2024-2025學年上海市高橋中學高二年級上冊數(shù)學期中考試試卷（含詳解）

高橋中學2024學年第一學期高二年級期中檢測

科目：數(shù)學

（檢測時間90分鐘滿分100分）

一.填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）

1.直線八%+0y+i=o的一個法向量為.

X2V8

-------二1y=ix

2.若雙曲線4m的漸近線方程為2，則機=.

3.過點“（3/）和'（-2,3）的直線i的一般式方程為.

4.已知公比為§無窮等比數(shù)列｛"/的各項和為萬，則首項外的值為.

22

—i---------1

5.方程5m-3表示橢圓，則實數(shù)機的取值范圍是.

6.已知直線無+沖+6=0和（機_2）%+3）+2機=0互相平行，則實數(shù)加的值為.

8.己知平面直角坐標系中（）,（，■若A為動點且滿足"C5忸°,則動點A的軌跡方程為.

9.已知坐標原點在圓Y+y2+x+3y—a=°外部,則實數(shù)。的取值范圍為.

《上=1

10.若MN是雙曲線43上關于原點對稱的兩個點，尸是該雙曲線上任意一點.當直線尸的斜率都存在時,

記為k\七，則匕.《=.

f（x）=-+log^~S“++…+

11.設函數(shù)L22定義⑺⑴vn人其中〃eN*,〃22,則S”=

工+亡_]

12,橢圓。之后一（a>b>0）右焦點,（。，①關于直線C”的對稱點Q在橢圓上,則橢圓的離心率

是_________.

二.選擇題（本大題共4題，每題3分，滿分12分）

13.若直線勺,2的斜率是方程V+尤-6=°的兩根，則這兩條直線的夾角為（）

14.已知在數(shù)列｛%｝中，。i=3,%=6,且。〃+2=。〃+1-4，則。2024=()

A.3B.-3C.6D.-6

15.用數(shù)學歸納法證明‘+,+,+…由〃=左到〃=上+1時，不等式左邊應添加

71+1幾+2幾+32n24'

的項是()

111

A_____B____________

,2左+1.2左+1k+1

1111

C.---------1-----------D?---------------------

2k+l2k+22k+l2k+2

22

16.曲線國=x+2與曲線C：工+匕=1恰有兩個不同交點，則實數(shù)X的取值范圍為()

11424

A.B.(TO,-1]U(L+°°)

C.(1,+co)D.

三.解答題(本大題共有5題，滿分52分)

17.在數(shù)列｛即｝中,q=2,an+1=3an-2.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式.

(2)若d=4+*求數(shù)列｛與｝的前〃項和S”.

18.己知雙曲線過點(2,1)且它的兩條漸近線方程為x+y=0與x—y=0.

(1)求雙曲線的標準方程.

(2)若直線丁=丘+1與雙曲線右支交于不同兩點，求及取值范圍.

19.某產(chǎn)品具有一定的時效性.在這個時效期內(nèi)，由市場調(diào)查可知,在不做廣告宣傳且每件獲利。元的前提下，可賣出b

件.若做廣告宣傳，廣告費為〃千元時比廣告費為(〃-1)千元時多賣出去件，其中“eN,n＞l.

(1)求銷售量S,,關于廣告費用n函數(shù)關系式.

(2)當。=10,3=4000時，廠家應生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品且廣告宣傳費用為多少元時才能使利潤最大.(利潤=總獲

利一廣告費,并假設廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品全部銷售完.)

20.己知直線/:ot-y+V2-a=0(awR),圓O:x?+y?=4

(1)求證：無論〃取何值,直線/均與圓o相交.

(2)已知AC,BD是圓0的兩條相互兩直的弦,且垂足為,求四邊形ABCD的面積的最大值.

22(3、

21.已知橢圓C:T+￡=1，(°＞匕＞°)過點J，且長軸長是焦距的2倍.

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)若點P為橢圓C上的一個動點，求動點P到定點的最短距離.

(3)若直線/:y=辰+7"(左片0)與橢圓交于不同的兩點監(jiān)N,且線段MN的垂直平分線過定點,0求左的取

值范圍.

高橋中學2024學年第一學期高二年級期中檢測

科目：數(shù)學

一.填空題(本大題共12題，每題3分，滿分36分)

1.直線/：》+百y+1=°的一個法向量為.

【答案】(1,也)

【分析】先求得直線/:x+6y+1=0的斜率，由此求出與其垂直的直線的斜率，進而求得直線的一個法向量.

【詳解】直線/:x+Gy+l=0的斜率為—

故與其垂直的直線的斜率為G.

故直線l:x+^y+l=0的一個法向量為(1,A/3).

故答案為：(1,A/3).

2.若雙曲線三—匯=1的漸近線方程為y=土且％,則m=.

4m2

【答案】3

【分析】由雙曲線的性質(zhì)得出m的值.

【詳解】因為漸近線方程為y=土立x,所以誣=走，解得加=3

222

故答案為：3

3.過點A(3,l)和8(—2,3)的直線/的一般式方程為.

【答案】2x+5y-11=0

【分析】求出直線的斜率后可求直線的一般式方程.

1-32

【詳解】直線的斜率為一.

3+25

故直線的方程為：y=-g(x-3)+l=—gx+

化簡后可得一般方程為：2x+5y-ll=0.

故答案為：2x+5y—11=0.

4.已知公比為;的無窮等比數(shù)列｛4｝的各項和為;，則首項卬的值為.

【答案】-

3

【分析】由已知可得iim1q〉0,得岬1m4=J即可求解.

…[12/22

1----

3

【詳解】解：?.?無窮等比數(shù)列｛%,｝的各項和為工，公比為

23

31

lim—a=—.

n—822

31

212

即q=—.

故答案為：—.

3

22

5.方程二+上—=1表示橢圓，則實數(shù)機的取值范圍是

5m-3

【答案】（3,8）U（8,內(nèi)）

【分析】根據(jù)方程表示橢圓,列出相應的不等式組，解得答案.

22

【詳解】由方程上+上一=1表示橢圓.

5m-3

m—3>0

可得L。，解得m>3且相。8.

5wm—3

故實數(shù)加的取值范圍是：（3,8）U（8,+S）.

故答案為：（3,8）U（8,+s）

6.已知直線x+wiy+6=0和（加一2）%+3丁+2帆=0互相平行，則實數(shù)加的值為

【答案】—1

【分析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出實數(shù)加的值.

【詳解】由直線x+平y(tǒng)+6=0和（加一2）%+3丁+2帆=0互相平行.

lx3-（m-2）m=0

得1?！皁Ln，即加=-1.

1x2m—6（m-2Jw0

故答案為：-1.

7.在數(shù)列｛4｝中，4=2,+貝14=.

【答案】2n

【分析】直接利用恒等變換,對關系式進行變換,進一步利用等比數(shù)列的定義法求出數(shù)列的通項公式.

【詳解】數(shù)列｛4“｝滿足可=2,1+-.

整理得出L=4L,即21±1=1（常數(shù)）

n+1n”

n

則數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，其中首項為2,公比為1.

n

所以％=2xl"T,即4=2〃.

n

故答案為：2n.

8.己知平面直角坐標系中3（-2,0）,。（2,0）.若A為動點且滿足|A@TAC|=g忸C|,則動點A的軌跡方程為

2

【答案】――T=l（x>l）

【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求A的軌跡方程.

【詳解】因為|AB|-|Aq=g忸C|=2,故A的軌跡為雙曲線的右支（扣除頂點）.

且半焦距c=2,實半軸長a=l,故虛半軸長為b=E

2

A的軌跡方程為：V—\=l（x〉l）.

2

故答案為：V—]_=l（x〉l）.

9.已知坐標原點在圓必+）?+%+3'—。=0的外部，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】]一30]

【分析】根據(jù)方程為圓可得a〉-3,再根據(jù)原點在圓外可得a<0,故可求參數(shù)的取值范圍.

2

【詳解】由圓的方程可得仔+32+4a>0即a〉—2.

2

而原點在圓AT2+>2+3y—〃=（）的外部,故0—〃>0即avO.

故—?|<a<0,即ae

故答案為：

22

10.若M,N是雙曲線土-匕=1上關于原點對稱的兩個點,P是該雙曲線上任意一點.當直線PMPN的斜率都存在時,

43

記為h，k2,則匕?k2=______.

3

【答案】-

4

【分析】直接由斜率公式結(jié)合雙曲線方程即可求解.

【詳解】由題意設M(羽力N(—羽―

當直線PM,PN的斜率都存在時,記為左]，左2?

(2、/2、

3￡__]_3—__]

貝^沙—b_yb+y_/一/_〔4J〔43-

"1"2—a—xct~\-x—a9—x2—a?—x2-4

3

故答案為：—.

4

11設函數(shù)/(X)—2+1。82]X，定義S"一/〔j+J+…”1、

，其中〃￡N*,2,則S〃=

九)

n—1

【答案】一

2

【分析】計算出/(%)+/(1-X)=1,再利用倒序相加法可求得S”.

【詳解】對于函數(shù)/'(x)=7+log2；—，有;一〉0,即--<0,解得0<%<1.

21-x1-xx-1

對任意的xe(O,l),l-xe(O,l),則+—月=3+味2x111-x(

1+0+1鳴=1?

1-x2x

++/卜i

所以2sl,m+[”)]KJ("：+",+/(?MJ

_.cR-1

因此，-2?

故答案為：—.

2

22b

12.橢圓5+二=1Qa>b>U)的右焦點E(c,0)關于直線y=-x的對稱點Q在橢圓上,則橢圓的離心率

abC

是

【答案】也

2

【分析】設。（利明利用對稱知識,結(jié)合橢圓方程得出橢圓中a,b,c,之間的關系,再由4=〃+/,離心率為e=￡,及

a

可求出離心率.

【詳解】設E（c,O）關于直線>=3的對稱點為。（加,〃）.

則有線段歹。的中點坐標為（等￡）.

且直線尸。與直線y=垂直.

c

c3-cb12bc2

所以。（,咚）在橢圓上.

aa

/心丫/丫

即有CT~（T，又e=:可得

tz2b2

24262

e(4e-4e+1)+4/=1,可得4e+e-1=0-

所以4e$—2e4+2e4-e2+2e2-1=0.

即(2e?—D(2e,+e?+1)=0,因為0<e<1.

所以Ze?—1=0,解得e=YZ.

2

二.選擇題（本大題共4題，每題3分，滿分12分）

13.若直線心4的斜率是方程9+尤-6=0的兩根，則這兩條直線的夾角為（）

7T兀兀兀

A.—B.-C.-D.一

4632

【答案】A

【分析】設出兩直線的斜率，由一元二次方程根與系數(shù)關系得到兩直線斜率的和與積，代入夾角公式求得/］與42的夾角?

【詳解】設直線4與h的斜率分別為h,網(wǎng),4與4夾角為。.

V直線I”的斜率分別為二次方程f+X—6=0的兩個根,且A=25>0.

:.k[+k?=~\,k、?k?=-6.

...tan"Azk=區(qū)=1

1+k\k?5

7T

V^G[0,7l),：.0=~,

4

故選：A.

14.已知在數(shù)列｛a.｝中，4=3,%=6,且4+2=%+1-。〃，則。2024=()

A.3B.-3C.6D.-6

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，推得4+6=4,得到數(shù)列｛4｝是周期為6的周期數(shù)列，結(jié)合.24=4*337+2=%，即可求解?

【詳解】由題意知，數(shù)列｛4｝中，4=3,4=6，且?！?2=。“+1-。心

可得。“+3=4+2—a“+i，所以4+3=—an,即4+6=an.

所以數(shù)列｛%,｝是周期為6的周期數(shù)列.

貝［|“2024=“6x337+2=4=6.

故選：C.

15.用數(shù)學歸納法證明'+」一+」一+…+工2"（〃21,〃€?4）,由〃=左到〃=攵+1時，不等式左邊應添加

n+\n+2n+32n24'

的項是（）

-----B.-----------

2k+l2k+lk+1

1111

------1------D.------------

2k+l2k+22左+12k+2

【答案】D

【分析】只須求出當〃=左時,左邊的代數(shù)式，當〃=左+1時,左邊的代數(shù)式,相減可得結(jié)果.

【詳解】當〃=左時，左邊的代數(shù)式為」++…+之.

k+1k+2k+32k

當"=左+1時，左邊的代數(shù)式為---------------1-----------------F...H------------------1--------------

女+1+1左+1+2左+1+左2k+2

故用〃=左+1時左邊的代數(shù)式減去n=k時左邊的代數(shù)式的結(jié)果為:

11111

----------------1----------------------------------------------------

k+l+k2k+2k+\2k+12k+2

故選：D.

16.曲線|y|=x+2與曲線。：工+上=1恰有兩個不同交點，則實數(shù)X的取值范圍為（）

11424

A.[-l,0)U(l,+co)B.(-oo,-l]U(l，+°°)

C.(l,+oo)D.(Y0,T]

【答案】B

【分析】先分析出Iyl=x+2表示起點為4(-2,0)的兩條斜率分別為1和-1的射線.

22

分曲線C:工+匕=1為圓,橢圓和雙曲線三種情況分析即可.

424

【詳解】如圖示：lyl=x+2表示起點為4(—2,0)的兩條斜率分別為1和-1的射線.

當曲線。:三+匕=1為圓時，即4=1.

424

此時Iy1=x+2與曲線C：f+,2=4有三個交點,不符合題意.

22

當曲線C:--入-------「1--------=1為橢圓時，即丸>0,只需點A(-2,0)落在橢圓內(nèi).

424

402

即二+上<1,解得：A>1.

424

當曲線。:三+匕=1為雙曲線時，即2<0,漸近線方程：y=±.px.

424V2

要使曲線lyl=x+2與曲線C：三+匕=1恰有兩個不同的交點.

424

只需解得：2<-1.

所以實數(shù)2的取值范圍是—1]U(L-).

故選：B

三.解答題(本大題共有5題，滿分52分)

17.在數(shù)列5｝中，4=2,4+1=-2.

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式.

(2)若2=a”+〃，求數(shù)列｛.｝前”項和Sn.

【答案】(1)an=3"-'+1

、3"-l+n（n+3]

（2）S=----------------L

n2

分析】（1）構造等比數(shù)列即可求解.

（2）由公式法求和，分組求和法即可求解.

【小問1詳解】

因為an+1=3a“-2nan+l-l=3（a?-l）.

所以數(shù)列-1｝是以4-1=1為首項,3為公比的等比數(shù)列.

所以4—1=3"、所以4=3力+1.

【小問2詳解】

因為勿=an+”=3"T+（九+1）.

1-3"〃(2+〃+1)3"-1+〃(〃+3)

所以S“=1-3+2—2

18.已知雙曲線過點（2,1）且它的兩條漸近線方程為x+y=O與x—y=0.

（1）求雙曲線的標準方程.

（2）若直線y=就+1與雙曲線右支交于不同兩點,求k的取值范圍.

【答案】（1）i

33=

G261

（2）-------<k1<-1

3

【分析】（1）利用共漸近線雙曲線系的方程可求雙曲線的方程.

（2）聯(lián)系直線方程和雙曲線方程后利用判別式和韋達定理可求參數(shù)的取值范圍.

【小問1詳解】

因為雙曲線的漸近線方程為x+y=。與x—y=0.

故設雙曲線方程為：x2-/=>t（2^0）.

22

因為雙曲線過（2,1）,故4—1=2即2=3,故雙曲線方程為：5―己_=1.

【小問2詳解】

[22

__匕=]

由<33可得（1一產(chǎn)）d-2區(qū)一4=0.

y=kx+1

因為直線y=丘+1與雙曲線右支交于不同兩點.

△=4左2+16（1—左2）〉o

，故書

所以JT〉°<^<-1.

1-k

-4

——i-kr2>0

19.某產(chǎn)品具有一定的時效性.在這個時效期內(nèi)，由市場調(diào)查可知,在不做廣告宣傳且每件獲利〃元的前提下，可賣出b

b

件.若做廣告宣傳，廣告費為〃千元時比廣告費為（〃-1）千元時多賣出吩件，其中“eN,n>l.

（1）求銷售量S”關于廣告費用〃的函數(shù)關系式.

（2）當a=10,3=4000時，廠家應生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品且廣告宣傳費用為多少元時才能使利潤最大.（利潤=總獲

利一廣告費,并假設廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品全部銷售完.）

【答案】（1）S,=b（2—￡）.

（2）7875件,5000元.

b

【分析】（1）根據(jù)題意,不做廣告時銷售量S0=b,隨后廣告費為n千元時比廣告費為（H-1）千元時多賣出—件，即

hhhhh

〃=1時比〃=0時多賣獷件，Sl=b+—,〃=2時又比72=1時多賣9件，即52=>+夕+笆，以此類推可得S”的

表達式.

（2）設利潤為T“，由（1）可表示出利潤北與〃的關系式，再根據(jù)關系式分析當北最大時〃的取值為多少.

【小問1詳解】

由題意得，S。=6.

因為廣告費為〃千元時比廣告費為（〃-1）千元時多賣出5r件.

hhh

所以爹，S2="凄+丁..

hhh

于是可得5,="m+球+…+*

,111、

“（ri1+或+中+…+亍7）?

由等比數(shù)列求和可得.

（1、

1x（1-訶）

=仇）

s”=b2—5.

所以凡=優(yōu)2-?）

【小問2詳解】

由（1）可得，設利潤為7；.

則7；=4?S.—1000〃.

所以當a=10,3=4000時.

Tn=10x4000（2-￡）-1000〃=40000（2-￡）-1000〃.

[Tn>Tn+1[n>5

若要使Tn最大,貝U二、二,代入可得<.

〔Hi〔三5

故〃=5,此時S“=7875.

所以商家應生產(chǎn)7875件產(chǎn)品且廣告費用為5000元時利潤最大.

20.已知直線/:砒一丁+拒-a=0（aeR）,圓0:/+/=4

（1）求證：無論。取何值，直線/均與圓。相交.

（2）已知AC,BD是圓0的兩條相互兩直的弦,且垂足為M（L夜），求四邊形ABCD的面積的最大值.

【答案】（1）證明見解析

⑵5

【分析】（1）只需證明直線過定點（L0）,且該定點在圓。：/+/=4內(nèi)部即可.

（2）設圓心。到的距離分別為4，《，則=OM。=3,由|4?|=2匠“，忸0=2"-d；,可得

S=-\AC\\BD\的表達式,結(jié)合基本不等式可整理出S<5,從而可求出面積的最大值.

2

【小問1詳解】

直線/:ax—y+A/^-a=0（aeR）即a（九一1）一y+0=0.

令_0,解得x=1,y=JL所以直線過定點（1,V2）.

而12+（拒）2=3<4,所以點（1,0）在圓0:/+3；2=4內(nèi)部.

故無論。取何值,直線/均與圓。相交.

【小問2詳解】

設圓心。到AC,BD的距離分別為dvd2,則d；+dl=OM-=3.

則IAC|=2d4-d：,\BD\=244-甫，所以四邊形ABCD的面積

22

S=||AC|-|JBD|=2A/（4-J1）（4-^）<8-（J1+^）=5.

當且僅當（4一%）=（4—?,即4=人=當時,等號成立.

所以四邊形ABCD的面積最大為5.

22

21.已知橢圓C：二=1,(a>b>0)過點，且長軸長是焦距的2倍.

CTb1

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)