2024年北京工大附中高三（上）10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京工大附中高三10月月考數(shù)學(xué)一、選擇題共10題，每題4分，共40分．在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．(?)zi2iz=1.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A.3B.5C.3D.5B=xN0x3，，則（）A=2A2.已知集合230,12A.B.C.D.D.()上單調(diào)遞減的是（）3.下列函數(shù)中，在區(qū)間y=log2xy=?x=+y=x3A.B.C.yx14.“a0b”“a3”A.充分而不必要條件C.充分必要條件是b的（）B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件5.已知球O的半徑為2，球心到平面的距離為3，則球O被平面截得的截面面積為（）A.B.C.D.2中，角Ox的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊過點(diǎn)6.在平面直角坐標(biāo)系4()，則tan+的值為（）P4,31A.7?B.?C.1D.77()為定義在上的函數(shù)，()=，且()=()+為奇函數(shù)，則(?)=（）fxf22gxf2xx2f27.已知RA.4?B.2C.0D.28.木楔在傳統(tǒng)木工中運(yùn)用廣泛.如圖，某木楔可視為一個(gè)五面體，其中四邊形ABCD是邊長為2形，且均為等邊三角形，//CD，EF=4，則該木楔的體積為（）22382A.2B.22C.D.39.已知ABC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)D在線段上，AD=2DB，點(diǎn)E在線段CD上，且CAE與CDB的面積相等，則的值為（AEBC）2313123A.?B.?C.D.310.現(xiàn)實(shí)生活中，空曠田野間兩根電線桿之間的電線與峽谷上空橫跨深澗的觀光索道的鋼索有相似的曲線形態(tài)，這類曲線在數(shù)學(xué)上常被稱為懸鏈線.在合適的坐標(biāo)系中，這類曲線可用函數(shù)ae2x+b()=fx(=abe2.71828來表示.下列結(jié)論正確的是（）ex，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)為增函數(shù)若0，則函數(shù)f(x)有最小值若ab0，則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)A.若0B.D.C.若ab0二、填空題共5題，每題5分，共25分．1x+1()=函數(shù)fxx+2+的定義域是_______________.)=()m=______.12.已知向量a=(?m，b2,1，且a⊥b，則π6()=fx+0)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則()gxxπ13.將函數(shù)(?)=______g(x)為偶函數(shù)，則gπ的最小值是______.；若x,x()=fx其中aR若a=0，則函數(shù)()的值域是fx14.已知函數(shù).______；若函數(shù)(+)2xa,xyfx=()?12a有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______.11是各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且+=1(nN*)給出下列四個(gè)結(jié)論：annSn15.已知anSnS+S2S2①②；；13a+a2a2131③對任意的nΝ*，都有a1+n；n④存在常數(shù)A1，使得對任意的nN*，都有其中所有正確結(jié)論的序號是______.aA，n三、解答題共6題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．()=?2fx2x2x16.已知函數(shù).（1）求()的最小正周期及值域；fx（2）求()的單調(diào)遞增區(qū)間.fx滿足a=b=1,a+a=10,bb=a．bna17.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列n1124245a（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；nb+b+b+…+b（Ⅱ）求和：．1352n1π18.在ABC中，a=2，BABC存在且唯一，并求=?．再從條件①條件②條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使?6c（1）的值；（2）ABC的面積．14條件①：b=1；條件②：b=2；條件③：cosA=．4注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19.已知函數(shù)f(x)=exx?x．y=f(x)(0,f(0))（Ⅰ）求曲線（Ⅱ）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；πf(x)[0,]上的最大值和最小值．在區(qū)間2fxexax?1，aR，e是自然對數(shù)的底數(shù).()=?20.已知y=f(x)的極值；（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，求ax（2）若關(guān)于的方程的取值范圍；x+x2lna.（3）當(dāng)a0時(shí)，若滿足f(x)=fxxx()()，求證：121212，設(shè)數(shù)列a,a,...,a是2,...,n的一個(gè)排列，對i2,...,，x表示以a為首項(xiàng)12nii21.給定正整數(shù)n2的遞增子列的最大長度，表示以為首項(xiàng)的遞減子列的最大長度.yaii=a=1a=4a=2a=3，求xy和；2（1）若n4，，，，12341i2,...,n?1(?)，x2+(i1?)20；（2）求證：yii1ini?y（3）求的最小值.ii1參考答案一、選擇題共10題，每題4分，共40分．在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】B【分析】z求得后再求模長即可.(?)=+=+21=5.zi2ii1,故z22【詳解】故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與模長運(yùn)算等.屬于基礎(chǔ)題型.2.【答案】C【分析】根據(jù)并集的定義即可求解.，，A=2B=xN0x3=1,2【詳解】因?yàn)锳B=2.所以故選：C3.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接判斷單調(diào)性.y=log2x()，且在()上單調(diào)遞增，選項(xiàng)錯(cuò)誤；A【詳解】A選項(xiàng)：函數(shù)的定義域?yàn)?xB選項(xiàng)：函數(shù)y2?=x=的定義域?yàn)镽，且在R上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)正確；2?+)，且在?+)上單調(diào)遞增，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：函數(shù)y=x+1的定義域?yàn)镃y=x3D選項(xiàng)：函數(shù)的定義域?yàn)镽，且在R上單調(diào)遞增，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B.4.【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=3x單調(diào)遞增，由a0b可得：3ab，充分性成立，當(dāng)3故選：A5.【答案】A【分析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.a3b時(shí)，aba0b，但不一定，必要性不成立，r=22(3)2=1，?【詳解】設(shè)截面圓半徑為，由球的性質(zhì)可知：則截面圓的半徑r所以球O被平面故選：A.截得的截面面積為S=r=，26.【答案】Dtan【分析】由終邊經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)可求，再利用兩角和的正切公式即可求解.3【詳解】由終邊過點(diǎn)P(3)，可得=，434tan+tan+144tan+===7.所以31?tantan1?44故選：D7.【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行賦值求解即可.【詳解】因?yàn)間(x)=f(2x)+x2是奇函數(shù)，g(gf(2)1f(2)10所以有f(=4即.故選：A8.【答案】D【分析】如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG,CH，取，AD的中點(diǎn)O，連接，求出△=△=2，結(jié)合三棱錐和三棱柱的體積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖，分別過點(diǎn)A，B作的垂線，垂足分別為G，H，連接DG,CH則由題意等腰梯形全等于等腰梯形CDEF，4?2EG===AG==BH==22?1=3.2則2取的中點(diǎn)O，連接，因?yàn)?，所以⊥，(2則=3?21=2，1S△=△=22=2.∴2AG⊥EFAB⊥AG因?yàn)锳B//EF，，所以，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，⊥AD,ADGAB⊥平面ADG，所以，又因?yàn)椋矫?，所以EF⊥平面AGD，同理可證EF⊥平面BCH，所以V=三棱錐E?ADG+三棱錐F?BCH+三棱柱AGD?BHC=三棱錐E?ADG+三棱柱AGD?BHC∴多面體的體積182=212+22=，33故選：D.9.【答案】C【分析】由CAE與CDB的面積相等以及AD=2DB可得S=2S，從而E是CD的中點(diǎn)，再根據(jù)數(shù)量積的定義即可求得AEBC.【詳解】如圖所示：S=2S=2S，S△CAE=△CDBS而，4323AD=BD=所以E是CD的中點(diǎn)，，，AEBC=(AC+AD)BC=ACBC+ADBC22212=ACBCC+ADBCcos(?B)21114113=22+2(?)=.22232故選：C10.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、最值以及零點(diǎn)的判斷和求解方法，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：取a=b=1，滿足ab0，此時(shí)()fx=x+e?x，e其定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(x)=f(?x)，此時(shí)()為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；fxbat對B：()=x+be?x，令=，故y=at+f(x)若存在最小值，則有最小值，fxaeext,t0bba因?yàn)閍b0，故0，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，有最小值，無最大值，ay=t+,t0tba故當(dāng)a0時(shí)，y=at+,t0有最大值沒有最小值，故B錯(cuò)誤；tab0時(shí)，滿足ab0，又y=aex是單調(diào)減函數(shù)，y=be?x是單調(diào)減函數(shù)，對C：當(dāng)故()=x+be?x是單調(diào)減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；fxaebab對D：令f(x)=0，即aexe?x+=0，則e2x=?，因?yàn)閍b0，故?0，a1ba12b?x=?，故當(dāng)ab0解得，即為函數(shù)零點(diǎn)，故D正確.2a故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，處理問題的關(guān)鍵是充分把握函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷方法以及函數(shù)零點(diǎn)的求解過程，屬綜合中檔題.二、填空題共5題，每題5分，共25分．??))1【答案】【分析】列出需滿足的不等式，再取交集即為函數(shù)定義域.x+20，解得x2且x?1，【詳解】由題意，x+10所以()的定義域?yàn)??))，fx1故答案為：??))12.【答案】2【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.)b2,1=()，，且ab，a=(?m⊥【詳解】因?yàn)樗詀b=0，即12+m1=0，解得m=2.故答案為：235613.【答案】①..2()gxg(?π)【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系求出的解析式，從而可得的值；再利用函數(shù)是偶函數(shù)建立方程進(jìn)行求解即可．π+0)()=fx()的圖象，gxxπ的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)【詳解】解：將函數(shù)6π6π()=(+)+=++gxcosxπcosxπ即，6=πππ3(?π)=cos++ππcos=所以g；662若函數(shù)()為偶函數(shù)，則，kZ，gxπ+=π61=?+k，kZ得650當(dāng)k=1時(shí)，取得最小值為，6356故答案為：；．2[0,+)(?2,0].14.【答案】①.12）易知在x1和x1時(shí)，二次函數(shù)的零點(diǎn)分布情況即可求解.yfx=()?1分別有一個(gè)零點(diǎn)，由x,x1()=fx）a=0時(shí)，2x1，x,當(dāng)x1時(shí)，當(dāng)x1時(shí)，f(x)=xln1=0，f(x)=x20，()的值域是+)f(x)0，即函數(shù)fx[0,綜上：.x?x1y=fx?1=()（2），(+)2?x1xax=e當(dāng)x1時(shí)，令lnx?1=0，得，x=e上，函數(shù)故在+)y=f(x)?1有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x1時(shí)，設(shè)g(x)xa=(+)?1，221=(+)?在(?上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，由題意可知：g(x)xa?a1g0a=0或2a0，所以g=0或，解得a所以的取值范圍是(?2,0].故答案為：[0,+)；(?2,0].15.【答案】①②③aSaSn隨著增大的變化情況可以判斷①；n【分析】首先由題設(shè)條件分析出數(shù)列a+a2a與的增減性，根據(jù)和nnna?aa?a3a?an1an1?an?2是否然后分析，發(fā)現(xiàn)其實(shí)際上為，，即可以想到判斷132221nn?n1?a?an?2()的代數(shù)式，通過此對代數(shù)式正負(fù)的判斷，即可判斷成立，可建立關(guān)于n1an?an1an1?an?2Sn?1n，即可判斷②；我們可以將③中的題設(shè)轉(zhuǎn)化為判斷是否成立，我們發(fā)現(xiàn)的每一項(xiàng)都是大于的，而相加，而當(dāng)n=1時(shí)，1annn個(gè)大于的數(shù)相加大于個(gè)11S?1=a?1=2?1=1S?1n，即可判斷n，即可判斷③；而根據(jù)前面的研究，可以較易對④作出判斷.11a0nS0n【詳解】由題意知：，∴，1111+1nN*=()=1?1，∴an1，Sn1，∵又∵∴，∴anSnnSn11112+=+==1，∴=12，1111111Sn?1SnSnSn=1?=a=n，∴，anSn?1SS1?)?Sn1(Sn?)?)1SnSn1(S??n11SSn?)1n1a?n1=?=nn1?=，nn??(Sn?)((Sn?)(Sn1S11Sn1n1Sn1?SnSn隨著的增大而增大，∴S?Sn0，∴n1∵∴0，(Sn1S?)(1?)n1?10，即nn1an，∴隨著的增大而減小，n故：為正項(xiàng)單調(diào)遞減無窮數(shù)列，且1aa=2，n1anS+S=a+a+a+a=a+a+a+aa+a+a+a=2S，故①正確；2∴∵13112312131212Sn1?SnSn?2?Sn1a?an=an1?n?2=，∴，n1(Sn?)(?)(Sn1?)(1?)n?21S11Sn1S?SnS?S?2n1?(an1?an?2)=??an?an1n1n∴(Sn?)(?)(Sn11S?)(1?)n?21S1n1(Sn1?)(?)?(Sn?2?)(Sn?)Sn1?)1SSn?2=n(Sn?)(1S?)(1Sn1n?2(Sn1?)(?)?(?)?(Sn?(?)nnan1aS1SSn?21S==nn1(Sn?)(1S?)(1?)n?21Sn1(Sn1?)(?)?(?)+(??)(1S(?)nan1S1SSn?21SSannn1n(Sn?)(1?)n?21Sn1(Sn1?)(?)?(Sn1?)(?)?(?)(Sn?)an1SSn?2SSn1an==nn(Sn?)(1S?)(1?)1Sn1n?2(Sn1?)(?)?(?)(Sn?)an1?)1SSn?2Sannn，(Sn?)(1S?)(1Sn1n?2SSn隨著的增大而增大，∵∴an?Sn0S?Sn0(Sn1?)(，∴SSn?2?)S0，，n1n?2nnn隨著的增大而減小，n?10S?10(a?a)(S?)0∴∴，，∴，nnn1n(Sn1?)(?)?(?)(Sn?)SSn?2Sanan1nn0，(Sn?)(1S?)(1?)1Sn1n?2a?a?a?an?20()a?aan1?an?2∴∴，∴，nn1n1nn1a?aa?a，1322a+a2a即：，故②正確；132SnSn?1+11111a=n==1++，即判斷：1+1+an1∵，∴要判斷，Sn?1Sn?1Sn?1nSn?1n11S?1n，即判斷：n即判斷：，Sn?1nS?1=a?1+a+而，n12當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號，∴S?1nn對任意的nΝ*都成立，1∴對任意的nΝ*，都有a1+n，故③正確；n根據(jù)以上分析可以得出：為1n2ann，隨著的增大而減小的遞減數(shù)列，且隨著的增大，的值ann無限接近1，∴存在常數(shù)A1，對任意的nΝ*，當(dāng)足夠大時(shí)，總會有1nA，故④錯(cuò)誤.n故答案為：①②③.三、解答題共6題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.1）最小正周期為???221，值域?yàn)椋?k?,k+,kZ（2）.8）利用三角恒等變換將()化為標(biāo)準(zhǔn)型，再求其性質(zhì)即可；fx（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，列出不等式，即可求得結(jié)果.【小問14fx2x2xsin2x2x?1=()=?2=?2sin2x??1，故()的最小正周期T==()的值域?yàn)?fx，??221fx.2【小問2fx=2sin2x?根據(jù)（1）中所求，()?1，4，解得82k?2x?2k+,kZx?k,k+,kZ.令2428故()的單調(diào)增區(qū)間為：k?,k+,kZ.fx883?1n17.1）a=2n1.2）2d是等比數(shù)列，知bn2n1依然是等比數(shù)列，并且公比是q2，再利用等比數(shù)列求和公式求解.{a}的公差為d.因?yàn)閍+a=10，所以2a+4d=10.241解得d=2.?所以a=2nn（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q.因?yàn)閎b=a，所以bqbq=9.324511解得q2=3.所以b=1q2n?2=n13.2n13n?1.2++++=++?++?=從而b3511）分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列+等比2）裂項(xiàng)相消法求和，一般適用于，,3）錯(cuò)位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列4）倒序相加法求和，一般適用于首末兩項(xiàng)的和是一個(gè)常數(shù)，這樣可以正著寫和與倒著寫和，兩式相加除以2到數(shù)列求和.6+1418.1）c=23+7（2）S=4）若選①，根據(jù)asinBb2，由作圓法知滿足條件的ABC有兩個(gè)，不合題意；若選②，根據(jù)b2asinB，由作圓法知滿足條件的ABC有且僅有一個(gè)，利用余弦定理可構(gòu)造方程求得的cc值；若選③，利用正弦定理可求得b，由余弦定理可構(gòu)造方程求得的值；（2）利用三角形面積公式可直接求得結(jié)果.【小問1π2若選條件①，asinB=2sin=，62b2滿足條件的ABC有兩個(gè)，不合題意，不能選擇條件①；π2若選條件②，asinB=2sin=，62asinB滿足條件的ABC有且僅有一個(gè)，由余弦定理得：b2=a2+c2?2acB=2+c2?c4，=6+146?146+解得：c=或c=c=；222142==1A=?2若選條件③，π)，cosA，sinA；44π2sinasinBsinA6由正弦定理得：b===2，24由余弦定理得：b2=a2+c2?2acB=2+c2?c=4，6+146?146+解得：c=或c=ABC有且僅有一個(gè)，c=.222【小問26+14116+1413+7由（1）知：c=S=acsinB=2=.222224y=11；最小值?19.【答案】(Ⅰ).2【詳解】試題分析Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求斜率，再代入切線方程公式()=()，求()，根據(jù)()確定函數(shù)()的單yhxfxhxhx0hxh0=0調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值為()()=()hxfx0()fx恒成立，所以函數(shù)，從而可以知道是單調(diào)遞減函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性求最值.f(x)=excosx?x()=()?()=fxex?sinxf00.，所以x又因?yàn)閒(0)=1(())處的切線方程為f0y=1.，所以曲線?=?(?)在點(diǎn)（Ⅱ）設(shè)h(x)=ex(cosx?sinx?1)hxexsinxsinxx()=x(???)=2exsinx.，則π2x()hx0，當(dāng)時(shí)，π所以()在區(qū)間hx上單調(diào)遞減.2πx()()=，即().hxh00fx0所以對任意有2π2所以函數(shù)()在區(qū)間上單調(diào)遞減.fxπ2因此()在區(qū)間()=，最小值為f0f=?.fx1上的最大值為22【名師點(diǎn)睛】這道導(dǎo)數(shù)題并不難，比一般意義上的壓軸題要簡單很多，第二問比較有特點(diǎn)的是需要兩次求導(dǎo)數(shù)，因?yàn)橥ㄟ^()不能直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，所以需要再求一次導(dǎo)數(shù)，設(shè)()=()hxfx，再求fx()hx()hx的零點(diǎn)，或是()()0)恒成立，這樣就能知道函數(shù)hx0hx(，一般這時(shí)就可求得函數(shù)()的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求其最值，從而判斷=()的單調(diào)性，最后求得結(jié)果.hxyfx20.1）極小值為0，無極大值.（2）()（3）證明見解析）把a(bǔ)=1代入函數(shù)()中，并求出?′(?)，根據(jù)?′(?)的正負(fù)得到()的單調(diào)性，進(jìn)而求出fxfx()的極值fx.ex（2）f(x)+1=0y=a()=與gx等價(jià)于的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)得到函數(shù)?=?(?)的單調(diào)性和極值，x畫出?=?(?)的大致圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.（3）求出?′(?)，并得函數(shù)?=?(?)在(,a)上單調(diào)遞減，在(a,)上單調(diào)遞增，可得則xa?x，只需證，只需證12(,lna)，2(a,)1x1+x22lna，要證()(?)，即證()(?)，令()=()?(?)，對??求導(dǎo)證明fxfaxfxfaxhxfxf2ax()1222即可.【小問1當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex?x?1，定義域?yàn)镽，求導(dǎo)可得f(x)=ex?1，令()=0，得x=0，fx當(dāng)x0時(shí)，?′(?)<0，函數(shù)()在區(qū)間fx()上單調(diào)遞減，,0當(dāng)x0時(shí)，?′(?)>0，函數(shù)()在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，fx所以?=?(?)在x=0處取到極小值為，無極大值.【小問2fx+1=e?ax=0，方程()x當(dāng)x=0時(shí)，顯然方程不成立，ex所以x0，則a=，xexy=a()=與gx方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，x(?)xx1e()=gx，x2g(x)0，當(dāng)x0或0x1時(shí)，()在區(qū)間()和0,1上單調(diào)遞減，gx,0()x,0()時(shí)，?(?)<0，當(dāng)?∈(0,1)時(shí)，?(?)>0，()并且當(dāng)x1時(shí)，()在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，gx0，gxx0時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，g(x)取得最小值，g)e，=作出函數(shù)?=?(?)的圖象，如圖所示：exy=a有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，ae，()與gx=因此x的取值范圍為().a故【小問3證明：a0，由f(x)=ex?a=0，得x=a，f(x)0()fx0時(shí)，，當(dāng)xa時(shí)，，當(dāng)xa所以函數(shù)?=?(?)在(,a)上單調(diào)遞減，在(a,)上單調(diào)遞增.xxfxfx()=()，則(,lna)，(a,).12由題意，且1212x+x2lnax1a?x2要證，只需證，12xa?xafx()在(,a)上單調(diào)遞減，，且函數(shù)而12fxfa?x)，故只需證()(12fx=fx又()()，所以只需證fx2()(fax?)，212fx?fa?x0，即證()()22令h(x)=f(x)?f(2lna?x)，即()=x???ax12lna?x?(?)?=x?2e?x?2ax+2aa，hxeeaax1eahxexa2e?x2a()=+?，由均值不等式可得hxexa2e?x2a2eae()=+?x2?x?2a=0，x=a時(shí)，等號成立.ex=a2e?x，即當(dāng)且僅當(dāng)所以函數(shù)?(?)在?上單調(diào)遞增.xa2()()=，即()?(hx，可得ha0fx?)，fax0由222fxfa?x)，所以()(12又函數(shù)()在(,a)上單調(diào)遞減，fxxa?xx+x2lna得證.12所以，即12x=3y=221.1）（2）證明見解析n?1，21nnnni?yn的最小值是；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，i?y的最小值i）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，i2i1i1是.2）直接根據(jù)定義求解；x?yx?yx?yx?y和iii1i1（2）分情況討論證明，故可推知不能同時(shí)為零，進(jìn)而得到結(jié)論；iii1i1n（3）對的奇偶性分情況討論，并利用小問2得到的結(jié)果即可.【小問1以1為首項(xiàng)的最長遞增子列是a,a,aaa,aa,a，以為首項(xiàng)的最長遞減子列是和.23241342x=3y=2所以，.12【小問2i2,...,n?1，由于a,a,...,a是2,...,naa的一個(gè)排列，故.ii1對若12naaai1a為首項(xiàng)的遞增子列都可以在前面加一個(gè)，i，則每個(gè)以ii1a得到一個(gè)以為首項(xiàng)的更長的遞增子列，所以xx；iii1a而每個(gè)以為首項(xiàng)的遞減子列都不包含ai1aa，ii1，且ia故可將替換為ai1yy，得到一個(gè)長度相同的遞