2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊全等模型專項突破練習

突破18全等模型（一）三垂直

類型一同側(cè)三垂直

1.如圖,AELAB,且AE=AB,BC±CD,HBC=CD,請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S

D

4

類型二異側(cè)三垂直

2.如圖，在AABC中,NACB=9（r,AC=BC,BE_LCE于點E.ADXCE于點D.

⑴求證:/BCE=NCAD;

⑵若AD=9cm,DE=5cm,求BE的長

類型三隱三垂直

3.如圖，在正方形ABCD中,E是CD邊上一點，連接AE,將AADE沿AE折疊.使點D落在正方形ABCD內(nèi)部

的點F處，延長AF交BC于點H.求證:BH=CE+FH.

類型四三垂直與分類討論

4.在AABC中,AC=BC,/ACB=90。,分別過A,B兩點作直線CD的垂線,AF_LCD于點F,BE_LCD于點E,連接

AE.若AF=5,BE=2,貝?。軦AEF的面積為.

類型五構(gòu)造三垂直

5.如圖，在AABC中,AB=AC,EC，AC,且AC=CE,垂足為C,連接BE.若BC=6,貝UABCE的面積為（）

Q

A.-B.9C.18D.36

2

6.如圖在AABC中,NACB=9（r,AC=CB,D為CB延長線上一點AE=AD,且AE_LAD,BE與AC的延長線交于

點F,若AC=4FC,則浜勺值為.

DC

A

7.如圖，在R3ABC中,/BAC=9(T,AB=AC,D是BC的中點,E是BC邊上的動點(不與點B,C,D重合)，連接AE,

在AE右側(cè)作EFJ_AE,且EF=AE,連接CF,則/ECF的度數(shù)為.

突破19全等模型(二)坐標系中的三垂直

類型一兩點在軸上，“一點垂”

L如圖，在△PMN中，點P,M在坐標軸上點P(0,2),N(2,—2),PM=PN,且

PM1PN,,則點M的坐標是_______________.

2.如圖，在平面直角坐標系中，AABC為等腰直角三角形，點A(--1,O),B(O,-4).將△4BC向上平移一個單位長

度后，點C的坐標為()

A.(4,l)B,(3,l)C.(4,2)D.(3,2)

3.如圖，在平面直角坐標系中點A(2,2),B(0,-l),C為x軸正半軸上一點，AB1AC,且4B=4C.求點C的坐標.

類型二一點在軸上，“兩點垂”

4.如圖，在RtA力BC中,AC=BC/ACB=90。,,點A(-l,0),C(l,3),求點B的坐標.

名校壓軸題?八年級數(shù)學(xué)上

類型三無點在軸上，“一平兩垂”

5.如圖,在Rt△ABC中，AC=AB,Z.BAC=90。,點B(2,2),C(4,—2).求點A的坐標.

類型四分類討論，求坐標

6.如圖，已知點A(0,3),B(4,l),以AB為斜邊作等腰RtKABC,,則直角頂點C的坐標為____________.

類型五運用全等，求定值

7如圖，在平面直角坐標系中，點A(0,m)在y軸正半軸上，點。(-zn，0),B為線段0D上一動點(不與O,D

兩點重合)，將線段AB繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段AC,連接CD交OA于點E,求黑的值.

OE

類型六線段和差，求參數(shù)

8.如圖，在.△力BC中，/.BAC=90。,4B=",若點A(—2,—2),B(0,m),C(n,0).求m,n之間的數(shù)量關(guān)系.

9.如圖，點4(—2,a),點B在y軸的正半軸上,8C14。交AO的延長線于點C,且AC=BC..^C(l,c),B(0,b),

求I的值.

突破20全等模型(三)一線三等角

類型一同側(cè)一線三等角

1.如圖，在AABC中,NB=/C.APMN的頂點P,M,N分別在AB,BC,AC上運動，且NPMN=NB,PM=MN.求

證:BM=CN.

A

2.如圖，在AABC中,AB=AC,D,A,E三點都在直線m上，且/BDA=NAEC=NBAC=a,其中a為鈍角.求

證:DE=BD+CE.

3.如圖,AC,DF相交于點G,且AC=DF,D,C是BE上兩點/B=/E=/l若BE=l,AB=m,EF=n,Ji!!JCD的長為

)

A.l-mB.l-nC.m+n—1D.m—n+1

4.如圖，在AABC中,/ABC=/ACB,D,E,F分別是AB,BC,AC邊上的點,BE=CF.

⑴若NDEF=/ABC,求證:DE=EF;

(2)若/A+2/DEF=180o,BC=9,EC=2BE,求BD的長.

類型二異側(cè)一線三等角

5.(1)如圖1,點8《分別在/MAN的邊AM,AN上點E.F都在/MAN內(nèi)部的射線AD上分別是

△ABE,ACAF的夕卜角.已知AB=AC,且/1=/2=NBAC.求證:AABE0ACAF;

⑵如圖2,在AABC中,AB=AC,AB>BC.點D在邊BC上,CD=2BD,點E,F在線段AD上,N1=/2=NBAC.若

AABC的面積為15,求AACF與ABDE的面積之和.

圖2

類型三構(gòu)造一線三等角

6.如圖,AC=BC,D是BC上一點,/ADE=/C.

⑴如圖1,若/C=9(T,/DBE=135。.求證:①/EDB=/A;②DA=DE;

(2)如圖2,當/DBE與NC之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時，總有DA=DE成立?

突破21全等模型(四)手拉手

類型一手拉手模型與角平分線

1.如圖,CA=CD,CB=CE,NACD=/BCE,AB與DE交于點M.

(1)求證:AB=DE;

(2)連接MC,求證:MC平分/BMD.

類型二手拉手模型與八字導(dǎo)角

2.如圖,AABC和ADBE均為等腰直角三角形，連接AD,CE.求證:ADLCE.

類型三手拉手模型與面積轉(zhuǎn)化

3.如圖，已知AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE,AB和CD交于點F.若點C,E,F,D共線S.F=9,SB.=4,則

SADE的值為?

類型四手拉手模型與角的和差

4.如圖，在AABC中,BA=BC,點F在AB邊上，延長CF交AD于點E,BD=BE,NABC=NDBE.

⑴求證:AD=CE;

⑵若NABC=30o,/AFC=45。,求NEAC的度數(shù)

5如圖，已知AB=AC,AD=AE,且/EAD=NBAC=80。,若/BDC=160。,求/DCE的度數(shù).

類型五手拉手模型與二倍角

6.如圖，點C在線段AB上(不與點A,B重合)，在AB的上方分另作AACD和ABCE,且AC=DC,BC=EC,/ACD=

NBCE=a，連接AE,BD交于點P.求證:NAPB=2NADC.

類型六手拉手模型與線段和差

7.如圖,NBAD=/CAE=9(T,AB=AD,AE=AC,AF_LCB,垂足為F.

⑴求證:AABC絲AADE;

(2)求/FAE的度數(shù)；

(3)求證:CD=2BF+DE.

突破22全等模型（五）夾半角

類型一90。夾45。

L如圖，把兩塊大小相同的含45。的三角板ACF和三角板CFB如圖所示擺放，點D在邊AC上點E在邊

BC上且NCFE=13o,/CFD=32。,則/DEC的度數(shù)是（）

A.58°B.45°C.77°D.64°

類型二120。夾60。

2.如圖，在四邊形ABCD中,NA=NBCD=90o,AB=BC,點E,F分別在AD,DC的延長線上，且/EBF=NADC.

⑴探究NEBF與/ABC間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑵若/EBF=60。探究線段AE,EF,CF之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

■E

3.在NQAP內(nèi)有一點B,過點B分別作眈，人出口，人（2，垂足分別為（2。且院=8口,點.分別在邊AQ和

AP上.

⑴如圖1,若/AEB+ZAFB=180°,求證:BE=BF;

(2攻口圖2,若/PAQ=NEBF=60。,求證:EF=DE+CF.

Q

CF

圖1

類型三24a。夾a°

4.如圖，在△4BC中,AB=AC,^EAF=|乙BAC,BFEME于點E,交AF于點F,連接CF.

⑴如圖1,當NE4F在NBAC內(nèi)部時,求證：EF=BE+CF.

（2）如圖2,當CE4尸的邊AE,AF分別在NB4C外部,內(nèi)部時，求證：（CF=BF+2BE.

類型四夾半角的應(yīng)用

5.在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30。的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70。的B處,

并且。2=OB..接到指令后，艦艇甲向正東方向迅速前進，同時艦艇乙沿北偏東50。的方向迅速前進.指揮中心觀測

到3小時后甲、乙兩艦艇分別到達E,F處，乙EOF=70°,EF=180海里，且甲與乙的速度比為2：3,求甲艦艇

的速度.

突破23全等模型（六）對角互補

類型一對角互補+鄰邊相等

1.如圖，在四邊形ABCD中，AD=DC.^ADC=4ABC=90°,DE148于點E,若四邊形ABCD的面積為16,

則DE的長為.

D

2.如圖,D是NM4N內(nèi)部一點，DE14M于點E,DF14N于點F且DE=DF,點B是射線AM上一點，AB=

6,BE=2,,在射線AN上取一點C，使得DC=DB,,則AC的長為.

N

類型二對角互補+角平分線

3如圖，已知四邊形ABCD的對角互補，且ABAC=/.DAC.AB=IS,AD=12.過頂點C作(CE14B于點E,

則浜勺值為()

BE

A.9B.V73C.7.2D.6

類型三角平分線+鄰邊相等

4.如圖，在四邊形ABCD中,AC平分/BAD,CB=CD,CF_LAD于點F.

⑴求證:NABC+NADC=180。；

⑵若AF:CF=3:4,CF=8,求四邊形ABCD的面積.

類型四坐標系中的對角互補

5.如圖,AC=BC,/C=90。點A的坐標為(0,4),點B的坐標為(10,0)廁點C的坐標為.

類型五隱對角互補

6.如圖在AABC中2ABe=NACB,點D,E分別是BC,AC上的點,AD,BE相交于點P,連接DE,/EBC=/BAD.

⑴求證:NDPE+/C=180。；

⑵若PE=CE,求證:DE平分NADC.

突破24全等模型（七）同旁張等角

類型一同側(cè)直角+等腰直角

1.如圖在AABC中,NABC=45。過點C作CDLAB于點D,過點B作BMLAC于點M,連接MD,過點D作

DNLMD,交BM于點N.CD與BM相交于點E,且E是CD的中點.

⑴求證:NAMD=45。；

(2)求證:NE—EM=MC.

C

類型二同側(cè)等角+等腰

2如圖，在AABC中,AB=AC,過點B的射線與過點C的射線CF交于點D,且/ABD=NACF,過點A作AM,

BD于點M.求證:BM=DM+DC.

類型三同側(cè)等角十外角平分線

3.如圖.BF平分AABC的外角/ABE,D為BF上一點,/ABC=NADC,過點D作DHLAB于點H,若

AH=7,BH=1,則CB的長為（）

A.6B.5C.4D.5.5

A

4.如圖,D是AABC的外角平分線上一點，過點D作DE,AC于點E,DF，AB交BA的延長線于點F,且滿足

CE=AB+AE.

(1)求證:BD=CD;

⑵求證:NBDC=/BAC.

類型四同側(cè)等角+隱角平分線

5.如圖線段AB與CD相交于點E,AB，BD,垂足為B,AC，CD,垂足為C.若AB=BD,NBDE=22.5。,試探究線段

DE與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

類型五手拉手轉(zhuǎn)化為同旁張等角

6.如圖，在AABC和AADE中,AB=AC,AD=AE,NBAC=/DAE,CE的延長線交BD于點F.

⑴求證:AACE絲AABD.葭

⑵過點A作AH_LBD于點H,求證:EF+DH=HF.

C'A

類型六構(gòu)造同旁張等角

7.如圖，在AABC中,D為AB中點,DE_LAB,/ACE+NBCE=18（r,EF_LBC于點F,AC=8,BC=12,求BF的長.

R

C

突破25全等模型（八）婆羅摩笈多

類型一證中點

1.如圖,BE_LCD,AB=AD,AC=AE,過點A作AGXDE于點G,延長GA交BC于點F,求證:F為BC中點

類型二證二倍

2.如圖，在AABO和ACDO中,OA=OB,OC=OD,NAOB與/COD互補，連接AC,BD,E是BD的中點.求

證:AC=2OE.

3.若AABC和AADE均為等腰三角形，且AB=AC=AD=AE,當NABC和NADE互余時，稱△ABC與AADE互

為“底余等腰三角形”,AABC的邊BC上的高AH叫做AADE的“余高，如圖,AABC與AADE互為“底余等腰三角

形

⑴若連接BD,CE,判斷AABD與AACE是否互為“底余等腰三角形”:(填“是”或“否"

⑵當NBAC=90。時若AADE的“余高”AH=3,則DE=;

⑶當0<NBAC<180。時判斷DE與AH之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

類型三證垂直

4.如圖,AD為AABC的高線,AD=BC,以AB為底邊作等腰RtZkABE,連接ED,EC,延長CE交AD于F點.求

證:CEJ_DE.

類型四求面積

5如圖，在RtAABC中,/ABC=9(T,AB=6,BC=3,分別以AC,BC為一直角邊作等腰RtAACE和等腰RtABCD,連

接DE交BC的延長線于點F,則ACEF的面積為-

A

■E

類型五證面積相等

6如圖，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC共頂點放置，其中NACB=NDCE=90o,/ABC=NDEC.

設(shè)ABDC的面積為4EC的面積為S2,求證：Si=S2.

之

突破18全等模型(一)三垂直

1.50解:,.，AE_LAB且AE二AB,EF_LFH,BGJ_FH,

JZEAB=ZEFA=ZBGA=90°,

JZEAF+ZBAG=90°,ZABG+ZBAG=90°,

JZEAF=ZABG.

?.?AE=AB,ZEFA=ZAGB,ZEAF=ZABG,

AAEFA^AAGB,

AAF=BG,AG=EF.同理證彳導(dǎo)△BGCg^CHD,GC=DH,CH=BG.

「?FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,

S=J(6+4)x16-3x4-6x3=50.故答案為50.

2.解:(1),?,BE_LCE,ADJ_CE,

JZE=ZADC=90°,

???ZCAD+ZECA=90°,

ZACB=90°,

???ZBCE+ZECA=90°,

???ZBCE=ZCAD;

Z-BCE=Z-CAD,

(2)在"EC與4CDA中，"=^CDA,

BC=AC,

：.ABECACDA(AAS),

二?AD=CE=9cm,CD=BE,

VDE=CE-CD=9-BE=5,

BE=4cm.

3.證明:連接DF,并延長交BC于點G.

由題意，得△ADE@△AFE,

???AD=AF,ED=EF.

易證AE±DF,ZADF=ZAFD.

VAD//BC,

???ZADF=ZHGF,

???ZHFG=ZHGF,

???FH=HG.

VZADG+ZDAE=ZADG+ZCDG=90°,

???ZDAE=ZCDG.

TAD=CD,

ZXADE也△DCG(ASA),

???DE=CG.

VCD=BC,

二?CD-DE=BC-CG,

.\CE=BG,

???BH=BG+GH=CE+FH.

4.17.5或7.5解:①如圖1,當

△ABC在直線CD同側(cè)時,

△AFC^ACEB,AF=CE=5,

CF=BE=2,

EF=CE+CF=AF+BE=5+2=7,

,*?SAEF=17,5;

即

②如圖2,當ZkABC在直線CD兩側(cè)時，

△AFC^ACEB,

AF=CE=5,

CF=BE=2,

Z.EF=CE-CF=AF-BE=5-2=3,

ASAAEF=7.5,

.\SAAEF=17.5或7.5.

5.B解:過點A作AHLBC于點H,過點E作EFLBC,交BC的延長線于點F.

VAB=AC,

JR3ABH之R3ACH(HL),

???BH=HC.

ZACE=90°,

???ZACH+ZECF=90°.

ZCAH+ZACH=90°,

???ZECF=ZCAH,

JAACH^ACEF(AAS),

i

..EF=CH=-BC=3,

2

???ABCE的面積=^BCEF=^6x3=9,故選B.

6.g解:過點E作EH,AC,交AC的延長線于點H,則4ADC之△EAH(AAS),

I.AH二CD,EH二AC二BC,

JABCF^AEHF(AAS),

?.CF=FH=-2CH.

VAH=CD,AC=BC,

ABD=CH=2FC.

VBC=AC=4FC=2DB,

DB_1

??BC——2.

7.45?；?35。解:連接AD,過點F作FGLBC于點G.

ZBAC=90°,AB=AC,D是BC的中點,

ABD=CD=AD.

???EF_LAE,且EF=AE,由三垂直模型，可得4ADE之△EGF(AAS),；.EG=AD=CD,DE=FG.

①如圖1若點E在線段BD上，則EG-DG=CD-DG,

???DE=CG=FG,

???ZECF=45°;

②如圖2,若點E在線段CD上廁EG-EC=CD-EC,

???DE=CG=FG,

JZGCF=45°,

JZECF=135°.

綜上所述,NECF的度數(shù)為45?；?35°.

突破19全等模型(二)坐標系中的三垂直

1.(40)解:過點N作ND，y軸于點D.

VP(0,2),N(2,-2),

???OP=2,ON=2,DN=2,

???PD=4.

VPMXPN,

，ZMPN=90°,

/.ZMPO+ZDPN=90°.

又：ZDPN+ZPND=90°,

.\ZMPO=ZPND.

又：NMOP=NPDN=90。，

AMOP^APDN(AAS),

/.0M=PD=4,

故答案為(-4,0).

2.D解:?點A(-1,0),B(0,-4),；.OA=1,OB=4.

VAABC為等腰直角三角形，

AC=AB,/BAC=90。,過點C作CE±x軸于點E,

ZAEC=ZAOB=90°,

ZCAE+ZBAO=ZBAO+^ABO=90°,

ZCAE=ZABO.

在ACAE與AABO中，

Z.AOB=/.CEA,

乙ABO=4CAE,

AB=AC,

ACAE^AABO(AAS),

.\CE=AO=1.AE=OB=4,

.*.OE=3,

?.?將AABC向上平移一個單位長度，

點C的坐標為(3,2).故選D.

3.解:過點A分別作AELx軸于點E,AF，y軸于點F.

貝U/BAC=/BOC=90。，

ZABF=ZACE,

又：ZAEC=ZAFB=90°.AB=AC,

/.AAEC^AAFB,

AE=AF=OF=2,CE=BF=2+1=3,

.*.OC=2+3=5,

；?點C的坐標為(5,0).

4.解：過點C作直線l〃x軸，分別過點A,B作AEL于點E,BFL于點F.

ZAEC=ZACB=ZBFC=90°,

/.ZEAC=ZBCF,

又：AC=BC,

AAEC^ACFB,

；.AE=CF=3,BF=EC=2,

點B的坐標為(4,1).

5.解:過點A作直線l〃y軸過點B作BE11于點E,過點C作CFL于點F,

ZBEA=ZCFA=ZBAC=90°,

AZBAE+ZCAF=ZBAE+ZABE=90°,

ZABE=ZCAF,

又：AC=AB,

AABE^ACAF(AAS),

；.BE=AF,CF=AE,設(shè)點A(m,n),

?.?點B(2,2),C(4,-2),

2-n=4-m,n+2=2-m,

m=l,n=-l,

點A的坐標為(1,-1).

6.(34)或(1,0)解:分兩種情況討論：①當點C在AB上方時，可得點C(3,4);

②當點C在AB下方時，可得點(2(1,0).故答案為(3,4)或(1,0).

7.解過點C作CF，y軸于點F,可得△ACF之△BAO,

.*.AF=OB,CF=OA=OD,

ACEF^ADEO,

AOE=EF,

VOA=OD,AF=OB,

.\BD=OF=2OE,

BD_

???—=2.

OE

8.解:過點A作ADLx軸于點D,過點B作BEXAD于點E,則△ACDgABAE,

；.CD=AE,

?/A(-2,-2),C(n,0),B(0,m),

CD=n+2,AE=-2-m,

n+2=-2-m,

/.m+n=-4.

9.解:過點A作AHLy軸于點H,過點C分別作CMLAH于點M,CN，y軸于點N,

可得AACMg/XBCN,

；.BN=AM=2+1=3,

/.b-c=3.

突破20全等模型（三）一線三等角

1.證明:；NPMN=NB=NC,/B+NBPM+NBMP=180°,NBMP+ZPMN+ZCMN=180°,

ZBPM=ZCMN,

VPM=MN,

ABPM^ACMN(AAS),

???BM=CN.

2.證明:ZBDA=ZBAC=a,

AZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-a,

???ZCAE=ZABD.

又,「AB=AC,

△ADBACEA(AAS),

???AE=BD,AD=CE,

JDE二AE+AD=BD+CE.

3.C解:???NDGC=NC

.?2-ACB=180°-Z.FDE-zl,

??乙DFE=180°-Z,FDE-NE,NE=N1,

JNACB=NDFE,

XVAC=DF,

???△ACBADFE(AAS),

DE=AB=m,BC=EF=n,

二?CD二BC+DE--BE=m+n-1,故選C.

4.解:(1),.,/DEF=NABC,NDEC=ZABC+NBDE=NDEF+NCEF,

???ZBDE=ZCEF.

又二BE=CF,

???ABDE^ACEF(AAS),

???DE=EF;

(2)VBC=9,EC=2BE,

ABE=3,EC=6,

VZA+2ZDEF=180°,ZA+ZABC+ZACB=180°,ZABC=ZACB,

ZDEF=ZABC=ZACB,

VZDEC=ZABC+ZBDE=ZDEF+ZCEF,

???ZBDE=ZCEF.

又二BE=CF,

???ABDE^ACEF(AAS),

???BD=EC=6.

5.W：(1)VZ1=Z2=ZBAC,Z1=ZBAE+ZABE,ZBAC=ZBAE+ZCAF,Z2=ZFCA+ZCAF,

JZABE=ZCAF,ZBAE=ZFCA,

TAB=AC,

???AABE^ACAF(ASA);

(2);△ABC的面積為15,CD=2BD,

???AABD的面積為|x15=5,由(1)得4ABE也ZXCAF,??.SACF+SBDE=SABE+5BDF=SAABD=5.

6.解:⑴①。ZADE=ZC=90°,AZEDB+ZADC=90°,ZA+ZADC=90°,

???ZEDB=ZA;

②在AC上截取CF=CD,連接FD.

ZC=90°,

JZCFD=ZCDF=45°,

???/LAFD=135°=Z.DBE.

VAC=BC,

???AC-CF=BC-CD,即AF=BD.

由①知NA=NBDE,

JAAFD^ADBE(ASA),

ADA=DE;

⑵當ADBE=90°+5"時，總有DA=DE成立.理由如下：

在AC上截取CM=CD,連接MD.

VAC=BC,

???AM=BD.

ZADB=ZA+ZC,ZADB=ZADE+ZBDE,ZADE=ZC,

:.ZA=ZBDE.

v^CMD=90°--2LC,

2

：.AAMD=90°+-ZC.

2

當ADBE=90°+時，ZDBE=ZAMD,

AAMD^ADBE(ASA),

；.AD=DE.

突破21全等模型(四)手拉手

5VZACD=ZBCE,

/.ZBCE+ZACE=ZACD+ZACE,

ZBCA=ZECD,

：AC=DC,CB=CE,

ZkABC經(jīng)△DEC(SAS),

/.AB=DE;

⑵過點C作CG±AB于點G,CH±DE于點H,

VAABC^ADEC,

ZA=ZD,

又：ZAGC=ZDHC=90°,AC=DC,

AAGC^ADHC(AAS),

；.CG=CH,

AMC平分/BMD.

2.證明:延長AD分別交BC和CE于點G和點F.

AABC和4DBE是等腰直角三角形，

AB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=90°,

/ABC-NDBC=ZDBE-ZDBC.gpZABD=ZCBE,

AABD^ACBE(SAS),

ZBAD=ZBCE.

VZBAD+ZABC+ZBGA=ZBCE+ZAFC+ZCGF=180°.

XVZBGA=ZCGF,

.\ZAFC=ZABC=90o,

/.ADXCE.

3.5M：ZBAC=ZDAE,ZBAC-ZBAE=ZDAE-ZBAE,

SPZCAE=ZBAD,

AACE^AABD(SAS),

/.SAACE=SAABD.

VSAACF=9,

.*.SAACE+SAAEF=9.

設(shè)SAACE=SAABD=x,

貝［JSAAEF=9-X,SAADF=X-4,

???SAAEF+SAADF=9-X+X-4=5,

gp.SAADE=5.

4.證明:⑴:ZABC=ZDBE,

JZABC+ZABE=ZDBE+ZABE,

???NABD二NCBE.

BD=BE,BA=BC,

AADB^ACEB(SAS),

???AD=CE;

(2)VBA=BC,ZABC=30°,

??Z-BAC=乙BCA=i(180°-30°)=75°,

NAFC=45。，

JZBCE=ZAFC-ZABC=45o-30°=15°,

AADB^ACEB,

???ZBAD=ZBCE=15°,

JZEAC=ZBAD+ZBAC=15°+75°=90°.

5.解:I,ZEAD=ZBAC=80°,AZ1=Z2,

可證明zXBAD之△CAE(SAS),

???ZACE=ZABD.

ZBAC=80°,AB=AC,

JZBCA=ZCBA=50°,

???ZDCE=Z4+ZBCA+ZACE

=Z4+50°+ZABD

=Z4+50°+Z3+ZABC

=Z3+Z4+100°.

又???NBDC=160。，

???Z3+Z4=180°-ZBDC=20°,

???ZDCE=20°+100o=120°.

B

E

6.證明:ZACD=ZBCE=a,ZACE=ZDCB.

XVCA=CD,CB=CE,

JAACE^ADCB(SAS),

:.ZEAC=ZBDC,

???NAPD=NACD=a.

VAC=CD,ZACD=a,

.,.a=180°-2ZADC.

又丁ZAPD=a=180°-ZAPB,

???ZAPB=2ZADC.

7.證明ZBAD=ZCAE=90°,.\ZBAC+ZCAD=90°,ZCAD+ZDAE=90°,

JNBAC=NDAE,

ABAC^ADAE(SAS);

(2)VZCAE=90°,AC=AE,AZE=45°.由(1)知ABAC^4DAE,

???ZBCA=ZE=45°.

VAFXBC,

JZCFA=90°,

???ZCAF=45°,

JZFAE=ZFAC+ZCAE=45°+90°=135°;

⑶延長BF到G,使得FG=FB.

VAF±BG,

???ZAFG=ZAFB=90°,

AAFB^AAFG(SAS),

二?AB=AG,NABF=NG.

ABAC^ADAE,

???AB=AD,ZCBA=ZEDA,CB=ED,

???AG=AD,ZABF=ZCDA,

:.ZG=ZCDA.

ZGCA=ZDCA=45°,

ACGA^ACDA(AAS),

：.CG=CD,

■:CG=CB+BF+FG=CB+2BF

=DE+2BF,

???CD=2BF+DE.

突破22全等模型(五)夾半角

1.D解:過點F作FH±FE交AC于點H.

ZAFC=ZEFH=90°,

???ZAFH=ZCFE=13°.

ZA=ZFCE=45°,FA=FC,

AFAH^AFCE,

AFH=FE.

ZDFE=ZCFE+ZDFC=13°+32°=45°,

JZDFH=ZDFE=45°.

VDF=DF,

:?△DFE也△DFH,

???ZDEF=ZDHF=ZA+ZAFH=58°.

ZFEB=ZCFE+ZFCE=58°,

???NDEC=18()o-58O-58o=64。.故選D.

2.解:⑴NEBF+NABC=180。理由如下：

ZA=ZBCD=90°,

???ZADC+ZABC=180°.

■:ZEBF=ZADC,

ZEBF+ZABC=180°;

(2)AE=EF+CF.理由如下在AE上截取AM=CF,連接BM.則/kABM絲Z\CBF(SAS),

???ZABM=ZCBF,BM=BF.

ZEBF=60°,

由(1)知ZEBF+ZABC=180°,

???ZABC=120°,

???ZFBM=ZFBC+ZCBM=ZABM+ZCBM=ZABC=120°.

ZFBE=60°,

???ZMBE=60°,

???ZMBE=ZFBE,

ABME^ABFE(SAS),

AEF=EM.

TAE二EM+AM,

JAE=EF+CF.

3.證明:(1)?.，BC_LAP,BDJ_AQ,ZBDE=ZBCF=90°,

ZAEB+ZAFB=180°,ZAEB+ZDEB=180°,

JNDEB=NCFB,

???ADEB^ACFB(AAS),

ABE=BF;

(2)在CP上截取CG=DE,連接BG,

JADEB^ACGB(SAS),

JBE=BG,ZDBE=ZCBG,

ZPAQ=60°,ZBDE=ZBCF=90°,

?.乙DBC=180°-60°=120。，

AZCBG+ZCBE=ZDBE+ZCBE=ZDBC=120°,

即NEBG=120。，

ZEBF=60°,

??乙GBF=120°-乙EBF=60。，

JNEBF=NGBF,

???ABEF^ABGF(SAS),

JEF=GF,

???GF=CG+CF,CG=DE,

JEF=DE+CF.

4.解:⑴在EF上截取EH二BE,連接AH.

RTilEAABE^AAHE,

???AB=AH,ZBAE=ZEAH.

VAB=AC,

AAC=AH,.

i

Z.EAF=^BAC,

：.ZBAE+ZCAF=ZEAF,

JZBAE+ZCAF=ZEAH+ZFAH,

???NCAF=NHAF.

在4ACF和AAHF中，

AC=AH,

ACAF=/-HAF,

AF=AF,

：.AACF^AAHF(SAS),

.\CF=HF,

???EF=EH+HF=BE+CF;

(2)在BE的延長線上截取EN=BE,連接AN.

?.*AE±BF,BE=EN,AB=AC,

二?AN=AB=AC.

VAN=AB,AE±BN,

???ZBAE=ZNAE.

?.4EAF=-ABAC,

2

???^EAF+乙NAE=\^BAC+ZBAN),

???乙FAN=三(CAN,

：.NFAN=NCAF.

在4ACF和4ANF中，

AC=AN,

乙CAF=乙NAF,

AF=AF,

：.AACF^AANF(SAS),

.\CF=NF,

???CF=BF+2BE.

5.解:延長AE,BF相交于點C,延長CB到點G,

使BG=AE,連接OG.

由題意，得NAON=30。，

JZA=60°,

??(OBC=70°+50°=120。，

???ZOBG=60°,

???ZA=ZOBG,

VOA=OB,

AAOE^ABOG(SAS),

.*.OE=OG,ZAOE=ZBOG,

???Z-AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,

???ZEOG=140°,

?.?ZEOF=70°,

JZEOF=ZGOF,

VOF=OF,

JAEOF^AGOF(SAS),

JEF二BG+BF=AE+BF=AE+BF=180(海里)，

設(shè)甲的速度為2x海里/小時，乙的速度為3x海里/小時，

???AE=3x2x=6x海里，

BF=3x3x=9x海里，

9x+6x=15x=l80,

x=12,

，2x=24.

答：甲艦艇的速度為24海里/小時.

突破23全等模型(六)對角互補

1.4解過點D作DFLBC,交BC的延長線于點F,

VZADC+ZABC=180°,

ZA+ZBCD=180°,

又：ZBCD+ZDCF=180°,

ZA=ZDCF.

ZAED=ZCFD,AD=DC,

AADE^ACDF(AAS).

.*.DE=DF,

.S=S=16

??四邊形ABCD一四邊形DEBF-'

?.DE2=16,

???DE=4.故答案為4.

2.6或10解:①如圖1,當點C在線段AF上時，連接AD.

VDE1AM于點E,DF±AN于點F,

JNDEB二NDFO90。.

在RtADEB和RtADFC中，

(DC=DB,

IDF=DE,

：.RtADEB^RtADFC(HL),

.\CF=BE=2.

在RtADEA和RtADFA中，

(DA=DA,

IDF=DE,

：.RtADEA^RtADFA(HL),

JAF=AE=AB+BE=6+2=8,

???AC=AF--CF=8-2=6;

②如圖2,當點C在線段AF的延長線上時，同理可得AF=AE=8,CF=BE=2,

???AC=AF+CF=8+2=10.

故答案為6或10.

3.A解過點C作CF±AD交AD的延長線于點F,則NCFD=90。.

VCEXAB,

:.ZCEB=90°,

???ZCEB=ZCFD.

■:ZBAC=ZDAC,

AAC平分NBAD,

???CE=CF.

??.四邊形ABCD的對角互補，

.,.ZB+ZADC=180°.

VZCDF+ZADC=180°,

???ZB=ZCDF,

ACEB^ACFD(AAS),

???BE=DF.

可證^AEC之ZkAFC,

AAE=AF,?BE=DF二a,

VAB=15,AD=12,

12+a=15-a,

??a=1.5,

AAE=15-a=13.5,

BE=a=1.5,

AE13.5_11VM-人

=-7^=9,故選A.

4.證明:⑴過點C作CE±AB交AB的延長線于點E,

VAC平分NBAD,

???ZEAC=ZFAC,

ZCEA=ZCFA,AC=AC,

AACE^AACF(AAS),

???AF=AE,CE=CF,

在RtACBE和RtACDF中，

EE-CE,

RtACBE^RtACDF(HL),

???ZADC=ZCBE,

VZABC+ZCBE=180°,

???ZADC+ZABC=180°;

(2).AF:CF=3:4,CF=8,AF=6,

i

SACF=CF=24,

R3CBE也R3CDF]ACEgAACF,

???SACBE=SACDF,SAACE=SAACF,

??

?四邊形ABCD的面積:=S4ACE+SACF=2SACF=48.

5.(7,7)解:過點C作CH±y軸于點H過點B作BG±HC于點G,則NCHA=ZBGC=90°,OH

=BG,GH=OB,

???ZACH+ZCAH=90°.

??,點A坐標為(0,4),點B坐標為(10,0),

.-.OA=4,OB=10,

???GH=CH+CG=10.

ZACB=90°,

AC=BC,ZACH+ZBCG=180°-AACB=180°-90°=90。，

JNCAH=NBCG,

???△ACH^ACBG(AAS),

???AH=CG,CH=BG.

BG=OH=OA+AH=4+AH,CH+CG=10,

???4+AH+CG=10,

???4+AH+AH=10,解得AH=3,

???CH=BG=4+3=7,

???點C的坐標為(7,7).

6.證明:(1)在4ABP中，

ZBAD+ZABE+ZAPB=180°,

■:ZEBC=ZBAD,

ZAPB=ZDPE,

AZEBC+ZABE+NDPE=180。,即NABC+NDPE=180。,又「NABC=NC,

ZDPE+ZC=180°;

(2)過點E作EMLAD于點M,EN，CD于點N,

JZPME=ZCNE=90°,

VZDPE+ZC=180°,

???ZAPE=ZC,

又..?PE=CE,

???APME^ACNE(AAS),

???EM=EN,

ADE平分NADC.

突破24全等模型(七)同旁張等角

1.證明：(1)???CD_LAB,

???ZBDC=ZADC=90°,

NABO45。，

???BD=CD,

VBMXAC,

???ZAMB=ZADC=90°,

???ZA+ZDBN=90°,ZA+ZDCM=90°,

JZDBN=ZDCM,

VDN±MD,

???ZCDM+ZCDN=90°,

ZCDN+ZBDN=90°,

???ZCDM=ZBDN,

VZDBN=ZDCM,BD=CD,ZCDM=ZBDN,

???ABDN^ACDM(ASA),

ADN=DM,

???△DMN是等腰直角三角形,

???乙DMN=45。，

ZAMD=45°;

⑵由⑴知,DN=DM,過點D作DFLMN于點F,

貝!]Z.DFE=90°=MME,

VDNXMD,

???DF=FN,

???E是CD的中點,

ADE=CE,

???ADEF^ACEM(AAS),

.*.ME=EF,CM=DF,

AFN=CM,

,.,NE-EF=FN,

.\NE-EM=MC.

2.證明:如圖，過點A作ANLCF,垂足為點N,連接AD.

AZANC=90°.

VAM±BD,

JZAMB=ZAMD=90°,

JZAMB=ZAMD=ZANC,

J△AMB△ANC(AAS),

ABM=CN,AM=AN.

VAD=AD,

JRtAAMD^RtAAND(HL),

ADN=DM.

VCN=DN+DC,

???BM二DM+DC.

3.A解過點D作DG±BE于點G,

VDH±AB,BF平分NABE,

ADG=DH,

由/ABC二NADC可得NDAH=NDCG,

JADAH^ADCG(AAS),

CG=AH=7,易得RtABDG^RtABDH(HL),

???BG=BH=1,

???CB=CG-BG=7-1=6.

故選A.

4.證明:(1),.，D是ZkABC的外角平分線AD上一點,DE，AC,DF，AB,

.\DE=DF,

???RtAADF^RtAADE(HL),

AAF=AE.

TCE二AB+AE,

.*.CE=AB+AF=BF,

???ACDE^ABDF(SAS),

???BD=CD;

⑵設(shè)AC與BD交于點G.

ACDE^ABDF,

???ZFBD=ZECD,

■:ZAGB=ZDGC,

JNBDC=NBAC.

5.解:DE=2AC.理由如下:連接AD,延長AC,BD交于F.

ZACE=ZDBE=90°,

ZAEC=ZBED,

:.ZCAE=ZBDE=22.5°.

VAB=BD,

JZADB=45°,

???ZADC=ZADB-ZBDE=22.5°,

JAACD^AFCD(ASA),

AAC=CF,

JAABF^ADBE(ASA),

AAF=DE.

,.*AF=2AC,

ADE=2AC.

6.證明:⑴:ZBAC=ZDAE.

???ZCAE=ZBAD,

ZXACE之△ABD(SAS);

⑵連接AF,過點A作AUCF于點J.

△ACE之△ABD,

???S△ACE=S△ABD,CE=BD.

VAJ±CE,AH±BD,

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