數(shù)學(xué)課堂探究：6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一利用三角函數(shù)圖象研究其他函數(shù)1．要得到y(tǒng)＝|f（x）|的圖象，只需將y＝f（x）的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到上方，即“下翻上”．2．要得到y(tǒng)＝f（｜x|）的圖象，只需將y＝f(x)的圖象在y軸右邊的部分沿y軸翻折到左邊，即“右翻左",同時(shí)保留右邊的部分．【典型例題1】作出函數(shù)y＝｜c(diǎn)osx｜，x∈R的圖象,判斷它的奇偶性，并寫出其周期和單調(diào)區(qū)間．思路分析：先作出y＝cosx的圖象，然后再依據(jù)y＝|cosx|與y＝cosx間的關(guān)系得y＝｜c(diǎn)osx｜的圖象．解：y＝｜c(diǎn)osx|＝作出函數(shù)y＝cosx的圖象后，將x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方，如圖：由圖可知y＝|cosx｜是偶函數(shù),T＝π,單調(diào)遞增區(qū)間為（k∈Z），單調(diào)遞減區(qū)間為（k∈Z)．探究二三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用1．在讀題時(shí)把問題提供的“條件"逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”，這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)建模的過程．2．在解題中，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題的常見形式有：求出三角函數(shù)的解析式；畫出函數(shù)的圖象以及利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題．【典型例題2】如圖為一個(gè)纜車示意圖，纜車半徑為4。8m，圓上最低點(diǎn)與地面的距離為0.8m，60s轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊,逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面距離是h.（1）求h與θ間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過ts后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)解析式，并求纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的最少時(shí)間是多少？解：(1）以圓心O為原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系，則以O(shè)x為始邊,OB為終邊的角為θ－，故B點(diǎn)坐標(biāo)為.∴h＝5。6＋4.8sin。（2）點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是，故ts轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為。∴h＝5。6＋4.8sin，t∈［0，＋∞）．到達(dá)最高點(diǎn)時(shí),h＝10。4m。由sin＝1,得t－＝，∴t＝30(s）．∴纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí),用的時(shí)間最少為30秒．探究三三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用在物理學(xué)中，當(dāng)物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí),可以用正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）(A〉0，ω>0)來表示運(yùn)動(dòng)的位移y隨時(shí)間x的變化規(guī)律，其中：(1）A稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅，它表示物體運(yùn)動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大位移；（2)T＝稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期，它表示物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需的時(shí)間；(3）f＝＝稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率,它表示單位時(shí)間內(nèi)物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)．【典型例題3】如圖，彈簧上掛的小球做上下振動(dòng)時(shí)，小球離開平衡位置的距離s(cm）隨時(shí)間t(s）的變化曲線是一個(gè)三角函數(shù)的圖象．(1)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間,小球往復(fù)振動(dòng)一次？（2)求這條曲線的函數(shù)解析式;（3)小球在開始振動(dòng)時(shí),離開平衡位置的位移是多少？解：（1）由圖象可知,周期T＝2＝π，所以小球往復(fù)振動(dòng)一次所需要的時(shí)間為π≈3。14s.（2）可設(shè)該曲線的函數(shù)解析式為s＝Asin（ωt＋φ）（A〉0,ω〉0，0≤φ〈2π）,t∈[0,＋∞），從圖象中可以看出A＝4,T＝2×＝π.則＝π，即ω＝2，將t＝，s＝4代入解析式，得sin＝1，解得φ＝。所以這條曲線的函數(shù)解析式為s＝4sin，t∈［0，＋∞）．(3)當(dāng)t＝0時(shí),s＝4sin＝2(cm），故小球在開始振動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移是2cm.探究四建立三角模型解決實(shí)際問題在處理曲線擬合和預(yù)測(cè)的問題時(shí)，通常需以下幾個(gè)步驟：（1)根據(jù)原始數(shù)據(jù),繪出散點(diǎn)圖;(2）通過散點(diǎn)圖，作出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線；（3）根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí)，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)解析式;(4）利用函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)條件對(duì)所給問題進(jìn)行預(yù)測(cè)，以便為決策和管理提供依據(jù)．【典型例題4】已知某海濱浴場(chǎng)海浪的高度y（米)是時(shí)間t（0≤t≤24,單位:時(shí)）的函數(shù),記作:y＝f（t)．下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù).t（時(shí)）03691215182124y（米）1。51。00。51。01.51。00.50.991。5(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)y＝f(t)的函數(shù)解析式；（2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放，請(qǐng)依據(jù)(1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)上午8：00時(shí)至晚上20：00時(shí)之間，有多少時(shí)間可供沖浪愛好者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？解：(1）由表中數(shù)據(jù)描出各點(diǎn)，并把這些點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(如圖），由圖知,可設(shè)f（t)＝Acosωt＋b，并且周期T＝12，∴ω＝＝＝。由t＝0，y＝1。5，得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1。0，得b＝1。0.∴A＝0.5,b＝1?！鄖＝cost＋1.(2）由題知,當(dāng)y>1時(shí)才可對(duì)沖浪愛好者開放，∴cost＋1〉1。∴cost>0?！?kπ－<t〈2kπ＋（k∈Z）,即12k－3〈t〈12k＋3（k∈Z)．