數(shù)學(xué)課堂探究：回歸分析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一求回歸直線方程在進行線性回歸分析時，若給出一組數(shù)據(jù),一般要畫出散點圖或求出兩個變量的相關(guān)系r數(shù),確定二者之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系；若已具備線性相關(guān)關(guān)系，則利用公式求出eq\o（a，\s\up6（^）)和eq\o（b，\s\up6(^）），再寫出回歸直線方程;最后一般要根據(jù)得出的回歸直線方程進行預(yù)測或控制．【典型例題1】某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20042006200820102012需求量/萬噸236246257276286（1）利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程eq\o(y，\s\up6（^))＝eq\o（b，\s\up6（^)）x＋eq\o（a，\s\up6（^));（2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地2014年的糧食需求量．思路分析：(1）利用公式eq\o(b，\s\up6(^)）＝eq\f(∑xiyi－n\x\to（x）\x\to（y)，∑x\o\al（2，）i－n\x\to（x)2),eq\o（a，\s\up6（^))＝eq\x\to（y)－eq\o（b,\s\up6(^))eq\x\to(x）來計算回歸系數(shù)．（2)獲得回歸直線方程后，取x＝2014代入，即得所求．解：（1）由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來配回歸直線方程．為此對數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份－2008－4－2024需求量－257－21－1101929對預(yù)處理后的數(shù)據(jù),容易算得eq\x\to(x)＝0，eq\x\to(y)＝3。2，eq\o（b,\s\up6（^））＝eq\f(（－4）×（－21)＋（－2)×（－11)＋2×19＋4×29,42＋22＋22＋42)＝eq\f（260,40）＝6。5,eq\o(a,\s\up6（^）)＝eq\x\to(y)－eq\o(b，\s\up6（^)）eq\x\to（x)＝3.2。由上述計算結(jié)果，知所求回歸直線方程為eq\o（y，\s\up6（^))－257＝b（x－2008）＋a＝6.5(x－2008)＋3.2.即eq\o（y,\s\up6（^))＝6。5（x－2008）＋260。2.①（2）利用直線方程①，可預(yù)測2014年的糧食需求量為6．5×（2014－2008)＋260。2＝6.5×6＋260。2＝299。2（萬噸)．點評知道y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,就無須進行相關(guān)性檢驗,否則,應(yīng)首先進行相關(guān)性檢驗．如果本身兩個變量不具有相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著,即使求出回歸方程也是毫無意義的，而且用其進行的預(yù)測也是不可信的．探究二相關(guān)性檢驗與回歸分析的綜合運用若給出一組數(shù)據(jù),不明確變量x與y的相關(guān)性，要采用散點圖或利用相關(guān)系數(shù)r來進行判斷;若無線性相關(guān)關(guān)系，則沒有求回歸直線方程的必要；若具有線性相關(guān)關(guān)系，則如同探究一進行運算．【典型例題2】為了考察兩個變量y與x的線性相關(guān)性，測得x,y的13對數(shù)據(jù)，若y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，則相關(guān)系數(shù)|r|的取值范圍是__________．解析：查表得顯著性水平0.05，自由度13－2＝11相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05＝0.553。所以y與x若具有線性相關(guān)關(guān)系，則相關(guān)系數(shù)|r|的取值范圍是(0.553,1］．答案：(0。553,1］【典型例題3】要分析學(xué)生高一入學(xué)時的數(shù)學(xué)成績對高一年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有什么影響,在高一年級學(xué)生中隨機抽取10名學(xué)生,分析他們高一入學(xué)的數(shù)學(xué)成績(x）和高一期末考試數(shù)學(xué)成績（y)（如下表）：編號12345678910x63674588817152995876y65785282928973985675(1)畫出散點圖；（2）計算高一入學(xué)數(shù)學(xué)成績（x)與高一期末考試數(shù)學(xué)成績（y）的相關(guān)系數(shù)；（3)對變量x與y進行相關(guān)性檢驗，如果x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求出y對x的線性回歸方程；（4)若某學(xué)生高一入學(xué)數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，試估計他高一期末考試數(shù)學(xué)成績．思路分析：(1)建立坐標系描點即可．(2)借助于散點圖可大致判定兩變量間的相關(guān)性，用相關(guān)系數(shù)公式可準確判定兩變量間的相關(guān)程度．(3)先作統(tǒng)計假設(shè),由小概率0.05與n－2在附表中查得相關(guān)系數(shù)的臨界值r0.05,若｜r｜＞r0。05,則兩變量線性相關(guān)，否則兩變量不具有線性相關(guān)性．若兩變量相關(guān)，利用公式求出線性回歸方程．（4)直接利用線性回歸方程預(yù)測．解:(1）高一入學(xué)數(shù)學(xué)成績（x)與高一期末考試數(shù)學(xué)成績（y）兩組變量的散點圖如圖，從散點圖看,這兩個變量間具有線性相關(guān)關(guān)系．（2）因為eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)（63＋67＋…＋76）＝70，eq\x\to(y）＝eq\f(1,10)（65＋78＋…＋75）＝76，∑(xi－eq\x\to(x))（yi－eq\x\to（y））＝1894，∑（xi－eq\x\to（x）)2＝2474，∑(yi－eq\x\to（y））2＝2056,因此求得相關(guān)系數(shù)為：r＝eq\f(∑(xi－\x\to(x）)(yi－\x\to(y））,\r（∑(xi－\x\to（x))2）\r(∑（yi－\x\to(y)）2）)＝0.839786.結(jié)果說明這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度是比較高的．（3)查表求得顯著性水平0.05和自由度10－2＝8的相關(guān)系數(shù)臨界值r0。05＝0。632，因｜r｜＞r0.05，這說明高一入學(xué)數(shù)學(xué)成績與高一期末考試數(shù)學(xué)成績之間存在線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)線性回歸方程為eq\o(y，\s\up6(^)）＝eq\o(a,\s\up6(^）)＋eq\o(b，\s\up6(^))x，在兩組變量具有顯著的線性相關(guān)關(guān)系的情況下，求得eq\o（b，\s\up6（^）)＝0.76556,eq\o(a，\s\up6（^))＝eq\x\to（y）－eq\o(b，\s\up6（^)）eq\x\to(x）＝22.4108.因此所求的線性回歸方程是eq\o（y,\s\up6（^）)＝22.4108＋0。76556x。(4)若某學(xué)生高一入學(xué)數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，代入上式可求得，eq\o(y,\s\up6（^)）≈84分，即這個學(xué)生高一期末考試數(shù)學(xué)成績的預(yù)測值為84分．點評對于題目中數(shù)據(jù)的處理可嘗試利用計算機中的有關(guān)應(yīng)用程序來幫助解決．探究三非線性回歸分析實際問題中的兩個變量很多時候其實不是線性相關(guān)關(guān)系,要進行變量代換,轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，再進行處理．建立回歸模型需要確定回歸方程的類型,這需要利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的各種函數(shù)圖象的特征來進行判斷：在一般情況下，樣本點大致分布在一條直線附近，利用線性回歸模型來解決問題；如果數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，則選用非線性回歸模型,常見的非線性回歸模型有：反比例函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型等．【典型例題4】為了研究某種細菌繁殖個數(shù)y隨時間x的變化情況，收集數(shù)據(jù)如下:天數(shù)x/天123456繁殖個數(shù)y/個612254995190（1）用天數(shù)作解釋變量,繁殖個數(shù)作預(yù)報變量，作出上述數(shù)據(jù)的散點圖;(2）試求出預(yù)報變量對解釋變量的回歸方程．解:(1)根據(jù)數(shù)據(jù)得散點圖,如圖所示．(2）根據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以發(fā)現(xiàn)樣本點不是分布在某一條直線附近，而是分布在一條曲線附近．根據(jù)已學(xué)的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一指數(shù)型函數(shù)y＝c1ec2x(c1＞0,c2＞0）附近，則將函數(shù)兩邊取對數(shù)得lny＝c2x＋lnc1，則令u＝lny，得u＝c2x＋lnc1,根據(jù)數(shù)據(jù)可得x和u的數(shù)據(jù)表：x123456u1。792。483.223。894。555.25由上面x和u的數(shù)據(jù)表可得x和u的散點圖,如下圖所示．從圖中可以發(fā)現(xiàn)x和u之間有很強的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸模型來擬合它們之間的關(guān)系．根據(jù)公式得到回歸直線方程為eq\o(u，\s\up6(^))＝0.6909x＋1.112,即lneq\o（y,\s\up6（^））＝0。6909x＋1.112，則得eq\o（y,\s\up6（^)）＝e0.6909x＋1.112.故我們可以利用eq\o（y,\s\up6(^)）＝e0。6909x＋1.112來描述天數(shù)x與繁殖個數(shù)y之間的關(guān)系．探究四易錯辨析易錯點：不理解公式中的結(jié)構(gòu)形式而使計算出錯【典型例題5】英語老師為了了解學(xué)生的詞匯量，設(shè)計了一份包含100個單詞的試卷,現(xiàn)抽取15名學(xué)生進行測試，得到學(xué)生掌握試卷中單詞個數(shù)x與該學(xué)生實際掌握單詞量y的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下：x6165706983755873y20302140227022502240222019702330x63727168656774y2100230023002200220022002370（1)對變量y與x進行相關(guān)性檢驗;(2)如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系,則①求y對x的回歸直線方程；②求x對y的回歸直線方程．錯解：（1）由計算器求下列數(shù)據(jù):i12345678xi6165706983755873yi20302140227022502240222019702330xiyi123830139100158900155250185920166500114260170090i9101112131415xi63727168656774yi2100230023002200220022002370xiyi132300165600163300149600143000147400175380eq\x\to(x）＝68.93，eq\x\to(y）＝2208，∑xeq\o\al(2，）i＝71822,∑yeq\o\al（2,)i＝73298600，∑xiyi＝2290430于是∑xeq\o\al(2，）i－15eq\x\to（x）＝71822－15×68。93＝70788.05,∑yeq\o\al(2,)i－15eq\x\to(y）＝73298600－15×2208＝73265480，∑xiyi－15eq\x\to（x）eq\x\to（y）＝2290430－15×68。93×2208＝7468。4，r＝eq\f（∑xiyi－15\x\to(x）\x\to（y),\r（（∑x\o\al（2,)i－15\x\to（x)）(∑y\o\al(2,)i－15\x\to（y）)））＝eq\f(7468.4，\r（70788.05×73265480））＝0。0033。查相關(guān)系數(shù)檢驗的臨界值表，得r0。05(15－2)＝0.514.由于｜r|＜r0.05，故y與x無線性相關(guān)關(guān)系．(2)由（1）得x與y的回歸直線方程不存在．錯因分析：本題由于對公式r＝eq\f(∑xiyi－n\x\to（x)\x\to(y)，\r((∑x\o\al（2,）i－n\x\to（x)2)（∑y\o\al（2，)i－n\x\to（y)2）））的錯誤記憶而導(dǎo)致錯誤．正解：(1)列表并用計算器進行計算：i12345678xi6165706983755873yi20302140227022502240222019702330xiyi123830139100158900155250185920166500114260170090i9101112131415xi63727168656774yi2100230023002200220022002370xiyi132300165600163300149600143000147400175380eq\x\to(x）＝68.93，eq\x\to(y）＝2208，∑xeq\o\al(2,）i＝71822，∑yeq\o\al（2,）i＝73298600，∑xiyi＝2290430于是∑xeq\o\al(2,）i－15eq\x\to（x)2＝71822－15×68.932＝551。83，∑yeq\o\al（2,）i－15eq\x\to(y)2＝73298600－15×22082＝169640，∑xiyi－15eq\x\to（x）eq\x\to(y）＝2290430－15×68。93×2208＝7468.4,r＝eq\f(∑xiyi－15\x\to（x)\x\to(y），\r（(∑x\o\al(2，）i－15\x\to(x)2）(∑y\o\al(2,）i－15\x\to（y）2）））＝eq\f(7468.4,\r（551。83×169640））＝0.772.查相關(guān)系數(shù)檢驗的臨界值表，得r0.05(15－2)＝0.514.由于|r|＞r0.05，故y與x有線性相關(guān)關(guān)系．（2）①設(shè)y對x的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^））＝eq\o(b,\s\up6（^))x＋eq\o(a,\s\up6(^）），則eq\o（b,\s\up6（^))＝eq\f（∑xiyi－15\x\to(x）\x\to(y）,∑x\o\al（2，)i－15\x\to（x)2）＝eq\f(7468.4,551。83)＝13.5，eq\o（a,\s\up6（^））＝eq\x\to（y）－eq\o(b,\s\up6（^))eq\x\to(x)＝2208－13。5×68.93＝1277.445,即所求的y對x的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝13.5x＋1277。445.②設(shè)x對y的回歸直線方程為eq\