2024-2025學(xué)年四川省成都市某中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年四川省成都市樹德中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷。

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合a={l,a+2},B={a2,1,3},若對VxGA,都有x6B,貝。。為（）

A.1B.-1C.2D.1或2

2.直線2x—y+2=0被圓（x—l）2+（y—2尸=4截得的弦長為（）

A.等B.等C.把D.看

3.如圖為2024年中國大學(xué)生使用APP偏好及目的統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖，下列關(guān)于2024年中國大學(xué)生使用

4PP的結(jié)論正確的是（）

中國大學(xué)生使用APP偏好情況

中國大學(xué)生APP使用目的

購物類25.7%

娛樂類22.2%

①社交需要

新聞類19.3%

②了解最新資訊

社交類18.9%③學(xué)習(xí)需要

④生活需要

金融類

6.2%⑤娛樂需要

生活類5.0%⑥其他

工具類■2.7%

A.超過寺的大學(xué)生更愛使用購物類4PP

B.超過半數(shù)的大學(xué)生使用4PP是為了學(xué)習(xí)與生活需要

C.使用4PP偏好情況中7個占比數(shù)字的極差是23%

D.4PP使用目的中6個占比數(shù)字的40%分位數(shù)是34.3%

4.數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若。5-的=15,04-02=6,則。3為（）

A.4B.-4C.±4D.不確定

5.已知實數(shù)尤，y滿足x>y>0,則下列不等式恒成立的是（）

吟+"B.亨〉歷〉y

C-+->4DJxy

yx—x+y—y7

6.已知四面體/—BCD的外接球半徑為2,若BC=信BDC=芻則四面體Z—BCO的體積最大值為（）

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7.設(shè)F為拋物線r：產(chǎn)=叔的焦點，過尸且傾斜角為60。的直線交曲線「于48兩點(8在第一象限，4在第四

象限)，。為坐標原點，過4作「的準線的垂線，垂足為M,則踹的值為()

11

A.-B.-C.2D.3

8.已知函數(shù)/(久)=含的圖象關(guān)于點P對稱，則點P的坐標是()

A.(2,表)B.(2,1)C.(2,1)D.(0,0)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.甲罐中有5個紅球，5個白球，乙罐中有3個紅球，7個白球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙

罐中隨機取出一球.公表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，出表示事件”從甲罐取出的球是白球”，B

表示事件”從乙罐取出的球是紅球”.則下列結(jié)論正確的是

4

A.&、①為對立事件B.P(B|&)=最

C.P(B)=亮

D.P(B|41)+P(B|X2)=1

TT

10.對于函數(shù)/'(久)=S譏久與9(久)=sin(3久-不)，下列說法正確的是()

A"。)與9。)有相同零點

B.當xG[0,2兀]時，/(X)與g(x)的交點個數(shù)為6

C.將f(x)的圖像向右平移著個單位，并把橫坐標變?yōu)樵瓉淼乃驴梢缘玫絞(x)的圖像

D,將/(久)的圖像橫坐標變?yōu)樵瓉淼臒岵⑾蛴移揭品絺€單位可以得到g(x)的圖像

1

n.已知函數(shù)/(久)=久-丁a"久，下列說法正確的是()

A.若a=1,則曲線八支)在(1,0)的切線方程為久一y—l=0

B.若/(x)<0當且僅當久6(0,1),則a的取值范圍(-8,2)

C=-/(%)

D.若函數(shù)/(x)=久-工一￡1"久有三個零點為X1，K2，％3，貝!la久62%3的取值范圍(2,+8)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知sin(a+0)=-,tana=5tcm0,貝!]sin(a—0)=

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n口上n粕為”)產(chǎn)中n將，當為偶數(shù).%

13.已知數(shù)列{aj兩足：的=7&+i=住在十］,當即為奇數(shù)m'則。4為__.

14.設(shè)ai，a2,a3,<24是數(shù)字1,2,3,4的排列，若存在1Wi</<kW4成立見<出<以，則稱這樣的

排列為“樹德好排列”，則從所有的排列中任取一個，則它是“樹德好排列”的概率是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知在△4BC中，accosB—|bc=a?—抗.

(I)求a；

(2)若a=2,則三角形ABC的面積為避，求b,c.

16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，平面PAD1平面4BCD,PA1PD,AB1AD,PA=PD,AB=2,

AD=8,AC=CD5.

(1)求證：平面PCD1平面P4B；

⑵求點8到平面PCD的距離.

C

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=ex-(a+l)x.

(1)討論/'(功的單調(diào)性;

(2)若/'(%)=ex-(a+l)x2b對于xGR恒成立，求b-a的最大值.

18.(本小題17分)

已知橢圓C：今+5=1過B(l,—|),E(一|,—冷F(—2,0)中的三點.

(1)求橢圓方程及其離心率；

(2)過P(4,0)作直線QR交C于Q,R兩點(QKR),聯(lián)結(jié)BP,BR,過Q作方軸垂線分別交BP,BR于M,N.求

證：M為QN中點.

19.(本小題17分)

若數(shù)列{a”}(lW〃<k,n￡N*,keN*)滿足a”e{0,1},則稱數(shù)列{&J為k項0—1數(shù)列，由所有k項0—1數(shù)列組

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成集合Mt.

(1)若｛斯｝是12項0-1數(shù)列,當且僅當n=3p(p6N*,pW4)時,an=0,求數(shù)列｛(一1)%?｝的所有項的和;

(2)從集合“女中任意取出兩個不同數(shù)列｛斯｝，^?｝，記X=￡f=i|a「瓦|.

①若k=3,求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

②證明：E(X)>1.

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參考答案

l.c

2.D

3.C

4.C

5.B

6.D

7.0

8.A

9.AB

10.BC

11.ACD

12；

13.34

14—

12

15.解：(l)^accosB-^bc=a2-b2,根據(jù)余弦定理得ac?史喘也一|bc=M一82,

化簡得+〃-/=%，所以cos/='+

Zbcz

TT

因為“e(0,TT),所以/=§；

⑵由/=7,得S=^besinA=^besirv^==A/3,解得尻=4,

又因為a=2,由余弦定理知a?=82+c2-26CCOSA,所以4=/?2+c2—be=(b+c)2—3/?c,

所以(b+c)2=4+3bc=4+3x4=16,所以b+c=4,

又因為be=4,所以b=c=2.

16.解：(1)證明：平面P/W_L平面ABC。，交線為4D,AB1AD,ABu平面48CD,

所以4B1平面PAD,

因為PDu平面PAD,所以4B1PD,

因為P21PD,ABnP4=A,AB,PAu平面P4B,

所以PD1平面P4B,

因為PDu平面PCD,所以平面PCD1平面P4B；

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(2)取4D中點為。，連接C。，P0,

又因為P4=PD,所以P。1AD,則4。=P0=4,

因為4c=CD=5,所以C。1AD,貝UC。=^AC2-AO2=3,

以。為坐標原點，分別以無，0A,方的方向為x,y,z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系。-久yz,

則4(0,4,0),B(2,4,0),C(3,0,0),￡)(0-4,0),P(0,0,4),

PC=(3,0-4),PO=(0-4-4),PB=(2,4,-4),

設(shè)完=O，y,z)是平面PCD的一個法向量，

(n1PC(n-PC=0[3x-4z=0

則V歷則依3=0,得L4y-4z=0,

令z=3,則x=4,y=-3,所以■=(4,—3,3),

設(shè)點B到平面PCD的距離為％.

I，_|n?~PB\_|(4,-3,3)?(2,4,-4)|_|T6|_9^/34

“6+9+9-734--h

所以點2到平面PCD的距離為八為耳,

17.解：(1)因為/(x)=ex-(a+l)x,所以尸(乃=ex-(a+1),

當a<-1,f'(x)>0,所以f。)在R上單調(diào)遞增，

當a〉—1,令，(X)>0,得x>ln(a+1),令/'(無)<0,得x<In(a+1),

所以/(久)在(-oo,ln(a+1)］上單調(diào)遞減，在［ln(a+1),+8)上單調(diào)遞增，

綜上，當aW-1時，在R上為單增遞增；

當a>—l時，f(x)在(-8,ln(a+1)］上單調(diào)遞減,在［ln(a+1),+8)上單調(diào)遞增;

(2)由(1)知，當a<—1,/(x)在R上為單調(diào)遞增,

且XT-8,/(久)一—8,不合題意，

當a=-l,/(x)在R上單調(diào)遞增，且%-—8,

所以6<0,貝必一a的最大值為1,

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當Q>-1,/(%)在(-8,］n(a+1)］上單調(diào)遞減,在［ln(a+1),+8)上單調(diào)遞增,

所以/(%)在X=ln(a+1)處取得極小值，也是最小值，

因為f(ln(a+1))=eln(a+1)—(a+l)ln(a+1)=(a+1)—(a+l)ln(a+1),

由不等式e“-(a+l)x>b,可得(a+1)—(a+l)ln(a+l)—b>0,

所以b—a<l—(ci+l)ln(ci+1),

令F(x)=l—xlnx(x>0),則尸'(%)=—lnx—1,

當0<x時，F(xiàn)'(x)>0,則尸(x)在(0,3上單調(diào)遞增，

當x>：時，F(xiàn)z(x)<0,則FQ)在《,+8)上單調(diào)遞減，

即=1+1>即b-a<1+1,

此時6-a的最大值為1+十，

綜上，6-a的最大值為1+十.

18.解：⑴由于4,8關(guān)于無軸對稱，故/,B同時在橢圓C：等+若=1上，

a2b2

若a,B,E在今+噲=1上，

U+2=i

則加9歲289―,解得aZ=/=爭

-i-------2,L4

125a2100b

此時方程為：/+y2=孕，為圓的方程，不合題意，

若4B,F在今+餐=1上，

+9

一

/■一I

胡

la24-1

熊

故橢圓方程為：3+5=1，

43

C=yla2-b2=1,離心率為6="；

(2)證明：由題，易得直線BP：y=)一2，

如圖,設(shè)QR：x=ky+4,Q(x1yi),R(x2,y2Y

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'%=Zcy+4

聯(lián)立正+尤=1，化簡得：(3fc2+4)y2+24/cy+36=0,

(43

則4=(24fc)2-4(3fc2+4)?36>0,解得：k>2或k<-2,

4k

'yi+y2=一：

所以'vv-歌+4,則+丫2=-刎。2,

吵2-獲中3

]

在BP：y=/一2中，令久=%1=kyi+4,

-11

得V=2(^1+4)-2=-kylt

1

故M(kyi+4,-fcyi),

3

y2+

直線BR：y=J(x-l)-!?令X=kyi+4,

kyz+4-1乙

y2+|3(y2+|)(kyi+3)_g

得y=(fcyi+4-1)--=

ky2+4—1ky2+32'

故N(k%+4,S+??；+3)_|),

ky2+32

要證M為QN中點，即證S+j)(收:+3)_弓+以=kyi，

ky2+3，

即證(y2+|)(^yi+3)=(fc—l)yi(fcy2+3)+,(32+3),

2

BPilE(fc-2fc)yiy2+(|k-3)(%+y2)=0,

將yi+及=—于%丫2代入上式,

22

得(卜2一2/0月、2一如(于一3)%、2=(k-2k-k+2fc)y1y2=0，

故M為QN中點.

19.解：(1)數(shù)列｛an｝(lWn<k,neN*,keN*)滿足“e[0,1｝,

則稱數(shù)列｛即｝為k項0-1數(shù)列，由所有k項0-1數(shù)列組成集合“心

???｛an｝是12項0—1數(shù)列，當且僅當n=3p(p€N*,pW4)時，an=0,

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???當幾=3P—2和九=3p—l(pEN*1P<4)時，an=1.

設(shè)數(shù)列K—iy1%｝的所有項的和為s,

478lo

則S=(-1)^1+(—1)2勾+(—l)a4+(-1)505+(—l)a7+(—l)a8+(—l)aio+(-1尸由1

=(-1)+(-1)2+(-l)4+(-l)5+(-l)7+(-1)8+(—1)1。+(-l)n

=(-1)+1+1+(-1)+(-1)+1+1+(-1)=0,

???數(shù)列｛(一1)%九｝的所有項的和.

(2)①若k=3,

則”3中的數(shù)列有0，0,0；1,0,0；0,1,0；0,0,1；1,1,0；1,0,1；0,1,1；1,1,1；

從集合時女中任意取出兩個不同數(shù)列｛a“｝,｛b,J,X=|七一九|,

X的取值有1,2,3,

從8個數(shù)列中任選2個，共有鬣=28種情況，

其中當X=1時，若選擇0,0,0,可從1,0,0；0,1,0；0,0,1任選1個，共有3種情況，

若選擇1,1,1,可以從1,1,0；1,0,1；0,1,1任選1個，共有3種情況，

另外1,0,0和1,0,1,1,1,0兩者之一滿足要求，0,1,0和1,1,0,0,1,1兩者之一滿足要求,

0,0,1和1,0,1,0,1,1兩者之一滿足要求，共有3+3+2+2+2=12種情況，

..123

故而一亍

當X=3時，0,0,0和1,1,1滿足要求，1,0,0和0,1,1滿足要求，0,1,。和1,0,1滿足要求，

0,0,1和1,1,。滿足要求，共有4種情況，P(X=3)=言=：,

Zo/

P(X