湖北省市級示范高中智學聯(lián)盟2024-2025學年高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題 含解析

湖北省市級示范高中智學聯(lián)盟2024年秋季高三年級12月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義域求法化簡集合A，再利用集合的交集運算即可得解.【詳解】因為，,又，所以.故選：B.2.若復數(shù)，在復平面內對應的點關于軸對稱，且，則復數(shù)（）A.1 B. C.i D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對稱性求出，再利用復數(shù)除法求解作答.【詳解】因為復數(shù)，在復平面內對應的點關于軸對稱，且，所以，所以故選：C3.已知等差數(shù)列的公差為，若，，成等比數(shù)列，是的前項和，則等于（）A.8 B.6 C. D.0【答案】D【解析】【分析】由，，成等比數(shù)列，可得，再利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出.【詳解】，，成等比數(shù)列，，，化為，解得，則.故選：D.4.已知隨機變量，且，則的最小值為（）A.9 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可求得，代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.【詳解】因為隨機變量，且，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為3.故選：B.5.已知的三個角的對邊分別是，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理將邊化為角，利用題設將B換為A，從而求出，再利用二倍角公式求出.【詳解】因為，，所以，因為，所以，所以，即，又，得，所以.故選：D.6.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，根據(jù)可得，從而可求其最小值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，又，，由題可知，，，解得，，又，當時，取得最小值.故選：B.7.已知函數(shù)，若，則的單調遞減區(qū)間為（）A.或 B.C.或 D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題目條件求出的值，再利用導函數(shù)求單調性即可..【詳解】圖象如下，所以，解得，故，，令，解得或，所以在或上單調遞減.故選：C.8.如圖，底面同心的圓錐高為，A，B在半徑為1的底面圓上，C，D在半徑為2的底面圓上，且，，當四邊形面積最大時，點O到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定四邊形的形狀，再求出四邊形面積最大時，圓心O到邊BC的距離，然后在幾何體中作出點O到平面的垂線段，借助直角三角形計算作答.【詳解】如圖，設直線AB交大圓于點F，E，連接CE，DF，由，知四邊形為等腰梯形，取AB，CD的中點M，N，連接MN，則，因為，所以，因為，所以四邊形是矩形，因此四邊形為矩形，過O作于，連接OB，OC，OA，OD，從而四邊形的面積，當且僅當，即時取等號，此時，如圖，在幾何體中，連接PQ，PO，因為平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，顯然平面平面，在平面內過作于，從而平面，即OR長即為點到平面的距離，在中，，，所以，所以點O到平面的距離是.故選：C【點睛】方法點睛：求點到平面的距離可以利用幾何法，作出點到平面的垂線段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出這一點與平面內任意一點確定的向量在法向量的投影即可.二、多選題：本題共三小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的有（）A.函數(shù)在上單調遞增B.函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域為C.不等式的解集為D.函數(shù)關于點中心對稱【答案】BD【解析】【分析】由復合函數(shù)的單調性可判斷A；由函數(shù)的定義域的定義可判斷B；對討論，分，，，可判斷C；由函數(shù)的圖象平移可判斷D.【詳解】對于A，函數(shù)在上單調遞減，故A錯誤；對于B，函數(shù)的定義域是，可得，解得，所以函數(shù)的定義域為，故B正確；對于C，不等式，當時解集為；當時解集為；當時解集為，故C錯誤；對于D，的圖象可由向左平移1個單位，再向上平移2個單位得到，可得關于點中心對稱，故D正確.故選：BD.10.在四棱錐中，底面是矩形，，，平面平面，點在線段上運動（不含端點），則（）A.存在點使得B.四棱錐外接球的表面積為C.直線與直線所成角為D.當動點到直線的距離最小時，過點作截面交于點，則四棱錐的體積是【答案】BD【解析】【分析】取的中點，利用面面垂直的性質定理及線面垂直的判斷定理證明平面，然后由線面垂直的性質定理判斷A，把四棱錐補形成一個如圖2的正方體，根據(jù)正方體的性質判斷B，C，由平面，當動點到直線的距離最小時，從而得為的中點，為的中點，再由體積公式計算后判斷D.【詳解】如圖1，取的中點，連接，，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則又因為，所以，又，，平面，所以平面.因為平面，平面，所以不成立，A錯誤.圖1圖2圖3因為為等腰直角三角形，將四棱錐的側面作為底面一部分，補成棱長為的正方體.如圖2，則四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其半徑，即四棱錐外接球的表面積為，B正確.如圖2，直線與直線所成角即為直線與直線所成角，而是正三角形，故該夾角為，C錯誤.如圖1，因為平面，當動點到直線的距離最小時，由上推導知，，，，，，，因此為的中點，如圖3，由為的中點，即為中點，平面即平面與的交點也即為與的交點，可知為的中點，故，D正確.故選：BD.【點睛】方法點睛：空間幾何體的外接球問題，（1）直接尋找球心位置，球心都在過各面外心用與該面垂直的直線上；（2）對特殊的幾何體，常常通過補形（例如把棱錐）補成一個長方體或正方體，它們的外接球相同，而長方體（或正方體）的對角線即為外接球的直徑，由此易得球的半徑或球心位置.11.設函數(shù)，，則下列結論正確的是（）A.，在上單調遞減B.若且，則C.若在上有且僅有2個不同的解，則的取值范圍為D.存在，使得的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】由，選項A：利用正弦函數(shù)的單調性判斷；選項B：利用正弦函數(shù)的最值、周期判斷；選項C：利用正弦函數(shù)的圖象判斷；選項D：利用三角函數(shù)的圖象變換判斷.【詳解】，對于A，，當時，，由復合函數(shù)、正弦函數(shù)單調性可知在上單調遞減，故A正確；對于B，若且，則，故B不正確；對于C，若，則，若在上有且僅有2個不同的解，如圖所示：可得，解得，也就是的取值范圍為，故C正確；對于D，，可知當時，是奇函數(shù)，故D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：此題考查正弦函數(shù)的性質，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應用，解題的關鍵是根據(jù)三角函數(shù)恒等變換公式將函數(shù)化簡變形為，再利用正弦函數(shù)的性質分析即可，考查計算能力，屬于較難題.三、填空題：本題3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質，即可得到對均成立，從而求出參數(shù)的值，檢驗成立即可.【詳解】由題設，，所以，得，得對均成立.所以，解得.經檢驗，滿足要求.故答案為：.13.若為一組從小到大排列的數(shù)，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位數(shù)，則的展開式中的系數(shù)為__________.【答案】【解析】【分析】利用第百分位數(shù)的定義求出，再利用組合的應用列式計算作答.【詳解】由，得，于是展開式中含的項為，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：14.已知，，若關于x的不等式在上恒成立，則的最小值為______.【答案】8【解析】【分析】結合一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象性質，由不等式可得兩函數(shù)有共同零點，由此得是方程的根，可得的關系，消b再利用基本不等式求解最值可得.【詳解】設，又，所以在單調遞增，當時，；當時，，由圖象開口向上，，可知方程有一正根一負根，即函數(shù)在有且僅有一個零點，且為異號零點；由題意知，則當時，；當時，，所以是方程的根，則，即，且，所以，當且僅當，即時，等號成立，則的最小值是8，故答案為：8四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先求出，然后當時，由已知可得，兩式相減即可得解；（2）利用錯位相減法即可得解.【小問1詳解】因為，當時，得，當時，由，得，兩式相減得：，則，檢驗：滿足上式，故；【小問2詳解】由（1）知，則，故，兩式相減可得：，故.16.在中，內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，.（1）若，求面積的最大值；（2）若，在邊AC的外側取一點D（點D在外部），使得，，且四邊形的面積為，求的大小.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理化簡得，由余弦定理求得，得到，再由余弦定理和基本不等式求得ac的最大值，進而求得面積的最大值；（2）設，利用余弦定理和正三角形，求得，列出方程，即可求解.【小問1詳解】由因為，可得，又由正弦定理得，即，由余弦定理得，因為，可得，所以，在中，由余弦定理得，即，當且僅當時取等號，所以，所以面積的最大值為.【小問2詳解】設，則，在中，由余弦定理得，由（1）知，且，所以為正三角形，所以，可得，故，因為，所以，可得.17.若OA為平面的一條斜線，O為斜足，OB為OA在平面內的射影，OC為平面內的一條直線，其中為OA與OC所成的角，為OA與OB所成的角，即線面角，為OB與OC所成的角，那么簡稱為三余弦定理.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為4的等邊三角形，，，，D在上且滿足.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過點D作交于，連接CE，BE，設，連接，則根據(jù)題意利用線面垂直的判定定理可證得平面，再由面面垂直的判定定理證明即可；（2）由已知可證得平面，然后建立如圖所示的空間直角坐標系，由空間向量法求解即可.【小問1詳解】證明：如圖，過點D作交于，連接CE，BE，設，連接，，，∵D在上且滿足，∴，∵，，四邊形為正方形，，，，，，，為CE的中點，，因為，，平面，平面，又平面，平面平面.【小問2詳解】在中，，，又，，，，又，，，平面，平面，故建立如圖空間直角坐標系，則，，，，.，，，.設平面的一個法向量為，則，令，得，設平面一個法向量為，則，令，得，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.18.已知函數(shù)，.（1）求的單調區(qū)間；（2）設函數(shù)，若存在，對任意的，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.（2）【解析】【分析】（1）先求出，再求出其導數(shù)，討論其符號后可得的單調區(qū)間.（2）原不等式等價于，利用導數(shù)可求，利用二次函數(shù)的性質可得，從而得到的取值范圍.【小問1詳解】，令，則，故且.當時，，故在為增函數(shù)；當時，，故在為減函數(shù).故的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.【小問2詳解】，因為，故，所以在上為增函數(shù)，故，圖像的對稱軸為，故當時，.因為存在，對任意的，總有成立，故，即，故19.黃岡地處湖北省東部，以山帶水，勝跡如云.為了合理配置旅游資源，管理部門對首次來黃岡旅游的游客進行了問卷調查，據(jù)統(tǒng)計，其中的人計劃只參觀羅田天堂寨，另外的人計劃既參觀羅田天堂寨又游覽東坡赤壁.每位游客若只參觀羅田天堂寨，則記1分；若既參觀羅田天堂寨又游覽東坡赤壁，則記2分.假設每位首次來黃岡旅游的游客計劃是否游覽東坡赤壁相互獨立，視頻率為概率.（1）從游客中隨機抽取2人，記這2人的合計得分為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）從游客中隨機抽取人，記這人的合計得分恰為分的概率為，求；（3）從游客中隨機抽取若干人，記這些人的合計得分恰為分的概率為，隨著抽取人數(shù)的無限增加，是否趨近于某個常數(shù)？若是，求出這個常數(shù)；若不是，請說明理由.【答案】（1）分布列見解析，（2）（3）趨近于常數(shù).【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到變量X的可能取值為2，3，4，結合獨立事件的概率乘法公式，求得相應的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望；（2）由這人的合計得分為分，得到，結合乘公比錯位相減法求和，即可求解；（3）記“合計得分”為事件A，“合計得分”為事件，得到，結合數(shù)列的遞推關系式，進而求得數(shù)列的通項公式，得到答案.【小問1詳解】由題意得，隨機變量的可能取值為2，3，4，可得，，.所以的分布列如下表所示：X234