數(shù)學課堂探究：三角函數(shù)的積化和差與和差化積

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一求值問題1．只有同名三角函數(shù)和(或差）才能化為積的形式．2．通常情況下遇積化和差，遇和差化積．【例1】求下列各式的值：（1)；(2）sin20°cos70°＋sin10°sin50°．分析：兩題符合公式的形式,直接運用公式即可．解：(1)＝＝tan15°＝＝2－eq\r(3）．（2)sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝(sin90°－sin50°）－(cos60°－cos40°）＝－sin50°＋cos40°＝．探究二化簡問題【例2】化簡下列各式：（1);（2）．解:(1)原式＝＝＝＝tan．(2）原式＝＝＝＝．評注問題（1）是對復雜的含不同角、不同函數(shù)的分式進行化簡，它的化簡過程是第一次化積出現(xiàn)特殊角，從而分子、分母都各為兩項，再進行第二次化積,然后約分，達到化簡目的．問題（2）的分子和分母均為三項，認真觀察其角度特點，做好“配對”,然后化積,再與第三項“配對”有因子提出，再分子、分母約分,最后達到化簡的目的．探究三證明恒等式【例3】求證：sinαsin（60°＋α)sin(60°－α）＝sin3α．分析：根據(jù)積化和差公式將左邊變形整理,進行角的統(tǒng)一．證明：左邊＝sinα·(cos120°－cos2α)＝sinα＋sinαcos2α＝sinα＋［sin3α＋sin(－α)］＝sinα＋sin3α－sinα＝sin3α．評注本題考查積化和差公式的應用，本題證明的關鍵是向右邊目標角的轉(zhuǎn)化與統(tǒng)一．探究四與三角函數(shù)有關的綜合問題【例4】求函數(shù)y＝sinx的最值．解:y＝sinx＝sinx·2cossin＝－sinxcos＝－＝－sin＋，因為sin∈［－1，1］,所以當sin＝－1，即x＝kπ－，k∈Z時，ymax＝;當sin＝1，即x＝kπ＋,k∈Z時,ymin＝－．探究五三角形中的應用【例5】在△ABC中，cosA＋cosB＝sinC，求證：△ABC是直角三角形．分析:看到和，想到和差化積,可以得到cos與cos的關系，再利用半角公式可以得出關于cosA和cosB的因式．證明：因為在△ABC中,A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B）＝cosA＋cosB．因為cosA＋cosB＝2coscos,所以2sincos＝2coscos．因為cos＝cos＝sin≠0，所以sin＝cos．兩邊平方，得sin2＝cos2，所以＝．所以cos(A＋B)＋cos(A－B)＝0．所以2cosAcosB＝0，所以cosA＝0或cosB＝0．因為A,B為△ABC的內(nèi)角,所以A，B中必有一個是直角．所以△ABC為直角三角形．反思本題證明三角形為直角三角形,既然沒有邊的