福建省泉州市四校聯(lián)考高一上學期11月期中考試數(shù)學試題（含答案解析）

泉州一中?泉港一中?德化一中?廈外石獅分校四校聯(lián)盟2024-2025學年上學期期中考聯(lián)考高一年段數(shù)學學科試卷滿分：150分考試時間：120分鐘命題人：黃立審核人：張國川?王明嵐?陳亞良?陳修舟?蔡曉華注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.考生作答時，將答案答在答題卡上.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.在草稿紙?試題卷上答題無效.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整?筆跡清楚.4.保持答題卡卡面清潔，不折疊?不破損.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題無論取何實數(shù)，必有，則為（）A.，都有 B.，都有C.，使得 D.，使得【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定可得出命題.【詳解】由題意可知，命題，，該命題為全稱量詞命題，故，使得，故選：D.2.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先解指數(shù)不等式求出集合，解一元高次不等式求出集合，最后根據(jù)補集的定義計算可得.【詳解】由，即，所以，即，由，即，等價于，解得或，所以，所以.故選：A3.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式代值計算可得的值.【詳解】因為，則，所以，，故選：C.4.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的單調(diào)減區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”求出函數(shù)在定義域內(nèi)的遞減區(qū)間即可．【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，設，由，解得或，所以在上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)減區(qū)間為.故選：B.5.已知是奇函數(shù)，當時，且，又，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出的值，再結(jié)合可求出的值，可得出在時的解析式，代值計算可得出的值.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，當時，且，則，即，所以，，所以，當時，，故，故選：C.6.若，，則不能滿足的條件為（）A.奇數(shù)，為偶數(shù) B.為偶數(shù)，為奇數(shù)C.均為奇數(shù) D.均為偶數(shù)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的定義判斷即可.【詳解】對于A：因為，當為奇數(shù)，為偶數(shù)時，，此時無意義，不合題意，故A錯誤；對于B：因為，當為偶數(shù)，為奇數(shù)時，，此時，符合題意，故B正確；對于C：因為，當為奇數(shù)，為奇數(shù)時，，此時，符合題意，故C正確；對于D：因為，當為偶數(shù)，為偶數(shù)時，，此時，符合題意，故D正確；故選：A7.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因為在定義域上單調(diào)遞減且過點0,1，定義域為，在定義域上單調(diào)遞增且過點，在同一平面直角坐標系中畫出與的圖象如下：所以與有且僅有一個交點，且交點的橫坐標屬于0,1，又，所以，又，所以，因為，所以，綜上可得故選：D8.已知偶函數(shù)y=fx的定義域為，且當時，（x為不超過的最大整數(shù)）.則關(guān)于的不等式的整數(shù)解的個數(shù)為（）A.2023 B.2024 C.2026 D.2027【答案】C【解析】【分析】由已知，結(jié)合圖象，分析當和時，不等式的整數(shù)解的個數(shù)，可得答案.【詳解】因為y=fx是偶函數(shù)，當時，，所以，當時，，關(guān)于的不等式，當時，，當，時，不等式不成立，當時，則，不等式成立，當時，則，不等式成立，當時，則，不等式成立，當時，由和，的圖象可知，不等式不成立，所以不等式的整數(shù)解有3個，當時，，此時，不等式成立，又，則在時，不等式的整數(shù)解有個，所以關(guān)于的不等式的整數(shù)解的個數(shù)為個.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)是（）A.與B.與C.與D.與【答案】BC【解析】【分析】分別分析每個選項中函數(shù)的定義域和對應關(guān)系式是否相同即可.【詳解】對于A，兩個函數(shù)的定義域均為，因為，則兩者對應關(guān)系不同，故A錯誤；對于B，兩個函數(shù)的定義域均為，兩者對應關(guān)系相同，故B正確；對于C，兩個函數(shù)的定義域均為，又，兩者對應關(guān)系相同，故C正確；對于D，兩個函數(shù)的定義域相同，兩者對應關(guān)系不相同，故D錯誤；故選：BC.10.已知，都有.下列各式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用特殊值判斷A，利用重要不等式判斷B、C、D即可.【詳解】因為，都有，對于A，令，則，故A錯誤；對于B，因為，則，因為，所以，故B正確；對于C，，則，因為，則，，當且僅當，即時，等號成立，所以，則，故C正確；對于D，因為，又，所以，則，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，.下列說法正確的是（）A.為奇函數(shù)B.C.，使得D.，都有【答案】AD【解析】【分析】首先判斷、的奇偶性，即可判斷A，根據(jù)指數(shù)的運算判斷B，利用作差法得到，即可判斷C，再判斷的單調(diào)性，結(jié)合C即可判斷D.【詳解】函數(shù)，的定義域均為，且，，所以為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則,所以為奇函數(shù)，故A正確；因為，，所以，故B錯誤；因為fx?gx所以不存在，使得，故C錯誤；因為與在定義域上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞增，又，所以，都有g(shù)fx>ggx故選：AD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.根式化為分數(shù)指數(shù)冪的形式為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算法則計算可得.【詳解】.故答案為：13.集合，，則的一個充分不必要條件為__________.（用表示）【答案】（的范圍為集合的真子集即可）【解析】【分析】（只要能推出即可）.【詳解】因為集合，，且，則，故使得的一個充分不必要條件為“”.故答案為：（的范圍為集合的真子集即可）.14.對于，滿足恒成立，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】分和兩種情況，滿足恒成立，則的圖象恒在的圖象下方，聯(lián)立方程，令，求解即可.【詳解】因為，所以，當時，，所以，所以恒成立；當時，的圖象恒在的圖象下方，又，則由，得，則，即，解得或，則由，得，則，即，解得或，因為，所以，綜上，的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）當，求；（2）當且，求的范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當時，解出，，由集合的運算求出；（2）由，或，由，求得，即可得到的范圍.【小問1詳解】由已知，，當時，，所以.【小問2詳解】因為，即，當時，，，則，所以，則，解得，則，得，因為，所以，解得，綜上，的范圍為.16.已知直角三角形中，.設兩直角邊長分別為.斜邊上的定點到兩直角邊的距離分別為1，2.（1）求三角形的面積最小值；（2）用表示三角形的周長，并求其最小值.【答案】（1）（2）三角形的周長為；三角形的周長的最小值為【解析】【分析】（1）設，由已知，可得，則，代入三角形的面積公式，利用基本不等式即可求出三角形的面積最小值；（2）三角形的周長為，利用三角變換可化為，令，則利用基本不等式，即可求得三角形的周長的最小值.【小問1詳解】由已知，過點作到兩直角邊的垂線，垂足分別為，則，，所以，則，設，則，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以三角形的面積最小值為；【小問2詳解】在直角三角形中，，則，由（1），，，所以三角形的周長為，因為，所以，令，則，則，當且僅當，即時，等號成立，所以三角形的周長的最小值為.17.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在的單調(diào)性，并用定義證明；（2）求函數(shù)在的值域.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）判斷出函數(shù)在上單調(diào)遞減，任取、且，作差，變形并判斷的符號，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立；（2）分析函數(shù)在上單調(diào)性，即可求出該函數(shù)在區(qū)間上的值域.【小問1詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明如下：任取、且，則，因為，則，，，因為，，則，可得，所以fx1?f所以函數(shù)在上是減函數(shù).【小問2詳解】任取、，且，即，則，，可得，且，，，所以，即，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又因為，，所以，，因此函數(shù)在的值域為.18.已知函數(shù)具有性質(zhì)（為常數(shù)且），則稱該函數(shù)為“倒裝函數(shù)”.（1）請在以下三個函數(shù)中找出“倒裝函數(shù)”，求出對應的的值并說明理由；①；②；③.（2）已知函數(shù).（i）證明：；（ii）討論方程的實根的個數(shù).【答案】（1）①③不是，②是，且（2）（i）證明見解析；（ii）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“倒裝函數(shù)”的定義得出，計算并判斷出等式能否恒成立，若能恒成立，求出的值即可；（2）（i）分析可知，函數(shù)為奇函數(shù)，故只需證即可，然后化簡函數(shù)的解析式為，令，利用復合函數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)在0,+∞上的最大值，即可證得結(jié)論成立；（ii）分析函數(shù)的單調(diào)性，對實數(shù)的取值進行分類討論，數(shù)形結(jié)合可得出方程的實根的個數(shù).【小問1詳解】對于①，若函數(shù)為“倒裝函數(shù)”，則，且，整理可得，該等式不恒成立，所以，函數(shù)不是“倒裝函數(shù)”；對于②，若函數(shù)為“倒裝函數(shù)”，則，且，整理可得恒成立，所以，，所以，函數(shù)為“倒裝函數(shù)”；對于③，若函數(shù)為“倒裝函數(shù)”，則，即，整理可得，該等式不恒成立，所以，函數(shù)不是“倒裝函數(shù)”.【小問2詳解】（i）因為函數(shù)的定義域為R，，則函數(shù)為奇函數(shù)，且，要證，只需證當時，即可.當時，，令，因為，則，則，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，，即當時，，因此，對任意的x∈R，；（ii）由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在單調(diào)遞減，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當時，；當時，.作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當或時，直線與函數(shù)的圖象無交點，此時，方程無實根；當時，直線與函數(shù)的圖象只有一個公共點，此時，方程只有一個根；當或時，直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，此時，方程有兩個實根.故當或時，方程的根的個數(shù)為；當時，方程的根的個數(shù)為；當或時，方程的根的個數(shù)為.【點睛】方法點睛：判定函數(shù)的零點個數(shù)的常用方法：（1）直接法：直接求解函數(shù)對應方程的根，得到方程的根，即可得出結(jié)果；（2）數(shù)形結(jié)合法：先令，將函數(shù)的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為對應方程的根，進而轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，結(jié)合圖象，即可得出結(jié)果.19.有限集中元素均為正整數(shù)，設中的元素.當，都存在，使得，則稱中的元素是“完全可拆”；當，則稱中的元素是“完全不可拆”.（1）判斷集合且中元素是“完全可拆”或“完全不可拆”，并說明理由；（2）若，且中的元素“完全可拆”，求的最小值；（3）若為奇數(shù)，且中的元素“完全不可拆”，求的最大值（用表示）.【答案】（1）中的元素是“完全可拆”；中的元素是“完全不可拆”（2）9（3）【解析】【分析】（1）利用“完全可拆”定義將中除外的元素進行“分拆”可得；由“完全不可拆”定義證明集合中任意的兩個不同元素之和都不是的元素即可得；（2）根據(jù)“完全可拆”定義得中元素，需滿足條件，找到滿足條件的含有個元素的集合，再證明時不滿足條件；（3）先證明預備結(jié)論“對任意，若，則”，由此推得中元素最多個，再找到滿足題意的含有個元素的集合即可.【小問1詳解】集合，因為，滿足定義，所以中的元素是“完全可拆”；集合且，設任意，則，其中，且，，則，故中的元素是“完全不可拆”.【小問2詳解】由題意，，則，，又中的元素是“完全可拆”，可知，都存在，使得，則，（）且，由中元素均為正整數(shù)，.所以，，.①當時，，由，.所以中的元素是“完全可拆”，此時，；②下面證明，不符合題意.若，即集合滿足，且中的元素是“完全可拆”，.由上已知，，.故由，可知，故；依此類推，可知.因為，若，則，故不可能.若，則，則，所以；若，若，則，故不可能.若，則，，所以，同理，由，；又因為為奇數(shù)，故也不成立，即不存在滿足題意的.故不存在這樣的集合滿足，故.同理依次可得，若，均不存在這樣集合，滿足.綜上所述，的最小值為.【小問3詳解】由題意，中的元素，則，.中元素均為正整數(shù)，則，又為奇數(shù)，即.①先證明：若集合中的的元素“完全不可拆”，為奇數(shù)，則.預備結(jié)論：集合中的的元素“完全不可拆”，對任意，若，則.下面用反證法證明該結(jié)論成立.證明：假設，因為為奇數(shù)，所以，即.由中