簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題附答案)

1、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念.2.了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.了知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件關(guān)于變量x,y的一次不等式(組)線性約束條件關(guān)于x,y的一次不等式(組)目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的關(guān)于變量x,y的函數(shù)解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于變量x,y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x,y)可行域由所有一行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題知識(shí)點(diǎn)二線性規(guī)劃問題1 .目標(biāo)函數(shù)的

2、最值線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(bw0)對(duì)應(yīng)的斜截式直線方程是y=，*+東在y軸上的截距是東當(dāng)z變化時(shí)，方程表示一組互相平行的直線.當(dāng)b>0,截距最大時(shí)，z取得最大值,截距最小時(shí)，z取得最小值;當(dāng)b<0,截距最大時(shí)，z取得最小值,截距最小時(shí)，z取得最大值.2 .解決簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題的一般步驟在確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，解決簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題的步驟可以概括為：“畫、移、求、答”四步，即，(1)畫：根據(jù)線性約束條件，在平面直角坐標(biāo)系中，把可行域表示的平面圖形準(zhǔn)確地畫出來，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的無限大的平面區(qū)域.(2)移：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把目標(biāo)函數(shù)表

3、示的直線平行移動(dòng)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)(或邊界)便是最優(yōu)解.(3)求：解方程組求最優(yōu)解，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.(4)答：寫出答案.知識(shí)點(diǎn)三簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題的實(shí)際應(yīng)用1 .線性規(guī)劃的實(shí)際問題的類型(1)給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源，使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；(2)給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源量最小.常見問題有：物資調(diào)動(dòng)問題例如，已知兩煤礦每年的產(chǎn)量，煤需經(jīng)兩個(gè)車站運(yùn)往外地，兩個(gè)車站的運(yùn)輸能力是有限的，且已知兩煤礦運(yùn)往兩個(gè)車站的運(yùn)輸價(jià)格，煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)動(dòng)方案，才能使總運(yùn)費(fèi)最??？產(chǎn)品安排問題例如，某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種

4、產(chǎn)品，每生產(chǎn)一個(gè)單位的甲種或乙種產(chǎn)品需要的A、B、C三種材料的數(shù)量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的，這個(gè)工廠在每個(gè)月中應(yīng)如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能使每月獲得的總利潤(rùn)最大？下料問題例如，要把一批長(zhǎng)鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管，應(yīng)怎樣下料能使損耗最小？2 .解答線性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用題的步驟(1)模型建立：正確理解題意，將一般文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，這需要在學(xué)習(xí)有關(guān)例題解答時(shí)，仔細(xì)體會(huì)范例給出的模型建立方法.(2)模型求解：畫出可行域，并結(jié)合所建立的目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)，選定可行域中的特殊點(diǎn)作為最優(yōu)解.(3)模型應(yīng)用：將求解出來的結(jié)論反饋到具體的實(shí)例中，設(shè)計(jì)出最佳的方案.了題型探究

5、重點(diǎn)突破題型一求線性目標(biāo)函數(shù)的最值y<2,例1已知變量x,y滿足約束條件，x+yR1,則z=3x+y的最大值為()ixyw1,A.12B.11C.3D.1答案B解析首先畫出可行域，建立在可行域的基礎(chǔ)上，分析最值點(diǎn)，然后通過解方程組得最值點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可.如圖中的陰影部分，即為約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，當(dāng)直線y=3x+z經(jīng)|y=2,x=3,過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值.由?f此日z=3x+y=11.|xy=1y=2,跟蹤訓(xùn)練1若z = y ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一 ，+y-2”(1)x,y滿足約束條件ix-2y-2<0!.2x-y+2>0則實(shí)數(shù)a的值為()1 1A.2或一1B.2或

6、2C.2或1D.2或1"x-y+1<0,(2)若變量x,y滿足約束條件"；x+2y-8<0,則z=3x+y的最小值為lx>0,答案(1)D(2)1解析(1)如圖，由y=ax+z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當(dāng)a>0時(shí)，要使z=yax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a=2；當(dāng)a<0時(shí)，要使z=yax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a=-1.(2)由題意，作出約束條件組成的可行域如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=3x+y,即y=3x+z過點(diǎn)(0,1)時(shí)z取最小值1.題型二非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題xy2w0,例2設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件qx+2y-4>0

7、,求,2y-3<0,x2+y2的最小值；解如圖，畫出不等式組表示的平面區(qū)域ABC,加!令u=x2+y；其幾何意義是可行域 ABC內(nèi)任一點(diǎn)（x, y）與原點(diǎn)的距離的平方.x+ 2y 4=0,過原點(diǎn)向直線x+ 2y 4 = 0作垂線y=2x,則垂足為y= 2x的解，即備8），x+ 2y-4=0,又由“2y-3=0,OC|=所以垂足在線段AC的延長(zhǎng)線上，故可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為_,13=2，所以，x2+y2的最小值為13.（2）令v=y,其幾何意義是可行域ABC內(nèi)任一點(diǎn)（x,y）與原點(diǎn)相連的直線l的斜率為v,即vy0=.由圖形可知，當(dāng)直線l經(jīng)過可行域內(nèi)點(diǎn)C時(shí)，v最大,x-0由（i）

8、知c（1,2）,所以vmax=3所以y的最大值為2.x>0,跟蹤訓(xùn)練2已知x,y滿足約束條件y>0,則(x+3)2+y2的最小值為展十戶1,答案10解析畫出可行域(如圖所示).(x+3)2+y2即點(diǎn)A(3,0)與可行域內(nèi)點(diǎn)(x,y)之間距離的平方.顯然AC長(zhǎng)度最小，AC2=(0+3)2+(10)2=10,即(x+3)2+y2的最小值為10.題型三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用例3某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每

9、天消耗A,B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是多少？xx+2y<12,2x+y<12,解設(shè)每天分別生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，乙產(chǎn)品y桶，相應(yīng)的利潤(rùn)為z元，于是有x>0,y>0,xCN,yCN,z=300x+400y,在坐標(biāo)平面內(nèi)Hl出該不等式組表示的平面區(qū)域及直線300x+400y=0,平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(4,4)時(shí)，相應(yīng)直線在y軸上的截距達(dá)到最大，此時(shí)z=300x+400y取得最大值，最大值是z=300X4+400X4=2800,即該公司可獲得的最大利潤(rùn)是2800元.反思與感悟線性規(guī)劃解決實(shí)際

10、問題的步驟：分析并根據(jù)已知數(shù)據(jù)列出表格；確定線性約束條件；確定線性目標(biāo)函數(shù)；畫出可行域；利用線性目標(biāo)函數(shù)（直線）求出最優(yōu)解;實(shí)際問題需要整數(shù)解時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整，以確定最優(yōu)解.希望使桌子和椅子的總問桌子、椅子各買多少跟蹤訓(xùn)練3預(yù)算用2000元購(gòu)買單價(jià)為50元的桌子和20元的椅子,數(shù)盡可能的多，但椅子數(shù)不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍,才行？解設(shè)桌子、椅子分別買x張、y把，目標(biāo)函數(shù)z=x+v,把所給的條件表示成不等式組，即約束條件為50x+20y<2 000,y>x,yywi.5x,Ix>0,xCN*,'y>0,yCN*.50x+20y=2 000, 由fy=x

11、,解得200 x= 7 '200片彳，所以a點(diǎn)的坐標(biāo)為ij-0,270/50x+20y=2000,x=25,由f解得775ly=i.5x,y="2"，200T /752 /所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為25,75；所以滿足條件的可行域是以a!270,0（0,0）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域（如圖）.由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)z=x+y在可行域內(nèi)的最優(yōu)解為B”5,75但注意到xCN*,yCN*,x=25,故取y=37.故買桌子25張，椅子37把是最好的選擇.向杳閆綱-當(dāng)堂檢測(cè)1.若直線y=2x上存在點(diǎn)（x, y）滿足約束條件x+ y-3<0,$x 2y-3<0, x> m,則實(shí)數(shù)

12、m的最大值為（3A.-1B.1C.2D.2r5x-11y>-22,2x+3y>9,2.某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y需滿足約束條件<則z2x<11,LxCN*,yCN*,=10x+10y的最大值是（）A.80B.85C.90D.95y<1,3.已知實(shí)數(shù)x,y滿足ix<1,則z=x2+y2的最小值為母+y>1,匚謖時(shí)精練一、選擇題則2x- y的最小值為（）1.若點(diǎn)（x,y）位于曲線y=|x|與y=2所圍成的封閉區(qū)域,A. 6B. - 2C. 0D. 22 .設(shè)變量x, y滿足約束條件A. 4 B. 0x> 1 ,3 .實(shí)數(shù)x, y滿足加&

13、gt;0, 星y > 0,A. -1,0C. -1, i )x-y>0,4.若滿足條件，x+y2W0, ,y>ax> 1,ix+y-4< 0,則目標(biāo)函數(shù)x 一 3y+ 4 w 0,4C.oD. 43則2=匕匚的取值范圍是( xB. (8, 0D. -1,1)z=3x- y的最大值為（）的整點(diǎn)（x, y）（整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）恰有9則整數(shù)a的值為（）A. - 3 B. - 2 C. 1D. 0目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為7,最小值為1,則b,B. - 1 , - 3D. - 1, -21,5 .已知x,y滿足3x+y<4,、x+by+c<0

14、,的值分別為（）A.-1,4C.-2,-1x+y>5,6 .已知x,y滿足約束條件ix-y+5>0,使z=x+ay（a>0）取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，“3,則a的值為（）A.-3B.3C.1D.1二、填空題x<2,7 .若x,y滿足約束條件4yW2,則2=x+2y的取值范圍是.母+y>2,8 .已知1Wx+yW4且2WxyW3,則z=2x3y的取值范圍是（答案用區(qū)間表示）0WxW廬9 .已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組（yW2,給定.若M（x,y）為D、xw2丫上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（W，1）,則z=OMoA的最大值為.10.滿足岡+|y|W2的點(diǎn)（

15、x,y）中整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)）有個(gè).x-y+2>0,11,設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組i2x-y-5<0,則z=|x+2y4的最大值為.、x+y-40,三、解答題x4y<3,12.已知x,y滿足約束條件3x+5yW25,目標(biāo)函數(shù)z=2x-y,求z的最大值和最小值.x>1,x+y-11>0,13,設(shè)不等式組i3x-y+3>0,表示的平面區(qū)域?yàn)镈.若指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象上存在區(qū)域,5x-3y+9<0D上的點(diǎn)，求a的取值范圍.14.某家具廠有方木料90m3,五合板600m2,準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3,五合板2m2,生產(chǎn)

16、每個(gè)書櫥需要方木料0.2m3,五合板1m2,出售一張方桌可獲利潤(rùn)80元，出售一個(gè)書櫥可獲利潤(rùn)120元.(1)如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤(rùn)多少？(2)如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤(rùn)多少？(3)怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤(rùn)最大？當(dāng)堂檢測(cè)答案1 .答案B解析如圖，當(dāng)y=2x經(jīng)過且只經(jīng)過x+y3=0和x=m的交點(diǎn)時(shí)，m取到最大值，此時(shí)，即(m,2m)在直線x+y3=0上，則m=1.2 .答案C.一.、,.-一.，,.一一*解析該不等式組表木的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所本的陰影部分.由于x,yeN,計(jì)算區(qū)域內(nèi)與g,2，最近的點(diǎn)為（5,4）,故當(dāng)x=5,y=4時(shí)，z取得最大值為90.Sjc-l 1)+22-)J13.答案

17、2解析實(shí)數(shù)x,y滿足的可行域如圖中陰影部分所示，則z的最小值為原點(diǎn)到直線AB的距離的平方,故Zmin=課時(shí)精練答案、選擇題1 .答案A解析畫出可行域，如圖所示,解得A(2,2),設(shè)z=2x-y,*一2.卻oT1-2r,把z=2xy變形為y=2xz,則直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)z取得最小值；所以Zmin=2X（2）2=6,故選A.2 .答案D解析作出可行域，如圖所示.x+y4=0,x=2,聯(lián)立£解得x3y+4=0,y=2.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=3xy移到（2,2）時(shí)，z=3x-y有最大值4.3 .答案D解析作出可行域，如圖所示，y1的幾何意義是點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)（0,1）連線l的斜率，當(dāng)直線l過B（1,0）

18、時(shí)ki最小，最小為一1.x又直線l不能與直線xy=0平行，.kivl.綜上，kC1,1）.4 .答案C解析-j-v=4>二、填空題7.答案2,6解析如圖，作出可行域，作直線l: x+2y=0,tL .T-y+?1=()戈 “Tn解析 如圖，作出可行域，作直線 l: x+ ay=0,要使目標(biāo)函數(shù) z= x+ay(a>0)取得最小值的 最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則將 l向右上方平移后與直線x+y=5重合，故a=1,選D.將l向右上方平移，過點(diǎn) A(2,0)時(shí)，有最小值2,過點(diǎn)B(2,2)時(shí)，有最大值6,故z的取值范不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，當(dāng)a=0時(shí)，只有4個(gè)整點(diǎn)(1,1),(0

19、,0),(1,0),(2,0).當(dāng)a=-1時(shí)，正好增加(一1,1),(0,1),(1,1),(2,1),(3,1)5個(gè)整點(diǎn).故選C.5 .答案D解析由題意知，直線x+by+c=0經(jīng)過直線2x+y=7與直線x+y=4的交點(diǎn)，且經(jīng)過直線2x+y=1和直線x=1的交點(diǎn)，即經(jīng)過點(diǎn)(3,1)和點(diǎn)(1,1),3+b+c=0,b=1,5 解得51b+c=0,c=2.6 .答案D圍為2,6.8 .答案3,8解析作出不等式組1wx+yw4,1 表示的可行域，如圖中陰影部分所示.2 wx一yw3在可行域內(nèi)平移直線2x3y=0,當(dāng)直線經(jīng)過X-y=2與X+y=4的交點(diǎn)A(3,1)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最小值Zmin=2X33

20、X1=3;當(dāng)直線經(jīng)過x+y=1與xy=3的交點(diǎn)B(1,2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值Zmax=2X1+3X2=8.所以zC3,8.9.答案4解析由線性約束條件p<x<啦,<yW2,畫出可行域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)z=oMOA=V2x+y,將其化為x<,2yy=亞x+z,結(jié)合圖形可知，目標(biāo)函數(shù)的圖象過點(diǎn)(亞，2)時(shí)，z最大，將點(diǎn)巾,2)代入z10.答案13解析|x|+|y|W2可化為.x+yw2x>0,y>0jx-y<2(x>0,y<0x+yw2(x<0,y>0)L-x-y<2(xv0,y<0)作出可行域?yàn)槿鐖D正方形內(nèi)

21、部(包括邊界),C(3,1)容易得到整點(diǎn)個(gè)數(shù)為13個(gè).11.答案21解析作出可行域(如圖)，即4ABC所圍區(qū)域(包括邊界)，其頂點(diǎn)為A(1,3),B(7,9),方法一二可行域內(nèi)的點(diǎn)都在直線x+2y4=0上方,-x+2y-4>0,則目標(biāo)函數(shù)等價(jià)于z=x+2y4,易得當(dāng)直線z=x+2y-4在點(diǎn)B(7,9)處，目標(biāo)函數(shù)取得最大值z(mì)max=21.方法二z=|x+2y4| =|x+2y-4|,5令P(x, y)為可行域內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，定直線x + 2y 4= 0,則z=45d,其中d為P(x,y)到直線x+2y4=0的距離.由圖可知，區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)B與直線的距離最大,故d的最大值為|7+2X 9 4|21=5故目標(biāo)函數(shù)Zmax=25，5=21.三、解答題12 .解z=2x-y可化為y=2xz,z的幾何意義是直線在y軸上的截距的相反數(shù)，故當(dāng)zlo :取得最大值和最小值時(shí)，應(yīng)是直線在y軸上分別取得最小和最大截距的時(shí)候.作一組與2xy=0平行的直線系1,經(jīng)上下平移，可得：當(dāng)l移動(dòng)到11,即經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)時(shí)，Zmax=2X52=8.當(dāng)1移動(dòng)到12,即過點(diǎn)C(1,4.4)時(shí),CO.4. II.5.<+31-23Zmin=2X1-4.4=-2.4.13 .解先畫出可行域，如圖所示，y=ax必須過圖中陰影部分或其邊界.A(2,9),.-.9=a2,.