青海省海東市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期理數(shù)期末考試試卷(含答案)_第1頁(yè)
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青海省海東市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期理數(shù)期末考試試卷姓名:__________班級(jí):__________考號(hào):__________題號(hào)一二三總分評(píng)分一、單選題1.已知a,b是空間中的任意兩個(gè)非零向量,則下列各式中一定成立的是()A.(a?bC.(λa)22.下列說法中正確的是()A.存在只有4個(gè)面的棱柱B.棱柱的側(cè)面都是四邊形C.正三棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等D.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形3.已知直線l經(jīng)過A(?2,33A.30° B.60° C.120° D.150°4.如圖,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直觀圖,其中B'C'=CA.2 B.22 C.4 D.5.“a<b<0”是“4a?bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知m,n是兩條不同的直線,A.若m//nB.若m//αC.若m//αD.若α⊥β,m7.在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1DA.3010 B.3030 C.3058.已知拋物線C:y2=12x,A(0,?4),點(diǎn)P在拋物線C上,記點(diǎn)P到直線x=?6的距離為dA.5 B.6 C.7 D.89.在正方體ABCD?A1B1C1D1中,A.3345 B.125 C.610.?dāng)?shù)學(xué)家歌拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(1,1),B(7,1),C(5,5),則△ABC的歐拉線方程是()A.x+y?6=0 B.x?y?2=0 C.2x?y?6=0 D.x+2y?11=011.已知A,B分別是圓C1:x2+y2?2x?4y?4=0和圓A.217+4 B.217?4 C.12.如圖,DE是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC的中位線,將△ADE沿DE折起,使得點(diǎn)A與P重合,平面PDE⊥平面BCDE,則四棱錐P?BCDE外接球的表面積是()A.52π3 B.16π C.19π 二、填空題13.已知雙曲線C:x2a2?y14.某學(xué)生到某工廠進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為一個(gè)大圓柱中挖去一個(gè)小圓柱后的剩余部分(兩個(gè)圓柱底面圓的圓心重合),大圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為20cm的正方形,小圓柱的側(cè)面積是大圓柱側(cè)面積的一半,打印所用原料的密度為1g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為15.命題“?x0∈[2,4],x0216.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難人微”.事實(shí)上,很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決,如:與(x?a)2+(y?b)2相關(guān)的代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A(x,y)與點(diǎn)B(a,b)之間距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點(diǎn),可得方程三、解答題17.已知直線l:((1)若a=2,求直線l與直線l1(2)若直線l與直線l218.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線x=23與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)A,(1)求拋物線C的方程;(2)直線l:y=3x+2與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),求19.如圖,在多面體ABCEF中,△ABC和△ACE均為等邊三角形,D是AC的中點(diǎn),EF//(1)證明:AC⊥BF.(2)若平面ABC⊥平面ACE,求二面角A?BC?E的余弦值.20.在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,AD⊥AB,E,F(xiàn)分別是棱AB,PC的中點(diǎn).(1)證明:EF//平面PAD;(2)若CD=2AB=2BC=2221.已知圓C的圓心在直線x?2y+3=0上,且圓C經(jīng)過P(2,0),(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)直線l:22.已知橢圓E:x24+y2=1的左,右頂點(diǎn)分別是A,B,且M,(1)若kAM?kAN=?(2)設(shè)點(diǎn)P是以AM為直徑的圓O1和以AN為直徑的圓O2的另一個(gè)交點(diǎn),記線段AP的中點(diǎn)為Q,若kAM

答案解析部分1.【答案】C【解析】【解答】解:對(duì)A:因?yàn)閍?b=|對(duì)B:因?yàn)?a對(duì)C:因?yàn)?λa對(duì)D:因?yàn)閍?故答案為:C.

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,逐項(xiàng)判定,即可求解.2.【答案】B【解析】【解答】對(duì)于A:棱柱最少有5個(gè)面,則A錯(cuò)誤;對(duì)于B:棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形,則B正確;對(duì)于C:正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)不一定相等,則C錯(cuò)誤;對(duì)于D:球的表面不能展開成平面圖形,則D錯(cuò)誤.故答案為:B

【分析】對(duì)于A、B:由棱柱的定義直接判斷;

對(duì)于C:由正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)不一定相等,即可判斷;

對(duì)于D:由球的表面不能展開成平面圖形即可判斷.3.【答案】C【解析】【解答】設(shè)直線l的傾斜角為α,由題意可得直線l的斜率k=43?3∵α∈[0,180°)故答案為:C.

【分析】根據(jù)題意由斜率的坐標(biāo)公式計(jì)算出斜率的取值,結(jié)合斜率公式即可求出傾斜角的大小。

4.【答案】D【解析】【解答】由題意可知△A'B其原圖形是Rt△ABC,AB=A'B'則BC=8+16故答案為:D.

【分析】由題意可知△A'B'C'是等腰直角三角形,5.【答案】A【解析】【解答】解:由a<b<0,得a?b<0,則4a?b由4a?b<1,得a?b<0,即a<b.故“a<b<0”是“故答案為:A.

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),利用充要條件的定義即可判斷答案.6.【答案】C【解析】【解答】對(duì)于A:若m//n,n//對(duì)于B:若m//α,m//β,則對(duì)于C:若m//α,對(duì)于D:若α⊥β,m//α,故答案為:C

【分析】利用已知條件結(jié)合線面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面垂直的判定定理和線線垂直的判斷方法,從而找出結(jié)論正確的選項(xiàng)。7.【答案】A【解析】【解答】如圖,由題意可知DA,DC,DD1兩兩垂直,則以D為原點(diǎn)DA,DC,DD1的方向分別為x,y,設(shè)AB=1,則A1(1,0,2),B(1,1,0),C(0,1,0),A1C=(?1,1,?2)從而cos?故異面直線A1C與BC故答案為:A.

【分析】以D為原點(diǎn)DA,DC,DD1的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz,利用向量法可求出異面直線A18.【答案】D【解析】【解答】由已知得拋物線C的焦點(diǎn)為F(3,0),準(zhǔn)線方程為x=?3,設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=?3的距離為d',則d=則由拋物線的定義可知|PA|+d=|PA|+d∵|PA|+|PF|≥|AF|=32+42=5,當(dāng)點(diǎn)∴|PA|+d≥8,故答案為:D.

【分析】先根據(jù)拋物線方程求出準(zhǔn)線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)A在拋物線外可得到|PA|十d的最小值為|AF|+3,再由兩點(diǎn)間的距離公式可得答案.9.【答案】A【解析】【解答】如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AA1的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz.

因?yàn)锳B=6,所以P(3,3,3),E(2,0,0),F(xiàn)(6,0,3),所以EF=(4,0,3),故答案為:A

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AA1的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系10.【答案】B【解析】【解答】由題意可得△ABC的重心為G(133,73).因?yàn)锳(1,1),B(7,1),所以線段AB的垂直平分線的方程為x=4.因?yàn)锳(1,1),C(5,5),所以直線AC的斜率k=1,線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3),則線段AC的垂直平分線的方程為y=?x+6.聯(lián)立x=4y=?x+6,解得x=4y=2,則△ABC的外心坐標(biāo)為故答案為:B.

【分析】根據(jù)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo),先求解出重心的坐標(biāo),然后再根據(jù)三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求解任意兩條垂直平分線的方程,聯(lián)立方程,即可算出外心的坐標(biāo),最后根據(jù)重心和外心的坐標(biāo)使用點(diǎn)斜式寫出△ABC的歐拉線方程.11.【答案】B【解析】【解答】由題意可知圓C1的圓心為C1(1,2),半徑R=3設(shè)C1關(guān)于直線l:x+y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為D(x則|PC因?yàn)锳,B分別在圓C1和圓C2上,所以|PA則|PA因?yàn)閨PD|+|P故答案為:B.

【分析】由已知可得|PA|≥|PC1|?R,|PB12.【答案】A【解析】【解答】解:分別取BC,DE的中點(diǎn)在等邊三角形ABC中,∠ABC=∠ACB=60°,DE是中位線,則△CMD,所以MB=MC=ME=MD=2,所以點(diǎn)M為四邊形BCDE的外接圓的圓心,則四棱錐P?BC?DE外接球的球心在過點(diǎn)M且垂直平面BCDE的直線上,設(shè)球心為O,由G為DE的中點(diǎn),所以PG⊥DE,因?yàn)槠矫鍼DE⊥平面BCDE,且平面PDE∩平面BCDE=DE,PG?平面PDE,所以PG⊥平面BCDE,則OM∕∕PG,設(shè)外接球的半徑為R,OM=x,MG=PG=3則R2=x所以3+(3?x)所以R=39所以四棱錐P?BC?DE外接球的表面積是4πR故答案為:A.

【分析】分別取BC,DE的中點(diǎn)M,G,易得MB=MC=ME=MD=2,則M為四邊形BCDE的外接圓的圓心,則四棱錐P?BC?DE外接球的球心在過點(diǎn)M且垂直平面BCDE的直線上,設(shè)球心為O,設(shè)外接球的半徑為13.【答案】5【解析】【解答】由題意可得雙曲線C的一條漸近線方程為y=?bax,則?則e2故雙曲線C的離心率e=b故答案為:5.

【分析】首先由雙曲線的方程即可求出漸近線的方程,由此即可得出a與b的關(guān)系,再由離心率公式以及雙曲線里a、b、c的關(guān)系,計(jì)算出結(jié)果即可。14.【答案】4500【解析】【解答】根據(jù)題意可知大圓柱的底面圓的半徑R=10cm,兩圓柱的高h(yuǎn)=20cm,設(shè)小圓柱的底面圓的半徑為r,則有2πrh=12×2πRh,即40πr=200π所以該模型的體積為V大所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為1500π×1=4500(g)。故答案為:4500。

【分析】根據(jù)題意可知大圓柱的底面圓的半徑R=10cm,兩圓柱的高h(yuǎn)=20cm,設(shè)小圓柱的底面圓的半徑為r,則有2πrh=115.【答案】(?∞,7)【解析】【解答】?x0∈[2,4],x02設(shè)f(x)=x2+3x?1,t=x?1∈[1,3],則g(t)=(t+1)又g(1)=7,g(3)=193,所以g(t)≤7,即故答案為:(?∞,7)

【分析】由題意可得?x0∈[2,4],x02?mx16.【答案】x=±【解析】【解答】因?yàn)閤2+4x+8+x2?4x+8=43,所以(x+2)2+22+(x?2)2+2故答案為:x=±

【分析】由x2+4x+8+x2?4x+8=43可得(x+2)217.【答案】(1)解:當(dāng)a=2時(shí),直線l:聯(lián)立x+2y?3=03x+4y?5=0,解得x=?1即交點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,(2)解:直線l與直線l2則2(2a?1)?(a+2)=0,解得a=4【解析】【分析】(1)利用a的值求出直線l的方程,再利用兩直線方程聯(lián)立求交點(diǎn)的方法,進(jìn)而求出直線l與直線l1:x+2y?3=018.【答案】(1)解:由題意可得A(23,?p則|OA|=p24因?yàn)閨OA|=2|OF|,所以p24+12故拋物線C的方程為x2(2)解:由(1)可知A(23,?2),則點(diǎn)A到直線l的距離聯(lián)立y=3x+2x設(shè)M(x1,y1從而y1因?yàn)橹本€l過拋物線的焦點(diǎn)F,所以|MN|=y故△AMN的面積為12【解析】【分析】(1)求出A的坐標(biāo),F(xiàn)的坐標(biāo),利用|OA|=2|OF|,求解p,可得拋物線C的方程;

(2)求出點(diǎn)A到直線l的距離,聯(lián)立直線與拋物線方程,設(shè)M(x1,y119.【答案】(1)證明:連接DE.因?yàn)锳B=BC,且D為AC的中點(diǎn),所以AC⊥BD.因?yàn)锳E=EC,且D為AC的中點(diǎn),所以AC⊥DE.因?yàn)锽D?平面BDE,DE?平面BDE,且BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDE.因?yàn)镋F//BD,所以BF?平面BDE,所以AC⊥BF.(2)解:由(1)可知DE⊥AC.因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACE,平面ABC∩平面ACE=AC,DE?平面ACE,所以DE⊥平面ABC,所以DC,DB,DE兩兩垂直.以D為原點(diǎn),分別以DC,DB,DE的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz.設(shè)AB=2.則B(0,3,0),C(1,0,設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,則n?BC=x?3y=0,平面ABC的一個(gè)法向量為m=(0,設(shè)二面角A?BC?E為θ,由圖可知θ為銳角,則cosθ=|【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由已知條件作出輔助線,結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)即可得出線線垂直,然后由線面垂直的判定定理即可得出AC⊥平面BDE,再由平行的傳遞性即可得證出結(jié)論。

(2)由已知條件即可得出線線垂直,由此建立空間直角坐標(biāo)系求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和平面BCE法向量的坐標(biāo),再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求出平面BCE的法向量的坐標(biāo),同理即可求出平面ACB的法向量;結(jié)合空間數(shù)量積的運(yùn)算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值,由此得到二面角A?BC?E的余弦值。20.【答案】(1)證明:如圖,取CD的中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G.因?yàn)镕,G分別是棱PC,CD的中點(diǎn),所以FG∥PD,又FG?平面PAD,PD?平面PAD,所以FG∥平面PAD.因?yàn)锽C∥AD,且E,G分別是棱AB,CD的中點(diǎn),所以EG∥AD,又EG?平面PAD,AD?平面PAD,所以EG∥平面PAD.因?yàn)镋G,F(xiàn)G?平面EFG,且EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面PAD.因?yàn)镋F?平面EFG,所以EF//平面PAD.(2)解:過點(diǎn)C作CH⊥AD,垂足為H,連接ED,PE,則四邊形ABCH是正方形,從而CH=AH=AB=2.因?yàn)镃D=2AB,所以CD=2從而直角梯形ABCD的面積S=(2+4)×2設(shè)點(diǎn)P到平面ABCD的距離為h,則四棱錐P?ABCD的體積V=13Sh=因?yàn)槿忮FE?PAD的體積與三棱錐P?ADE的體積相等,所以三棱錐E?PAD的體積V1因?yàn)镋F//平面PAD,所以三棱錐F?PAD的體積與三棱錐E?PAD的體積相等,所以三棱錐F?PAD的體積為2.【解析】【分析】(1)取CD的中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G,根據(jù)條件證明平面EFG//平面PAD,利用面面平行的性質(zhì)定理可證得EF//平面PAD;

(2)利用等體積的方式求解出三棱錐F?PAD的體積.21.【答案】(1)解:設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a

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