《電工技能實(shí)訓(xùn)基礎(chǔ)》課件第8章 線(xiàn)性電路的過(guò)渡過(guò)程

第8章線(xiàn)性電路的過(guò)渡過(guò)程8.1換路定律與初始條件8.2一階電路的零輸入響應(yīng)8.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)8.4一階電路的全響應(yīng)

8.5一階電路的三要素法*8.6RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

8.1.1過(guò)渡過(guò)程的概念

自然界中的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)從一種穩(wěn)定狀態(tài)（處于一定的能態(tài)）轉(zhuǎn)變到另一種穩(wěn)定狀態(tài)（處于另一能態(tài)）需要一定的時(shí)間。例如，電動(dòng)機(jī)從靜止?fàn)顟B(tài)（轉(zhuǎn)速為零的狀態(tài)）起動(dòng),到某一恒定轉(zhuǎn)速要經(jīng)歷一定的時(shí)間,這就是加速過(guò)程;同樣，當(dāng)電動(dòng)機(jī)制動(dòng)時(shí),它的轉(zhuǎn)速?gòu)哪骋缓愣ㄞD(zhuǎn)速下降到零,也需要減速過(guò)程。這就是說(shuō)，物質(zhì)從一種狀態(tài)過(guò)渡到另一種狀態(tài)是不能瞬間完成的,需要有一個(gè)過(guò)程,即能量不能發(fā)生躍變。過(guò)渡過(guò)程就是從一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變到另一種穩(wěn)定狀態(tài)的中間過(guò)程。電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變到另一種穩(wěn)定狀態(tài),也可能經(jīng)歷過(guò)渡過(guò)程。

8.1換路定律與初始條件圖8.1過(guò)渡過(guò)程演示電路圖

為了了解電路產(chǎn)生過(guò)渡過(guò)程的內(nèi)因和外因,我們觀(guān)察一個(gè)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。圖8.1所示的電路中,三個(gè)并聯(lián)支路分別為電阻、電感、電容與燈泡串聯(lián),Ｓ為電源開(kāi)關(guān)。 當(dāng)閉合開(kāi)關(guān)S時(shí)我們發(fā)現(xiàn)電阻支路的燈泡L1立即發(fā)光,且亮度不再變化,說(shuō)明這一支路沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)渡過(guò)程,立即進(jìn)入了新的穩(wěn)態(tài);電感支路的燈泡L2由暗漸漸變亮,最后達(dá)到穩(wěn)定,說(shuō)明電感支路經(jīng)歷了過(guò)渡過(guò)程;電容支路的燈泡L3由亮變暗直到熄滅,說(shuō)明電容支路也經(jīng)歷了過(guò)渡過(guò)程。當(dāng)然，若開(kāi)關(guān)S狀態(tài)保持不變（斷開(kāi)或閉合）,我們就觀(guān)察不到這些現(xiàn)象。

由此可知,產(chǎn)生過(guò)渡過(guò)程的外因是接通了開(kāi)關(guān),但接通開(kāi)關(guān)并非都會(huì)引起過(guò)渡過(guò)程,如電阻支路。產(chǎn)生過(guò)渡過(guò)程的兩條支路都存在有儲(chǔ)能元件（電感或電容）,這是產(chǎn)生過(guò)渡過(guò)程的內(nèi)因。在電路理論中,通常把電路狀態(tài)的改變（如通電、斷電、短路、電信號(hào)突變、電路參數(shù)的變化等）統(tǒng)稱(chēng)為換路,并認(rèn)為換路是立即完成的。 綜上所述,產(chǎn)生過(guò)渡過(guò)程的原因有兩個(gè)方面,即外因和內(nèi)因。換路是外因,電路中有儲(chǔ)能元件（也叫動(dòng)態(tài)元件）是內(nèi)因。

研究電路中的過(guò)渡過(guò)程是有實(shí)際意義的。例如,電子電路中常利用電容器的充放電過(guò)程來(lái)完成積分、微分、多諧振蕩等，以產(chǎn)生或變換電信號(hào)。而在電力系統(tǒng)中,由于過(guò)渡過(guò)程的出現(xiàn)將會(huì)引起過(guò)電壓或過(guò)電流,若不采取一定的保護(hù)措施,就可能損壞電氣設(shè)備,因此,我們需要認(rèn)識(shí)過(guò)渡過(guò)程的規(guī)律,從而利用它的特點(diǎn),防止它的危害。

8.1.2換路定律

1.具有電感的電路 在電阻R和電感L相串聯(lián)的電路與直流電源Us接通之前,電路中的電流i=0。當(dāng)閉合開(kāi)關(guān)后,若Us為有限值,則電感中電流不能躍變,必定從0逐漸增加到Us/R。其原因是:若電流可以躍變,即dt=0,則電感上的電壓uL=limL(Δi/Δt)→∞,這顯然與電源電壓為有限值是矛盾的。若從能量的觀(guān)點(diǎn)考慮,電感的電流突變,意味著磁場(chǎng)能量突變,則電路的瞬時(shí)功率p=dw/dt→∞,說(shuō)明電路接通電源瞬間需要電源供給無(wú)限大的功率,這對(duì)任一實(shí)際電源來(lái)說(shuō)都是不可能的。所以RL串聯(lián)電路接通電源瞬間,電流不能躍變。

為分析方便,我們約定換路時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn),即t=0，并把換路前的最后時(shí)刻計(jì)為t=0-,換路后的初始時(shí)刻計(jì)為t=0+,則在換路瞬間將有如下結(jié)論:在換路后的一瞬間,電感中的電流應(yīng)保持換路前一瞬間的原有值而不能躍變，即

iL(0+)=iL(0-) (8.1)

這一規(guī)律稱(chēng)為電感電路的換路定律。 推理:對(duì)于一個(gè)原來(lái)沒(méi)有電流流過(guò)的電感,在換路的一瞬間,iL(0+)=iL(0-)=0,電感相當(dāng)于開(kāi)路。

2.具有電容的電路 在電阻R和電容C相串聯(lián)的電路與直流電源Us接通前,電容上的電壓uC=0。 當(dāng)閉合開(kāi)關(guān)后,若電源輸出電流為有限值，電容兩端電壓不能躍變,必定從0逐漸增加到Us

。其原因是:若電容兩端電壓可以躍變,即dt=0,則電路中的電流,這與電源的電流為有限值是矛盾的。

若從能量的角度考慮,電容上電壓突變意味著電場(chǎng)能量突變,則電路的瞬時(shí)功率p=dw/dt→∞,說(shuō)明電路接通瞬間需要電源提供無(wú)窮大的功率,這同樣是不可能的。所以RC串聯(lián)電路接通電源瞬間,電容上電壓不能躍變。因此,在換路后的一瞬間,電容上的電壓應(yīng)保持換路前一瞬間的原有值而不能躍變，即

uC(0+)=uC(0-)（8.2） 這一規(guī)律稱(chēng)為電容電路的換路定律。推理:對(duì)于一個(gè)原來(lái)未充電的電容,在換路的一瞬間uC(0+)=uC(0-)=0,電容相當(dāng)于短路。

8.1.3初始值的計(jì)算

換路后的最初一瞬間（即t=0+時(shí)刻）的電流、電壓值統(tǒng)稱(chēng)為初始值。研究線(xiàn)性電路的過(guò)渡過(guò)程時(shí),電容電壓的初始值uC(0＋)及電感電流的初始值iＬ(0＋)可按換路定律來(lái)確定。

例8.1

圖8.2（a）所示電路中,已知Us=12V,R1=4kΩ,R2=8kΩ,C=1μF,開(kāi)關(guān)S原來(lái)處于斷開(kāi)狀態(tài),電容上電壓uC(0-)=0。求開(kāi)關(guān)S閉合后t=0+時(shí)各電流及電容電壓的數(shù)值。

圖8.2例8.1電路圖(a)電原理圖；(b)t=0+時(shí)的等效電路

解選定有關(guān)參考方向如圖8.2所示。

(1)由已知條件可知:uC(0-)=0。

(2)由換路定律可知:uC(0+)=uC(0-)=0。

(3)求其它各電流、電壓的初始值。 畫(huà)出t=0+時(shí)刻的等效電路,如圖8.2（b）所示。由于uC(0+)=0,因此在等效電路中電容相當(dāng)于短路。故有由KCL有

例8.2

圖8.3（a）所示電路中,已知Us=10V,R1=6

Ω,R2=4Ω,L=2mH,開(kāi)關(guān)S原處于斷開(kāi)狀態(tài)。求開(kāi)關(guān)S閉合后t=0+時(shí)各電流及電感電壓uL的數(shù)值。

解選定有關(guān)參考方向如圖8.3所示。

(1)求t=0-時(shí)的電感電流iL(0-)。由原電路已知條件得

(2)求t=0+時(shí)iL(0+)的值。 由換路定律知

iL(0+)=iL(0-)=1A (3)求其它各電壓、電流的初始值。 畫(huà)出t=0+時(shí)的等效電路，如圖8.3（b）所示。由于S閉合,R2被短路,則R2兩端電壓為零,故i2(0+)=0。

圖8.3例8.2電路圖(a)電原理圖；(b)t=0+時(shí)的等效電路

由KCL有

i3(0+)=i1(0+)-i2(0+)=i1(0+)=1A

由KVL有

Us=i1(0+)R1+uL(0+)故

uL(0+)=Us-i1(0+)R1=10-1×6=4V

例8.3圖8.4（a）所示電路中,已知Us=12V,R1=4Ω,R2=8Ω,R3=4Ω,uC（0-）=0,iL（0-）=0,當(dāng)t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S閉合。求開(kāi)關(guān)S閉合后各支路電流的初始值和電感上電壓的初始值。

圖8.4例8.3電路圖

(a)電原理圖；(b)t=0+時(shí)的等效電路

解

(1)由已知條件可得

uC(0-)=0,iL(0-）=0 (2)求t=0+時(shí),uC(0+)和iL(0+)的值。 由換路定律知

uC(0+)=uC(0-)=0, iL(0+)=iL(0-)=0

（3）求其它各電壓、電流的初始值。 先畫(huà)出t=0+時(shí)的等效電路圖,如圖8.4（b）所示。此時(shí)，因?yàn)閡C(0+)=0,iL(0+)=0,所以在等效電路中電容相當(dāng)于短路,而電感相當(dāng)于開(kāi)路。故有

思考題

1.由換路定律知,在換路瞬間電感上的電流、電容上的電壓不能躍變,那么對(duì)其余各物理量,如電容上的電流，電感上的電壓及電阻上的電壓、電流是否也遵循換路定律？

2.圖8.5所示電路中,已知R1=6Ω,R2=4Ω。開(kāi)關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài),求換路后瞬間各支路電流。圖8.5思考題

2圖

3．圖8.6所示電路中,開(kāi)關(guān)閉合前已達(dá)穩(wěn)態(tài),已知R1=4Ω,R2=6Ω,求換路后瞬間各元件上的電壓和通過(guò)的電流。圖

8.6思考題

3圖

8.2一階電路的零輸入響應(yīng)

8.2.1RC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng) 圖8.7（a）是電阻與電容串聯(lián)的電路,當(dāng)開(kāi)關(guān)S接于“1”位置時(shí)電容器充電,電壓表的讀數(shù)為U0。下面我們討論當(dāng)S由“1”撥到“2”時(shí)電路中的響應(yīng)。

圖8.7一階RC電路的零輸入響應(yīng)(a)電路圖；(b)換路瞬間等效電路

當(dāng)t=0+時(shí),由于電容上電壓不能突變,仍為U0,也就是R兩端加有電壓U0，因此換路瞬間電路中電流為U0/R,此后隨著電容放電,電容電壓逐漸下降,電容所儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量經(jīng)電阻R轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮堋?/p>

忽略電壓表內(nèi)阻，根據(jù)KVL,(式中負(fù)號(hào)表明iC與uC的參考方向相反)。將 代入uC=Ri,得

(8.3)

式(8.3)是一個(gè)線(xiàn)性常系數(shù)一階齊次微分方程。由數(shù)學(xué)知識(shí)可知,此方程的通解為

uC=Aept (8.4)

為了求出p的值,將式(8.4)代入式(8.3)得

RCpAept+Aept=0

或

(RCp+1)Aept=0

即

RCp+1=0 (8.5）

稱(chēng)式（8.5）為式（8.3）的特征方程。其特征根為

于是有

uC=Aept=(8.6)

下面利用初始條件求解A的值。由換路定律知：uC(0+)=uC(0-)=U0,即U0==Ae0=A。 將A=U0代入式（8.6）,得 曲線(xiàn)如圖8.8(b)所示。

(8.7)圖8.8一階RC電路的零輸入響應(yīng)波形

(a)uC波形；(b)i波形

從圖8.8可見(jiàn),電容上電壓uC(t)、電路中電流i(t)都是按同樣的指數(shù)規(guī)律衰減的。 理論上要t=∞才停止。若在式(8.7)中,令τ=RC,當(dāng)R的單位為Ω,C的單位為F時(shí),則τ的單位是s。τ的數(shù)值大小反映了電路過(guò)渡過(guò)程的快慢,故把τ叫做RC電路的時(shí)間常數(shù)。

t=0-時(shí)，uC=U0，i≤0;t=0+時(shí)，uC=U0,i=U0/R。 換路時(shí)，uC沒(méi)有躍變，

i發(fā)生了躍變。

為了研究過(guò)渡過(guò)程與時(shí)間常數(shù)τ之間的關(guān)系,將不同時(shí)刻電容電壓uC和電流i的數(shù)值列表,如表8.1所示。

表8.1電容電壓及電流隨時(shí)間變化的規(guī)律

由表8.1可知,時(shí)間常數(shù)τ是電容器上的電壓（或電感中的電流）衰減到原來(lái)值的36.8%所需的時(shí)間。當(dāng)t=3τ時(shí),電壓（或電流）只有原來(lái)值的5%。一般當(dāng)t=(3～5)τ時(shí),就可以認(rèn)為過(guò)渡過(guò)程基本結(jié)束了。

時(shí)間常數(shù)τ=RC僅由電路的參數(shù)決定。在一定的U0下,當(dāng)R越大時(shí),電路放電電流就越小,放電時(shí)間就越長(zhǎng);當(dāng)C越大時(shí),儲(chǔ)存的電荷就越多,放電時(shí)間就越長(zhǎng)。實(shí)際中常合理選擇RC的值來(lái)控制放電時(shí)間的長(zhǎng)短。

例8.4

供電局向某一企業(yè)供電電壓為10kV,在切斷電源瞬間,電網(wǎng)上遺留有10kV的電壓。 已知送電線(xiàn)路長(zhǎng)L=30km,電網(wǎng)對(duì)地絕緣電阻為500MΩ,電網(wǎng)的分布每千米電容為C0=0.008μF/km,問(wèn):(1)拉閘后1分鐘,電網(wǎng)對(duì)地的殘余電壓為多少？

(2)拉閘后10分鐘,電網(wǎng)對(duì)地的殘余電壓為多少？

解電網(wǎng)拉閘后,儲(chǔ)存在電網(wǎng)電容上的電能逐漸通過(guò)對(duì)地絕緣電阻放電,這是一個(gè)RC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)問(wèn)題。 由題意知,長(zhǎng)30km的電網(wǎng)總電容量為

C=C0L=0.008×30=0.24μF=2.4×10-7F

放電電阻為

R=500MΩ=5×108Ω

時(shí)間常數(shù)為

τ=RC=5×108×2.4×10-7=120s

電容上初始電壓為

U0=10kV

在電容放電過(guò)程中,電容電壓(即電網(wǎng)電壓)的變化規(guī)律為

uC(t)=U0

故

由此可見(jiàn),電網(wǎng)斷電,電壓并不是立即消失,此電網(wǎng)斷電經(jīng)歷1分鐘,仍有8.6kV的高壓,當(dāng)t=5τ=5×120=600s時(shí),即在斷電10分鐘時(shí)電網(wǎng)上仍有95.3V的電壓。

8.2.2ＲＬ串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng) 電路如圖８.9所示,當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合前,由電流表觀(guān)察到,電感電路中電流為穩(wěn)定值I0,電感中存儲(chǔ)有一定的磁場(chǎng)能。在ｔ＝０時(shí)將開(kāi)關(guān)Ｓ閉合,由電流表觀(guān)察到:電感電路中電流沒(méi)有立即消失,而是經(jīng)歷一定的時(shí)間后逐漸變?yōu)榱?。由于Ｓ閉合后,電感電路沒(méi)有外電源作用,因此此時(shí)的電路電流屬零輸入響應(yīng)。圖8.9一階RL電路的零輸入響應(yīng)

換路后列L所在網(wǎng)孔的方程，在所選各量參考方向下，忽略電流表內(nèi)阻,由KVL得

uR+uL=0

而

uR=iLR,uL=

故

或

這也是一個(gè)線(xiàn)性常系數(shù)一階齊次微分方程,與RC電路的零輸入響應(yīng)微分方程相類(lèi)似,其解為

(8.8)

式中,τ=L/R稱(chēng)為RL電路的時(shí)間常數(shù)。若電阻R的單位為Ω,電感L的單位為H,則時(shí)間常數(shù)τ的單位為s。 電阻上的電壓為

電感上的電壓為

(8.10)

式（8.10）中負(fù)號(hào)表示電感實(shí)際電壓方向與圖中參考方向相反。畫(huà)出式(8.8)、式(8.9)、式(8.10)對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)，分別如圖8.10(a)、(b)、(c)所示。圖8.10一階RL電路的零輸入響應(yīng)波形

圖8.10中的電壓、電流變化規(guī)律與圖8.8所示的RC電路一樣,也是按指數(shù)規(guī)律變化的。同樣，τ=L/R反映了過(guò)渡過(guò)程進(jìn)行的快慢。τ越大,電感電流變化越慢,反之越快。t=0－時(shí)，

iL=Ｉ0,uR=I0R,uL=0;t=0+時(shí)，iL=Ｉ0,uR=I0R,uL=-I0Ｒ。即換路時(shí)，iL、uR沒(méi)有發(fā)生躍變，uL發(fā)生了躍變。由以上分析可知:

(1)一階電路的零輸入響應(yīng)都是按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間變化而衰減到零的,這反映了在沒(méi)有電源作用的情況下,動(dòng)態(tài)元件的初始儲(chǔ)能逐漸被電阻值耗掉的物理過(guò)程。電容電壓或電感電流從一定值減小到零的全過(guò)程就是電路的過(guò)渡過(guò)程。

(2)零輸入響應(yīng)取決于電路的初始狀態(tài)和電路的時(shí)間常數(shù)。

思考題

1.有一40μF的高壓電容器從電路中斷開(kāi),斷開(kāi)時(shí)電容器的電壓為3.5kV,斷開(kāi)后電容器經(jīng)本身的漏電阻放電。如漏電阻R=100MΩ,經(jīng)過(guò)30分鐘后,電容上的電壓為多少？若從高壓電路上斷開(kāi)后,馬上要接觸它,應(yīng)如何處理？

2.圖8.11所示電路中,已知R1=10Ω,則電路中開(kāi)關(guān)S打開(kāi)瞬間電壓表（設(shè)電壓表內(nèi)阻為1MΩ）所承受的電壓為多少？斷開(kāi)開(kāi)關(guān)后,若在電壓表兩端并聯(lián)1Ω的電阻,此時(shí)電壓表所承受的電壓又是多少？

圖8.11思考題2圖8.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

8.3.1RC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)

圖8.12所示的電路中,開(kāi)關(guān)閉合前,電容C上沒(méi)有充電。t=0時(shí)刻開(kāi)關(guān)S閉合。在圖示參考方向下,由KVL有

uR+uC=Us

(8.11)

將各元件的伏安關(guān)系uR=iR和代入式(8.11)得(8.12)圖8.12

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

式(8.12)是一個(gè)線(xiàn)性常系數(shù)一階非齊次微分方程,由數(shù)學(xué)知識(shí)可知,該微分方程的解由兩部分組成,即

uC=uＣ′+uＣ″(8.13)

式中,uＣ′為方程式的特解,電路動(dòng)態(tài)過(guò)程結(jié)束時(shí),uＣ=Us是它的穩(wěn)態(tài)解,即

uＣ′=Us(8.14)

uC″是方程當(dāng)Us=0時(shí)的解,即齊次方程的通解,也叫暫態(tài)解,其形式與式（8.6）相同,即

(8.15)

上式中τ=RC。 將式（8.14）、式（8.15）代入式（8.13）,得

uC=uC′+uC″=Us+A(8.16)

式中,常數(shù)A可利用換路定律求得,即

uC(0+)=uC(0-)=0 A=-Us

于是

(8.17)

式中,Us為電容充電電壓的最大值,稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)分量或強(qiáng)迫分量。 是隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減的分量,稱(chēng)為暫態(tài)分量或自由分量。將式（8.17）改寫(xiě)為

（8.18）式（8.18）為RC串聯(lián)電路中電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)方程

利用電容元件的伏安關(guān)系,可求得RC串聯(lián)電路的零狀態(tài)電流的響應(yīng)表達(dá)式為

式中,I0=Us/R為充電電流的初始值i(0+)。容易理解,換路瞬間由于uC=0,電源電壓Us全部加在電阻R上,則i(0+)=Us/R。

(8.19)

利用歐姆定律可以求得電阻上電壓的響應(yīng)為

畫(huà)出式（8.18）、式（8.19）、式（8.20）對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)，如圖8.13所示。(8.20)

圖

8.13RC

電路的零狀態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)

例8.5

圖8.14(a）所示電路中,已知Us=220V,R=200Ω,C=1μF,電容事先未充電,在t=0時(shí)合上開(kāi)關(guān)S。

(1）求時(shí)間常數(shù)。 （2）求最大充電電流。 （3）求uC、

uR和i的表達(dá)式。 （4）作uC、

uR和i隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)。 （5）求開(kāi)關(guān)合上后1ms時(shí)的uC、uR和i的值。

解（1）時(shí)間常數(shù)為

τ=RC=200×1×10-6=2×10-4s=200μs

（2）最大充電電流為

（3）

uC、uR、i的表達(dá)式為

（4）

畫(huà)出uC、uR、

i的曲線(xiàn)，如圖8.14(b)所示。 （5）當(dāng)t=1ms=10-3s時(shí)，有

uC=220(1-e-5×103×10-3)=220(1-e-5)=220(1-0.007)=218.5VuR=220e-5×103×10-3=220×0.007≈1.5Vi=1.1e-5×103×10-3=1.1×0.007=0.0077A

圖8.14例8.5圖

8.3.2RL串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng) 圖8.15所示電路中,開(kāi)關(guān)S未接通時(shí)電流表讀數(shù)為0,即iL(0-)=0。當(dāng)t=0時(shí),S接通,電流表讀數(shù)由零增加到一穩(wěn)定值。這是電感線(xiàn)圈儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量的物理過(guò)程。

S閉合后,在電路給定的參考方向下,不計(jì)電流表內(nèi)阻,由KVL有

uR+uL=Us

根據(jù)元件的伏安關(guān)系得

圖8.15一階RL電路零狀態(tài)響應(yīng)電路

即 這也是一個(gè)線(xiàn)性常系數(shù)一階齊次微分方程,仿照式(8.12)求解得 式中,τ=L/R為電路的時(shí)間常數(shù);A可由換路定律來(lái)求解,將(8.21)(8.22)

即

將A=-Us/R

代入式(8.22),得 式中,I=Us/R。 根據(jù)電感元件上的伏安特性,求得電感上的電壓為

(8.23)(8.24)

電阻上的電壓為

(8.25)

畫(huà)出iC、

uL、

uR的曲線(xiàn)，

如圖8.16所示。

圖8.16一階RL電路零狀態(tài)響應(yīng)波形

例8.6

圖8.17所示電路為一直流發(fā)電機(jī)電路簡(jiǎn)圖,已知?jiǎng)?lì)磁電阻R=20Ω,勵(lì)磁電感L=20H,外加電壓為Us=200V。 （1）試求當(dāng)S閉合后,勵(lì)磁電流的變化規(guī)律和達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。

(2)如果將電源電壓提高到250V,求勵(lì)磁電流達(dá)到額定值的時(shí)間。

圖8.17例

8.6圖

解(1）這是一個(gè)RL零狀態(tài)響應(yīng)的問(wèn)題,由RL串聯(lián)電路的分析可知

式中，Us=200V,R=20Ω,τ=L/R=20/20=1s,所以

一般認(rèn)為當(dāng)t=（3～5）τ時(shí)過(guò)渡過(guò)程基本結(jié)束,取t=5τ,則合上開(kāi)關(guān)S后,電流達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需的時(shí)間為5s。

（2）由上述計(jì)算知使勵(lì)磁電流達(dá)到穩(wěn)態(tài)需要5s。為縮短勵(lì)磁時(shí)間常采用“強(qiáng)迫勵(lì)磁法”,就是在勵(lì)磁開(kāi)始時(shí)提高電源電壓,當(dāng)電流達(dá)到額定值后,再將電壓調(diào)回到額定值。 這種強(qiáng)迫勵(lì)磁所需的時(shí)間t計(jì)算如下:

即10=12.5(1-e-t)

解得

t=1.6s

這比電壓為200V時(shí)所需的時(shí)間短。兩種情況下電流變化曲線(xiàn)如圖8.18所示。

圖8.18強(qiáng)迫勵(lì)磁法的勵(lì)磁電流波形

思考題

1.在實(shí)驗(yàn)測(cè)試中,常用萬(wàn)用表的R×1kΩ擋來(lái)檢查電容量較大的電容器質(zhì)量。測(cè)量前,先將被測(cè)電容器短路放電。測(cè)量時(shí),如果:①指針擺動(dòng)后,再返回到無(wú)窮大（∞）刻度處,說(shuō)明電容器是好的;②指針擺動(dòng)后,返回速度較慢,則說(shuō)明被測(cè)電容器的電容量較大。試根據(jù)RC電路的充放電過(guò)程解釋上述現(xiàn)象。

2.RC串聯(lián)電路中,已知R=100Ω,C=10μF,接到電壓為100V的直流電源上,接通前電容上電壓為零。求接通電源后1.5ms時(shí)電容上的電壓和電流。

3.RL串聯(lián)電路中,已知R=10Ω,L=0.5mH時(shí),接到電壓為100V的直流電源上,接通前電感中電流為零。求接通電源后電流達(dá)到9A所經(jīng)歷的時(shí)間。

當(dāng)一個(gè)非零初始狀態(tài)的一階電路受到激勵(lì)時(shí),電路中所產(chǎn)生的響應(yīng)叫做一階電路的全響應(yīng)。圖8.19所示電路中,如果開(kāi)關(guān)S閉合前,電容器上已充有U0的電壓,即電容處于非零初始狀態(tài),t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S閉合(有關(guān)電壓和電流的參考方向如圖所示)。由KVL有

uR+uC=Us

或

8.4一階電路的全響應(yīng)圖8.19一階RC電路的全響應(yīng)

于是有

uC=uC

′+uC″=Us+

將初始條件uC(0+)=uC(0-)=U0代入上式有U0=Us+A,即A=U0-Us

。所以,電容上電壓的表達(dá)式為

uC=Us+(U0-Us)（8.26）

由式（8.26）可見(jiàn),Us為電路的穩(wěn)態(tài)分量,(U0-Us)為電路的暫態(tài)分量,即 全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量 波形如圖8.20所示,有三種情況:(a)U0<Us;(b)U0=Us;(c)U0>Us

。

圖8.20一階RC電路全響應(yīng)曲線(xiàn)

電路中的電流為 （8.27） 可見(jiàn),電路中電流i只有暫態(tài)分量,而穩(wěn)態(tài)分量為零。我們也可以將式(8.26)改寫(xiě)為

(8.28)

式中， 是電容初始值電壓為零時(shí)的零狀態(tài) 響應(yīng),是電容初始值電壓為U0時(shí)的零輸入響應(yīng)。故又有 全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)

同樣,將電路中電流改寫(xiě)為

式中，為電路電流的零狀態(tài)響應(yīng),為電路中電流的零輸入響應(yīng),負(fù)號(hào)表示電流方向與圖中參考方向相反。(8.29)

例8.7

圖8.21所示電路中,開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)前電路處于穩(wěn)態(tài)。已知Us=20V,R1=R2=1kΩ,C=1μF。求開(kāi)關(guān)打開(kāi)后,uC和iC的解析式,并畫(huà)出其曲線(xiàn)。圖8.21例8.7圖

解

選定各電流電壓的參考方向如圖8.21所示。 因?yàn)閾Q路前電容上電流iC（0-）=0,故有

換路前電容上電壓為

uＣ(0-)=i2(0-)R2=10×10-3×1×103=10V

即U0=10V。

由于U0<Us,因此換路后電容將繼續(xù)充電,其充電時(shí)間常數(shù)為

τ=R1C=1×103×1×10-6=10-3s=1ms

將上述數(shù)據(jù)代入式(8.26)和式(8.27),得

=0.01e-1000tA=10e-1000tmA

uC、

iC隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)如圖8.22所示。圖8.22uC、

iC隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)

例8.8

圖8.23(a)所示電路中,已知Us=100V,R0=150Ω,R=50Ω,L=2H,在開(kāi)關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)S閉合,求開(kāi)關(guān)閉合后電流i和電壓UL的變化規(guī)律。

圖8.23例8.8圖(a)電路圖；(b)零輸入響應(yīng)；(c)零狀態(tài)響應(yīng)

解法1

全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量 開(kāi)關(guān)S

閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài),故有

當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合后,R0被短路,其時(shí)間常數(shù)為

電流的穩(wěn)態(tài)分量為

電流的暫態(tài)分量為

i″=A=Ae-25t

全響應(yīng)為

i(t)=i′+i″=2+Ae-25t

由初始條件和換路定律知

i(0+)=i(0-)=0.5A

故

0.5=2+Ae-25t|t=0

即

0.5=2+A

解得

A=-1.5

所以

解法2

全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)電流的零輸入響應(yīng)如圖8.23(b)所示,i(0+)=I0=0.5A。于是電流的零狀態(tài)響應(yīng)如圖8.23(c)所示,i(0+)=0。所以全響應(yīng)為

思考題

1.如圖8.24所示電路,已知R1=10Ω,R2=20Ω,R3=10Ω,L=0.5H,t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S閉合,開(kāi)關(guān)閉合前電路處于穩(wěn)態(tài),試求電感上電流和電壓的變化規(guī)律。

2.如圖8.25所示電路,已知R1

＝１０Ω,R2

＝４０Ω,R3

＝１０Ω,Ｃ＝０.２Ｆ,換路前電路處于穩(wěn)態(tài),求換路后的iC和uC。

圖8.24思考題

1圖

圖8.25思考題

2圖

設(shè)f（0+）表示電壓或電流的初始值，f（∞）表示電壓或電流的新穩(wěn)態(tài)值,τ表示電路的時(shí)間常數(shù),f（t）表示要求解的電壓或電流。這樣,電路的全響應(yīng)表達(dá)式為

(8.30)

將前面學(xué)習(xí)的RC、RL電路各類(lèi)響應(yīng)用式(8.30)驗(yàn)證,如表8.2所示。

8.5一階電路的三要素法表8.2經(jīng)典法與三要素法求解一階電路比較表

三要素法簡(jiǎn)單易算,特別是求解復(fù)雜的一階電路尤為方便。下面歸納出用三要素法解題的一般步驟: (1)畫(huà)出換路前（t=0-）的等效電路，求出電容電壓uC（0-）或電感電流iL(0-)。

(2)根據(jù)換路定律uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-),畫(huà)出換路瞬間（t=0+）的等效電路,求出響應(yīng)電流或電壓的初始值i(0+)或u(0+),即f(0+)。

(3)畫(huà)出t=∞時(shí)的穩(wěn)態(tài)等效電路（穩(wěn)態(tài)時(shí)電容相當(dāng)于開(kāi)路,電感相當(dāng)于短路）,求出穩(wěn)態(tài)下響應(yīng)電流或電壓的穩(wěn)態(tài)值

i(∞)或u(∞),即f(∞)。

(4)求出電路的時(shí)間常數(shù)τ。τ=RC或L/R,其中R值是換路后斷開(kāi)儲(chǔ)能元件C或L,由儲(chǔ)能元件兩端看進(jìn)去,用戴維南或諾頓等效電路求得的等效內(nèi)阻。

(5)根據(jù)所求得的三要素,代入式(8.30)即可得響應(yīng)電流或電壓的動(dòng)態(tài)過(guò)程表達(dá)式。

例8.9

電路如圖8.26（a）所示,已知R1=100Ω,R2=400Ω,C=125μF,Us=200V,在換路前電容上有電壓uC(0-)=50V。求S閉合后電容電壓和電流的變化規(guī)律。

圖8.26例8.9圖

解用三要素法求解: (1)畫(huà)t=0-時(shí)的等效電路，如圖8.26(b)所示。由題意已知uC(0-)=50V。

(2)畫(huà)t=0+時(shí)的等效電路,如圖8.26(c)所示。由換路定律可得uC(0+)=uC(0-)=50V。

(3)畫(huà)t=∞時(shí)的等效電路,如圖8.26(d)所示。

(4)求電路時(shí)間常數(shù)τ。從圖8.26(d)電路可知,從電容兩端看過(guò)去的等效電阻為

于是

τ=R0C=80×125×10-6=0.01s (5)由公式(8.30)得

uC(t)=uC(∞)+［uC(0+)-uC(∞)］

=

畫(huà)出uC(t)和iC(t)的變化規(guī)律，如圖8.27所示。

圖

8.27例8.9波形圖

例8.10

電路如圖8.28所示,已知R1=1Ω,R2=1Ω,R3=2Ω,L=3H,t=0時(shí)開(kāi)關(guān)由a撥向b,試求iL和i的表達(dá)式,并繪出波形圖。(假定換路前電路已處于穩(wěn)態(tài))圖8.28例8.10圖

解

(1)畫(huà)出t=0-

時(shí)的等效電路,如圖8.28(b)所示。因換路前電路已處于穩(wěn)態(tài),故電感L相當(dāng)于短路,于是iL(0-)=UAB/R2。 (2)由換路定律iL(0+)=i(0-)得iL(0+)=

A。

(3)畫(huà)出t=0+時(shí)的等效電路,如圖8.28(c)所示,求i(0+)。 對(duì)3V電源，

R1、

R3回路有

3=i(0+)R1+i2(0+)R3

對(duì)節(jié)點(diǎn)A有

i(0+)=i2(0+)+iL(0+)將上式代入回路方程,得

3=i(0+)R1+［i(0+)-iL(0+)］R3

即

解得

i(0+)=0.2A (4)畫(huà)出t=∞時(shí)的等效電路，如圖8.28(d)所示,求i(∞)和iL(∞)。

(5)畫(huà)出電感開(kāi)路時(shí)求等效內(nèi)阻的電路，如圖8.28(e)所示。 于是有

(6)代入三要素法表達(dá)式,得

畫(huà)出i(t)和iL(t)的波形,如圖8.28(f)所示。

圖8.29思考題1圖

思考題

1.圖8.29所示電路中,開(kāi)關(guān)S閉合前電路達(dá)到穩(wěn)態(tài),已知Us=36V,R1=8Ω,R2=12Ω,L=0.4H,求開(kāi)關(guān)閉合后電感電流iL及電壓uL的解析式。

2.電路如圖8.30所示,在開(kāi)關(guān)S打開(kāi)前電路處于穩(wěn)態(tài)。已知R1=10Ω,R2=10Ω,C=2F,求開(kāi)關(guān)打開(kāi)后i1、i2和i3的解析式。圖8.30思考題2圖

3.試求圖

8.31所示各電路的時(shí)間常數(shù)。

圖8.31思考題3圖*8.6

RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

圖8.32所示的電路,開(kāi)關(guān)起始位置在a點(diǎn),且電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài),當(dāng)t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)S撥到b,此時(shí)電容C會(huì)經(jīng)過(guò)電感L和電阻R放電。圖8.32RLC串聯(lián)電路的過(guò)渡過(guò)程

應(yīng)用KVL得 上式對(duì)t求導(dǎo),得 又由于,即，代入上式 得(8.31)

為簡(jiǎn)化表達(dá)式,令,并且稱(chēng)δ為衰減系數(shù),ω0為回路諧振角頻率,于是有

式(8.32)為一個(gè)二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程。求解此方程,可先設(shè)i=Aept,然后再確定p、A。 若i=Aept,則(8.32)

將上述關(guān)系代入式(8.32)得到特征方程為

p2+2δp+ω20=0

解出特征根 又令,則有

式(8.32)的解為

(8.33)

當(dāng)t=0時(shí),回路電流i(0-)=0,于是i(0+)=0,電容上初始電壓為Us,與電感上電壓相等,即 將初始條件代入式(8.33),得

解得

再將A、B代入式(8.33)得或

(8.34)

其中

在式(8.34)中e-δt是指數(shù)衰減的,由于α的取值不同,則會(huì)有三種情況:

δ>ω0,δ=ω0,δ<ω0

或

下面分三種情況進(jìn)行討論。

1)(或δ>ω0)非振蕩放電過(guò)程 此時(shí)特征根p1和p2是兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù),即p1,2=-δ±α,將p1

、p2代入式(8.34),得(8.35)

由于Us/αL已給定,因此電流隨時(shí)間變化的規(guī)律取決于兩個(gè)因子:e-δt

和shαt。放電情況的曲線(xiàn)如圖8.33所示。由圖可見(jiàn),回路中電流由零增加到某一最大值后,開(kāi)始下降,最終又趨于零,并沒(méi)有改變方向,所以稱(chēng)為非振蕩放電情況。由于電路中電阻較大,因此又叫過(guò)阻尼情況。

圖8.33過(guò)阻尼放電情況曲線(xiàn)

2)(或δ<ω0)振蕩放電過(guò)程 這種情況下，特征根p1和p2是一對(duì)共軛復(fù)根:

p1,2=-δ±jα

因?yàn)?若令,則

(8.36)

將式(8.36)代入式(8.34),得

由于

作出式(8.37)的曲線(xiàn),如圖8.34所示。電路中電流按指數(shù)規(guī)律衰減振蕩,ω為振蕩角頻率,δ為衰減系數(shù)。電容的這種放電稱(chēng)為阻尼振蕩放電,因R較小,故又叫欠阻尼情況。故

圖8.34欠阻尼振蕩放電曲線(xiàn)

3) (或δ=ω0)臨界情況 這種情況下,p1=p2=-δ,得到重根,有

i=e-δt(C1t+C2)

初始條件t=0時(shí)i=0,得C2=0。

又由得

即

所以回路方程為

(8.38)

圖8.35畫(huà)出了式（8.38）對(duì)應(yīng)的波形。電流有一個(gè)最大值,但方向不變。這種情況是介于非振蕩放電和振蕩放電之間的狀態(tài),所以又叫臨界放電或臨界阻尼情況。圖8.35臨界阻尼情況電流波形

臨界阻尼放電時(shí),電流的最大值發(fā)生在di/dt=0處，于是有 解得

故

由于,故

例8.11

如圖8.32所示電路,已知L=50mH,C=100F,Us=1000V,求: (1)電容放電為非振蕩放電時(shí)的R。

(2)R=0.4Ω時(shí),電路的振蕩頻率和衰減系數(shù)δ。（3）電路處于臨界狀態(tài)時(shí)的最大電流Imax。

解

(1)非振蕩放電狀態(tài),就是過(guò)阻尼放電狀態(tài),此時(shí)R>2。由已知條件得

(2)當(dāng)R=0.4Ω時(shí),R<=44.7Ω，為振蕩放電狀態(tài),由于,其中

因δ<<ω0,所以

ω≈ω0=447.21/s (3)電路處于臨界放電狀態(tài),即臨界阻尼狀態(tài),R=44.7Ω。由得

本章小結(jié)

由于電路中存在有儲(chǔ)能元件,當(dāng)電路發(fā)生換路時(shí)會(huì)出現(xiàn)過(guò)渡過(guò)程。

1.換路定律電路換路時(shí),各儲(chǔ)能元件的能量不能躍變。具體表現(xiàn)在電容元件的電壓不能躍變，電感元件的電流不能躍變。換路定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

uC(0+）=uC（0-）

iL(0+)=iL(0-)

應(yīng)該注意,換路瞬間電容電流iC和電感電壓uL是可以躍變的。

2.時(shí)間常數(shù)τ

過(guò)渡過(guò)程理論上要經(jīng)歷無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間才結(jié)束。實(shí)際的過(guò)渡過(guò)程長(zhǎng)短可根據(jù)電路的時(shí)間常數(shù)τ來(lái)估算,一般認(rèn)為當(dāng)t=(3～5)τ時(shí),電路的過(guò)渡過(guò)程結(jié)束。一階RC電路τ=RC;一階RL電路τ=L/R,τ的單位為s。τ的大小反映了電路參量由初始值變化到穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需的時(shí)間。

3.經(jīng)典法 經(jīng)典法是求解過(guò)渡過(guò)程的基本方法,它的一般步驟如下:

（1）根據(jù)換路后的電路列出電路的微分方程;

（2）求微分方程的特解和通解;

（3）根據(jù)電路的初始條件,求出積分常數(shù),從而得到電路解。

4.一階電路的全響應(yīng) 全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量 或全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng) 以上兩個(gè)表達(dá)式反映了線(xiàn)性電路的疊加定理。 5.三要素法 三要素法是基于經(jīng)典法的一種求解過(guò)渡過(guò)程的簡(jiǎn)便方法。對(duì)于直流電源激勵(lì)的一階電路，可用三要素法求解。三要素的一般公式可以表示為

式中,f(∞)為待求量的穩(wěn)態(tài)值;f(0+)為待求量的初始值;τ為電路的時(shí)間常數(shù)。

6.二階電路 二階電路中RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng):

（1）當(dāng)R＞2時(shí),為非振蕩放電過(guò)程。 （2