數(shù)學(xué)課堂探究：22直接證明與間接證明（第2課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一用反證法證明否定式命題對(duì)于“否定”型命題，從正面證明需要證明的情況太多，不但過程煩瑣而且容易遺漏，故可用反證法,一般當(dāng)題目中含有“不可能”“都不”“沒有”“不存在”等詞語時(shí)，宜采用反證法證明．【典型例題1】已知a，b,c，d∈R,且ad－bc＝1，求證a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1。思路分析：本題要證的結(jié)論是以否定形式給出的，并且從正面入手不太好處理,因此使用反證法證明．證明：假設(shè)a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1?！遖d－bc＝1，∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝ad－bc.∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0.∴2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2cd＋2bc－2ad＝0。∴(a＋b)2＋(b＋c）2＋(c＋d)2＋（a－d)2＝0.∴a＋b＝0，b＋c＝0，c＋d＝0，a－d＝0.∴a＝b＝c＝d＝0，∴ad－bc＝0，這與ad－bc＝1矛盾,從而假設(shè)不成立，原命題成立,即a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1成立．規(guī)律小結(jié)反證法的具體步驟是:（1)提出假設(shè)：作出與求證的結(jié)論相反的假設(shè)，否定結(jié)論；（2)推出矛盾:由假設(shè)出發(fā)，推出與公理、定義、已知定理或題設(shè)相矛盾的結(jié)果；（3)肯定結(jié)論：出現(xiàn)矛盾是因?yàn)椤胺穸ńY(jié)論”所致，由此得出原命題成立．探究二用反證法證明“至多"“至少”型命題“至多”“至少”問題,直接證明比較復(fù)雜,可用反證法證明,體現(xiàn)了“正難則反”的思想方法．【典型例題2】已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．思路分析:eq\x（假設(shè)三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn))→eq\x(演繹推理，利用Δ≤0得出矛盾)→eq\x(原命題得證)證明:假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．由y＝ax2＋2bx＋c,y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝（2c）2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0。同向不等式求和得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.∴（a－b）2＋（b－c)2＋（a－c)2≤0。∴a＝b＝c。這與題設(shè)a,b,c互不相等矛盾,因此假設(shè)不成立，從而命題得證．溫馨提示反證法常用的否定形式如下表所示：原語句是都是＞＜至多有一個(gè)至少有一個(gè)否定形式不是不都是≤≥至少有兩個(gè)一個(gè)都沒有原語句對(duì)任意x都成立存在某個(gè)x成立至少有n個(gè)成立至多有n個(gè)成立p或qp且q否定形式存在某個(gè)x不成立對(duì)任意x都不成立至多有（n－1)個(gè)成立至少有（n＋1）個(gè)成立非p且非q非p或非q探究三用反證法證明“唯一”型命題證明“唯一性"問題的方法：“唯一性”包含“有一個(gè)”和“除了這個(gè)沒有另外一個(gè)”兩層意思．證明后一層意思時(shí)，采用直接證法往往會(huì)相當(dāng)困難，因此一般情況下都采用間接證法，即用反證法(假設(shè)“有另外一個(gè)"，推出矛盾)或同一法(假設(shè)“有另外一個(gè)"，推出它就是“已知那一個(gè)”)證明,而用反證法有時(shí)比用同一法更方便．【典型例題3】證明方程2x＝3有且只有一個(gè)根．證明：∵2x＝3，∴x＝log23.這說明方程有一個(gè)根．下面用反證法證明方程2x＝3的根是唯一的．假設(shè)方程2x＝3有兩個(gè)根b1，b2（b1≠b2)，則＝3,＝3。兩式相除,得。如果b1－b2＞0，則＞1，這與相矛盾；如果b1－b2＜0，則＜1,這也與相矛盾．因此b1－b2＝0，則b1＝b2,這就同b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于兩個(gè),同樣可推出矛盾．故2x＝3有且只有一個(gè)根．注意“有且只有”表示“存在且唯一”．因此,在證明此類問題時(shí)要分別從存在性和唯一性兩方面來考慮，而證明唯一性時(shí)，通常使用反證法．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)漏用假設(shè)的結(jié)論致錯(cuò)【典型例題4】已知實(shí)數(shù)p滿足不等式(2p＋1）（p＋2)＜0,用反證法證明：關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實(shí)根．錯(cuò)解：假設(shè)方程x2－2x＋5－p2＝0有實(shí)根．由已知實(shí)數(shù)p滿足不等式（2p＋1)（p＋2）＜0，解得－2＜p＜－eq\f（1,2）。又關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0的根的判別式Δ＝4(p2－4)，∵－2＜p＜－eq\f(1,2)，∴Δ＜0。即關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實(shí)根．錯(cuò)因分析：反證法證明問題的步驟為假設(shè)結(jié)論不成立，經(jīng)過推理得出矛盾，否定假設(shè),肯定結(jié)論，而此解法沒有用到假設(shè)的結(jié)論，不是反證法．正解：假設(shè)方程x2－2x＋5