2024-2025學年人教版初中數(shù)學九年級上冊同步練習：二次函數(shù) 壓軸題訓練（原卷版）

第05講二次函數(shù)壓軸專題

學習目標

課程標準學習目標

1.能通過二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系解決二次函數(shù)

選擇填空的壓軸題目。

①二次函數(shù)的圖像與系數(shù)之間的關系

2.能夠利用二次函數(shù)的頂點式求實際問題中的最值問

②二次函數(shù)的最值問題

題。以及三角形四邊形的面積最值問題。

③二次函數(shù)的存在性問題

3.利用二次函數(shù)與幾何的關系，解決二次函數(shù)中的存在

性問題。

思維導圖

知識清單

知識點01二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系

1.。與開口方向的關系。

2.對稱軸與a,6的關系；對稱軸在y軸左邊或右邊與a,b的符號的關系；對稱軸與±1的關系可得

2a+〃與0以及2a—b與0的關系。

3.函數(shù)與y軸交點坐標與c的關系。

4.函數(shù)與無軸的交點個數(shù)與廬—4ac的關系。

5.a+Z?+c是自變量為的函數(shù)值，a—Z>+c是自變量為的函數(shù)值。

4a+2b+c是自變量為的函數(shù)值，4a-2b+c是自變量為的函數(shù)值。

9。+3b+c是自變量為的函數(shù)值，9?！?b+c是自變量為的函數(shù)值。

【即學即練1】

1.已知二次函數(shù)QWO）的圖象如圖，有下列5個結論:

①a6c<0；②3a+c>0；③4a+26+c>0；④2a+6=0；?b'>4ac.

C.4個D.5個

【即學即練2】

2.如圖，根據(jù)二次函數(shù)>=以2+6尤+c的圖象得到如下結論：①a6c>0②2a-b=0③a+6+c=0?3a+c<0⑤

當x>-2時，y隨x的增大而增大⑥一定存在實數(shù)xo,使得axj+bxo>a-b成立.上述結論，正確的

A.①②⑤B.②③④C.②③⑥D.③④⑤

【即學即練3】

3.已知二次函數(shù)yn/+bx+cQ#。）的圖象如圖所示，現(xiàn)有以下結論：①a6c>0；②2a-b+c<0；③4a+26+c

=0；④2a-6=0；⑤3a+b」*c=0-其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【即學即練4】

4.某二次函數(shù)>=〃/+法+。（〃W0）的部分圖象如圖所示，下列結論中一定成立的有（）

①〃bc>0；

@a-b+c〈O；

③a=-T;

b

④8Q+C>0.

A.1個B.2個C.3個D.4個

知識點02二次函數(shù)的最值問題

1.求線段最值問題：

2.求圖形的面積最值問題：

將線段的最值與面積的最值統(tǒng)統(tǒng)轉化為二次函數(shù)的最值求解。

【即學即練1】

5.如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線y=3/-2x+2上運動，過點A作AC_Lx軸于點C,以AC

為對角線作矩形ABC。，連接BD,則對角線3。的最小值為（）

C.5

3

【即學即練2】

6.如果一個矩形的周長與面積的差是定值m（2<m<4）,我們稱這個矩形為“定差值矩形”.如圖，在矩

形A8CD中，AB=x,AD=y,2（x+y）-xy=-^-,那么這個“定差值矩形”的對角線AC的長的最小值

為（）

A.4B.泥C.MD.平

【即學即練3】

7.如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=?>cm,BC=4cm.點P從點A出發(fā),以lcm/s的速度沿AB運

動：同時，點。從點B出發(fā)，2cmk的速度沿8c運動.當點Q到達點C時，P、。兩點同時停止運動.設

動點運動的時間為r(s).A

—

(1)當/為何值時，△PB。的面積為2C/2；T

P

(2)求四邊形尸QC4的面積S的最小值.

B

【即學即練4】

8.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E,F,G,H四點一次是邊48,BC,CD,D4上一點(不與

各頂點重合)，且AE=A8=CG=CR記四邊形EFGH面積為S(圖中陰影)，AE^x.

(1)求S關于尤的函數(shù)表達式，并直接寫出自變量的取值范圍.

(2)求尤為何值時，S的值最大，并寫出S的最大值.

【即學即練5】

9.如圖，四邊形ABC。中，AD//BC,BD±DC,NC=45°,BD平分NABC.

(1)求證：AB±BC；

(2)已知AO=A8=4,8C=8,點P,。分別是線段A。，8C上的點，BQ=2AP,

過點尸作尸交BD于K,記y表示△PR。的面積，x表示線段AP的長度.如果

在一個直角三角形中，它的兩個銳角都是45°,那么它的兩條直角邊的長度相等，請你根據(jù)題目條件,

寫出表示變量y與x關系的關系式.

(3)當尤=時，y取得最大值

【即學即練6】

1,

10.如圖，拋物線y=-一J+bx+c與X軸交于A(4,0),8兩點，與y軸正半軸交于點C(0,4),點

2

P為直線AC上方拋物線上一動點.

(1)求拋物線的解析式：

(2)如圖1,若PQLAC,垂足為。，當尸Q的長度為最大值時，求此時點尸的坐標;

(3)如圖2,PQ±AC,垂足為。，且4。=3尸。，求此時點尸的坐標.

圖1圖2

知識點03二次函數(shù)的存在性問題

1.存在等腰三角形:

設出所求點的坐標，利用兩點間的距離公式表示出三角形的三邊，分別選取其中兩邊為腰，利用腰相

等建立方程求解。

2.存在直角三角形：

設出所求點的坐標，利用兩點之間的距離公式表示出三角形的三邊的平方，在利用各自為斜邊的平方

等于兩直角邊的平方的和建立方程求解。

3.存在平行四邊形：

設出所求點的坐標，結合已知點討論各自為對角線時的情況。利用中點坐標公式，平行四邊形對角線

的性質一一相互平分建立方程求解。即兩條對角線兩邊端點求得的中點坐標相等。

【即學即練1】

11.如圖，在平面直角坐標系中，己知拋物線丫=辦2-2x+c與直線都經過A(0,-3),B(3,0)

兩點，該拋物線的頂點為C

(1)求此拋物線和直線AB的解析式；

(2)設直線與該拋物線的對稱軸交于點E,在線段上是否存在一點M,過點M作無軸的垂線交

拋物線于點N,使四邊形CEMN是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)設點尸是直線下方拋物線上的一動點，當面積最大時，求出點P的坐標，并求出

面積的最大值.

【即學即練2】

12.如圖1所示，已知直線＞=h+“7與拋物線〉=辦2+法+(;分別交于無軸和＞軸上同一點，交點分別是點8

(6,0)和點C(0,6),且拋物線的對稱軸為直線x=4.

(1)請分別求出左，如a,b的值；

(2)如圖2,點。是線段8c上一點，且CQ=4&，點M是＞軸上一個動點，求線段MQ+MA的最小值；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點尸，使△P8C是直角三角形？若存在請直接寫出P點坐標，不存在

請說明理由.?/、1,

【即學即練3】

13.如圖，在平面直角坐標系中，直線和拋物線交于點A(-4,0),B(0,4),且拋物線的對稱軸為

直線x=-1.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點N在第四象限的拋物線上，且是以A8為底的等腰三角形，求N點的坐標;

(3)點P是直線A8上方拋物線上的一動點，當點尸在何處時，點P到直線的距離最大，并求出最

大距離.

【即學即練4】

14.如圖，直線y=-2x+4與x軸交于點A,與y軸交于點8,拋物線y=-2/+以+。經過A、2兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)P為直線上的動點，當點P繞原點。旋轉180°的對應點。在拋物線上時，求點尸的坐標；

(3)M為直線上的動點，N為拋物線上的動點，當以點O,A,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形

時，請直接寫出點"的坐標.

【即學即練5】

15.如圖，點A在x軸正半軸上，點C在y軸正半軸上，OA=2OC,將矩形OA8C繞原點。逆時針旋轉

90°,得到矩形。。EF.拋物線y=af+bx+c經過不。、g三個點，其頂點在直線y=Zx-」一上，直

212

線L：y=fcv+m經過點E和點A,點尸是拋物線y=a/+b尤+c上第一象限任意一點，過點尸作無軸的垂線

交直線L于點

（1）求abc的值;

（2）設尸點橫坐標為3求線段PM的長（用［的代數(shù)式表示）;

（3）以A、B、P、M四個點為頂點的四邊形會是平行四邊形嗎？如果會，寫出點尸的坐標，如果不會,

請說明理由.

題型精講

題型01二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系

【典例1】

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結論:

①a灰:<0；

②4a-2b+c>0；

@a-b>m（a/w+6）（〃z為任意實數(shù)）；

④若點（-3,yi）和點（3,>2）在該圖象上，則yi>”；

其中正確的結論是（）

A.①②B.①④C.②③D.②④

【典例2】

拋物線y=a7-2ax+c（a,c是常數(shù)且aWO,c>0）經過點A（3,0）.下列四個結論:

①該拋物線一定經過B（-b0）；

②2a+c>0；

③點Pl(f+2022,ji),尸2(f+2023,”),在拋物線上，且yi>”，貝卜>-2021；

④若加，n（機<w）是方程af+Ztix+cup的兩個根，其中0>0,貝!J-3V機<w<l.

其中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【典例3】

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）,圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經過點（-2,0）,對稱軸為直線

x=--.對于下列結論：①abc<0；②廿-4ac>0；③a+6+c=0；④am?+Zw?vL(a-2Z?)(其中m片」)；

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⑤若A（xi,yi）和5（%2,y2）均在該函數(shù)圖象上，且xi>x2>l,則yi>y2.其中正確結論的個數(shù)共有

（）個.

A.2B.3C.4D.5

【典例4】

如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（〃W0）的部分圖象，頂點坐標為（-1,-2）.下列結論：①6>0；②方程

〃/+法+0+2=（）有兩個相等的實數(shù)根；@a+b+c>0；@a-c=2,其中所有正確結論的序號是（)

典例4

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②③

【典例5】

如圖，是二次函數(shù)y=af+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aWO)圖象的一部分，與x軸的交點在點(2,0)和(3,

0)之間，對稱軸是直線x=l.對于下列說法：①ab<0；②3a+c>0；③2a+Z?=0；@a+b^m(am+b)(m

為實數(shù))；⑤當-l<x<3時，y>0,其中正確結論為()

A.2個B.3個C.4個D.5個

題型02二次函數(shù)的綜合應用

【典例1】

如圖，拋物線y=a/+bx+c(aWO)與x軸交于A,8兩點，與y軸交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點

已知A(-2,0),B(4,0),C(0,8).

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點尸，使△PC。是等腰三角形？如果存在，求出點尸的坐標；如果

不存在，請說明理由;

(3)點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點R求△CBF的最大面積及

此時點E的坐標.

【典例2】

如圖，拋物線y^a^+bx+c(a=0)與x軸交于點A(-1,0),點、B(3,0),與y軸交于點C(0,-3),

點。為直線。。與拋物線>=0?+公+。(4=0)在x軸下方的一個交點，點尸為此拋物線上的一個動點.

(1)求此拋物線的解析式；

3

(2)若直線。。為丁=——x,求點。的坐標；

2

(3)在(2)的條件下，當點尸在直線0。下方時，求△POO面積的最大值.

【典例3】

如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)>=自+人與二次函數(shù)y=-/+妙+〃交于點A(3,0),B(0,3)兩

點.

(1)求一次函數(shù)丁=丘+/?和二次函數(shù)y=-x2+mx+〃的解析式.

(2)點P是二次函數(shù)圖象上一點，且位于直線上方，過點尸作y軸的平行線，交直線于點。

當△以8面積最大時，求點尸的坐標.

(3)點M在二次函數(shù)圖象上，點N在二次函數(shù)圖象的對稱軸上，若以點A、B、M、N為頂點的四邊形

是平行四邊形時，求點M的坐標.

【典例4】

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-/+6x+c與無軸交于點A(-1,0),3(6,0),與y軸交于點C.且

直線過點B,與y軸交于點。，點C與點。關于x軸對稱，點尸是線段OB上一動點，過點P

作龍軸的垂線交拋物線于點交直線BD于點N.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;

(2)連接MB、MD,當?shù)拿娣e最大時，求點尸的坐標;

(3)在(2)的條件下，在y軸上是否存在點。，使得以。，M,N三點為頂點的三角形是直角三角形?

若存在，直接寫出點。的坐標；若不存在，說明理由.

【典例5】

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=a?+b尤+2QWO)與無軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點,

與y軸交于點C,連接BC.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點P為直線BC上方的拋物線上一點，過點尸作y軸的垂線交線段BC于過點尸作x軸的垂線

交線段8c于M求△PMN的周長的最大值.

(3)若點N為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點M,使得以3,C,M,N為頂點的四邊形是

平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的點M的坐標;

強化訓練

1.將拋物線y=2/向左平移3個單位，所得拋物線的解析式是()

A.y=2(x+3)2B.y=2(x-3)2C.y=2x1+3D.y=2x2-3

2.二次函數(shù)yn/+bx+c(a、b、c為常數(shù)，aWO)的尤與y的部分對應值如下表：

???o1234...

y…212510…

下列各選項中，正確的是()

A.這個函數(shù)的圖象開口向下

B.abc>0

C.這個函數(shù)的最大值為10

D.關于％的一元二次方程〃/+Z?x+c=0無解

3.已知拋物線y=2(x-2)2+1,A(-3,yi),B(3,?),C(4,”)是拋物線上三點，貝!！"，"，”

由小到大依序排列是()

A.yi<y2<y3B.y2<yi<ysC.y3<y2<yiD.y2<y3<yi

4.一次函數(shù)1(〃W0)與二次函數(shù)》二〃%2-%(〃W0)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是()

5.如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從。點正上方2機的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高

度y(m)與運行的水平距離x(m)滿足關系式y(tǒng)=q(x-k)2+/z.已知球與O點的水平距離為6根時,

達到最高2.6m,球網(wǎng)與O點的水平距離為9m.高度為2.43m,球場的邊界距O點的水平距離為18m,

則下列判斷正確的是()

A.球不會過網(wǎng)B.球會過球網(wǎng)但不會出界

C.球會過球網(wǎng)并會出界D.無法確定

6.若二次函數(shù)的圖象經過A(xi,yi)、B(%2,”)、C(2-m,〃)、D(m,n)則下

列命題正確的是()

A.若〃>0且由-1|>|%2-1|,則yiV”

B.若〃vo且yiV",貝!)|1一V|1-%2|

C.若以1-1|>|工2-1|且yi>y2,則〃V0

D.若XI+X2=2(XIW%2),則

7.拋物線y=a?+bx+c的對稱軸是直線x=一2.拋物線與x軸的一個交點在點(-4,0)和點(-3,0)

之間，其部分圖象如圖所示.①-4〃=0；②a+Z?+c>0；③c<3〃；@b1+2b>4ac.所述4個結論中正確

C.②③D.①③④

8.如圖，拋物線yuaf+Zzx+c與％軸交于點(-L0),對稱軸為x=l.下列結論：①〃Z?c>0；②房>4〃c；

③若關于尤的方程o?+bx+c+l=0一定有兩個不相等的實數(shù)根；④其中結論正確的個數(shù)有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.點A(2,yi),8(a,”)在二次函數(shù)y=/-2x+3的圖象上.若yi<”，寫出一個符合條件的a的值.

10.關于x的函數(shù)y=(k-2)2-(2/-1)x+左的圖象與x軸有兩個交點，則上的取值范圍是.

11.一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖所示)，橋