新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練專題06 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)常見(jiàn)經(jīng)典壓軸小題歸類（26大核心考點(diǎn)）（講義）（解析版）

專題06函數(shù)與導(dǎo)數(shù)常見(jiàn)經(jīng)典壓軸小題歸類【目錄】 2 3 3 6 12考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題之分段分析法模型 12考點(diǎn)二：函數(shù)嵌套問(wèn)題 14考點(diǎn)三：函數(shù)整數(shù)解問(wèn)題 17考點(diǎn)四：唯一零點(diǎn)求值問(wèn)題 20考點(diǎn)五：等高線問(wèn)題 22考點(diǎn)六：分段函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題 25考點(diǎn)七：函數(shù)對(duì)稱問(wèn)題 29考點(diǎn)八：零點(diǎn)嵌套問(wèn)題 31考點(diǎn)九：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題之三變量問(wèn)題 34考點(diǎn)十：倍值函數(shù) 36考點(diǎn)十一：函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 38考點(diǎn)十二：函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題 40考點(diǎn)十三：構(gòu)造函數(shù)解不等式 42考點(diǎn)十四：導(dǎo)數(shù)中的距離問(wèn)題 45考點(diǎn)十五：導(dǎo)數(shù)的同構(gòu)思想 49考點(diǎn)十六：不等式恒成立之分離參數(shù)、分離函數(shù)、放縮法 51考點(diǎn)十七：三次函數(shù)問(wèn)題 54考點(diǎn)十八：切線條數(shù)、公切線、切線重合與垂直問(wèn)題 56考點(diǎn)十九：任意存在性問(wèn)題 62考點(diǎn)二十：雙參數(shù)最值問(wèn)題 65考點(diǎn)二十一：切線斜率與割線斜率 67考點(diǎn)二十二：最大值的最小值問(wèn)題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離） 69考點(diǎn)二十三：兩邊夾問(wèn)題和零點(diǎn)相同問(wèn)題 72考點(diǎn)二十四：函數(shù)的伸縮變換問(wèn)題 74考點(diǎn)二十五：V型函數(shù)和平底函數(shù) 76考點(diǎn)二十六：曼哈頓距離與折線距離 78有關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)常見(jiàn)經(jīng)典壓軸小題的高考試題，考查重點(diǎn)是零點(diǎn)、不等式、恒成立等問(wèn)題，通常與函數(shù)性質(zhì)、解析式、圖像等均相關(guān)，需要考生具有邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).同時(shí)，對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，需要考生具有數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析零點(diǎn)2023年II卷第11題，5分2022年I卷第10題，5分2021年I卷第7題，5分【命題預(yù)測(cè)】預(yù)測(cè)2024年高考，多以小題形式出現(xiàn)，也有可能會(huì)將其滲透在解答題的表達(dá)之中，相對(duì)獨(dú)立．具體估計(jì)為：（1）導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和幾何意義是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題形式考查，難度較小．（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值多在選擇題、填空題靠后的位置考查，難度中等偏上，屬綜合性問(wèn)題．不等式2021年II卷第16題，5分三次函數(shù)2022年I卷第10題，5分2021年乙卷第12題，5分1、求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值；當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．2、含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理時(shí)首先要明確目標(biāo)，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用（或者對(duì)函數(shù)圖象的影響）．3、含分段函數(shù)的不等式在處理上通常有兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過(guò)對(duì)進(jìn)行分類討論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式求解；另一種是通過(guò)作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖象的特點(diǎn)解不等式．4、分段函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成球函數(shù)值域的問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先將解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．5、動(dòng)態(tài)二次函數(shù)中靜態(tài)的值：解決這類問(wèn)題主要考慮二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及式子變形，注意二次函數(shù)的系數(shù)、圖象的開(kāi)口、對(duì)稱軸是否存在不變的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象是否過(guò)定點(diǎn)，從而簡(jiǎn)化解題．6、動(dòng)態(tài)二次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)和分布問(wèn)題：通常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，通過(guò)對(duì)稱軸，根的判別式，相應(yīng)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值等來(lái)考慮．7、求二次函數(shù)最值問(wèn)題，應(yīng)結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解，有三種常見(jiàn)類型：（1）對(duì)稱軸變動(dòng)，區(qū)間固定；（2）對(duì)稱軸固定，區(qū)間變動(dòng)；（3）對(duì)稱軸變動(dòng)，區(qū)間也變動(dòng)．這時(shí)要討論對(duì)稱軸何時(shí)在區(qū)間之內(nèi)，何時(shí)在區(qū)間之外．討論的目的是確定對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，明確函數(shù)的單調(diào)情況，從而確定函數(shù)的最值．8、由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為我們最熟悉的二次函數(shù)，所以基本的研究思路是：借助導(dǎo)函數(shù)的圖象來(lái)研究原函數(shù)的圖象．如借助導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)研究原函數(shù)的單調(diào)性；借助導(dǎo)函數(shù)的（變號(hào)）零點(diǎn)研究原函數(shù)的極值點(diǎn)（最值點(diǎn)）；綜合借助導(dǎo)函數(shù)的圖象畫出原函數(shù)的圖象并研究原函數(shù)的零點(diǎn)…具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于三次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，根的判別式．判別式圖象單調(diào)性增區(qū)間：，；減區(qū)間：增區(qū)間：增區(qū)間：圖象（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，三次函數(shù)在上為增函數(shù)，沒(méi)有極值點(diǎn)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，有兩根，，不妨設(shè)，則，可得三次函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則，分別為三次函數(shù)的兩個(gè)不相等的極值點(diǎn)，那么：①若，則有且只有個(gè)零點(diǎn)；②若，則有個(gè)零點(diǎn)；③若，則有個(gè)零點(diǎn)．特別地，若三次函數(shù)存在極值點(diǎn)，且，則地解析式為．同理，對(duì)于三次函數(shù)，其性質(zhì)也可類比得到．9、由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象變化規(guī)律具有對(duì)稱性，所以三次函數(shù)圖象也應(yīng)當(dāng)具有對(duì)稱性，其圖象對(duì)稱中心應(yīng)當(dāng)為點(diǎn)，此結(jié)論可以由對(duì)稱性的定義加以證明．事實(shí)上，該圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)正是三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)．10、對(duì)于三次函數(shù)圖象的切線問(wèn)題，和一般函數(shù)的研究方法相同．導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是求圖象在該店處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線問(wèn)題，要區(qū)分“在”與“過(guò)”的不同，如果是過(guò)某一點(diǎn)，一定要設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)具體的條件得到方程，然后解出參數(shù)即可．11、恒成立（或存在性）問(wèn)題常常運(yùn)用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問(wèn)題．12、如果無(wú)法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)性質(zhì)求解，常見(jiàn)的是利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)的最大、最小值．13、當(dāng)不能用分離參數(shù)法或借助于分類討論解決問(wèn)題時(shí)，還可以考慮利用函數(shù)圖象來(lái)求解，即利用數(shù)形結(jié)合思想解決恒成立（或存在性）問(wèn)題，此時(shí)應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍．14、兩類零點(diǎn)問(wèn)題的不同處理方法利用零點(diǎn)存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且．．①直接法：判斷-一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明．②分類討論法：判斷幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需要先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，再利用零點(diǎn)存在性定理，在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明．15、利用導(dǎo)數(shù)研究方程根（函數(shù)零點(diǎn)）的技巧（1）研究方程根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等．（2）根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極（最）值的位置．（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)．16、已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的常用方法（1）分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍．（2）分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．1．（2021?新高考Ⅰ）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則A． B． C． D．【答案】【解析】法一：函數(shù)是增函數(shù)，恒成立，函數(shù)的圖象如圖，，即切點(diǎn)坐標(biāo)在軸上方，如果在軸下方，連線的斜率小于0，不成立．點(diǎn)在軸或下方時(shí)，只有一條切線．如果在曲線上，只有一條切線；在曲線上側(cè)，沒(méi)有切線；由圖象可知在圖象的下方，并且在軸上方時(shí)，有兩條切線，可知．故選：．法二：設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線橫坐標(biāo)為，則切線方程為，可得，設(shè)，可得，，，是增函數(shù)，，，是減函數(shù)，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，對(duì)應(yīng)兩條切線．故選：．2．（2021?乙卷）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】【解析】令，解得或，即及是的兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；當(dāng)時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；綜上，．故選：．3．（多選題）（2023?新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則A． B． C． D．【答案】【解析】函數(shù)定義域?yàn)椋?，由題意，方程即有兩個(gè)正根，設(shè)為，，則有，，△，，，，即．故選：．4．（多選題）（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)，則A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn) C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】【解析】，令，解得或，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，有兩個(gè)極值點(diǎn)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)正確；假設(shè)是曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得或，顯然和均不在曲線上，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．5．（2022?新高考Ⅰ）若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則的取值范圍是，，．【答案】，，．【解析】，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切線的斜率，切線方程為，又切線過(guò)原點(diǎn)，，整理得：，切線存在兩條，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，△，解得或，即的取值范圍是，，，故答案為：，，．6．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)，，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)，和點(diǎn)，的兩條切線互相垂直，且分別交軸于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為，可得在點(diǎn)，處的斜率為，切線的方程為，令，可得，即，當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為，可得在點(diǎn)，處的斜率為，令，可得，即，由的圖象在，處的切線相互垂直，可得，即為，，，所以．故答案為：．7．（2023?乙卷）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是．【答案】的取值范圍是，．【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上恒成立，即，化簡(jiǎn)可得在上恒成立，而在上，故有，由，化簡(jiǎn)可得，即，，解答，故的取值范圍是，．故答案為：，．8．（2022?乙卷）已知和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則的取值范圍是．【答案】．【解析】對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，分析可知：在定義域內(nèi)至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)其再求導(dǎo)可得：，當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，此時(shí)若存在使得，則在單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，此時(shí)若函數(shù)在和分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，應(yīng)滿足，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞減，此時(shí)若存在使得，則在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，且，此時(shí)若函數(shù)在和分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，故僅需滿足，即：，解得：，又因?yàn)?，故綜上所述：的取值范圍是．9．（2022?新高考Ⅱ）曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．【答案】，．【解析】當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，切線的斜率，切線方程為，又切線過(guò)原點(diǎn)，，，切線方程為，即，當(dāng)時(shí)，，與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，切線方程也關(guān)于軸對(duì)稱，切線方程為，綜上所述，曲線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為，，故答案為：，．10．（2022?上海）已知函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，其圖像關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)，時(shí)，，若將方程的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則．【答案】2．【解析】函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，其圖像關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)，時(shí)，，是周期為4的周期函數(shù)，圖像如圖：將方程的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則的幾何意義是兩條漸近線之間的距離2，．故答案為：2．考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題之分段分析法模型例1．（2023·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)所以有解即有解令，則因?yàn)椋矣蓤D象可知，所以所以在上單調(diào)遞減，令得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減所以且當(dāng)時(shí)所以的取值范圍為函數(shù)的值域，即故選：A例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，即令，則函數(shù)與函數(shù)的圖象至少有一個(gè)交點(diǎn)易知，函數(shù)表示開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，作出函數(shù)與函數(shù)的草圖，如下圖所示由圖可知，要使得函數(shù)與函數(shù)的圖象至少有一個(gè)交點(diǎn)只需，即解得：故選：B例3．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在三個(gè)不同點(diǎn)，且這三個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則由題意可得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．由可得，即，令，則直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，易得，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為，極大值為．又，，所以當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選B．考點(diǎn)二：函數(shù)嵌套問(wèn)題例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為A． B．或 C．或 D．或或【答案】A【解析】在和上單增，上單減，又當(dāng)時(shí)，時(shí)，故的圖象大致為：令，則方程必有兩個(gè)根，且，不仿設(shè)，當(dāng)時(shí)，恰有，此時(shí)，有個(gè)根，，有個(gè)根，當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)無(wú)根，有個(gè)根，當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)有個(gè)根，，有個(gè)根，綜上，對(duì)任意，方程均有個(gè)根，故選A.例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為（

）A．3 B．4 C．2或3或4或5 D．2或3或4或5或6【答案】A【解析】根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象：，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以；函數(shù)，時(shí)單調(diào)遞減，所以，對(duì)于方程，令，則，所以，即方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，當(dāng)時(shí)，，3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，也是3個(gè)交點(diǎn)；故選：A．例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為（

）A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6【答案】B【解析】由已知，，令，解得或，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值，最小值.f(x)的圖象如下：綜上可考查方程的根的情況如下：（1）當(dāng)或時(shí)，有唯一實(shí)根；（2）當(dāng)時(shí)，有三個(gè)實(shí)根；（3）當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根；（4）當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)根.令，則由，得，當(dāng)時(shí)，由，符號(hào)情況（1），此時(shí)原方程有1個(gè)根，由，而，符號(hào)情況（3），此時(shí)原方程有2個(gè)根，綜上得共有3個(gè)根；當(dāng)時(shí)，由，又，符號(hào)情況（1）或（2），此時(shí)原方程有1個(gè)或三個(gè)根，由，又，符號(hào)情況（3），此時(shí)原方程有兩個(gè)根，綜上得共1個(gè)或3個(gè)根.綜上所述，的值為1或3.故選B.考點(diǎn)三：函數(shù)整數(shù)解問(wèn)題例7．（2023·福建龍巖·高三上杭一中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，則整數(shù)的最大值是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)沒(méi)有零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為方程沒(méi)有實(shí)根，設(shè)，則令，即①，又函數(shù)，，所以恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以方程①即，即，有唯一的實(shí)數(shù)解且函數(shù)在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以有最小值,又時(shí)，，所以方程沒(méi)有實(shí)根，可得則整數(shù)的最大值是1.故選：C.例8．（2023·福建泉州·高三泉州五中?？迹╆P(guān)于的不等式的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，關(guān)于的不等式的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，即的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，即的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，即的解集中有無(wú)數(shù)個(gè)大于的整數(shù)，不符合題意.所以..若，即，設(shè)，，設(shè)，，在上遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，遞減，由于，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即的解集中有無(wú)數(shù)個(gè)大于的整數(shù)，不符合題意.所以，即，解得，所以的取值范圍是.故選：D例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，由，可得（），顯然當(dāng)時(shí)，不等式在恒成立，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，則在上單調(diào)遞增，令，則，故上，上，∴在上遞增，在上遞減，又且趨向正無(wú)窮時(shí)趨向0，故，綜上，圖象如下：由圖知：要使有兩個(gè)正整數(shù)解，則，即，解得．故選：D考點(diǎn)四：唯一零點(diǎn)求值問(wèn)題例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則負(fù)實(shí)數(shù)A． B． C． D．或【答案】A【解析】函數(shù)有唯一零點(diǎn)，設(shè)則函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則設(shè)∴為偶函數(shù)，∵函數(shù)有唯一零點(diǎn)，∴與有唯一的交點(diǎn)，∴此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，解得或（舍去），故選A．例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由題設(shè)，，可得：，由，易知：關(guān)于對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，則，所以單調(diào)遞增，故時(shí)單調(diào)遞減，且當(dāng)趨向于正負(fù)無(wú)窮大時(shí)都趨向于正無(wú)窮大，所以僅有一個(gè)極小值點(diǎn)1，則要使函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即，解得.故選：C例12．（2023春·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．1或 C．或 D．或1【答案】C【解析】由題意，函數(shù)，分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，可得，解得，則，所以為偶函數(shù)，又由函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)有唯一零點(diǎn)，可得，即，即，解得或.故選：C.例13．（2023春·福建泉州·高三福建省德化第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，令，則為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)有唯一零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性，則，解得，故選：B考點(diǎn)五：等高線問(wèn)題例14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若方程有四個(gè)不等實(shí)根，，，時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖，作直線，它與圖象的四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，，即，且，顯然，不等式變形為，，，所以，由勾形函數(shù)性質(zhì)知在時(shí)是增函數(shù)，所以，令，則，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，即的最小值是．故選：A．例15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不等實(shí)根，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意設(shè)，根據(jù)方程恰有三個(gè)不等實(shí)根，即必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，不妨設(shè)，則，作出的圖象，函數(shù)與三個(gè)不等實(shí)根，且，那么，可得，，所以，構(gòu)造新函數(shù)當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；∴當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即的最小值為；故選：A例16．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的方程恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由解析式，在上單調(diào)遞增且值域?yàn)?，在上單調(diào)遞增且值域?yàn)?，函?shù)圖象如下：所以，的值域在上任意函數(shù)值都有兩個(gè)x值與之對(duì)應(yīng)，值域在上任意函數(shù)值都有一個(gè)x值與之對(duì)應(yīng)，要使恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)一個(gè)在上，另一個(gè)在上，由開(kāi)口向下且對(duì)稱軸為，由上圖知：，此時(shí)且，，結(jié)合圖象及有，，則，所以，且，令且，則，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減；所以，故最大值為.故選：A考點(diǎn)六：分段函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題例17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，在上至多個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意，所以，.函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，所以，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，由題意可得，解得，此時(shí)不存在；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，則函數(shù)在上只有個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，不合乎題意；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則，解得，此時(shí)；④當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則，解得，此時(shí)，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.例18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故，則函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)不同的解，故的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)又的圖象如圖所示，由圖象可得兩個(gè)函數(shù)的圖象均過(guò)原點(diǎn)，若，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，考慮直線與的圖象相切，則由可得即，考慮直線與的圖象相切，由可得，則即.考慮直線與的圖象相切，由可得即，結(jié)合圖象可得當(dāng)或時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，綜上，或或，故選：B.例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】令，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且遞減，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，所以，的零點(diǎn)等價(jià)于與交點(diǎn)橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的值，如下圖示：由圖知：與有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)、：當(dāng)，即時(shí)，在、、上各有一個(gè)解；當(dāng)，即時(shí)，在有一個(gè)解.綜上，的零點(diǎn)共有4個(gè).故選：B考點(diǎn)七：函數(shù)對(duì)稱問(wèn)題例20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)上一點(diǎn)，，且關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，在上，有解，即有解．令，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，，，有解等價(jià)于與圖象有交點(diǎn)，

．故選：B例21．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝x2＋ex－（x<0）與g（x）＝x2＋ln（x＋a）的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．

B．C．

D．【答案】B【解析】關(guān)于軸對(duì)稱得到的函數(shù)為，依題意可知與在上有公共點(diǎn)，由得，．對(duì)于函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且．對(duì)于函數(shù)，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，的圖像向右平移個(gè)單位得到，與圖像在上必有個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，的圖像向左平移個(gè)單位得到，要使與圖像在上有交點(diǎn)，則需當(dāng)時(shí)（也即軸上），的函數(shù)值小于的函數(shù)值，即，解得．綜上所述，的取值范圍是．故選：B．例22．（2023·廣西欽州·高一?？茧A段練習(xí)）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)、滿足條件：①、都在函數(shù)的圖象上；②、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)是函數(shù)的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”）．已知函數(shù)，則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有（

）A．4對(duì) B．3對(duì) C．2對(duì) D．1對(duì)【答案】C【解析】由題意，設(shè)點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以此函?shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)即方程在時(shí)的解的個(gè)數(shù)，作與的圖像如圖所示，兩函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，所以此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有2對(duì)故選：C考點(diǎn)八：零點(diǎn)嵌套問(wèn)題例23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn).其中，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】令，則，故當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，可得處取得最小值，，，畫出的圖象，由可化為，故結(jié)合題意可知，有兩個(gè)不同的根，故，故或，不妨設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，，①若，，與相矛盾，故不成立；②若，則方程的兩個(gè)根，一正一負(fù)；不妨設(shè)，結(jié)合的性質(zhì)可得，，，，故又，，．故選：A．例24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)（其中），則的值為A． B． C． D．【答案】A【解析】令，構(gòu)造，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，時(shí)，，，可畫出函數(shù)的圖象（見(jiàn)下圖），要使函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)（其中），則方程需要有兩個(gè)不同的根（其中），則，解得或，且，若，即，則，則，且，故，若，即，由于，故，故不符合題意，舍去.故選A.例25．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則的值為（

）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9【答案】A【解析】∴∴令，，則，∴令，解得∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；∴，，∴a﹣3∴.設(shè)關(guān)于t的一元二次方程有兩實(shí)根，，∴，可得或.∵，故∴舍去∴6，.又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由于，∴，（不妨設(shè)）.∵，可得，，.則可知，.∴.故選：A.考點(diǎn)九：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題之三變量問(wèn)題例26．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的取值范圍為A．(0，1] B．(0，1) C．(1，+∞) D．[1，+∞)【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)以及，所以根據(jù)函數(shù)的解析式可知，在區(qū)間上，在區(qū)間上，在區(qū)間上，即，由可知，即，因?yàn)橐约霸趨^(qū)間上，所以，即，故選C．例27．（2023·新疆阿克蘇·高三新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇地區(qū)第二中學(xué)校考階段練習(xí)）若存在兩個(gè)不相等正實(shí)數(shù)x,y,使得等式x+a(y-2ex)·(lny-lnx)=0成立,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A． B．C． D．(-∞,0)【答案】A【解析】由題意知,a=.設(shè)=t(t>0,且t≠1),則a==(2e-t)lnt.令f(t)=(2e-t)lnt,f(t)≠0,則f'(t)=-(1+lnt).令=1+lnt,得t=e.由數(shù)形結(jié)合可知,當(dāng)t>e時(shí),f'(t)<0;當(dāng)0<t<e時(shí),f'(t)>0.所以f(t)≤e,且f(t)≠0,所以0<≤e或<0,解得a<0或a≥.例28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)、，使得等式成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）．A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，設(shè)，，則，則有解，設(shè)，為增函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取極小值，，即，若有解，則，即，所以或，故選：B．考點(diǎn)十：倍值函數(shù)例29．（2023春·浙江衢州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的“和諧區(qū)間”．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)存在“和諧區(qū)間”B．函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”C．函數(shù)存在“和諧區(qū)間”D．函數(shù)（且）不存在“和諧區(qū)間”【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，存在區(qū)間，在上是單調(diào)增函數(shù)，在上的值域是，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，假設(shè)存在區(qū)間，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由在上的值域是，可得，解得，這與矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由函數(shù)，可得，取區(qū)間，在此區(qū)間上，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)．因?yàn)?，，所以函?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，不妨設(shè)，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，外層函數(shù)也為增函數(shù)，所以，函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，假設(shè)函數(shù)存在“和諧區(qū)間”，則由得，所以、是方程的兩個(gè)根，即、是方程的兩個(gè)根．令，可得，，設(shè)關(guān)于的二次方程的兩根分別為、，則，則、，即關(guān)于的二次方程有兩個(gè)正根，故函數(shù)存在“和諧區(qū)間”，D錯(cuò).故選：D.例30．（2023·上海金山·高一上海市金山中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖陂]區(qū)間，使得函數(shù)滿足：（1）在上是單調(diào)函數(shù)；（2）在上的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的“和諧區(qū)間”，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．函數(shù)存在“和諧區(qū)間”B．函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”C．函數(shù)存在“和諧區(qū)間”D．函數(shù)（，）不存在“和諧區(qū)間”【答案】D【解析】函數(shù)中存在“和諧區(qū)間”,則①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②或,若,若存在“和諧區(qū)間”,則此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,則由,得存在“和諧區(qū)間”正確.若,若存在“和諧區(qū)間”,則此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,則由,得,即是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根,構(gòu)建函數(shù),所以函數(shù)在上單調(diào)減,在上單調(diào)增,函數(shù)在處取得極小值，且為最小值,,無(wú)解,故函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”,正確.若函數(shù),,若存在“和諧區(qū)間”,則由,得,即存在“和諧區(qū)間”,正確.若函數(shù),不妨設(shè),則函數(shù)定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù),若存在“和諧區(qū)間”,則由,得,即是方程的兩個(gè)根,即是方程的兩個(gè)根,由于該方程有兩個(gè)不等的正根，故存在“和諧區(qū)間”,結(jié)論錯(cuò)誤,故選D.考點(diǎn)十一：函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點(diǎn)使得，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【解析】法一：由題意可得，，而由可知，當(dāng)時(shí)，＝為增函數(shù)，∴時(shí)，．∴不存在使成立，故A，B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，＝，當(dāng)時(shí)，只有時(shí)才有意義，而，故C錯(cuò)．故選D．法二：顯然，函數(shù)是增函數(shù)，，由題意可得，，而由可知，于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解．由，得，分離變量，得，因?yàn)?，，所以，函?shù)在上是增函數(shù)，于是有，即，應(yīng)選D．例32．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（），為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若曲線上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵曲線上存在點(diǎn)∴函數(shù)（）在上是增函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可證

即在上有解，分離參數(shù)，，，根據(jù)是增函數(shù)可知，只需故選A.例33．（2023·江西南昌·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在使得，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，可得，其中是函數(shù)的反函數(shù)，若曲線上存在使得，因?yàn)楹瘮?shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），所以，，因?yàn)椋?，因此命題“若曲線上存在使成立”轉(zhuǎn)化為“存在，使”，即的圖像與函數(shù)的圖像在上有交點(diǎn)，∵的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，∴的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)必定在直線上，由此可得，的圖像與直線的圖像在上有交點(diǎn)，根據(jù)，化簡(jiǎn)整理得，記，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖像，可得，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A．考點(diǎn)十二：函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題例34．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中的取值只可能是A． B．1 C． D．0【答案】B【解析】由題意可得：?jiǎn)栴}相當(dāng)于圓上由6個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合．設(shè)處的點(diǎn)為，的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在的圖象上，同理的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在圖象上，以此類推，對(duì)應(yīng)的圖象可以為一個(gè)圓周上6等分的6個(gè)點(diǎn)，當(dāng)（1）時(shí)，即，此時(shí)，不滿足函數(shù)定義；當(dāng)（1）時(shí)，即，此時(shí)，不滿足函數(shù)定義；當(dāng)（1）時(shí)，即，此時(shí)，，，，不滿足函數(shù)定義；故選．例35．（2023·上海楊浦·高三上海市控江中學(xué)校考階段練習(xí)）是定義在上的函數(shù)，且，若的圖像繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合，則在以下各項(xiàng)中，的可能取值只能是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由題意得到：?jiǎn)栴}相當(dāng)于圓上由12個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合．我們可以通過(guò)代入和賦值的方法當(dāng)f（）=，，3時(shí)，此時(shí)得到的圓心角為，，，然而此時(shí)x=0或者x=時(shí)，都有2個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個(gè)x只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y，因此只有當(dāng)=，此時(shí)旋轉(zhuǎn)，此時(shí)滿足一個(gè)x只會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)y，故答案為：C例36．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中?？计谀┰O(shè)D是含有數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，是定義在D上的函數(shù)，若的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與原圖象重合，則的值一定不可能為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】對(duì)于上一點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，也在圖象上，所以，繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，均在圖象上，所以，在含有數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集D中，若，則有，若，則有，若，則有，若，則有，顯然當(dāng)時(shí)有2個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義，的值一定不可能為1.故選：D.考點(diǎn)十三：構(gòu)造函數(shù)解不等式例37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；又為的奇函數(shù)，，即為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增；又由不等式得，當(dāng)，即時(shí)，不等式可化為，即，由在上單調(diào)遞減得，解得，故；當(dāng)，即時(shí)，不等式可化為，即，由在上單調(diào)遞增得，解得，故；綜上所述，不等式的解集為：．故選：D．例38．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，所以，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以是上的奇函數(shù)；，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，又是上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增；考慮到，由，得，即，由在上單調(diào)遞增，得解得，所以不等式的解集為，故選：B.例39．（2023·湖北孝感·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于問(wèn)題“求證方程只有一個(gè)解”，可采用如下方法進(jìn)行證明“將方程化為，設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以原方程只有一個(gè)解”.類比上述解題思路，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由不等式，得.設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所?解得或.故選：A.例40．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）是定義在上的函數(shù)，滿足，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在上有極大值 B．在上有極小值C．在上既有極大值又有極小值 D．在上沒(méi)有極值【答案】D【解析】根據(jù)題意，，故，又，得，故，令，則，即，記，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，即，所以在上單調(diào)遞增，故在上沒(méi)有極值.故選項(xiàng)ABC說(shuō)法錯(cuò)誤，選項(xiàng)D說(shuō)法正確.故選：D考點(diǎn)十四：導(dǎo)數(shù)中的距離問(wèn)題例41．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t，在R上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意在R上恒成立，其中，整理得對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，，令，，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，所以的最小值是16，所以．故選：D．例42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以恒成立，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)，在上恒成立，所以，，，故只需的最小值．令，，由于時(shí)，；時(shí)，，即時(shí)，取得最小，故選：A例43．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】，令，則，其幾何意義為點(diǎn)A與點(diǎn)之間距離的平方，設(shè)，則點(diǎn)A和B分別在和的圖像上，如下圖，顯然和互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，則A與B的最短距離必然在直線y=x的垂線上，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y=x對(duì)稱，不妨設(shè)，則，，設(shè)，，當(dāng)，，在x=1處取得最小值，即，∴當(dāng)取最小值時(shí)，即是取得最小值，的最小值為；故選：D.例44．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度的最小值為A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，圓心為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間距離公式得，設(shè)，，令解得，由于，可知當(dāng)時(shí)，遞增，時(shí)，，遞減，故當(dāng)時(shí)取得極大值也是最大值為，故，故時(shí)，且，所以，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，且，即，單調(diào)遞增，而，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值也是最小值為，故的最小值為，此時(shí).故選A.例45．（2023春·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第四中學(xué)?？计谥校┲本€分別與函數(shù)，交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，且在上遞增；，且在上遞增.所以，且都有唯一解，，，構(gòu)造函數(shù)，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的最小值為.所以的最小值為.故選：A考點(diǎn)十五：導(dǎo)數(shù)的同構(gòu)思想例46．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得，，由可得，所以，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，，即，令，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，，解得，故實(shí)數(shù)的最大值為.故選：A.例47．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)可得，令，則在上恒成立，由，在上；在上；所以在上遞增；在上遞減，且，在上，上，而，所以，只需在上恒成立，即恒成立，令，則，即在上遞增，故.故a的取值范圍為.故選：B例48．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即，?gòu)造函數(shù)，所以，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，與1的大小不定，但當(dāng)實(shí)數(shù)a最小時(shí)，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，此時(shí)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，兩邊取對(duì)數(shù)得：，令，則，令得：，令得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以故a的最小值是．故選：C考點(diǎn)十六：不等式恒成立之分離參數(shù)、分離函數(shù)、放縮法例49．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，對(duì)于恒成立，則滿足題意的a的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，對(duì)于恒成立，所以，對(duì)于恒成立，所以，對(duì)于恒成立，設(shè)，則為上的增函數(shù)，所以，則，對(duì)于恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為增函數(shù)，因?yàn)椋源嬖?，使得，不滿足，對(duì)于恒成立；當(dāng)時(shí)，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，則，設(shè)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，即.綜上所述：的取值集合為.故選：D例50．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋液愠闪?，則在上恒成立，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以存在，使得，?dāng)時(shí)，，也即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，也即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；故，因?yàn)?，所以，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則有，所以，所以，則，故選：.例51．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若存在，使得對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，，所以，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，如下圖所示：由題意得，直線恒位于的圖象上方，的圖象下方，代表直線在軸上的截距，當(dāng)直線變化時(shí)觀察得當(dāng)直線過(guò)且與曲線相切時(shí)，最?。O(shè)切點(diǎn)為，則，整理可得，令，則，，而當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以有唯一的零點(diǎn)，所以，此時(shí)直線方程為，故.故選：C.考點(diǎn)十七：三次函數(shù)問(wèn)題例52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知任意一個(gè)一元三次函數(shù)的圖象均為中心對(duì)稱圖形，若，則的值為（

）A．－4 B．－2 C．0 D．2【答案】A【解析】設(shè)的對(duì)稱中心為，設(shè)，則為奇函數(shù)，由題可知，且，所以，即，則，整理得，所以，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為；所以，．故選：A．例53．（2023秋·北京·高三?？茧A段練習(xí)）如圖是某高山滑雪場(chǎng)的一段滑道的示意圖，圖中該段滑道對(duì)應(yīng)的曲線可以近似看作某個(gè)三次函數(shù)圖像的一部分，A，B兩點(diǎn)分別是這段滑道的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)（在這個(gè)三次函數(shù)的極值處）.在A，B兩點(diǎn)之間的滑道的最陡處，滑道的坡度為（坡度即坡面與水平面所成角的正切值），經(jīng)測(cè)量A，B兩點(diǎn)在水平方向的距離為90m，則它們?cè)谪Q直方向上的距離約為（）A．20m

B．30m

C．45m

D．60m【答案】B【解析】把函數(shù)圖象平移到在軸，在軸上，如圖，新函數(shù)計(jì)算出的豎直方向上的距離與原函數(shù)結(jié)果相同，由題意題中三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，記為，的最小值是，設(shè)，則，，，因此可設(shè)，，，，所以它們?cè)谪Q直方向上的距離約為30m，故選：B．例54．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一般地，對(duì)于一元三次函數(shù)，若，則為三次函數(shù)的對(duì)稱中心，已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為（），且有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)求導(dǎo)得：，則，由解得，則有，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，由三次函數(shù)圖象與性質(zhì)知，，于是得，解得，綜上得：，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A.考點(diǎn)十八：切線條數(shù)、公切線、切線重合與垂直問(wèn)題例55．（2023春·四川成都·高三樹(shù)德中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．則下列四個(gè)說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（

）①曲線上存在三條互相平行的切線；②函數(shù)有唯一極值點(diǎn)；③函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

④過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O可作曲線的切線．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】，，，則當(dāng)或，，，在，，.對(duì)①，大致圖象如圖所示，可知方程可能有三個(gè)根，即存在三個(gè)極值點(diǎn)，故存在三條互相平行的切線，①正確；對(duì)②，結(jié)合單調(diào)性及大致圖象，，則存在，使得，則當(dāng)；，故②正確；對(duì)③，，則，則大致圖象如圖，故③正確；④設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，則有，，，消元整理可得，易知此方程無(wú)解，故④錯(cuò)誤．綜上，正確的是①②③．故選：B.例56．（2023春·全國(guó)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知過(guò)點(diǎn)不可能作曲線的切線．對(duì)于滿足上述條件的任意的b，函數(shù)恒有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，代入點(diǎn)得，，由于過(guò)點(diǎn)不可能作曲線的切線，則直線與函數(shù)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，，所以函數(shù)在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)遞增；在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值也即是最大值，則．對(duì)于滿足此條件的任意的b，函數(shù)恒有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，等價(jià)于恒有兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)，等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的解．令，則，，即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．記，則，記，則，所以在上單調(diào)遞增．令，得．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．所以．所以．因?yàn)?，所以，所以．即?shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：A例57．（2023秋·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)的圖像上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得在這兩點(diǎn)處的切線重合，則稱為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中不是“切線重合函數(shù)”的為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，顯然是偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；在時(shí)，，都取得極小值，由于是偶函數(shù)，在這兩點(diǎn)的切線是重合的，故A是“切線重合函數(shù)”；對(duì)于B，是正弦函數(shù)，顯然在頂點(diǎn)處切線是重合的，故B是“切線重合函數(shù)”；對(duì)于C，考察兩點(diǎn)處的切線方程，，兩點(diǎn)處的切線斜率都等于1，在A點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得：，在B點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得，顯然重合，C是“切線重合函數(shù)”；對(duì)于D，，令，則，是增函數(shù)，不存在時(shí)，，所以D不是“切線重合函數(shù)”；故選：D.例58．（2023秋·天津?yàn)I海新·高三大港一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)，下列四個(gè)說(shuō)法：①；②當(dāng)時(shí)，；③任意，都有；④若曲線上存在不同兩點(diǎn)，，且在點(diǎn)，處的切線斜率均為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.以上四個(gè)說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（

）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】B【解析】對(duì)于①，函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，故①不正確；對(duì)于②，，設(shè)，，所以在恒成立，則在上單調(diào)遞減，故，即，又，則，所以，可得令，所以在恒成立，則在上單調(diào)遞減，故，即，所以，綜上，恒成立，故②正確；對(duì)于③，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，又，設(shè)，所以，又，所以，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，單調(diào)遞減，則恒成立，所以，即，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)?，所以，令，則得，所以，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以，又得，且則可以得的圖象如下：因?yàn)榍€上存在不同兩點(diǎn)，，且在點(diǎn)，處的切線斜率均為，所以，則與應(yīng)存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，故④不正確.綜上，②③正確，①④不正確.故選：B.例59．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，不妨設(shè)函數(shù)在和的切線互相垂直，則，即①，因?yàn)閍一定存在，即方程①一定有解，所以，即，解得或，又，所以或，，所以方程①變?yōu)?，所以，故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.考點(diǎn)十九：任意存在性問(wèn)題例60．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某同學(xué)對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究后，得出以下結(jié)論，其中正確的有（）個(gè).（1）函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；（2）對(duì)定義域中的任意實(shí)數(shù)的值，恒有成立；（3）函數(shù)的圖像與x軸有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，且每相鄰兩交點(diǎn)間距離相等；（4）對(duì)任意常數(shù)，存在常數(shù)，使函數(shù)在上單調(diào)遞減，且.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對(duì)于（1）：∵函數(shù)的定義域?yàn)?，，∴為偶函?shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故（1）正確.對(duì)于（2）：由（1）知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，∴令，∵，∴，所以在上單調(diào)遞增，∴，即恒成立.故（2）正確.對(duì)于（3）：函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，交點(diǎn)與的距離為，其余任意相鄰兩點(diǎn)的距離為，故（3）錯(cuò)誤.對(duì)于（4）：，，當(dāng)，時(shí)，，，每段區(qū)間的長(zhǎng)度為，所以對(duì)任意常數(shù)，存在常數(shù)，，，使在上單調(diào)遞減且，故（4）正確.故選：C.例61．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于任意都有，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以轉(zhuǎn)化為：，令，，①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.②當(dāng)時(shí)，您，所以，（i）當(dāng)即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，，所以.(ii)當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，所以.綜上，的取值范圍為：.故選：B.例62．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知且，若任意，不等式均恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，，令，則恒成立，令，則，，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；所以，故遞增，當(dāng)，即時(shí)，，不合題意；當(dāng)，即時(shí)，要使恒成立，則恒成立，令且，則，，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；所以，故在上遞增，而，此時(shí)時(shí)，即恒成立.綜上，的取值范圍為.故選：A例63．（2023·吉林·長(zhǎng)春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，）在區(qū)間上總存在零點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)為函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)（，）在區(qū)間上總存在零點(diǎn)，所以，即，，則點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，所以（），設(shè)（），則設(shè)，，則，，令，，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，則，即當(dāng)時(shí)，，所以在是增函數(shù)，則，即時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，則，綜上：的最小值為，故選：A.考點(diǎn)二十：雙參數(shù)最值問(wèn)題例64．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在函數(shù)，，若對(duì)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，令，則，恒成立，即恒成立，即令令，即在單調(diào)遞增；令，即在單調(diào)遞減.令令，即在單調(diào)遞增；令，即在單調(diào)遞減；故選：B例65．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值為A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，則，令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,則在單調(diào)遞增單調(diào)遞減，令，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增由題意，，，，,故x+y=2故選A例66．（2023春·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a，b為實(shí)數(shù)，且不等式對(duì)任意的恒成立．則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】依題意：不等式對(duì)任意的恒成立，即①對(duì)任意的恒成立，在上遞增，則，由①，令得，整理得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，①即，只需對(duì)任意的恒成立，令，所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減，所以.故答案為：考點(diǎn)二十一：切線斜率與割線斜率例67．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，在函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)，若直線的斜率的絕對(duì)值都不小于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，在單調(diào)遞減，

設(shè).設(shè)則在上單調(diào)遞減，則對(duì)恒成立，則對(duì)恒成立，則，解之得或.又，所以.例68．（2023春·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，在函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)，若直線的斜率的絕對(duì)值都不小于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，在單調(diào)遞減設(shè)，則設(shè)，則在上單調(diào)遞減則對(duì)恒成立則對(duì)恒成立，因?yàn)?，則，即解得或，又，所以.故選：B例69．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，在其圖象上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)、，總能使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由以及，，所以，，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由于，則對(duì)任意的恒成立，由，可得，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.考點(diǎn)二十二：最大值的最小值問(wèn)題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離）例70．（2023·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，總存在使得成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．－1 B．0 C． D．1【答案】C【解析】由已知得設(shè)構(gòu)造函數(shù)滿足，即，解得，則，令，則函數(shù)可以理解為函數(shù)與函數(shù)在橫坐標(biāo)相等時(shí)，縱坐標(biāo)的豎直距離，∵，且（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），∴若設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由此可知當(dāng)，直線位于直線和直線中間時(shí)，縱坐標(biāo)的豎直距離取得最大值中的最小值，故，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故選：.例71．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由存在，使得成立，故，又對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，，則，可看作橫坐標(biāo)相同時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖象上的縱向距離的最大值中的最小值，又，作示意圖如圖所示：設(shè)，則直線的方程，設(shè)與相切，則，得，有，得或，由圖知，切點(diǎn)，則，當(dāng)直線與，平行且兩直線距離相等時(shí)，即恰好處于正中間時(shí)，函數(shù)與圖象上的縱向距離能取到最大值中的最小值，此時(shí)，，故.故選：B例72．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，記的最大值為，若恒成立，則的最大值為（

）A．e B． C．0 D．【答案】C【解析】∵取絕對(duì)值后有以下四種情況:，，，設(shè),故在恒成立,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,函數(shù)在上單調(diào)遞減,又∵函數(shù)在上為增函數(shù),所以函數(shù)，在上為增函數(shù),函數(shù)，在上為減函數(shù),∴，，，∴∴，∴∵恒成立，∴，解得.∴的最大值為故選：C.例73．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)設(shè)的最大值為，則當(dāng)取到最小值時(shí)（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】A【解析】，當(dāng)時(shí)設(shè)的最大值，在端點(diǎn)處或最低點(diǎn)處取得，最小值為2，最小值為，最小值為4.5，最小值綜上可得，取到最小值時(shí)0.故選：A考點(diǎn)二十三：兩邊夾問(wèn)題和零點(diǎn)相同問(wèn)題例74．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若存在正實(shí)數(shù)x，y使得不等式成立，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】記，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．記，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．由題意，又因?yàn)?，所以，故．故選：D.例75．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值為A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，則，令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,則在單調(diào)遞增單調(diào)遞減，令，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增由題意，，，，,故x+y=2故選A例76．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】