數(shù)學(xué)課堂探究：合情推理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一歸納推理歸納推理是發(fā)現(xiàn)新事物的推理方法，歸納的方法是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一條重要途徑,運(yùn)用不完全歸納推理，通過觀察、試驗(yàn)、從特例中歸納出一般結(jié)論,哥德巴赫猜想就是典型歸納推理的應(yīng)用，它能在某種程度上推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展．【典型例題1】已知數(shù)列{an｝滿足an＋1＝an－an－1(n≥2），a1＝a，a2＝b，設(shè)Sn＝a1＋a2＋…＋an，則下列結(jié)論正確的是（)A．a(chǎn)100＝－a,S100＝2b－a B．a(chǎn)100＝－b，S100＝2b－aC．a(chǎn)100＝－b，S100＝b－a D．a(chǎn)100＝－a,S100＝b－a解析:∵a1＝a，a2＝b，a3＝b－a，a4＝a3－a2＝－a，a5＝a4－a3＝－b，a6＝a5－a4＝a－b,a7＝a，a8＝b，……可得數(shù)列具有周期性，每連續(xù)6項(xiàng)為一個(gè)周期．∴a100＝a4＝－a,S100＝S4＝2b－a。答案：A點(diǎn)評(píng)解答選擇題時(shí)，根據(jù)題干提供的條件，用演繹推理或計(jì)算很難確定選項(xiàng)時(shí)，我們可以通過考查符合條件的某個(gè)(或某些）特殊情形，并歸納猜想出一般性結(jié)論的選項(xiàng),從而否定另一些結(jié)論的選項(xiàng)，輕松確定正確選項(xiàng)．探究二類比推理進(jìn)行類比推理，關(guān)鍵是明確出兩類事物在某些方面的類似特征,類比推理也是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一條重要途徑，尤其在學(xué)習(xí)過程中,學(xué)習(xí)新知識(shí)，要充分聯(lián)系以前學(xué)過的舊知識(shí),具有共性的知識(shí)是一脈相承的，這其實(shí)就是類比推理在實(shí)踐中的運(yùn)用．【典型例題2】已知橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線eq\f（x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．思路分析:充分運(yùn)用類比推理可知在雙曲線中kPM·kPN為定值，然后利用解析法證明即可．解：類似的性質(zhì)為：若M1,N1是雙曲線eq\f（x2，a2)－eq\f（y2,b2)＝1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P1是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線P1M1，P1N1的斜率都存在，并記為kP1M1，kP1N1時(shí)，那么kP1M1與kP1N1之積是與點(diǎn)P1的位置無關(guān)的定值．設(shè)點(diǎn)M1，P1的坐標(biāo)為(m，n)，(x,y)，則N1（－m，－n)．因?yàn)辄c(diǎn)M1（m，n)在已知的雙曲線上，所以n2＝eq\f（b2，a2）m2－b2.同理,y2＝eq\f（b2,a2)x2－b2.則kP1M1·kP1N1＝eq\f（y－n，x－m)·eq\f（y＋n,x＋m)＝eq\f（y2－n2，x2－m2）＝eq\f(b2，a2）·eq\f（x2－m2，x2－m2）＝eq\f（b2，a2）(定值）．點(diǎn)評(píng)在學(xué)習(xí)雙曲線這節(jié)內(nèi)容時(shí)，要注意與橢圓的知識(shí)進(jìn)行類比，以便找出它們之間的共性．探究三推理的綜合應(yīng)用合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測(cè)某些結(jié)果的推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法．在解決問題的過程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)．當(dāng)然對(duì)于結(jié)論正確與否，要進(jìn)行嚴(yán)格證明才行．【典型例題3】有一個(gè)雪花曲線序列,如圖：其產(chǎn)生規(guī)則是:將正三角形P0的每一邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向外作等邊三角形,再擦去中間的那條線段，便得到第1條雪花曲線P1；再將P1的每條邊三等分，按照上述規(guī)則，便得到第2條雪花曲線P2；……;把Pn－1的每條邊三等分，按照上述規(guī)則,便得到第n條雪花曲線Pn(n＝1，2,3，4，…)．(1)設(shè)P0的周長(zhǎng)為L(zhǎng)0，求Pn的周長(zhǎng)；（2）設(shè)P0的面積為S0，求Pn的面積．解：（1)雪花曲線序列中，前后兩條曲線之間的基本關(guān)系如下圖所示，易得Ln＝eq\f(4,3）Ln－1，n∈N＋，所以Ln＝eq\f（4,3)Ln－1＝…＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4,3）)）nL0，n∈N＋.(2)由雪花曲線的構(gòu)造規(guī)則比較P0和P1，易得P1是P0在每條邊增加了一個(gè)小等邊三角形，其面積為eq\f(S0，32),而P0有3條邊，故有S1＝S0＋3·eq\f（S0,32）＝S0＋eq\f(S0,3).再比較P2與P1，可知P2是P1在每條邊上增加了一個(gè)小等邊三角形,其面積為eq\f（1,32）·eq\f(S0，32)，而P1有3×4條邊，故有S2＝S1＋3×4×eq\f（S0,34）＝S0＋eq\f（S0,3)＋eq\f(4S0，33）.類似地，有S3＝S2＋3×42×eq\f（S0,36)＝S0＋eq\f（S0,3)＋eq\f(4S0，33）＋eq\f(42S0，35)，故可猜想Sn＝S0＋eq\f（S0,3)＋eq\f（4S0，33）＋eq\f(42S0，35）＋eq\f（43S0,37)＋…＋eq\f(4n－1S0,32n－1）＝S0＋eq\f(\f(1，3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（4，9）)）n）),1－\f（4，9）)S0＝eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(8,5）－\f（3,5）\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（4,9)））n））S0.探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：在進(jìn)行類比推理時(shí)，由于類比的相似性少或被一些表面現(xiàn)象所迷惑從而導(dǎo)致類比結(jié)論的錯(cuò)誤．解決此類問題的關(guān)鍵是先充分認(rèn)識(shí)兩個(gè)系統(tǒng)的相同(或相似)之處,充分考慮其中的本質(zhì)聯(lián)系，再進(jìn)行類比．【典型例題4】請(qǐng)用類比推理完成下表：平面空間三角形的面積等于任意一邊的長(zhǎng)度與該邊上高的乘積的eq\f(1,2)三棱錐的體積等于任一底面的面積與該底面上高的乘積的eq\f（1,3）三角形的面積等于其內(nèi)切圓半徑與三角形周長(zhǎng)乘積的eq\f(1，2)錯(cuò)解一：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐各棱長(zhǎng)之和的乘積的eq\f(1,3)。錯(cuò)解二:三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐各面面積之和的乘積的eq\f(1，2).錯(cuò)因分析：錯(cuò)解一“三角形周長(zhǎng)”的類比錯(cuò)誤，錯(cuò)解二“eq\f(1,2)”的類比錯(cuò)誤．三角形的周長(zhǎng)“a＋b＋c”應(yīng)類比為三棱錐各面面積的和“S1＋S2＋S3＋S4”；“eq