專題07 幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換問題（原卷版）-2023屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專項突破

專題07幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換問題幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換在中考壓軸題中的考查非常頻繁。旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)：圖形通過旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化。在解決旋轉(zhuǎn)變換的題目時，不僅要把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和幾何圖形的性質(zhì)外，還要求考生能夠在圖形變換中找到不變的量，通過轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，陌生模型轉(zhuǎn)化為熟悉模型。 （2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，于點D，在DA上取點E，使，連接BE、CE．(1)直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；(2)如圖2，將繞點D旋轉(zhuǎn)，得到（點，分別與點B，E對應(yīng)），連接，在旋轉(zhuǎn)的過程中與的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致?請說明理由；(3)如圖3，當(dāng)繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°時，射線與AD、分別交于點G、F，若，求的長．（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得結(jié)論；（2）通過證明，可得，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由等腰直角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【答案】(1)CE⊥AB，理由見解析；(2)一致，理由見解析；(3)【詳解】（1）如圖，延長CE交AB于H，∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，∵DE=CD，∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，∴CE⊥AB；（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中與的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是一致的，理由如下：如圖2，延長交于H，由旋轉(zhuǎn)可得：CD=，=AD，∵∠ADC=∠ADB=90°，∴，∵，∴,，∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，∴∠DA+∠AGH=90°，∴∠AHC=90°，；（3）如圖3，過點D作DH于點H，∵△BED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°，∴，，，∴AD=2DH，AH=DH=，，由（2）可知：，，∵AD⊥BC，CD=，∴DG=1，CG=2DG=2，∴CG=FG=2，，∴AG=2GF=4，∴AD=AG+DG=4+1=5，∴．本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，當(dāng)射線交于點G，射線交于點N時，連接并延長交射線于點M，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時，求的長．（1）連接，可得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，根據(jù)中位線定理可得，即可得證；（2）證明，根據(jù)（1）的結(jié)論即可得；（3）連接，過點作于，證明，可得，勾股定理求得，根據(jù)，，可得，進(jìn)而求得，根據(jù)求得，根據(jù)（2）的結(jié)論，即可求解．【答案】(1)見解析；(2)，理由見解析；(3)【詳解】（1）證明：如圖，連接，，D，E，F(xiàn)分別為的中點，，，，，（2），理由如下，連接，如圖，，D，E，F(xiàn)分別為的中點，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，，，，，，，（3）如圖，連接，過點作于，中，,，，，，，，，中，，中，，，，，，，，，，．本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正確，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（2022·山西·中考真題）綜合與實踐問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；問題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，求線段CN的長；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AM=AN時，直接寫出線段AN的長．（1）由三角形中位線定理得到，證明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可證明結(jié)論；（2）證明△NDC是等腰三角形，過點N作NG⊥BC于點G，證明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）延長ND，使DH=DN，證明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，證明∠MBH=90°，設(shè)AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．【答案】（1）四邊形AMDN為矩形；理由見解析；（2）；（3）．【詳解】解：（1）四邊形AMDN為矩形．理由如下：∵點M為AB的中點，點D為BC的中點，∴，∴∠AMD+∠A=180°，∵∠A=90°，∴∠AMD=90°，∵∠EDF=90°，∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，四邊形AMDN為矩形；（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，∴∠B+∠C=90°，．∵點D是BC的中點，∴CD=BC=5．∵∠EDF=90°，∴∠MDB+∠1=90°．∵∠B=∠MDB，∴∠1=∠C．∴ND=NC．過點N作NG⊥BC于點G，則∠CGN=90°．∴CG=CD=．∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，∴△CGN∽△CAB．∴，即，∴；（3）延長ND至H，使DH=DN，連接MH，NM，BH，∵M(jìn)D⊥HN，∴MN=MH，∵D是BC中點，∴BD=DC，又∵∠BDH=∠CDN，∴△BDH≌△CDN，∴BH=CN，∠DBH=∠C，∵∠BAC=90°，∵∠C+∠ABC=90°，∴∠DBH+∠ABC=90°，∴∠MBH=90°，設(shè)AM=AN=x，則BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，解得x=，∴線段AN的長為．本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，解第（3）問的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．1．（2022·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，平分交于點.連接，點是上一動點，過點作交于點．將繞點旋轉(zhuǎn)得到．(1)連接，，求證：；(2)當(dāng)點恰好落在直線上時，若，求的值．2．（2022·內(nèi)蒙古包頭·包鋼第三中學(xué)校考三模）已知中，點、分別在邊、上，且，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為(1)試說明；(2)若，，當(dāng)時，若點恰好落在邊中點處，求的值；(3)若，，當(dāng)點恰好落在邊上時，延長交于，若，求的值．3．（2022·浙江紹興·校聯(lián)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC=6，P為線段BC上一動點，設(shè)PC＝x．(1)如圖①，當(dāng)x＝2時，求AQ的長；(2)如圖②，當(dāng)x＝3時，把△CPQ繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)β度，（0＜β＜90°），求此時AQ的長；(3)如圖③，將△PCQ沿PQ翻折，得到△PQM，點M是否可以落在△ABC的某邊的中垂線上？如果可以，求出相應(yīng)的x的值；如果不可以，說明理由。4．（2022·浙江金華·校聯(lián)考二模）如圖，菱形ABCD中，，，點E是射線AC上的一個動點，將線段BE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DE、DF．(1)求證：；(2)如圖2，連接BD，CF，當(dāng)與相似時，求CE的長；(3)當(dāng)點D關(guān)于直線EF的對稱點落在菱形的邊上時，求AE的長．5．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）在正方形ABCD中，，E是邊CD上一動點（不與點C，D重合），分別連接AE，BE，將線段AE繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，將線段BE繞點E逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EG，連接DF，CG．(1)如圖1，當(dāng)點E是CD的中點時，求證：；(2)如圖2，當(dāng)時．直接寫出的值；(3)如圖3，當(dāng)時，取AB的中點H，連接EH．①EH的長為；②DE的長為．6．（2022·海南?？凇そy(tǒng)考二模）如圖1，在邊長為1的正方形ABCD中，