2024-2025學年人教版九年級數(shù)學上冊期中測試卷（解析版）

2024-2025學年上學期初三數(shù)學人教版九年級上冊

期中測試卷

考試時間：120分鐘；滿分：100分

一、單選題

1.一元二次方程/+2%-1=°的兩根為為、“2,則%十%2的值為()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握若方程+的兩個實數(shù)根

bcb

分別為X］、々，則為十九2=，石%2=—?根據(jù)再+%2=求解即可.

aaa

【詳解】解：：一元二次方程/+2%—1=0的兩根為3、與，

x1+x2——2.

故選：B.

2.若關(guān)于x的一元二次方程3%+根=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)〃?的值可以是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是牢記“當A〉0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”.根

據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△>(),可得出關(guān)于左的一元一次不等式，解之即可得出左的取值范圍，對照

四個選項即可得出結(jié)論.

【詳解】解：.??關(guān)于1的一元二次方程必一3%+根=0有兩個不相等的實數(shù)根，

A=(-3)2-4x1xm=9-4/77>0,

9

解得：機<：,故A符合題意.

4

故選：A.

3.一元二次方程(x—22)2=0的根為()

第1頁/共23頁

A.石—x?—22B.x1=x2=-22C.玉=0,x2=22D.xx-22,x2=-22

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查接一元二次方程，掌握直接開平方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:（x-22）2=0

開平方得：xl=x2=22,

故選A.

4.用配方法解方程f一5》=4,應(yīng)把方程的兩邊同時（）

工，5工，25c525

A.加上一B.加上—C,減去一D.減去—

2424

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查一元二次方程的配方法，熟練掌握一元二次方程的配方法是解題的關(guān)鍵；因此此題可

根據(jù)一元二次方程的配方法步驟：①二次項系數(shù)化為1；②常數(shù)項移到方程的右邊；③方程兩邊都加上一次

項系數(shù)一半的平方，配成完全平方式；④直接開平方法解方程即可；進而問題可求解.

【詳解】解：由題意得：x2-5x+—=4+—；

44

故選B.

5.若實數(shù)滿足6=3,。+"1<0,則方程af+法+「0根的情況是（）

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根D.有一個實數(shù)根

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查根的判別式，先求出根的判別式，再根據(jù)已知條件判斷正負，即可判斷選項.

【詳解】解：?.,以2+5%+1=0，

A=Z?2—4a，

*.*〃—Z?=3,a+b+l<0,

:?a=b+3,

***Z?+3+Z?+l<0,

第2頁/共23頁

**?b<—2,

AA=Z?2-4(Z?+3)=Z?2-4Z?-12=(Z?+2)(/?-6),

,**b<—2,

/.Z?+2<0,Z?—6<0,

A=(Z?+2)(Z?-6)>0,

.?.方程有兩個不相等的實數(shù)根；

故選：B.

6.已知關(guān)于x的方程滔/+(a+1)尤+i=o(。為常數(shù)，且。工0),下列x的值，哪個一定不是方程的解

()

A.x——lB.x=—2C.x=—3D.x=1

【答案】D

【解析】

【分析】將各選項的x的值代入方程，可得到關(guān)于。的二元一次方程.若此二元一次方程有解，且。為常數(shù),

則x的值為方程的解，反之，則了的值一定不是方程的解.

【詳解】A、把x=—1代入方程標》2+(4+1.+1=0,得

ci~-(a+l)+l=0,

解得

q=1,a2=°(舍去).

所以，當a=l時，x=—1為方程的解.

該選項不符合題意.

B、把x=—2代入方程a2x2+(q+i)x+i=o,得

4a2—25+1)+1=0

解得

1+V51-75

4Zi—

144

生5時，x=-2為方程的解.

所以，當a=

4

該選項不符合題意.

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C、把x=—3代入方程/爐+(4+])》+1=0,得

9fl2-3(a+l)+l=0.

解得

所以，當。=，或。=-:時，x=—3為方程的解.

該選項不符合題意.

D、把x=1代入方程人2+（。+1.+1=0,得

a~+(a+l)+l=O.

此方程無解.

所以，x=l一定不是方程的解.

該選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查解一元二次方程，牢記解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)中心對稱圖形及軸對稱圖形的概念逐一判定即可.

【詳解】A.既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，不符合題意;

B.是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，符合題意；

C.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，不符合題意；

D.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形不符合題意.

故選B.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念：把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來

的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形.根據(jù)概念靈活掌握是解題的關(guān)鍵.

8.若拋物線丁=。/+加:+c（a>0）的對稱軸是直線x=l,且經(jīng)過點（3,0）,則使函數(shù)值y〉0成立的x

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的取值范圍是（）

A.1<x<3B.x>3或x<lC.-l<x<3D.x>3或x<-l

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的對稱性可得拋物線y=ax2+"+c（a>0）與x軸的另一交點為（TO），再由。>0,

結(jié)合函數(shù)圖象即可求得.

【詳解】解：.??拋物線丁=。必+笈+（?（0>0）的對稱軸是直線》=1,且經(jīng)過點（3,0）,

拋物線y=ax?+0x+c（a>0）與x軸的另一個交點為（一1,0）,

'：a>0,

...使函數(shù)值y〉0成立的x的取值范圍是尤>3或x<-1.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.下列方程是一元二次方程的是（）

A.2x+l=9B.x2+2x+3=0C.x+2x=lD.—+5=6

x

【答案】B

【解析】

【詳解】A選項是一元一次方程；B選項是一元二次方程；C選項是一元一次方程；D選項是分式方程.故選

B.

10.如圖是二次函數(shù)丁=。%2+5%+°（。/0）圖象的一部分，對稱軸是直線％=-1,下列判斷：①

abc>0；@b-2a=Q；③3a+c<0；@a-b>m（ma+b）；⑤若自變量x的取值范圍是

—3<x<2.則函數(shù)值y〉0.其中正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

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【解析】

【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)、=奴2+。％+。系數(shù)符

號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線，與x軸交點的個數(shù)確定.

由拋物線的開口方向、對稱軸的位置，與y軸的交點即可判斷①；根據(jù)對稱軸為直線x=-l即可判斷②；根

據(jù)拋物線的對稱性，得到x=-3與x=l的函數(shù)值相等，可判斷③，由x=-l的函數(shù)值最大可判斷④，由二

次函數(shù)的圖象與x軸右邊的交點的位置可判斷⑤，從而可得答案.

【詳解】解：???圖象開口向下，

??a<0,

?直線x=-l是對稱軸，

.,.a,。同號，b<0,

：c>0,

abc>0,故①正確；

?.?直線％=-1是對稱軸，

b

：.——=-1,即?！?。=0,故②正確；

2a

根據(jù)拋物線的對稱性，得到x=-3與x=1時的函數(shù)值相等，

9a-3b+c>0,

b=2a,

3a+c>0,故③錯誤；

根據(jù)圖示知，當x=-1時，有最大值；

a-b+c>am2+bm+c>

Aa-b>m^am+b'）-故④錯誤.

拋物線與x軸的一個交點坐標為在數(shù)2的左邊，1的右邊，

若自變量x的取值范圍是-3<%<2,則函數(shù)值y〉0.故⑤正確；

綜上，正確的有①②⑤.

故選B.

11.下列圖形不是中心對稱圖形是（）

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【答案】A

【解析】

【分析】中心對稱圖形，即把一個圖形繞一個點旋轉(zhuǎn)180。后能和原來的圖形重合.

【詳解】選項A是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，其他是中心對稱圖形.

故選A

【點睛】本題考查中心對稱圖形的定義及識別，牢記中心對稱圖形的特點是解題的關(guān)鍵..

12.如圖，Rt/XABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AC=2,將AABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至AA，B'C,

使得點A'恰好落在AB上，A'B'與BC交于點D,則AA'CD的面積為（）

A.—B.5月C.5D.2G

2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CA=CA,=2,NCA,B，=NA=60°,則^CAA，為等邊三角形，所以NACA，=60°,

則可計算出NBCA'=30°,/A'DC=90°,然后在RtZkA'DC中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得

A'D=|cAz=1,CD=V3AZ0=73.再利用三角形面積公式求解.

【詳解】在RtZ\ACB=90°,VZB=30°,

AZA=60°,

「△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至AA，B，C,使得點A，恰好落在AB上，

...CA=CA'=2,ZCA,B'=NA=60°,

/.△CAA/為等邊三角形，

AZACA,=60°,

.,.ZBCAZ=30°,

AZA,DC=90°,

在RtZ\A'DC中，VZA'CD=30°,

,

:.A'D=gcA，=1,CD=A/3AD=5

第7頁/共23頁

:.△及CD的面積=工XIX6

22

故選A.

【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，解題關(guān)鍵在于掌握對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所

連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

13.已知二次函數(shù)y=%2-4x+機的圖象與％軸交于A、3兩點，且點A的坐標為(1,0),則線段A8的長為

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】先將點A(l,0)代入y=%2-4x+小，求出m的值，將點A(l,0)代入y=\-以+帆，得到為+冗2=4,

處?%2=3,即可解答

【詳解】將點A(l,0)代入y=%2-4x+zn,

得到m=3,

所以y=]2-4x+3,與x軸交于兩點，

設(shè)A(%i,yi),b(x2,yi)

??“2一4x+3=o有兩個不等的實數(shù)根，

.??X1+X2=4,Xl*%2—3,

.??AB=|xi-尬|=1(石+%)2+4玉％=2；

故選B.

【點睛】此題考查拋物線與坐標軸的交點，解題關(guān)鍵在于將已知點代入.

14.已知拋物線y=-10x+9)與x軸交于A,3兩點，對稱軸與x軸交于點。，點C為拋物線的頂

16v

點，以C點為圓心的口C半徑為2,點G為□C上一動點，點尸為AG的中點，則DP的最大值為()

I—7,41

A.2V3B.-C.—D.5

22

【答案】B

【解析】

第8頁/共23頁

【分析】P為AG中點，D為A5中點，所以PD是DABG的中位線，則當BG最大時，則

2

DP最大.由圓的性質(zhì)可知，當G、C、8三點共線時，BG最大,分別求出夙C的坐標，進而利用勾股

定理求出BC的長即可得到答案.

PD是DABG的中位線，

DP=-BG,

2

.?.當3G最大時，DP最大,

由圓的性質(zhì)可知，當G、a2三點共線且點C在3G上時，3G最大，

把y=0代入y=—記(》2一iOx+9)得：(X2-10X+9)=0,

解得：%=1或%=9,

AA(1,O),3(9,0),

1+9

???拋物線的對稱軸為直線%=——=5,

2

把x=5代入y=—：(%2一10%+9)得：y=3,

C(5,3),

???BC=J(9-5,+(0-3『=5,

C半徑為2,

3G的最大值為2+5=7,

7

DP的最大值為—,

2

故選：B.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何綜合、三角形的中位線定理、勾股定理，一點到圓上一點的最值

問題等等，通過構(gòu)造三角形中位線把求DP的最大值轉(zhuǎn)換成求出BG的最大值是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，4B為。O直徑，且AB=4及.點C為半圓上一動點(不與A,B重合)，。為弧CB上一點，

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點E在上，且CD=BD=DE.則CE的最大值為（)

C.8-4V2D.4-2a

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)NDC5=a,NACE=，，利用等弦對等弧，等弧所對的圓周角相等，等邊對等角，三角形的

外角的性質(zhì)，通過角度的變換求得NAB=45°,確定R的位置，進而證明4尸=尸石，得到E的運動軌

跡是以點R為圓心，4為半徑的圓弧，進而根據(jù)直徑是最長的弦求解即可.

【詳解】解：延長CE,交口。于點R,連接AF,OF

設(shè)NDCB=a,NACF=p

ZAEF=a+B

??,CD=BD

：.即=SD

/.Z.ACD=/BCD=a

,：AB為直徑

:.ZACB=90°

ZFCB=90°-/3

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ZFCD=90°-/3+a

■：DC=DE

ZDEC=ZDCE=90°-j3+a

???ZDEC=ZAEF

:.aB=90°—/3+a

(3=45°

/.ZAOF=2ZACF=90°

/.ZFAO=45°

也=0D

/.NCAD=/BAD=a

ZFAE=ZFAO+/BAD=45。+。

ZAEF=a+j0=a+45°

ZFAE=ZFEA

FA=FE

■：AB=472

AO=141

AF=4^AE

??.E在以點R為圓心，4為半徑的圓弧上運動，

■：CE=CF-EF,當Cb為□。的直徑時，CE取得最大值，最大值為4后—4

故選A

【點睛】本題考查了等弧所對的圓周角相等，弦與弧之間關(guān)系，找到E點的運動軌跡，理解直徑是最長的

弦是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

16.已知二次函數(shù)丁=爐+如的對稱軸為直線％=1,則方程必+〃優(yōu)=o的根為.

【答案】占=0,%=2

【解析】

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【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=爐+機工的對稱軸為一萬，結(jié)合題意，可得出7"值，即可作答.

【詳解】解：因為二次函數(shù)丁=/+m工的對稱軸為直線％=1,

所以_2=1,

2

解得m=-2,

所以/+mx=x2-2x=x(x-2)=0,

解得％=0,x2=2,

故答案為：%=0,x2=2.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸以及解一元二次方程，正確掌握相關(guān)內(nèi)容性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難度

較小.

17.二次函數(shù)y=-/的圖象向上平移3個單位，再向右平移2個單位得到的函數(shù)圖象的表達式是

【答案】y=-(x-2)2+3

【解析】

【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律進行求解即可.

【詳解】解：二次函數(shù)y=的圖象向上平移3個單位，再向右平移2個單位得到的函數(shù)圖象的表達式是

y=+3,

故答案為：J=-(X-2)2+3.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟知二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

18.某旅行社組團去外地旅游，30人起組團，每人單價800元.旅行社對超過30人的團給予優(yōu)惠，即旅行

團的人數(shù)每增加一人，每人的單價就降低10元.當一個旅行團的人數(shù)是_____人時，這個旅行社可以獲

得最大的營業(yè)額.

【答案】55

【解析】

【分析】直接根據(jù)題意表示出營業(yè)額，進而利用配方法求出答案.

【詳解】設(shè)一個旅行團的人數(shù)是x人，設(shè)營業(yè)額為y元，

根據(jù)題意可得：y=x[800-10(x-30)]=-10x2+1100x=-10(x2-110x)=-10(x-55)2+30250,

故當一個旅行團的人數(shù)是55人時，這個旅行社可以獲得最大的營業(yè)額.

故答案為55.

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【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確得出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.

19.已知二次函數(shù)丁=。必+》％+。的圖象如圖所示，其對稱軸為直線％=1,現(xiàn)有下列結(jié)論：①

b-2a=Q-,?a+b>n(an+b)(n^l)；③2c<3b；@b2-4a2>4ac-其中正確的結(jié)論是

(填序號).

【答案】②③④

【解析】

b

【分析】①根據(jù)對稱軸為直線X=-=1,即可得出結(jié)論；②由圖象可知，當X=1時，函數(shù)值最大，即可

2a

得出結(jié)論;③結(jié)合對稱軸以及x=3時，y<0,進行變換，即可得出結(jié)論;④結(jié)合對稱軸，得至U/-4/=o,

再進行判斷即可.

b

【詳解】解：①??,對稱軸為直線％二-丁=1,

2a

b=-2。,

A2a+b=0；故①錯誤；

②由圖象可知，當x=l時，函數(shù)值最大為a+0+c,

x=〃("H1)時的函數(shù)值小于x=1時的函數(shù)值，

即：O+ZJ+C>”(a〃+b)+c("w1),

a+b>n^an+b^^n^l)；故②正確；

③由圖象可知，當x=3時，y=9a+3b+c<0,

b——2a,

3b3b

??.9〃+3Z?+c=------i-c<0,即：c<—,

22

/.2c<3b；故③正確；

④b=—let,

b2=46,

第13頁/共23頁

?*-b--4a-=0，

:拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，

<0,c>0,

，4。。<0=/-4/；故④正確；

綜上，正確的是②③④；

故答案為：②③④.

【點睛】本題考查根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷系數(shù)的符號，式子的符號.熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

20.解下列一元二次方程

(1)(21)2-9=0；

(2)x2-4x-1=0：

⑶x2+x-6=0;

(4)(2x-l)(x+3)=4.

【答案】(1)%=2,%=—1

(2)/=2+y/s,%=2->/5

(3)%=—3,x2=2

7

(4)Xj=——,x)=l

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程的解法，掌握相關(guān)解法是解題的關(guān)鍵.

(D先移項、再直接運用開平方法求解即可；掌握運用直接開平方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵；

(2)先配方、再運用開平方法求解即可；掌握配方法是解題的關(guān)鍵；

(3)直接運用因式分解法求解即可；掌握運用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵；

(4)先把方程整理成一般形式，再利用因式分解法求解即可；掌握運用因式分解法解一元二次方程是解題

的關(guān)鍵.

【小問1詳解】

解：（2X-1）2-9=0,

第14頁/共23頁

(2x-l)2=9,

2x-l=±3，

??Xj—2,x?——1.

【小問2詳解】

解：x2-4x-1=0;

x2—4x=1，

/_4元+4=5,即(％—2/=5,

x—2=±y/'5，

*,*玉=2+y[5,%=2-Vs.

【小問3詳解】

解：x2+x-6=0，

(x+3)(x-2)=0,

.??x+3=0或X-2=2,

??Xj——3,X]—2.

【小問4詳解】

解：(2%-1)(%+3)=4,

2%2+5x-7=0，

(2x+7)(x-l)=0,

???2元+7=0或冗一1=0,

.71

??Xj——,^2—1.

21.如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A(2,4),B(1,1),C(4,3).

第15頁/共23頁

(1)請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1G,并寫出點4的坐標；

(2)請畫出△ABC繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90。后的△A2BC2；

(3)求出(2)中△AzBCz的周長.

【答案】(1)畫圖見解析；

(2)畫圖見解析，Ai(-2,4)；

(3)△A2BC2的周長為&5+G+屈

【解析】

【分析】(1)先作出點A、B、C關(guān)于y軸對稱的點，然后問題可求解;

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可直接進行作圖；

(3)分別根據(jù)勾股定理可求出△AzBC?的周長.

【小問1詳解】

解：如圖，△4SC1就是求作的圖形；

第16頁/共23頁

【小問2詳解】

解：如圖所不；ZXAzBG就是求作的圖形;

2222

A.B=Vl+3=Vi0,AC2=Vl+2=V5,5C2=@+3?=V13，

AA2BC2的周長="5+6+屈.

【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點的坐標關(guān)于坐標軸對稱及勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點的坐

標關(guān)于坐標軸對稱及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

22.國家鼓勵大學生自主創(chuàng)業(yè)，并有相關(guān)的支持政策，受益于支持政策的影響，某大學生自主創(chuàng)立的公司

利潤逐年提高，據(jù)統(tǒng)計，2017年利潤為200萬元，2019年利潤為288萬元，求該公司從2017年到2019年

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利潤的年平均增長率.

【答案】該公司從2017年到2019年利潤的年平均增長率為20%

【解析】

【分析】設(shè)該公司從2017年到2019年利潤的年平均增長率為x,然后根據(jù)2017年利潤為200萬元，2019

年利潤為288萬元，列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)該公司從2017年到2019年利潤的年平均增長率為x,

由題意得：200(1+=288,

解得％=0.2,

...該公司從2017年到2019年利潤的年平均增長率為20%,

答：該公司從2017年到2019年利潤的年平均增長率為20%.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意列出方程求解.

23.已知二次函數(shù)y=一x+4.

(1)確定拋物線的開口方向和頂點坐標；

(2)求它與x軸的交點；

(3)當x取何值時，y隨x的增大而增大？當x取何值時，y隨x的增大而減?。?/p>

【答案】(1)開口向下，頂點坐標為

(2)與x軸的交點坐標(—4,0),(2,0)

(3)當%>-1,y隨x的增大而減小；當％<-1,y隨x的增大而增大

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的開口方向，頂點坐標，對稱軸以及二次函

數(shù)的增減性，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)把二次函數(shù)解析式整理成頂點式形式，然后寫出開口方向，頂點坐標和對稱軸即可；

(2)把二次函數(shù)解析式整理成交點式形式解答即可；

(3)根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答即可.

【小問1詳解】

解：由題意知：y=-^x2-x+4

y=一；%2-x+4=_=_g(x+iy,

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，a=—g<0拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線x=-1,頂點坐標為

【小問2詳解】

y=—x+4=-^-(x2+2x-8^=-^-(x+4)(x-2),

???與x軸的交點坐標(—4,0),(2,0)；

【小問3詳解】

因為拋物線開口向下，故當尤<-1時，y隨x的增大而增大，當x〉-1時，y隨x的增大而減小.

24.已知關(guān)于x的方程3x2-(a?3)x?G=0(iz>0).

(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若方程有一個根大于2,求。的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析；(2)a>6.

【解析】

【分析】(1)先計算根的判別式得到△=(。+3)2,然后根據(jù)。>0得到△>(),則可根據(jù)判別式的意義得到

結(jié)論；

(2)利用公式法求得方程的兩個解為X1=-1xi=-1,X2=1,再由方程有一個根大于2,列出不等式，

解不等式即可求得a的取值.

【詳解】(1)證明：A=(a—3)2—4x3x(—a)=(a+3)2,

*.*a>0,

???(a+3)2〉0,即A〉0.

???方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

2

(2)VA=(a+3)>0，由求根公式得x=。一3±《+2,

2x3

?.?方程有一個根大于2,

a八

—>2.

3

6Z>6.

【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+〃x+c=o(。工0)的根的判別式△=/??一4。°：當△>(),方

程有兩個不相等的實數(shù)根；當A=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當A<0,方程沒有實數(shù)根.

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25.如圖，在寬為20米，長為32米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分種植草

坪，要使草坪的面積為540平方米，求圖中道路的寬度.

~~II

【答案】道路的寬度為2米

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)圖形正確列出方程成為解題的關(guān)鍵.

設(shè)道路的寬度為x米，根據(jù)題意列出一元二次方程求解并檢驗即可.

【詳解】解：設(shè)道路的寬度為了米，依題意可列方程

（20-x）（32-x）=540

X2-52X+100=0

X]=2,x2=50（不符實際，舍去）.

答：道路的寬度為2米.

26.某商店銷售一種銷售成本為40元/千克的水產(chǎn)品，若按50元/千克銷售，一個月售出500kg,銷售價每

漲價1元，月銷售量就減少5kg.

（1）當銷售單價定為60元時，計算月銷售量和銷售利潤.

（2）商店想讓顧客獲得更多實惠的情況下，使月銷售利潤達到9000元，銷售單價應(yīng)定為多少？

（3）當售價定為多少元時會獲得最大利潤？求出最大利潤.

【答案】（1）銷售單價定為60元時，月銷售量為450千克，銷售利潤為9000元

（2）銷售單價應(yīng)定為60元

（3）當售價定為95元時會獲得最大利潤，求出最大利潤為15125元.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)月銷售利潤=每千克的利潤x數(shù)量就可以表示出月銷售利潤y（單位：元）與售價x（單

位：元/千克）之間的函數(shù)解析式，把X=60代入解析式就可以求出銷售利潤，由售價與銷售量的關(guān)系就

可以求出月銷售量；

（2）當y=9000時，代入（1）的解析式求出結(jié)論即可；

（3）將（1）的解析式化為頂點式就可以求出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：設(shè)銷售單價為無由題意，得，

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y=(x-40)[500-5(x-50)]=-5/+950x-30000.

當x=60元時，月銷售量為：500—(60—50)x5=450(千克)；

銷售利潤為：y=-5x602+950x60-30000=9000(元).

答：銷售單價定為60元時，月銷售量為450千克，銷售利潤為9000元；

【小問2詳解】

解：由題意，得

9000=-5x2+950x-30000，

解得：x；=60,x2=130.

為了讓顧客得到更多實惠超=130舍去，取x=60,

答：銷售單價應(yīng)定為60元；

【小問3詳解】

解：丁=-5x2+950%—30000,

y=—5(x—95『+15125,

a=—5<0,

有最大值.

...當x=95時.y最大=15125元.

答：當售價定為95元時會獲得最大利潤，求出最大利潤為15125元.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式的運用，二次函數(shù)的性質(zhì)的運用，一元二次方程的應(yīng)用，解答時求

出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

27.如圖，拋物線y=or2+bx+c(a、b、c為常數(shù)，存