福建省福州市八縣(市)協(xié)作校高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

福州市八縣（市）協(xié)作校2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷【完卷時(shí)間：120分鐘；滿分：150分】一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解二次不等式化簡(jiǎn)集合，再利用集合的交集運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：A.2.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于AB：舉反例說明即可；對(duì)于C：根據(jù)定義域分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)偶函數(shù)的定義分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：令，可得；令，可得；兩者不相等，所以不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：令，可得；令，可得；兩者不相等，所以不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)榈亩x域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以是偶函?shù)，故D正確；故選：D.3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到，再利用等比數(shù)列求和公式即可得到答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則由題意得，因?yàn)?，則，解得或（舍），則.故選：C.4.設(shè)，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，由向量共線及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】向量，，，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.幸福感指數(shù)是生活質(zhì)量的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中，分別表示物質(zhì)生活指標(biāo)與精神生活指標(biāo).幸福感指數(shù)越大，生活質(zhì)量越高.如果某人近年的物質(zhì)生活指標(biāo)沒有變化，精神生活指標(biāo)由變?yōu)?，幸福感指?shù)由3提高到5，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件列式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即得.【詳解】依題意，，即，而函數(shù)是的增函數(shù)，所以.故選：C6.若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式列式，再構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出最小值.【詳解】依題意，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以點(diǎn)到直線距離最小值為.故選：C7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用換元法，結(jié)合余弦函數(shù)的和差公式與三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得解.【詳解】因?yàn)?，令，則，即，所以，則，所以，所以.故選：B.8.已知函數(shù)，若存在使得，，依次成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)公式，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到在定義域內(nèi)有解，再利用參變分離，結(jié)合換元法與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)榇嬖谑沟?，，依次成等差?shù)列，所以在定義域內(nèi)有解，又，所以，即，則在定義域內(nèi)有解，由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可知，，又，所以，所以，令，則，因?yàn)榈膱D象開口向上，對(duì)稱軸為，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于，將問題轉(zhuǎn)化為在定義域內(nèi)有解，從而得解.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知x、y都是正數(shù)，則（）A. B.若，則的最大值為2C.的最大值為 D.【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式求解判斷ABC；舉例說明判斷D.【詳解】對(duì)于A，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖，則（）A.B.C.在上單調(diào)遞減D.將圖象向右平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），最后將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模M坐標(biāo)不變）得到圖象，則為正弦曲線【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合五點(diǎn)法作圖求出解析式，再逐項(xiàng)判斷得解.【詳解】觀察圖象得，，由，得，又，且在的單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，則，由，得，解得，而的最小正周期滿足，即，則，解得，因此，，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此在上單調(diào)遞減，C正確；對(duì)于D，將的圖象向右平移個(gè)單位，得的圖象，因此圖象對(duì)應(yīng)的解析式為，為正弦曲線，D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最大值為B.函數(shù)既存在極大值又存在極小值C.當(dāng)時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)根D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，判定AB，根據(jù)單調(diào)性和極值畫出草圖判定C，構(gòu)造新函數(shù)，借助極值點(diǎn)偏離判定D.【詳解】對(duì)于A，對(duì)求導(dǎo)得到.令，即，則.解得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).得.所以選項(xiàng)A正確.對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)存在極大值，不存在極小值，故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，又，所以方程有且只有一個(gè)實(shí)根，故C正確.對(duì)于D，不妨設(shè).要證，即證.因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以只需證.設(shè)，.則，.,由于，則，，，則，則分母.，，，，,則分子為正數(shù)，因此.可得，所以在單調(diào)遞增.所以，即，所以，正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，為單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為_____.【答案】【解析】【分析】利用投影向量的意義，結(jié)合向量的夾角公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，在上的投影向量為，則，，而，所以.故答案為：13.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則_____.【答案】【解析】【分析】在函數(shù)的圖象上取兩點(diǎn)，，求出它們關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，，再代入，解方程組即可得解.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又的圖象關(guān)于點(diǎn)2,0成中心對(duì)稱，所以在函數(shù)的圖象上取兩點(diǎn)，，則它們關(guān)于點(diǎn)2,0對(duì)稱的點(diǎn)，也在函數(shù)的圖象上，所以，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若f2x+1為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則_____.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性得到的相關(guān)式子，從而變形分析得是周期函數(shù)，再利用賦值法依次求得所需函數(shù)值，從而利用的周期性即可得解.【詳解】因?yàn)閒2x+1為奇函數(shù)，所以，即，所以，因?yàn)榕己瘮?shù)，所以，所以，即fx+2=?f所以fx+4則是周期為的周期函數(shù)，因?yàn)閒x+2=?fx則，，所以，因?yàn)?，所以，則f1=0，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性與周期性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公差，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式以及等比中項(xiàng)的應(yīng)用得到方程組，解出即可；（2）裂項(xiàng)得，再代入求和即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，則，即，解得，則.【小問2詳解】，所以.16.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若，是的中點(diǎn)，，求.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再逆用和角的正弦計(jì)算得解.（2）中，依次利用余弦定理求解即得.【小問1詳解】在中，由及正弦定理得，即，而，，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，，在中，由余弦定理得，即，整理得，又，則，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.17.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程在上的解為，，求的值.【答案】（1）遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)并求出解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間.（2）利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求出，再求出.【小問1詳解】依題意，，則，解得，因此，當(dāng)時(shí)，，由或，得或，由，得，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.【小問2詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，依題意，，解得，所以.18.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出，再利用導(dǎo)數(shù)分類探討函數(shù)的單調(diào)性.（2）由（1）的信息，利用導(dǎo)數(shù)探討最大值，求出函數(shù)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)的的范圍.（3）求出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值并結(jié)合基本不等式推理即得.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，得函數(shù)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，而從大于0的方向趨近于0時(shí)，的值趨近于負(fù)無(wú)窮大，當(dāng)趨近于正無(wú)窮大時(shí)，的值趨近于負(fù)無(wú)窮大，要函數(shù)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以.19.設(shè)自然數(shù)，由個(gè)不同的正整數(shù)，，…，構(gòu)成的集合.若集合的每一個(gè)非空子集所含元素的和構(gòu)成新的集合，記為集合元素的個(gè)數(shù).對(duì)于集合，若取得最大值，則稱集合為“極異集合”；（1）對(duì)于集合，求，并判斷其是否是的“極異集合”（無(wú)須說明理由）.（2）設(shè)集合是“極異集合”.（i）記，求證：數(shù)列前項(xiàng)和；（ii）證明：.【答案】（1），不是極異集合（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)集合計(jì)算得出，再根據(jù)性質(zhì)定義可判斷不是極異集合；（2）（i）根據(jù)是極異集合則其子集是極異集合，可證，再求和即可證明；.（ii）不妨設(shè)，利用（i）的結(jié)論可證，從而可求最大值.【小問1詳解】對(duì)于集合，，不是極異集合.對(duì)于，其共有7個(gè)非空子集：各集合的和分別為：,則，，因?yàn)橛袃蓚€(gè)相等元素所以集合不是極異集合.【小問2詳解】（i）因?yàn)槭恰皹O異集合”，故對(duì)于任意的k，也是“極異集合