廣西壯族自治區(qū)多校高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

高三數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合和，根據(jù)并集的定義既可得出答案.【詳解】，，所以，所以.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.－1 B.1 C.－i D.i【答案】B【解析】【分析】通過(guò)復(fù)數(shù)的除法計(jì)算出即可得出答案.【詳解】，虛部為1.故選：B3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即；冪函?shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，即，綜上：，故選：D.4.在長(zhǎng)方體中，，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，再根據(jù)球的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體外接球的半徑為，則，所以，則球的表面積為，故選：A.5.已知向量，若，則（）A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩向量平行即共線得到的值，代入進(jìn)去即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得，所以，即，所以，故選：C.6.如圖，對(duì)，，，，五塊區(qū)域涂色，現(xiàn)有種不同顏色的顏料可供選擇，要求每塊區(qū)域涂一種顏色，且相鄰區(qū)域（有公共邊）所涂顏料的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】【分析】先涂，，，然后分類討論的顏色，最后利用乘法原理與加法原理可得答案.【詳解】先涂，，，有種方法.若的顏色不同于，，所涂顏色，有種涂法，此時(shí)有種涂法，則對(duì)應(yīng)總涂法數(shù)為；若顏色與的顏色相同，此時(shí)有種涂法，則對(duì)應(yīng)總涂法數(shù)為；若的顏色與的顏色相同，此時(shí)有種涂法，則對(duì)應(yīng)總涂法數(shù)為.綜上，總涂法數(shù)為.故選：C7.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且，則（）A.-2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)和進(jìn)行賦值即可求解.【詳解】因?yàn)?，令，則，即，因?yàn)?，所以，令，則，即，解得，則即故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)精：這是抽象函數(shù)的問題，則需要對(duì)賦值以求目標(biāo)函數(shù)值，首先題目給定了，且最后求的是的值，考慮到，所以要先求出的值，求的值還需要借助中間函數(shù)值，求則可以考慮方程，從而問題就解決了.8.已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖，設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，由題，幾何知識(shí)，雙曲線對(duì)稱性可得為直角三角形，即可得答案.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，連接.因，又，則為直角三角形，又由雙曲線對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，結(jié)合為直角三角形，則四邊形為矩形，則為直角三角形.因，又，則，設(shè)，則.則.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知一組數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為B.該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)不可能是77C.若該組數(shù)據(jù)的極差為10，則或78D.若，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為70【答案】BCD【解析】【分析】利用百分位數(shù)、極差和平均數(shù)的定義即可判斷.【詳解】對(duì)于A：因，當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為；當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為；故A錯(cuò)誤.對(duì)于B：因，當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為；當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為；當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.故該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)不可能是.故B正確.對(duì)于C：由極差的定義，當(dāng)時(shí)，則，即；當(dāng)時(shí)，則，即.故C正確.對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故D正確.故選：BCD10.若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.為奇函數(shù) B.若，則C.的所有極值點(diǎn)的和為0 D.【答案】AC【解析】【分析】A由奇函數(shù)定義可判斷選項(xiàng)正誤；B注意到，然后在0,1上單調(diào)性可判斷選項(xiàng)正誤；C由B選項(xiàng)分析可判斷選項(xiàng)正誤；D注意到，求出在上值域可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，，因函數(shù)定義域?yàn)镽，且，則為奇函數(shù)，故A正確；B選項(xiàng)，，，，.則在上遞增，在上遞減.則在0,1上不單調(diào)，故時(shí)，不一定成立，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)分析可知，的極值點(diǎn)為和，則的所有極值點(diǎn)的和為0，C正確；D選項(xiàng)，注意到，又由B分析可知在上遞增，在上遞減.則，，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.如圖，在六面體中，四邊形為菱形，四邊形為正方形，平面平面，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.四邊形為平行四邊形B.平面平面C.若過(guò)的平面與平面平行，則該平面與的交點(diǎn)為棱的中點(diǎn)D.三棱錐體積的最大值為【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A，利用面面平行得線線平行即可，當(dāng)與不平行時(shí)，即可判斷B，對(duì)是否在上進(jìn)行分析即可判斷C，當(dāng)時(shí)，取得最大值即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，四邊形為正方形，所以，且，則平面平面，又平面平面，平面平面，得.由，得，又平面，平面，則平面.因?yàn)槠矫嫫矫妫?，則四邊形為平行四邊形，故A正確.對(duì)于B：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，四邊形為正方形，所以平面，?dāng)與不平行時(shí)，平面與平面不垂直，故B不正確.對(duì)于C：如圖，過(guò)作，且，連接，易得四邊形為正方形，連接，易證得,且，則平面平面，若在上，則為的中點(diǎn)，即，若不在上，則不為的中點(diǎn)，即，故C不正確.對(duì)于D：，顯然當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，故D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知拋物線上一點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離比到軸的距離大4，則________．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義以及題意可得，即可求得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離比到軸的距離大4，即點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離比到y(tǒng)軸的距離大4，即，即，故答案為：8.13.已知函數(shù)，若，則的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】把的范圍轉(zhuǎn)化為的范圍，再結(jié)合的圖像性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，由可得：，根?jù)的圖像性質(zhì)可知，要想滿足題意，只需，解得：.故答案為：14.在中，，且，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求出的值，進(jìn)而可知，進(jìn)而可知是以為半徑的圓的內(nèi)接三角形，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),最大,從而的值最大.【詳解】由中，,得,解得或(舍去),則，設(shè)，則是以為半徑的圓的內(nèi)接三角形.如圖所示,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大，從而的值最大.過(guò)作，垂足為，連接,則,從而，則.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.一個(gè)不透明的盒子中裝有紅色、黃色、白色、黑色小球各1個(gè)，這些小球除顏色外完全相同.現(xiàn)從盒于中隨機(jī)抽取若干個(gè)小球，抽中的小球的顏色對(duì)應(yīng)的得分如下表.抽中小球的顏色紅色黃色白色黑色得分1234（1）若有放回地從盒子中抽取2次，每次抽取1個(gè)小球，求抽中的小球?qū)?yīng)的得分之和大于6的概率；（2）若一次性從盒子中抽取2個(gè)小球，記抽中的小球?qū)?yīng)的得分之和為，求的分布列與期望．【答案】（1）（2）分布列為【解析】【分析】(1)根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算出總數(shù)，再列舉出小球得分大于的情況，最后根據(jù)古典概率公式即可得出答案；(2)先寫出的值，計(jì)算對(duì)應(yīng)取值的概率，最后列出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】有放回抽取兩次，總的可能有種，小球得分之和大于的情況只有第一次取白球，第二次取黑球；第一次取黑球，第二次取白球；兩次都取黑球種情況，所以小球得分之和大于的概率.【小問2詳解】的取值有五種可能，，，，，，所以的分布列為.16.已知數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到當(dāng)時(shí)的式子，兩式相減可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）得到的通項(xiàng)公式，再根據(jù)裂項(xiàng)相消可求得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，①，又②，②①得，所以，當(dāng)時(shí)，滿足，所以；【小問2詳解】由（1）可得，所以，則，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.17.如圖1，菱形的邊長(zhǎng)為是的中點(diǎn)，將沿著翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)處，連接，得到如圖2所示的四棱錐．（1）證明：．（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見詳解；（2）.【解析】【分析】（1）易知，，線面垂直的判定得到平面,再由線面垂直的性質(zhì)得到.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，為軸負(fù)方向建立空間直角坐標(biāo)系并寫出有關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，由，求得點(diǎn)坐標(biāo)，再分別求出平面與平面的法向量，再根據(jù)求兩平面夾角的余弦值的方法求解即可.【小問1詳解】在菱形中，連接，則△是等邊三角形，∵是的中點(diǎn)，∴在四棱錐中，∵，，,平面∴平面,∵平面，∴.【小問2詳解】∵菱形的邊長(zhǎng)為是的中點(diǎn)，，.由（1）知平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，為軸負(fù)方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）則，，，設(shè)，則，由，，得，解得，∴，，，設(shè)平面的法向量分別為m=x1,y1,z1，由得，令則平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量分別為n=x2,y2,z則令，則，則平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知?jiǎng)訄A與圓外切，與圓內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）若分別是的左、右頂點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，設(shè)和的夾角為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)內(nèi)切和外切可列方程，根據(jù)橢圓的定義求解即可；（2）用余弦定理即可求出，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的取值范圍，即可知的范圍，結(jié)合萬(wàn)能公式即可求解的取值范圍.【小問1詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設(shè)動(dòng)圓M的半徑為，則依題意有：，，點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，.【小問2詳解】圓的半徑，在中，為AB的中點(diǎn)，和互補(bǔ)，即，即，整理得,在中,，設(shè)Px0,滿足，，同理可得，所以，，所以，所以所以，因所以，因?yàn)?，所以解不等式?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)精：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于角的余弦值用來(lái)表示，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式及題意可求出的范圍，再結(jié)合萬(wàn)能公式即可.19.曲率是表示曲線在某一點(diǎn)的彎曲程度的數(shù)值，曲線的曲率定義如下：若是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．（1）若函數(shù)，求曲線在點(diǎn)處的曲率．（2）若函數(shù)，證明：曲線在其上任意一點(diǎn)處的曲率為定值，且該定值為．（3）已知函數(shù)，若在曲線上存在一點(diǎn)，使曲線在點(diǎn)處的曲率，求的取值范圍．【答案】（1）2（2）證明見詳解（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)曲率的定