2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章概率本章總結(jié)學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE1-第十章概率本章總結(jié)eq\a\vs4\al(專題一互斥事務(wù)、對立事務(wù)的概率)[例1]甲、乙兩人參與學(xué)問競賽，共有5個不同題目，選擇題3個，推斷題2個，甲、乙兩人各抽一題．(1)甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到推斷題的概率是多少？(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？[分析]應(yīng)用互斥事務(wù)的概率的加法公式解題時．肯定要留意首先確定各個事務(wù)是否彼此互斥，然后求出各事務(wù)分別發(fā)生的概率，再求和．對于較困難事務(wù)的概率，可以轉(zhuǎn)化為求對立事務(wù)的概率．[解]把3個選擇題記為x1，x2，x3,2個推斷題記為p1，p2.“甲抽到選擇題，乙抽到推斷題”的狀況有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6種，“甲抽到推斷題，乙抽到選擇題”的狀況有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6種；“甲、乙都抽到選擇題”的狀況有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6種，“甲、乙都抽到推斷題”的狀況有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2種．(1)“甲抽到選擇題，乙抽到推斷題”的概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，“甲抽到推斷題，乙抽到選擇題”的概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，故“甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到推斷題”的概率為eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).(2)“甲、乙兩人都抽到推斷題”的概率為eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).1.互斥事務(wù)與對立事務(wù)的概率計算(1)若事務(wù)A1，A2，…，An彼此互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(2)設(shè)事務(wù)A的對立事務(wù)是eq\x\to(A)，則P(A)＝1－P(eq\x\to(A))．2．求困難事務(wù)的概率常用的兩種方法(1)將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事務(wù)的和．(2)先求其對立事務(wù)的概率，然后再應(yīng)用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．[變式訓(xùn)練1]某商場有獎銷售中，購滿100元商品得一張獎券，多購多得，每1000張獎券為一個開獎單位．設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事務(wù)分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)抽取1張獎券中獎的概率；(3)抽取1張獎券不中特等獎或一等獎的概率．解：(1)∵每1000張獎券中設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個，∴P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)設(shè)“抽取1張獎券中獎”為事務(wù)D，則P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000).(3)設(shè)“抽取1張獎券不中特等獎或一等獎”為事務(wù)E，則P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－eq\f(1,1000)－eq\f(1,100)＝eq\f(989,1000).eq\a\vs4\al(專題二古典概型)[例2]現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答．試求：(1)所取的2道題都是甲類題的概率；(2)所取的2道題不是同一類題的概率．[分析]對于古典概型概率的計算，關(guān)鍵是分清樣本點個數(shù)n與事務(wù)A中包含的結(jié)果數(shù)m，有時需用列舉法把樣本點一一列舉出來，再利用公式P(A)＝eq\f(m,n)求出事務(wù)的概率，這是一個形象、直觀的好方法，但列舉時必需按某一依次做到不重復(fù)、不遺漏．[解](1)將4道甲類題依次編號為1,2,3,4；2道乙類題依次編號為5,6.任取2道題，樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，樣本點共15個，而且這些樣本點的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“都是甲類題”這一事務(wù)，則A包含的樣本點有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6個，所以P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)樣本空間同(1)，用B表示“不是同一類題”這一事務(wù)，則B包含的樣本點有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8個，所以P(B)＝eq\f(8,15).求解古典概型概率問題的關(guān)鍵是找出樣本空間中樣本點的總數(shù)及所求事務(wù)所包含的樣本點數(shù)，常用方法是列舉法、列表法、畫樹狀圖法等.[變式訓(xùn)練2]假如3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(C)A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,20)解析：從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為eq\f(1,10).eq\a\vs4\al(專題三概率與統(tǒng)計的綜合問題)[例3]某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿足度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶，依據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿足度評分，得到A地區(qū)用戶滿足度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿足度評分的頻數(shù)分布表如下．A地區(qū)用戶滿足度評分的頻率分布直方圖B地區(qū)用戶滿足度評分的頻數(shù)分布表滿足度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)2814106(1)作出B地區(qū)用戶滿足度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿足度評分的平均值及分散程度(不要求計算出詳細值，給出結(jié)論即可)；B地區(qū)用戶滿足度評分的頻率分布直方圖(2)依據(jù)用戶滿足度評分，將用戶的滿足度分為三個等級，如下表所示.滿足度評分低于70分70分到89分不低于90分滿足度等級不滿足滿足特別滿足估計哪個地區(qū)用戶的滿足度等級為不滿足的概率大，并說明理由．[分析]在解決綜合問題時，要求同學(xué)們對圖表進行視察、分析、提煉，挖掘出圖表所賜予的有用信息，解除有關(guān)數(shù)據(jù)的干擾，進而抓住問題的實質(zhì)，達到求解的目的．[解](1)如圖所示．通過兩地區(qū)用戶滿足度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿足度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿足度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿足度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿足度評分比較分散．(2)A地區(qū)用戶的滿足度等級為不滿足的概率大．記CA表示事務(wù)“A地區(qū)用戶的滿足度等級為不滿足”；CB表示事務(wù)“B地區(qū)用戶的滿足度等級為不滿足”．由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地區(qū)用戶的滿足度等級為不滿足的概率大．本題通過畫頻率分布直方圖考查對數(shù)據(jù)的處理實力和數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過求概率考查運算求解實力和實際應(yīng)用意識.[變式訓(xùn)練3]某班同學(xué)利用國慶節(jié)進行社會實踐，對[25,55]歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖：組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組[25,30)1200.6其次組[30,35)195p第三組[35,40)1000.5第四組[40,45)a0.4第五組[45,50)300.3第六組[50,55]150.3(1)補全頻率分布直方圖并求n，a，p的值；(2)從年齡段在[40,50)的“低碳族”中采納分層隨機抽樣法抽取6人參與戶外低碳體驗活動，其中選取2人作為領(lǐng)隊，求選取的2名領(lǐng)隊中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率．解：(1)其次組的頻率為1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高為eq\f(0.3,5)＝0.06.頻率分布直方圖如下：第一組的人數(shù)為eq\f(120,0.6)＝200，頻率為0.04×5＝0.2，所以n＝eq\f(200,0.2)＝1000.由題可知，其次組的頻率為0.3，所以其次組的人數(shù)為1000×0.3＝300，所以p＝eq\f(195,300)＝0.65.第四組的頻率為0.03×5＝0.15，所以第四組的人數(shù)為1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.(2)因為[40,45)歲年齡段的“低碳族”與[45,50)歲年齡段的“低碳族”的比為6030＝21，所以采納分層隨機抽樣法抽取6人，[40,45)歲中有4人，[45,50)歲中有2人．設(shè)[40,45)歲中的4人為a，b，c，d，[45,50)歲中的2人為m，n，則選取2人作為領(lǐng)隊的選法有(