2024-2025學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)同步練習(xí)：二次函數(shù) 壓軸題訓(xùn)練（原卷版）

第05講二次函數(shù)壓軸專題

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能通過(guò)二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系解決二次函數(shù)

選擇填空的壓軸題目。

①二次函數(shù)的圖像與系數(shù)之間的關(guān)系

2.能夠利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)

②二次函數(shù)的最值問(wèn)題

題。以及三角形四邊形的面積最值問(wèn)題。

③二次函數(shù)的存在性問(wèn)題

3.利用二次函數(shù)與幾何的關(guān)系，解決二次函數(shù)中的存在

性問(wèn)題。

思維導(dǎo)圖

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系

1.。與開(kāi)口方向的關(guān)系。

2.對(duì)稱軸與a,6的關(guān)系；對(duì)稱軸在y軸左邊或右邊與a,b的符號(hào)的關(guān)系；對(duì)稱軸與±1的關(guān)系可得

2a+〃與0以及2a—b與0的關(guān)系。

3.函數(shù)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)與c的關(guān)系。

4.函數(shù)與無(wú)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與廬—4ac的關(guān)系。

5.a+Z?+c是自變量為的函數(shù)值，a—Z>+c是自變量為的函數(shù)值。

4a+2b+c是自變量為的函數(shù)值，4a-2b+c是自變量為的函數(shù)值。

9。+3b+c是自變量為的函數(shù)值，9?！?b+c是自變量為的函數(shù)值。

【即學(xué)即練1】

1.已知二次函數(shù)QWO）的圖象如圖，有下列5個(gè)結(jié)論:

①a6c<0；②3a+c>0；③4a+26+c>0；④2a+6=0；?b'>4ac.

C.4個(gè)D.5個(gè)

【即學(xué)即練2】

2.如圖，根據(jù)二次函數(shù)>=以2+6尤+c的圖象得到如下結(jié)論：①a6c>0②2a-b=0③a+6+c=0?3a+c<0⑤

當(dāng)x>-2時(shí)，y隨x的增大而增大⑥一定存在實(shí)數(shù)xo,使得axj+bxo>a-b成立.上述結(jié)論，正確的

A.①②⑤B.②③④C.②③⑥D(zhuǎn).③④⑤

【即學(xué)即練3】

3.已知二次函數(shù)yn/+bx+cQ#。）的圖象如圖所示，現(xiàn)有以下結(jié)論：①a6c>0；②2a-b+c<0；③4a+26+c

=0；④2a-6=0；⑤3a+b」*c=0-其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【即學(xué)即練4】

4.某二次函數(shù)>=〃/+法+。（〃W0）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中一定成立的有（）

①〃bc>0；

@a-b+c〈O；

③a=-T;

b

④8Q+C>0.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

知識(shí)點(diǎn)02二次函數(shù)的最值問(wèn)題

1.求線段最值問(wèn)題：

2.求圖形的面積最值問(wèn)題：

將線段的最值與面積的最值統(tǒng)統(tǒng)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求解。

【即學(xué)即練1】

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線y=3/-2x+2上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)A作AC_Lx軸于點(diǎn)C,以AC

為對(duì)角線作矩形ABC。，連接BD,則對(duì)角線3。的最小值為（）

C.5

3

【即學(xué)即練2】

6.如果一個(gè)矩形的周長(zhǎng)與面積的差是定值m（2<m<4）,我們稱這個(gè)矩形為“定差值矩形”.如圖，在矩

形A8CD中，AB=x,AD=y,2（x+y）-xy=-^-,那么這個(gè)“定差值矩形”的對(duì)角線AC的長(zhǎng)的最小值

為（）

A.4B.泥C.MD.平

【即學(xué)即練3】

7.如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=?>cm,BC=4cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以lcm/s的速度沿AB運(yùn)

動(dòng)：同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，2cmk的速度沿8c運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、。兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)

動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r(s).A

—

(1)當(dāng)/為何值時(shí)，△PB。的面積為2C/2；T

P

(2)求四邊形尸QC4的面積S的最小值.

B

【即學(xué)即練4】

8.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E,F,G,H四點(diǎn)一次是邊48,BC,CD,D4上一點(diǎn)(不與

各頂點(diǎn)重合)，且AE=A8=CG=CR記四邊形EFGH面積為S(圖中陰影)，AE^x.

(1)求S關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出自變量的取值范圍.

(2)求尤為何值時(shí)，S的值最大，并寫出S的最大值.

【即學(xué)即練5】

9.如圖，四邊形ABC。中，AD//BC,BD±DC,NC=45°,BD平分NABC.

(1)求證：AB±BC；

(2)已知AO=A8=4,8C=8,點(diǎn)P,。分別是線段A。，8C上的點(diǎn)，BQ=2AP,

過(guò)點(diǎn)尸作尸交BD于K,記y表示△PR。的面積，x表示線段AP的長(zhǎng)度.如果

在一個(gè)直角三角形中，它的兩個(gè)銳角都是45°,那么它的兩條直角邊的長(zhǎng)度相等，請(qǐng)你根據(jù)題目條件,

寫出表示變量y與x關(guān)系的關(guān)系式.

(3)當(dāng)尤=時(shí)，y取得最大值

【即學(xué)即練6】

1,

10.如圖，拋物線y=-一J+bx+c與X軸交于A(4,0),8兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C(0,4),點(diǎn)

2

P為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式：

(2)如圖1,若PQLAC,垂足為。，當(dāng)尸Q的長(zhǎng)度為最大值時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(3)如圖2,PQ±AC,垂足為。，且4。=3尸。，求此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

圖1圖2

知識(shí)點(diǎn)03二次函數(shù)的存在性問(wèn)題

1.存在等腰三角形:

設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出三角形的三邊，分別選取其中兩邊為腰，利用腰相

等建立方程求解。

2.存在直角三角形：

設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式表示出三角形的三邊的平方，在利用各自為斜邊的平方

等于兩直角邊的平方的和建立方程求解。

3.存在平行四邊形：

設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合已知點(diǎn)討論各自為對(duì)角線時(shí)的情況。利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，平行四邊形對(duì)角線

的性質(zhì)一一相互平分建立方程求解。即兩條對(duì)角線兩邊端點(diǎn)求得的中點(diǎn)坐標(biāo)相等。

【即學(xué)即練1】

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知拋物線丫=辦2-2x+c與直線都經(jīng)過(guò)A(0,-3),B(3,0)

兩點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)為C

(1)求此拋物線和直線AB的解析式；

(2)設(shè)直線與該拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,在線段上是否存在一點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作無(wú)軸的垂線交

拋物線于點(diǎn)N,使四邊形CEMN是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)設(shè)點(diǎn)尸是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出

面積的最大值.

【即學(xué)即練2】

12.如圖1所示，已知直線＞=h+“7與拋物線〉=辦2+法+(;分別交于無(wú)軸和＞軸上同一點(diǎn)，交點(diǎn)分別是點(diǎn)8

(6,0)和點(diǎn)C(0,6),且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=4.

(1)請(qǐng)分別求出左，如a,b的值；

(2)如圖2,點(diǎn)。是線段8c上一點(diǎn)，且CQ=4&，點(diǎn)M是＞軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段MQ+MA的最小值；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)尸，使△P8C是直角三角形？若存在請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，不存在

請(qǐng)說(shuō)明理由.?/、1,

【即學(xué)即練3】

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線和拋物線交于點(diǎn)A(-4,0),B(0,4),且拋物線的對(duì)稱軸為

直線x=-1.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)N在第四象限的拋物線上，且是以A8為底的等腰三角形，求N點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)P是直線A8上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在何處時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離最大，并求出最

大距離.

【即學(xué)即練4】

14.如圖，直線y=-2x+4與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,拋物線y=-2/+以+。經(jīng)過(guò)A、2兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)M為直線上的動(dòng)點(diǎn)，N為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)O,A,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)"的坐標(biāo).

【即學(xué)即練5】

15.如圖，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上，OA=2OC,將矩形OA8C繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°,得到矩形。。EF.拋物線y=af+bx+c經(jīng)過(guò)不。、g三個(gè)點(diǎn)，其頂點(diǎn)在直線y=Zx-」一上，直

212

線L：y=fcv+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)E和點(diǎn)A,點(diǎn)尸是拋物線y=a/+b尤+c上第一象限任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作無(wú)軸的垂線

交直線L于點(diǎn)

（1）求abc的值;

（2）設(shè)尸點(diǎn)橫坐標(biāo)為3求線段PM的長(zhǎng)（用［的代數(shù)式表示）;

（3）以A、B、P、M四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形會(huì)是平行四邊形嗎？如果會(huì)，寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，如果不會(huì),

請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型精講

題型01二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系

【典例1】

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論:

①a灰:<0；

②4a-2b+c>0；

@a-b>m（a/w+6）（〃z為任意實(shí)數(shù)）；

④若點(diǎn)（-3,yi）和點(diǎn)（3,>2）在該圖象上，則yi>”；

其中正確的結(jié)論是（）

A.①②B.①④C.②③D.②④

【典例2】

拋物線y=a7-2ax+c（a,c是常數(shù)且aWO,c>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3,0）.下列四個(gè)結(jié)論:

①該拋物線一定經(jīng)過(guò)B（-b0）；

②2a+c>0；

③點(diǎn)Pl(f+2022,ji),尸2(f+2023,”),在拋物線上，且yi>”，貝卜>-2021；

④若加，n（機(jī)<w）是方程af+Ztix+cup的兩個(gè)根，其中0>0,貝!J-3V機(jī)<w<l.

其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【典例3】

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）,圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2,0）,對(duì)稱軸為直線

x=--.對(duì)于下列結(jié)論：①abc<0；②廿-4ac>0；③a+6+c=0；④am?+Zw?vL(a-2Z?)(其中m片」)；

242

⑤若A（xi,yi）和5（%2,y2）均在該函數(shù)圖象上，且xi>x2>l,則yi>y2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共有

（）個(gè).

A.2B.3C.4D.5

【典例4】

如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（〃W0）的部分圖象，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,-2）.下列結(jié)論：①6>0；②方程

〃/+法+0+2=（）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；@a+b+c>0；@a-c=2,其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（)

典例4

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②③

【典例5】

如圖，是二次函數(shù)y=af+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aWO)圖象的一部分，與x軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(2,0)和(3,

0)之間，對(duì)稱軸是直線x=l.對(duì)于下列說(shuō)法：①ab<0；②3a+c>0；③2a+Z?=0；@a+b^m(am+b)(m

為實(shí)數(shù))；⑤當(dāng)-l<x<3時(shí)，y>0,其中正確結(jié)論為()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

題型02二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

【典例1】

如圖，拋物線y=a/+bx+c(aWO)與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)

已知A(-2,0),B(4,0),C(0,8).

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)尸，使△PC。是等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)R求△CBF的最大面積及

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

【典例2】

如圖，拋物線y^a^+bx+c(a=0)與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)、B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),

點(diǎn)。為直線。。與拋物線>=0?+公+。(4=0)在x軸下方的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)尸為此拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求此拋物線的解析式；

3

(2)若直線。。為丁=——x,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

2

(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)尸在直線0。下方時(shí)，求△POO面積的最大值.

【典例3】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)>=自+人與二次函數(shù)y=-/+妙+〃交于點(diǎn)A(3,0),B(0,3)兩

點(diǎn).

(1)求一次函數(shù)丁=丘+/?和二次函數(shù)y=-x2+mx+〃的解析式.

(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且位于直線上方，過(guò)點(diǎn)尸作y軸的平行線，交直線于點(diǎn)。

當(dāng)△以8面積最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(3)點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象上，點(diǎn)N在二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上，若以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【典例4】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+6x+c與無(wú)軸交于點(diǎn)A(-1,0),3(6,0),與y軸交于點(diǎn)C.且

直線過(guò)點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)C與點(diǎn)。關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)尸是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P

作龍軸的垂線交拋物線于點(diǎn)交直線BD于點(diǎn)N.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;

(2)連接MB、MD,當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)。，使得以。，M,N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?

若存在，直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

【典例5】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=a?+b尤+2QWO)與無(wú)軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P為直線BC上方的拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作y軸的垂線交線段BC于過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線

交線段8c于M求△PMN的周長(zhǎng)的最大值.

(3)若點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得以3,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是

平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.將拋物線y=2/向左平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式是()

A.y=2(x+3)2B.y=2(x-3)2C.y=2x1+3D.y=2x2-3

2.二次函數(shù)yn/+bx+c(a、b、c為常數(shù)，aWO)的尤與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

???o1234...

y…212510…

下列各選項(xiàng)中，正確的是()

A.這個(gè)函數(shù)的圖象開(kāi)口向下

B.abc>0

C.這個(gè)函數(shù)的最大值為10

D.關(guān)于％的一元二次方程〃/+Z?x+c=0無(wú)解

3.已知拋物線y=2(x-2)2+1,A(-3,yi),B(3,?),C(4,”)是拋物線上三點(diǎn)，貝!！"，"，”

由小到大依序排列是()

A.yi<y2<y3B.y2<yi<ysC.y3<y2<yiD.y2<y3<yi

4.一次函數(shù)1(〃W0)與二次函數(shù)》二〃%2-%(〃W0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()

5.如圖，排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從。點(diǎn)正上方2機(jī)的A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高

度y(m)與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=q(x-k)2+/z.已知球與O點(diǎn)的水平距離為6根時(shí),

達(dá)到最高2.6m,球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m.高度為2.43m,球場(chǎng)的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m,

則下列判斷正確的是()

A.球不會(huì)過(guò)網(wǎng)B.球會(huì)過(guò)球網(wǎng)但不會(huì)出界

C.球會(huì)過(guò)球網(wǎng)并會(huì)出界D.無(wú)法確定

6.若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(xi,yi)、B(%2,”)、C(2-m,〃)、D(m,n)則下

列命題正確的是()

A.若〃>0且由-1|>|%2-1|,則yiV”

B.若〃vo且yiV",貝!)|1一V|1-%2|

C.若以1-1|>|工2-1|且yi>y2,則〃V0

D.若XI+X2=2(XIW%2),則

7.拋物線y=a?+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=一2.拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(-4,0)和點(diǎn)(-3,0)

之間，其部分圖象如圖所示.①-4〃=0；②a+Z?+c>0；③c<3〃；@b1+2b>4ac.所述4個(gè)結(jié)論中正確

C.②③D.①③④

8.如圖，拋物線yuaf+Zzx+c與％軸交于點(diǎn)(-L0),對(duì)稱軸為x=l.下列結(jié)論：①〃Z?c>0；②房>4〃c；

③若關(guān)于尤的方程o?+bx+c+l=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

9.點(diǎn)A(2,yi),8(a,”)在二次函數(shù)y=/-2x+3的圖象上.若yi<”，寫出一個(gè)符合條件的a的值.

10.關(guān)于x的函數(shù)y=(k-2)2-(2/-1)x+左的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則上的取值范圍是.

11.一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖所示)，橋