第16章 三角形的“四心”-假期晉級利器之初升高數(shù)學(xué)銜接教材（原卷版）

第16章三角形的“四心”【知識銜接】————初中知識回顧————1、重心：三角形的三條中線交點(diǎn)．2、外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)．3、內(nèi)心：是三角形的三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．4、垂心：是三角形三條高的交點(diǎn)．————高中知識鏈接————1、重心：它到頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)的距離的2倍，重心和三頂點(diǎn)的連線將△ABC的面積三等分，重心一定在三角形內(nèi)部．2、外心：它到各頂點(diǎn)的距離相等，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形外．3、內(nèi)心：它到三邊的距離相等，內(nèi)心一定在三角形內(nèi)．4、垂心：垂心和三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三條高的垂足組成六組四點(diǎn)共圓，銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形外．【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型例1：求證三角形的三條中線交于一點(diǎn)，且被該交點(diǎn)分成的兩段長度之比為2：1．已知：D、E、F分別為三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成2：1．例2：已知的三邊長分別為，I為的內(nèi)心，且I在的邊上的射影分別為，求證：．例3：已知：O為的重心和內(nèi)心，求證：為等邊三角形．例4：已知：中，AD與BE交于H點(diǎn)．求證：．學(xué)科！網(wǎng)高中經(jīng)典題型1、已知三角形的三邊長分別為5，12，13，則其垂心到外心的距離為，重心到垂心的距離為．2、已知三角形的三邊長為5，12，13，則其內(nèi)切圓的半徑＝．3、在△ABC中，∠A是鈍角，O是垂心，AO＝BC，則cos（∠OBC+∠OCB）=．4、設(shè)G為△ABC的重心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，則△ABC的面積為．5、若，那么以、、為三邊的△ABC的內(nèi)切圓，外接圓的半徑之和為．A、 B、C、 D、【實(shí)戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實(shí)基礎(chǔ)————A組1．在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（）A．三條中線的交點(diǎn)B．三條高線交點(diǎn)C．三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)D．三邊垂直平分線交點(diǎn)2．已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG=_____．3．如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，AG的延長線交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)G作GE∥BC交AC于點(diǎn)E，如果BC＝6，那么線段GE的長為______．4．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，AG=8，那么點(diǎn)G與邊BC中點(diǎn)之間的距離是________．5．如圖，等腰直角的中線、相交于點(diǎn)，若斜邊的長為，則線段的長為_______．6．．如圖，在△ABC中，AB=AC，AB邊的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D．已知△BDC的周長為14，BC=6，則AB=___．學(xué)*科網(wǎng)7．閱讀下面材料：如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)C在半圓外，老師要求小明用無刻度的直尺畫出△ABC的三條高．小明的作法如下：（1）連接AD，BE，它們相交于點(diǎn)P；（2）連接CP并延長，交AB于點(diǎn)F．所以，線段AD，BE，CF就是所求的△ABC的三條高．請回答，小明的作圖依據(jù)是________．8．如圖，在中，，平分，于，如果，那么等于_________cm．9．中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)且到三邊的距離相等，，則_________．10．兩個(gè)城鎮(zhèn)與一條公路，一條河流的位置如圖所示，某人要修建一避暑山莊，要求該山莊到的距離必須相等，到和的距離也必須相等，且在的內(nèi)部，請畫出該山莊的位置．(不要求寫作法，保留作圖痕跡．)————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1、在銳角△ABC中，內(nèi)角為A、B、C三邊為a、b、c，則內(nèi)心到三邊的距離之比為，重心到三邊的距離為，外心到三邊的距離之比為，垂心到三邊的距離之比為．2、如圖，銳角△ABC的垂心為H，三條高的垂足分別為D、E、F，則H是△DEF的．AAFBDCEH3、如圖，D是△ABC的邊BC上任一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是△ABD和△ACD的重心連結(jié)EF交AD于G點(diǎn)，則DG：GA＝．AABCEGFMDN4、設(shè)△ABC的重心為G，GA＝，，，則＝．5、若H為△ABC的重心，AH＝BC，則∠BAC的度數(shù)是（