)于x的一元二次方程以2+?-2=0有實數(shù)根，

fA=42-4X(-2)-k>0

'tk^O,

：.k>—2且k豐0,

故選：C.

7.如圖，已知乙1=42,那么添加下列一個條件后，不能判定AABCHADE的是()

Ai

E

BDC

A.Z.C=Z.EB.乙B=^ADE”=竺D—=—

ADAE*ADDE

【答案】D

【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.

先根據(jù)41=42求出ABAC=^DAE,再根據(jù)相似三角形的判定方法解答.

【詳解】解：?.21=42

.-.Z-1+/.DAC=z2+Z-DAC

.-./-BAC=/.DAE

A、當(dāng)NC=NE時，可通過“兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似"可證△ABCsAADE,故不符合題意；

B、當(dāng)NB=N力DE時，可通過“兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似"可證△ABC“△4DE,故不符合題意；

C、當(dāng)甯=笠時，可通過“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似"可證△ABCSAADE,故不符

ADAE

合題意；

D、當(dāng)甯=筆時，無法證明兩個三角形相似，故符合題意；

AUD匕

故選：D.

8.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度力B,他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保

持水平，并且邊DE與點3在同一直線上.已知紙板的兩條邊=0.4m,EF=0.3m,測得邊DF離地面

的高度AC=1.5m,CO=20m,則樹高ZB為（）

A.16.5mB.13.5m

【答案】A

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型.

利用RtADEF和RtABCD相似求得BC的長后加上邊DF到地面的高度AC,即可求得樹高AB.

【詳解】解：,?2DEF=NDCB=90。，乙D=4D,

△DEFDCB,

DEEF

~DC~CB,

."DE=0.4m,EF=0.3m,CD=20m,

0.4_0.3

?元-'就，

，.CB=15m,

：.AB=AC+BC=1.5+15=16.5(m)-

故選A.

9.“指尖上的非遺一一麻柳刺繡”，針線勾勒之間，繡出世間百態(tài).在一幅長80cm,寬50cm的刺繡風(fēng)景畫

的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2,設(shè)金色

紙邊的寬度為久cm(風(fēng)景畫四周的金色紙邊寬度相同)，則列出的方程為()

A.(50+%)(80+%)=5400

B.(50-x)(80-x)=5400

C.(50+2%)(80+2%)=5400

D.(50-2x)(80-2x)=5400

【答案】c

【分析】本題考查用一元二次方程解決實際問題，正確列出方程是解題的關(guān)鍵.

設(shè)金色紙邊的寬度為Xcm,則掛圖的長為(80+2x)cm,寬就為(50+2x)cm,根據(jù)題目條件列出方

程.

【詳解】解：設(shè)金色紙邊的寬度為xcm,則掛圖的長為(80+2x)cm,寬就為(50+2x)cm,

根據(jù)題意得(50+2%)(80+2%)=5400.

故選：C.

10.如圖，正方形4BCD的邊長為6,點E是BC的中點，連接4E與對角線8。交于點G,連接CG并延長，交AB

于點F,連接DE交于點H,連接以下結(jié)論：①CF1DE；②?AD=AH；④虧.其

中正確結(jié)論的個數(shù)為()

D.C

ApD

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理證出△ABE^△DCE和△ABGW△CBG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證

出/CDE=NBCF,即可證出NCHE=90。，從而判斷①；根據(jù)勾股定理求出DE,利用面積求出CH,證

出AHCESABCF,即可求出NF,從而判斷②；過點4作4M_LDH于M,證出4M垂直平分DH,即可

判斷③；證出△EHGsAEMA,列出比例式即可判斷④.

【詳解】解：?.?正方形4BCD的邊長為6,點E是BC的中點，BD為正方形的對角線

.-.AB^AD=BC=CD^6,BE=CE=3,zDCE=/.ABE=90°,AABD=ACBD=45°

△ABE=△DCE(SAS)

??Z-CDE=/-BAE,DE=AE

在△4BG和ACBG中

AB=CB

vZ-ABG=Z.CBG

BG=BG

??△ABG=△CBG(SAS)

:./-BAE=乙BCF

：,/~CDE=乙BCF

?:乙CDE+乙CED=90°

：^BCF+Z-CED=90°

"CHE=90°

：,CF1DE

故①正確；

vCD=6,CE=3

根據(jù)勾股定理DE=VCD2+CE2=3V5

,*,SA￡>CE=^XCDXCE'=|XDEXCH

“H=等

vZCHF=Z-CBFfZ-HCE=/-BCF

???AHCE-ABCF

CH_CE

''~BC~'CF

3x6

?-CF=~^=3y/5

:.HF=CF-CH=^

CH唔2

??而=還=號

5

故②不正確；

如圖，作AMJ.DH于M

■,DC=6,。"=等

根據(jù)勾股定理可得DH=y/DC2-CH2=爭

■■?Z.CDH+/-ADM=90°,/.ADM+^DAM=90°

：.Z-CDH=/-DAM

?■CD=DA,Z-DHC=/.AMD=90°

△DHC^AAMD(AAS)

..DM=CH=^-,4M=D”=噌

：.DM=^DH,

...4M垂直平分DH

：.AD=AH

故③正確;

???DE=3府DH=^

:?EH=DE-DH=^,ME=HE+MH=^-+=

-AM1DE9CFA.DE

：.AM\\CF

??AEHGs&EMA

GH_HE

''AM-ME

GH3仄

即審=表

5I-

解得GH=/

故④正確.

故選：C.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理

和垂直平分線的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三

角形的判定及性質(zhì)、勾股定理和垂直平分線的判定及性質(zhì).

二.填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分.）

11.若五二i在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

【答案】x>3

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，解一元一次不等式等知識點，熟練掌握二次根式有

意義的條件是解題的關(guān)鍵.

由二次根式有意義的條件可得一元一次不等式，解之，即可得解.

【詳解】解：由二次根式有意義的條件可得：x-3>0,

解得：x>3,

故答案為：x>3.

12.如圖，在△4BC中，2-ACB=90°,zB=30°,CD是高.若AD=2,則BD=.

C

B

AD

【答案】6

【分析】本題考查含30度角的直角三角形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：「CDIAB,

:.AADC=z90°=乙ACB,

..Z.ACD=zB=90°-z4,

???zB=30°,

:.AACD=30°,

：.AC=2AD=4,

.-.AB^2AC=8,

:.BD=AB-AD=6.

故答案為：6.

13.揚州某毛絨玩具廠對一批毛絨玩具進(jìn)行抽檢的結(jié)果如下:

抽取的毛絨玩具數(shù)n2050100200500100015002000

優(yōu)等品的頻數(shù)m19479118446292113791846

0.9500.9400.9100.9200.9240.9210.9190.923

優(yōu)等品的頻率;

從這批玩具中，任意抽取的一個毛絨玩具是優(yōu)等品的概率的估計值是（精確到0.01）

【答案】0.92

【分析】本題考查了由頻率估計概率，由表中數(shù)據(jù)可判斷頻率在0.92附近，利用頻率估計概率即可求

解.

【詳解】解：從這批玩具中，任意抽取的一個毛絨玩具是優(yōu)等品的概率的估計值是0.92,

故答案為：0.92.

14.如圖，兩塊邊長都為3cm的小正方形沿虛線剪開，拼成一個大正方形，則大正方形的邊長為

cm.

【答案】3V2

【分析】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的利用面積相等進(jìn)行解

題.

設(shè)大正方形邊長為"，，根據(jù)面積相等可得2X32=m2,即可求解.

【詳解】解：設(shè)大正方形邊長為加，

即2x32=m2,

解得m=3近.

故答案為：3立.

15.如圖，在AABC中，DE||BC,DF\\AC,AD=5,BD=10,DE=6,則BF=,

A

DX_\E

【答案】12

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判斷，根據(jù)題意可得△ADESAABC和ABFDsABCA,然后利

用相似比即可求解.熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：???AD=5,BD=10,

:.AB=15,

■■■DE||BC,

???AADEs&ABC,

,DEAD_6__s_

''BC=AB'即pn8C=15'

：.BC=18,

-DF||ACf

???ABFDBCA,

BFBDBF10

二就=布，a即n石=江

:.BF=12.

故答案為：12.

16.如圖，正方形4BCD和正方形BEFG的邊長分別為1和3,點C在邊BG上，線段DF、EG交于點M,連

接DE、BM,貝ljBM=.

G.F

q

【答案】V5

【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，熟練掌握直角三角形斜

邊上中線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

連接BD,BF,即可得到△BDF是直角三角形，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算，即可得到DF的長，依據(jù)直

角三角形斜邊上中線的性質(zhì)即可得出BM的長.

【詳解】如圖，連接BD,BF,則4DBF=90。，

E

尸是直角三角形,

vBM與FM關(guān)于GE對稱，

:.BM=FM,

:.乙MBF=AMFB,

又???4MBF+4MBD=/.MFB+4MDB,

:.乙MDB=4MBD,

:.DM=BM,

是。尸的中點，

fBDF中，BM/DF,

正方形ABCD和正方形BEFG的邊長分別為1和3,

???BD=V2?BF=3垃,

???DF=VSD2+BF2=V2+18=2近,

??BM=V5>

故答案為：V5-

三.解答題(本題共8小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(8分)計算：

⑴(-0|1一五|；

(2)J(V3-2)2-(V3+2)(V3-2).

【答案】⑴5-夜

⑵3-百

【分析】本題考查了二次根式的混合運算、平方差公式，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

(1)先計算算術(shù)平方根、立方根和去絕對值，再計算乘方，最后計算加減法即可；

(2)先計算算術(shù)平方根，再利用平方差公式，最后計算加減法即可.

【詳解】(1)解：原式=3-1—(_2)-(6—1)

=3-1+2-724-1

=5-72;

(2)解：原式=2—百一(3-4)

=2-73+1

=3—V3^-

18.(8分)解方程：

(1)X2-6X-7=0；

(2)3x2+l=4x.

【答案】⑴彳

1=7,x2=-1;

(2)xt=x2=1.

【分析】(1)利用因式分解法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可；

本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟記常見的解法，直接開平方法、配方法、公式法、因式

分解法及正確掌握一元二次方程的解法.

【詳解】(1)解：X2-6X-7=0

(x-7)(x+1)=0，

x—7=0或x+1=0,

=7,%2=—1；

(2)解：3/+1=鉆

3X2—4X+1=0,

(3x-l)(x-l)=0,

3x—1=0或x—1=0,

??Xi=3,X2=l.

19.(8分)如圖，在邊長為l的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知AaBC中4(—1,2)、B(2,l)、C

(4,5).

⑴畫出AABC關(guān)于X軸對稱的AAiBiCi；

⑵以原點。為位似中心，在x軸的上方畫出△2c2，使A4B2c2與A4BC位似，且Aaz&Cz與

△力BC相似比為2,并寫出。2的坐標(biāo).

【答案】(1)畫圖見解析

(2)畫圖見解析，C2(8,10)

【分析】此題考查的是作關(guān)于x軸對稱的圖形和作位似圖形，掌握位似圖形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)

鍵.

(1)分別找出/、B、C關(guān)于%軸對稱點a、Bi、J,然后連接&&、4忑1、B?,如圖所示，△公

Bi。就是所求三角形；

(2)連接02并延長至4，使442=。4連接。8并延長至無，使3%=。8；連接。C并延長至C2,使C

C2=OC;連接上%、22c2、82c2，如圖所示，就是所求三角形，再結(jié)合C2的位置，可得其

坐標(biāo).

【詳解】(1)解：如圖，△&B1C1即為所求作的三角形;

(2)解：如圖，A/B2c2即為所求作的三角形;

???4(-1,2)、B(2,l)、C(4,5),AAzB2c2與AABC位似，且位似比為2,

??.C2(8,10).

20.(8分)如圖，E為AD上一點,若NZL4C=NB,CD=CE,求證:

(1)△ABD^△CAE*

(2)CD?BD=AD?AE.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識，掌握相似三角形的性質(zhì)與

判定是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)=NBZL4=〃EC證明出△ABDS^CZE；

(2)由△ZBDSACAE,得到箸=登，進(jìn)而可證明出=

【詳解】(1)證明：?.(￡>=(；號

?\Z-CDA=Z-CED,

A180°-ZCD4=180°-zCFD,

:.Z-BDA=/-AEC,

又?.?乙。4。=乙8,

??.△ABDCAE；

(2)證明：?：4ABD八CAE,

AD_BD

：'~CE一~AE"

-CD=CE,

AD_BD

''~CD~~AE"

：.CD-BD=AD-AE.

21.(8分)關(guān)于久的一元二次方程/-(k+3)x+2k+l=0.

(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若方程有一個根是3,求它的另一個根和k的值.

【答案】(1)見詳解

(2)k=1,另一個根為1

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式的意義、一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟練

掌握判別式的意義是解題關(guān)鍵.

(1)先求出根的判別式大于0,然后根據(jù)判別式的意義可判斷方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)將x=3代入求出左，得到原方程，再解方程即可.

【詳解】(1)證明：由已知a==—(k+3),c=2k+1,

A=[-(fc+3)]2-4x1x(2/c+1)=k2-2k+5=(fc-1)2+4,

(fc-1)2>0,

.?.(fc-l)2+4>0,

???無論k取何值方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)解：依題意得，32—3(k+3)+2k+l=0,

解得k=L

則原方程為%2—4x+3=0,

解得=1,%2=3,

,另一根為刀=1.

22.(10分)如圖，在河流的右岸邊有一高樓AB,左岸邊有一坡度i=l：2的山坡CF,點C與點3在同一

水平面上，CF與SB在同一平面內(nèi).某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量樓ZB的高度，在坡底C處測得樓頂4的

仰角為45。，然后沿坡面CF上行了20e米(即CD=20①米)到達(dá)點。處，此時在。處測得樓頂4的

仰角為26.7°.(參考數(shù)據(jù)：sin26.7°?0.45,cos26.7°?0.89,tan26.7°?0.5)

(1)求點C到點D的水平距離CE的長;

(2)求樓4B的高度.

【答案】(1)40米

(2)樓4B的高度約為80米

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的

關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意可得DE1CE,設(shè)Z)E=x米，貝iJCE=2x米，然后利用勾股定理可求出x=20.據(jù)此即可

求得CE的長；

(2)過點。作CG1ZB,垂足為G,則DE=GB=20米，DG=EE,然后設(shè)4B=y米，在Rt^ZBC中,

利用銳角是三角函數(shù)的定義求出BC的長，從而求出BE的長，再在RtAADG中，利用銳角三角函數(shù)的定

義列出關(guān)于y的方程，進(jìn)行計算即可解答.

【詳解】(1)解：由題意得：DELCE,

???山坡CF的坡度i=l：2,

DE1

辛=5，

設(shè)DE=x米，則CE=2x米，

■.CD=-4DE2+CE2=y/x2+(2x)2=Vsx(米)，

?.?0=20百米，

:.近x=20Vs?

:.x=20,

.?.DE=20米，CE=2x=40（米）；

（2）解：過點。作DG14B,垂足為G,則四邊形OEBG是矩形,

.?.DE=GB=20米，DG=EB,

設(shè)AB=y米,

:.AG=AB-BG=(y-20)米,

在RtAABC中，AACB=45°,

■-BC=^=y(米)，

：.DG=EB=EC+BC=(y+40)米,

在Rt^ADG中，/.ADG=26.7°,

AGy—20

???tan26.7°=而=*“0.5,

解得：y=80,

經(jīng)檢驗：y=80是原方程的根,

.MB=80米,

?,?樓4B的高度約為80米.

23.（10分）2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛.某商店以每件35元的價格購進(jìn)某款亞

運會吉祥物，以每件58元的價格出售.經(jīng)統(tǒng)計，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400

件.

（1）求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率;

（2）從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價1元，月銷售

量就會增加20件.當(dāng)該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達(dá)8400元?

【答案】（1）該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為25%

（2）當(dāng)該吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達(dá)8400元

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，弄清題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為x,根據(jù)增長率問題的等量關(guān)系列方程求

解即可；

（2）設(shè)該款吉祥物降價加元，則每件的利潤為（58-35-皿）元，月銷售量為（400+20*件，根據(jù)月銷

售利潤為8400元列方程求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為尤，

根據(jù)題意得：256（1+%）2=400,

解得：久1=0.25=25%,%2——2.25（不符合題意，舍去），

答：該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為25%；

（2）解：設(shè)該款吉祥物降價加元，則每件的利潤為（58-35-瓶）元，月銷售量為（400+2（hn）件，

根據(jù)題意得：（58—35—m）（400+20m）=8400,

整理得：m2-3m-40=0,

解得：機1=8,m2——5（不符合題意，舍去），

58-8=50,

答：當(dāng)該吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達(dá)8400元.

24.（12分）【探究證明】

（1）如圖1,矩形中，EFLGH,E尸分別交48、8于點E、F,G8分別交40、2C于點G、

“，求證：m=港;

【模型應(yīng)用】

（2）如圖3,四邊形49cD中，ZJ5C=9O°,AB=AD=\0,BC=CD=5,AM1DN,點、M、N分別在邊

BC、AB±.,求黑的值.

【變式拓展】

（3）如圖3,平行四邊形4BCD,AB=2,AD=6,ABAD=60°,直線I與平行四邊形相交，將平行四邊

形沿直線/折疊，當(dāng)其中有一組對角頂點重合時，請直接寫出折痕的長度.