2024-2025學年九年級數(shù)學上學期期中模擬卷（廣州專用人教版九年級上冊第21~23章）（全解全析）

2024-2025學年九年級數(shù)學上學期期中模擬卷

（廣州專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

I.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教版第21章一元二次方程+第22章二次函數(shù)+第23章旋轉。

5.難度系數(shù)：0.68o

第一部分（選擇題共30分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求的）

1.下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【答案】B

【詳解】解：A、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；

B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意.

故選：B.

2.已知二次函數(shù)y=（x+/）2-2的圖像上有三點/（1，乂），5（2,%）,C（-2,%）,則弘，%，力的大小關

系為（）

A.%>%>%B.了2>%>%C.D.y3>y2>

【答案】B

【詳解】解：?.?二次函數(shù)y=(x+/『-2,

/.tz=1>0,開口向上，對稱軸為直線％=-1,

.,.當x<-1時，V隨X的增大而減小，當%>-1時，V隨X的增大而增大，

vl<2,

%>必，

???1-(-1)=2,-1-(-2)=1,2>1,

乂>外,

故選：B.

3.方程14)=0的根是()

A.x=0B.x=14C.Xj=0,x2=14D.玉=0,x2=-14

【答案】C

【詳解】解：vx(x-14)=0,

一.x=0或％-14=0,

:.%,=0,x2—14

故選C.

4.如圖，在三角形/BC中，ZC=90°,ZB=35°,將三角形N8C繞點A按順時針方向旋轉到三角形

的位置，使得點。、4月在一條直線上，那么旋轉角等于()

【答案】B

【詳解】解：?.?"=90。,4=35。,

Z5^C=180°-ZC-Z5=55°,

由旋轉的性質(zhì)可知，MACi=NBAC=55°,

ZCAC}=180°一/B/C]=125。.

故選：B.

5.根據(jù)下列表格的對應值：可確定方程/+12》-15=0的一個根x的范圍是。

X11.11.21.3

/+12x—15-2-0.590.842.29

A.1<x<1.1B.1.1<x<1.2C.1,2<x<1,3D.x>1.3

【答案】B

【詳解】解：當x=l.l時，X2+12X-15<0,

當x=L2時，%2+12x-15>0）

所以方程/+12%-15=0的一個根工的范圍是1.1<x<1.2；

故選：B.

6.春節(jié)期間電影《熱辣滾燙》上映的第一天票房約為3億元，第二、三天單日票房持續(xù)增長，三天累計票

房9.63億元，若第二、三天單日票房增長率相同，設平均每天票房的增長率為x,則根據(jù)題意，下列方程

正確的是（）

A.3（l+x）=9.63B.3（1+x）2=9,63

C.3（l+x）+3（l+無『=9.63D.3+3（l+x）+3（l+無『=9.63

【答案】D

【詳解】解：設平均每天票房的增長率為x,則第二天的票房為3（1+力億元，第三天的票房為3（l+x）2億

元，

由題意得，3+3（l+x）+3（l+x）2=9.63,

故選：D.

7.對于二次函數(shù)>=5（x+3）2的圖象，下列說法不正確的是（）

A,開口向上B.對稱軸是直線x=-3

C.頂點坐標為（-3,0）D.當x<-3時，y隨x的增大而增大

【答案】D

【詳解】解：因為二次函數(shù)的表達式為y=5（x+3）2,

所以拋物線的開口向上，故A說法正確；

又拋物線的對稱軸是直線》=-3,故B說法正確;

因為拋物線的頂點坐標為（-3,0）,故C說法正確；

因為拋物線對稱軸為直線x=-3,且開口向上，

所以當x<-3時，了隨x的增大而減小.故D說法不正確；

故選：D.

8.如圖，在△4BC中，^BAC=11O°,將"BC繞點A逆時針旋轉100。得到UDE,點5的對應點為點

D,若點3,C,。恰好在同一條直線上，則/￡的度數(shù)為（）

A.25°B.33°C.30°D.40°

【答案】C

【詳解】解：?.?將△4BC繞點A逆時針旋轉100。得到△4DE,

Z.BAD=100°,AB=AD,NC=NE,

.-.ZB=ZADB=40°,

■■ZBAC=\\Q°,

.-.ZC=180°-110o-40o=30°,

ZC=ZE=30°,

故選：C.

9.如圖，若二次函數(shù)>="2+云+°（。70）的圖象的對稱軸為直線x=l,與y軸交于點C,與x軸交于點

A,點可-1,0）,則下列結論：@abc>0；②二次函數(shù)的最大值為a+6+c；（3）a-b+c<0；

@b2-4ac<Q;⑤當N>。時，-l<x<3；⑥3a+c=0；其中正確的結論有（）

【答案】A

【詳解】解：???二次函數(shù)對稱軸在y軸右側，與y軸交在正半軸，

ab<0fc>0,abc<0.

???故①不正確；

??,二次函數(shù)了="2+區(qū)+f("0)圖象的對稱軸為直線》=1,

???頂點坐標為(1，a+b+c),且開口向下，二次函數(shù)的最大值為a+6+c,

故②正確；

???拋物線過8(T，0),

=時，y=0,即a-6+c=0,

故③不正確；

,??拋物線與X軸有兩個交點,

b2-4ac>0,

故④不正確；

???對稱軸為直線尤=1,

由圖象可知，T<x<3時，y>0,

故⑤正確；

x-匕-1,即6=—2a,

2a

而x=-l時，歹=0,即Q-6+C=0,

：.a+2a+c=0,

???c+3。=0.

故⑥正確.

故選：A.

10.如圖，已知菱形0/3C的頂點0(0,0),2(2,2),若菱形繞點。逆時針旋轉,每秒旋轉45。，則第20秒時,

菱形的對角線交點。的坐標為()

A.(1,-1)B.(-1,-1)C.D.(0,-

【答案】B

【詳解】解：???菱形0/3C的頂點0(0,0)](2,2),

5。與x軸的夾角為45。，

???菱形的對角線互相垂直平分，

，點。是線段的中點，

.??點。的坐標是(1,1),

???菱形繞點。逆時針旋轉，每秒旋轉45。,360。+45。=8,

???每旋轉8秒，菱形的對角線交點就回到原來的位置(1,1),

???20+8=2……4,

???第20秒時是把菱形繞點O逆時針旋轉了2周回到原來位置后，又旋轉了4秒，即又旋轉了4x45。=180。,

.?.點。的對應點落在第三象限，且對應點與點。關于原點。成中心對稱，

???第20秒時，菱形的對角線交點D的坐標為(-LT).

故選：B

第二部分(非選擇題共90分)

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，滿分18分)

11.拋物線y=(x-ir+2的頂點坐標是.

【答案】(1,2)

【詳解】解：因為y=(x-l)2+2是拋物線的頂點式，

根據(jù)頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為(1,2).

故答案為(1,2).

12?點(2,-3)關于原點成中心對稱的點坐標是.

【答案】-2,3)

【詳解】解：由題意得：點⑵-3)關于原點成中心對稱的點坐標是(-2,3),

故答案為：(-2,3)

13.已知關于x的一元二次方程x2-3x-0=O兩個根為再、當，則為+%=.

【答案】3

【詳解】解：一元二次方程x2-3x-亞=0兩個根為西、聲，

b-3

貝ij：――=---=3.

a1

故答案為：3.

14.如圖，在△力5。中，ZC=90°,^5=10cm,BC=8cm,點尸從點4沿/C向點。以lcm/s的速度運

動，同時點0從點C沿CB向點5以2cm/s的速度運到(點。運動到點8停止)，在運動過程中，四邊形P45Q

的面積最小值為cm2.

【答案】15

【詳解】解：在中，ZC=90°,^5=10cm,BC=8cmf

AC=^AB2-BC2=6cm，

設運動時間為右（0<^<4）,則PC=（6-/）cm,CQ=2tcm,

一S四邊形尸48。-S^ABC-S&CPQ

=^AC-BC-^PC-CQ

=gx6x8-；（6-f）x27

t2-6t+24

=(Z-3)2+15

...當/=3時，四邊形尸的面積取最小值，最小值為15cm2.

故答案為：15.

15.如圖，在矩形48co中，對角線/C與9相交于點。，已知//C8=25。，則-408的大小是.

【答案】50°

【詳解】解：由矩形ABCD中，對角線/C,即相交于點。，ZACB=25°,得48C=90。,

ZBAO=90°-ZACB=65°.

由。/=。3,得是等腰三角形,

ZAOB=180°-65°-65°=50°,

故答案為：50°.

16.在平面直角坐標系xQy中，開口向下的拋物線yuaf+Zw+c的一部分圖象如圖所示，它與x軸交于/

???拋物線與x軸交于/(1,0),與y軸交于點3(0,3),

a+b+c=0

c=3

-,-a+b=-3,

,：b<0,

-3<tz<0.

故答案為：-3<aV0.

三、解答題(本大題共9小題，滿分86分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本題4分)解方程：X2-6X=-8

【詳解】解：???/-6X=-8

.-.X2-6X+8=0,……（1分）

—4）=0,......（2分）

%=2,X2=4..........（4分）

分別按下列要求畫圖:

(2)繞點。順時針旋轉90。；

并與x軸交于點A(2,0).

（2）設拋物線的頂點為B,求AOAB的面積S.

【詳解】解：（1）,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過坐標原點和點A（2,0）,

fc=0

A[0=-4+2/>+c，……°分）

拋物線的解析式為：y=-x2+2x；……（3分）

（2）?■?y=-x2+2x,

??.y=-（x-1）2+l.

.?.B（1,1）..........（4分）

1,■SAAOB—~X2X1—1.........（5分）

答：△OAB的面積為1.........（6分）

20.（本題6分）已知關于x的一元二次方程/-（左+l）x+2"2=0.

⑴求證：此方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若此方程有一個根大于0且小于1,求人的取值范圍.

【詳解】（1）證明：由題意得，△=[-（左+1）7一4（2左一2）……（1分）

=於+2%+1—8）+8

=k2-6k+9

=（"3『，

???（*-3）2>0,……（2分）

A>0,

此方程總有兩個實數(shù)根；……（3分）

（2）（左+l）x+2左一2=。，

（x—左+1）（%—2）=0,（4分）

解得x=2或％=左一1,

???此方程有一個根大于0且小于1,

0<A:-1<1,.....（5分）

:.\<k<2..........（6分）

21.（本題8分）如圖，矩形4BC。繞3點旋轉，使C點落到40上的￡處，AB=AE,連接AG.

F

（1）求證：AF=AG；

（2）求/G/尸的度數(shù).

【詳解】（1）證明：=,

ZABE=ZAEB,......（1分）

?.?矩形4BCD繞5點旋轉，

ZGBE=ZFEB=90°,BG=EF,……（2分）

ZABG=NAEF,

AABG=AAEF（SAS）,……（3分）

AG=AF-……（4分）

（2）解：；AB=AE,ZBAE=90°,

ZABE=ZAEF=45°,

ZABG=ZAEF=45°,……（5分）

矩形48co繞3點旋轉，

AB=BG,AE=EF,……（6分）

/.BAG=AEAF=1（180°-45°）=67.5°,……（7分）

ZGAF=360°-ZBAE-ZBAG-ZEAF=360°-90°-67.5°-67.5°=135°.........（8分）

22.（本題10分）如圖，在RtZ\48C中，ZS=9O°,4B=6cm,2C=10cm,點P從點/開始沿/g邊向點

2移動，速度為lcm/s；點。從點8開始沿8C邊向點C移動，速度為2cm/s,點尸、0分別從點48同時

⑴幾秒時，尸。的長度為4后cm?

⑵幾秒時，APBQ的面積為8cm2?

⑶當《0<，<5）為何值時，四邊形NP0C的面積最?。坎⑶筮@個最小值.

【詳解】（1）解：設運動時間為f秒時，P。的長度為4缶m，

依題意得：AP=tcm,BQ=2fcm,0</<5,……（1分）

PB=（6-/）cm,

NB=90°,

:.PB2+BQ2=PQ2,

.?.（6-丫+（202H.........（2分）

2

解得：f=2或歹

2

.?.2秒或二秒時，尸。的長度為4亞m;……（3分）

（2）解：設運動時間為f秒時，APB。的面積為8cm2,

依題意得：AP=fem,BQ=Item,0<t<5,

P5=（6-r）cm,……（4分）

???△尸5。的面積為8cm2,

—x（6—Z）x2?=8..........（6分）

解得：f=2或4.

.??2秒或4秒時，△尸8。的面積為8cm2；……（6分）

（3）解：四邊形ZP0C的面積=S4ABe-S^PBQ，……（7分）

^ABBC-^BQPB……（8分）

=1x6xlO-1（6-Z）-2z

=r-6；+30

=（-3）2+21,……（9分）

.??當才=3時，四邊形/尸。。的面積最小，最小值為21....（10分）

23.（本題10分）深圳某企業(yè)研制出一種新型科技產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400元.在該產(chǎn)品的試銷期間,

為促銷，企業(yè)決定：商家一次購買這種新型產(chǎn)品不超過10件時，每件按3000元銷售；若一次購買該種產(chǎn)

品超過10件時，每多購買一件，所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價均降低10元，但銷售單價均不低于2600元;

且商家一次性購買該產(chǎn)品不能超過60件.

⑴商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時，銷售單價恰好為2600元？

（2）設商家一次購買這種產(chǎn)品x件，該企業(yè)所獲的利潤為y元.在企業(yè)規(guī)定范圍內(nèi)，商家購買多少件時，企

業(yè)可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

【詳解】（1）設商家一次購買該產(chǎn)品x件時，銷售單價恰好為2600元....（1分）

3000-10（x-10）=2600,……（3分）

解得：x=50；……（4分）

（2）當0<x（10時，y=（3000-2400）x=600%,（5分）

此時，當x=10時，3大=600x10=6000（元）....（6分）

當10<xW50時，

j；=[3000-10（x-10）-2400]x=-1Ox2+700x=-10（x-35）2+12250,……（7分）

此時，當x=35時，>最大=12250（元）....（8分）

當50<xW60時，y=（2600-2400）x=200x,……（9分）

止匕時，當x=60時，y最大=20x60=12000（元）.

綜上所述，當商家購買35件時，企業(yè)可獲得最大利潤，最大利潤是12250元……（10分）

24.（本題12分）已知：是等腰直角三角形，動點P在斜邊所在的直線上，以PC為直角邊作等

腰直角三角形尸C。，其中NPCO=90。，探究并解決下列問題：

①線段，PB=；

②猜想：尸斤,尸長，尸02三者之間的數(shù)量關系為.（提示：連接8。）

⑵如圖②，若點P在奶的延長線上，在（1）中所猜想的結論仍然成立，請你給出證明過程；

⑶若動點P在線段48上，滿足R4:尸3=1:3,求PC:/C的值.

【詳解】（1）解：①?三角形ABC是等腰直角三角形，/C=3,

AB=yjAC2+BC2=V32+32=3A/2>……（1分）

PA=6,

■-PB=AB-PA=342-42=242.........（2分）

（2）PA2+PB2=PQ2,

證明：如圖1,過C作于點。，則△/DC是等腰直角三角形，△/C2為等腰直角三角形,

???PA2=(AD-PD)2=(CD-PD)2=CD2-2CDPD+PD2,

PB1=(BD+PD)2=(CD+PD)2=CD2+2CD-PD+PD2,

PA2+PB2=2CD2+2PD2=2[CD2+PD2),

在RtAPCD中，由勾股定理可得%2=。2+尸加，

■■PA2+PB2=2PC2,

???△CP。為等腰直角三角形，且/尸CQ=90。,

2PC2=PQ2,

：.PA2+PB2=PQ2■,……（4分）

(2)證明：如圖2,過C作CDLA8于點。,

CD=AD=DB,......（5分）

PA2=（AD+PD）2=（CD+PD）2=CD2+2CD-PD+PD~,

PB2=（PD-BD）2=（PD-CD）2=CD2-2CD-PD+PD2,

2222

PA+PB=2CD+2PD=2（CZ>2+p〃2）,……（6分）

在RtAPCD中，由勾股定理可得PC2=C￡>2+尸〃2,

■-PA2+PB2=2PC2,……（7分）

“。尸。為等腰直角三角形，且〃C0=9O。，

2PC2=PQ2,

■.PA2+PB2=PQ2-,……（8分）

（3）過點。作CDL48于點。，如圖3,當點尸在線段上時,

圖3

尸/_1

,礪一3'

：.PA=-AB=-CD=-AD=PD,……（9分）

422

在Rt^CPA中，由勾股定理可得尸C==Jcz>2+（gcz）j=.CD,

在RUACD中，由勾股定理可得/C=y/AD2+CD2=y]CD2+CD2=冊CD……（10分）

—CDI-

PC_2；……（11