2024-2025學年浙教版九年級數(shù)學上冊專項復習：相似三角形常見模型之平行類相似（4大題型）含答案

專題突破4-1：相似三角形常見模型之平行類相似

01?？碱}型

題型1A字圖及斜A型相似/\-------題型28字圖相似

相似三角形常見模型

之平行類相似--------——

題型3平行類相似與特殊平行四邊形的結(jié)合\QTIJKTHI以I-------題型4的亍類相似的綜合

02技巧解密

一、A字圖及其變形“斜A型”

☆:斜/型在圓中的應用:

如圖可得：APABSAPCD

☆:"字圖”最值應用

/字圖中作動態(tài)矩形求最大面積時，通常當兒加為A48C中位線，矩形面積達到最大值!

試卷第1頁，共12頁

A

二、8字圖及其變形“蝴蝶型”

當AB〃CD時

△AOB^ADOC

性質(zhì)：

AB_OAOB

CD=OD=OC

當NA=NC時，

AAJB^ACJD

性質(zhì)：

ABJAJB

CDJCJD

☆:“蝴蝶型”常見應用

①常出現(xiàn)在“圓”中，直接由相交弦得到，求角度相關(guān)此時注意“同弧所對圓周角相等”的應用;

②出現(xiàn)在“手拉手模型”中，用于證明“兩直線垂直”或者“兩直線成一固定已知角度”

☆：/字圖與8字圖相似模型均是由“平行”直接得到的，二有“||"，多想此兩種模型

常見“〃”的引入方式：

①直接給出平行的已知條件；

②平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等幾何圖形中自帶的平行；

③由很多中點構(gòu)造的“中位線''的平行；

④根據(jù)線段成比例的條件或結(jié)論自己構(gòu)造平行輔助線；

03題型突破

題型一A字圖及其變型“斜A型”

試卷第2頁，共12頁

【例1】.（2023秋?蘭溪市校級期中）

1.如圖，在△NBC中，。是邊上一點，過點D作DE〃BC交4c于點E,若

AD-.DB^A,則義叱：S.ABC的值為（）

【變式11].（2023秋?婺城區(qū)校級期中）

2.如圖，。是△48C邊上一點，連接CD,則添加下列條件后，仍不能判定

的是（）

ZACD=ZBB.ZADC=ZACB

ADCD

D.AC1=ADAB

ACBC

【變式1-2].（2023秋?河東區(qū)期末）

3.如圖，在△NBC中，點P在邊N8上，則在下列四個條件中：①N4CP=/B；②

ZAPC=/ACB；@AC2=AP-AB；@AB?CP=APCB,能滿足△APC與△/C8相似的

條件以及性質(zhì)的是（）

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③

【變式1-3].（2024秋?西湖區(qū)校級月考）

試卷第3頁，共12頁

4.如圖，正方形"NP0內(nèi)接于A/8C,點M、N在8C上，點尸、。分別在/C和4B邊上,

且8C邊上的高40=6cm,SC=12cm,則正方形必⑦。的邊長為.

【變式1-4].（2024秋?義烏市期中）

5.在矩形中，AB=4,AD=6,E是2C的中點，連接過點。作。尸，4s于

點尸.

（1）線段。廠的長為

⑵連接盤，若"交。"點跖則黑

【變式1-5].（2023秋?婺城區(qū)校級月考）

6.如圖，在鈍角三角形4BC中，AB=6cm,/C=12cm,動點。從/點出發(fā)到3點止,

動點￡從C點出發(fā)到/點止.點。運動的速度為1cm/秒，點E運動的速度為2cm/秒.如

果兩點同時運動，那么當以點/、D、￡為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間

是.

7.如圖，四邊形為平行四邊形，￡為邊/。上一點，連接NC、BE,它們相交于點

試卷第4頁，共12頁

（2）若4E=2,EF=1,C尸=4,求的長.

【變式1-7].（2021秋?婁星區(qū)校級期中）

8.某天小明和小亮去某影視基地游玩，當小明給站在城樓上的小亮照相時發(fā)現(xiàn)他自己的眼

睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點恰好在一條直線上（如圖）.已知小明的跟晴離地面L6米，涼

亭頂端離地面1.9米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為2米，涼亭離城樓底部的距離為38米，小亮身高

為1.7米.請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出城樓的高度.

E

【變式1-8].（2024?溫州模擬）

9.如圖，在矩形48co中，AB=2AD,點￡在CD上，ZDAE=45°,尸為2c的中點,

連接AF,分別交AD于點G,H,連接斯.

⑴求證：BD=2EF.

（2）當即=6時，求G”的長.

題型二8字圖及其變型“蝴蝶型”

【例2】.（2024秋?杭州月考）

10.如圖，線段/8、CD的端點都在正方形網(wǎng)格的格點上，它們相交于點若每個小正

方形的邊長都是1,則段的值是（）

試卷第5頁，共12頁

【變式2-1].（2014秋?寧海縣月考）

27

11.半圓。的直徑48=9,兩弦48、相交于點E,弦CD=《,且AD=7,則。E=

D

【變式2-21.（2019?丹江口市模擬）

12.如圖所示，在正方形N8CD中，G為CD邊中點，連接/G并延長交8C邊的延長線于

E點、,對角線AD交NG于尸點.已知尸G=2,則線段/￡的長度為.

【變式2-3].（2024?錢塘區(qū)三模）

13.如圖，在菱形4BCD中，點E在邊/。上，連結(jié)CE交對角線8。于點尸，過點E作EG〃48

交BD于點G.

(1)若CD=CE,ZA=110°,求N8CF的度數(shù).

⑵若AD=15,DE=2AE,求尸G的長.

⑶求證：DF2=FGBF.

【變式2-4].(2024?瑞安市校級模擬)

試卷第6頁，共12頁

14.如圖，在四邊形/BCD中，BC//AD,BC=5,AD=9.點E在線段/C上，EF//BC

交4B于點、F,EG〃CD交AD于點、G,FG交AC千點、H,連結(jié)50.

（1）試判斷尸G與AD的位置關(guān)系，并說明理由.

⑵求黑的值.

（3）若E為NC的中點，80=12,求尸G的長.

題型三平行類相似與特殊平行四邊形的結(jié)合【例3】.（2024秋?義烏市校級月考）

15.在平行四邊形4SC7?中/N=,貝US.ADN：S四邊形CMA?為（）

【變式3-1].（2024?溫州三模）

16.如圖，正方形N8C。由四個全等的直角三角形拼接而成，連結(jié)Z7F交于點若

【變式3-2].（2024秋?海曙區(qū)校級月考）

17.如圖，菱形/BCD中，對角線/C、8。交于點O,EFLBD,垂足為點“，EF分

試卷第7頁，共12頁

別交AD、。。及8C的延長線于點￡、M、F,且EDCF=1：2,則D/：的值為（）

【變式3-3].（2024秋?海曙區(qū)校級月考）

18.如圖，已知在矩形48CZ）中，〃■是4D邊的中點，3M與NC垂直，交直線NC于點N,

連接。N,則下列四個結(jié)論中：@CN=2AN；?DN=DC；③鼻=應；

④AAMNSACAB.正確的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【變式3-4].（2024秋?西湖區(qū)校級月考）

19.如圖，在ZUBC中，點。E,廠分別在邊”,/C,3C上，連接DE,EF.已知四邊形跳地

np1

是平行四邊形，

DC4

（1）若A8=4,求線段的長；

（2）若△/￡>￡的面積為2,求平行四邊形BFED的面積.

【變式3-5].（2024?鹿城區(qū)校級三模）

20.如圖1,在菱形N8CD中，BELAD于點、E,G為C。的中點，延長GE交創(chuàng)的延長線

于點尸，已知/48￡=30。，AB=3.氤P,0分別在線段GE、AB1.（不與端點重合），且

滿足PG=Jl4。，設NQ=x,PF=y.

試卷第8頁，共12頁

BB

⑴求證：GE=EF.

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式.

(3)如圖2,連結(jié)尸。.

①當尸。與r的一邊垂直時，求x的值.

②當點。落在。尸的延長線上時,記尸。與班的交點為年求^的值.

題型四平行類相似的綜合

【例4】.(2023秋?拱墅區(qū)月考)

21.以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格,4B、C、。均在格點上.

圖①圖②圖③

(1)在圖①中，言PD的值為;

(2)利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法.

①如圖②，在48上找一點尸，使工尸=3；

②如圖③，在8。上找一點尸，使ZUPBsACPD.

【變式4-1].(2024?上城區(qū)一模)

22.如圖，點。為△4BC的邊/C上一點，延長8。至點尸，使得CF〃48,點E在線段2c

試卷第9頁，共12頁

(2)若N/8C=60。，BD平分N4BC,求AD的長.

【變式4-21.(2024秋?諸暨市校級月考)

23.【閱讀與思考】

下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應的任務.

圖1

如圖1,在△NBC中，中線NDCE相交于點G,連接DE,

■-D,E分別是2C,48邊的中點，

???①?

:.DE//AC,^.DE=-AC.

2

s，s

BE_BDDEEG_DGDE

',~BA=~BC=7c=2fCG=AG=AC=2

任務：

(1)筆記中橫線部分應填寫①；②S，S

(2)如圖2,在4MNH中，點、K,Z分別在MN,MH邊上,連接4K,⑶交于點E若

MK=；MN,ML=；MH,猜測狂與上小的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,在平行四邊形4BCL?中，點￡、F、G分別是BC、CD的中點，BELEG,

AB=3,AD=275.求4尸長.

【變式4-3].(2023秋?義烏市月考)

24.如圖，在口48。中，48=10,2到的距離為6,點尸是CD邊上的動點，連接AP

并延長直線/。于點E,將ABCP沿直線8E折疊到△8CP,直線8C'交直線4D于點尸.

(1)求證：BF=EF.

試卷第10頁，共12頁

⑵若四邊形/BCD為菱形，且。尸=2,求正的值.

(3)若點P為CA的中點，在改變的過程中，當尸成為以為腰的等腰三角形時，

求/O的長.

【變式4-4].(2023?西湖區(qū)校級二模)

25.如圖，平行四邊形/BCD中，/C與3D相交于點O,點尸為BC中點，4P交BD于點、

E,連接CE,AE=CE.

⑴求證：平行四邊形N2C。為菱形；

(2)若/8=5,AE=3,

①求差CF的值.

BE

②求AD的長.

【變式4-5].(2023?永嘉縣三模)

4

26.如圖1,在中，乙4=90。，AB=6,sinB=y.點。為的中點，過點。

作射線交/C于點點"為射線。E上一動點，過點M作于點N,點

Apd

P為邊ACk一點,連結(jié)NO,且滿足言==，設BN=x,NP=y.

BN5

(1)求線段MN的長.

(2)求了關(guān)于x的函數(shù)表達式.

(3)如圖2,連結(jié)MP.

①當△〃相為等腰三角形時，求x的值.

②以點”為旋轉(zhuǎn)中心，將線段MP按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得線段當點P落在BC邊上

試卷第11頁，共12頁

時，求一二的值?

試卷第12頁，共12頁

1.D

【分析】由題意易得4。:。8=3:1,LADES^ABC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求

解.

【詳解】解：■■-DE//BC,

.-./\ADE^/\ABC,

AD:DB=3A,

AD:AB-3:4,

故選：D.

【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題

的關(guān)鍵.

2.C

【分析】本題考查添加條件證明三角形相似.根據(jù)相似三角形的判定方法（兩邊對應成比例

且夾角相等、三邊對應成比例或兩角對應相等的兩個三角形相似），逐一進行判斷是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】A.當乙4。。=/8時，再由乙4=44,可得出△NCQS4ZHC,故此選項不符合題

.五一

忌；

B.當N/DC=N4C8時，再由//=//,可得出△/CDS^XBC,故此選項不符合題意；

C.當筆=品時，再由4無法判定△/CDs△/BC,故此選項符合題意；

ACBC

4cAD

D.當AC?=AD?AB,即F=F時，再由44=44,可得出,故此選項

ABAC

不符合題意.

故選C.

3.D

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知“兩組對應角相等的兩個三角形相似，兩

邊對應成比例，且它們的夾角相等的兩個三角形相似”是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由//CP=/8,ZA=ZA,可以根據(jù)兩組對應角分別相等的兩個三角形相似

證明△4PCsZX/cB,故①正確；

由=ZA=ZA,可以根據(jù)兩組對應角分別相等的兩個三角形相似證明

答案第1頁，共36頁

△4PCs4ACB,故②正確；

ATAU

由4。2=/尸.43可得黑=嘿，再由乙4=44,可以根據(jù)兩組對應邊成比例，且它們的夾

APAC

角相等的兩個三角形相似證明△/PCs△/C3,故③正確；

由=/尸結(jié)合乙4=44不能證明△/PCsa/CB,故④錯誤；

故選D.

4.4cm

【分析】圖中的長等于正方形"N尸。的邊長.欲求正方形MNP0的邊長即的長，已

知5C和AD的長，4E可用尸。表示出來，考慮借助相似三角形的性質(zhì)解題.

【詳解】解：設正方形”?尸。的邊長為xcm,

???四邊形Z5CQ是正方形，

:.MN=QM=PQ=xcm,ZPQM=ZQMN=90°

??弘0是BC邊上的高，

???ADVBC,

???四邊形?，F(xiàn)加是矩形，

:.NDEQ=90°,DE=MQ=xcm,PQ//BC,

???AELPQ,

則￡Z）=xcm,AE-AD-x=（6-x）cm.

??,四邊形MNP。是正方形，

PQ//BC.

.?.△APQSAACB.

又_L，

AEPQ

5C*

vPQ=xcm,AE=（6-x）cm,SC=12cm,AD=6cm,

6-x_x

6~12f

解得x=4.

故答案為：4cm.

【點睛】本題考查了矩形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，垂線定

義，掌握矩形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

答案第2頁，共36頁

248

y9

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，平行線分線段

成比例定理.

(1)利用三角形面積相等，列出等式，求解即可；

(2)延長。尸交C2的延長線于K,利用相似三角形的性質(zhì)求出KE,再利用平行線分線段

成比例定理求解即可.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意，畫出圖：

A_________________D

???四邊形/日刀是矩形，

...CD=AB=4,BC=AD=6,ZB=ABAD=ZC=90°,

???￡是5c的中點，

.-.BE=-xBC=-x6=3,

22

在RtAABE中，vAB2+BE1=AE2,

?1?AE=yjAB2+BE1=V42+32=5，

■：DFVAE,

,c\--A--D----A--B-----A--E----D--F--

AD?AB=AEDF,

“ADAB24

DF=-------=—；

AE5

24

故答案為：—；

(2)若4C交。尸于點延長。尸交5C延長線于點K,如圖所示:

答案第3頁，共36頁

1Q7

：,EF=AE-AF=5——=-,

55

vZKEF=ZAEB,ZEFK=ZABE=90°,

AKEFS八AEB，

Kz空

/￡

7

-

￡35

---

3

，CK=KE+EC=1+3=應,

33

???AD//CK,

MAMDSACMK

CM_CK

??而一而一

Q

故答案為：—.

9

6.3秒或4.8秒

【分析】本題考查相似三角形性質(zhì).根據(jù)題意分情況討論列式求解即可求出本題答案.

【詳解】解：如果兩點同時運動，設運動，秒時，以點/、D、E為頂點的三角形與△NBC

相似，

則=CE=2t,AE^AC-CE=\2-2t,

①當。與8對應時，有LADEs44BC.

AD：AB=AE：AC,

."：6=(12-2。：12,

Z=3；

答案第4頁，共36頁

②當D與C對應時，有AADESAHCB.

AD：AC=AE：AB,

M2=(12-2r)：6,

t=4.8.

故答案為：3秒或4.8秒.

Q

7.(1)詳見解析；(2)-

【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)得到4。|山。，貝！JS4C=乙4c5,然后證明

△EAFFEBA,則利用相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；

(2)先利用/〃=①7喈￡計算出2E=4,則3/=3,再由/EII3C,利用平行線分線段成比

4

例定理計算出4月=§,然后利用尸?△￡",根據(jù)相似比求出45的長.

【詳解】(1)證明：???四邊形4BCQ為平行四邊形，

??/。|的C,

；/DAC=UCB,

??,UCB=UBE,

???乙DAC=UBE,

“EAF=Z-EBA,Z.AEF=乙BEA,

???△EAFFEBA,

.'.EA：EB=EF：EA,

：?AE2=EF?BE；

(2)?：AE2=EF?BE,

22

??.5￡=—=4,

1

??.BF=BE-EF=4-1=3,

-AEWBC,

AFEFAF1,4

----------，即nn---=—，解倚AF=一,

FCBF433

???△EAF?AEBA,

4

AFEF-1

???——=——,即nn3=一

ABAE木2

AD

8

；?AB=—.

3

答案第5頁，共36頁

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形

中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般

方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形，靈活運用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系.也

考查了平行四邊形的性質(zhì).

8.5.9米.

【分析】如圖（見解析），過點A作/于點交CD于點N,先根據(jù)矩形的判定

與性質(zhì)可得NN=2米，NM=40米，DN=MF=1.6米,CN=0.3米，再根據(jù)相似三角形的

ANCN

判定可得然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得=y由此可得的長,

AMEM

最后根據(jù)GF=EM+-EG即可得出答案.

【詳解】解：如圖，過點A作/尸于點M,交CA于點N,

E

BDF

H——>+<----------------H

2米38米

則四邊形ABDN和四邊形ABFM都是矩形，

MF=AB=DN,AN=BD,AM=BF,CD//EF,

由題意得：A8=L6米，CZ>=1.9米，BD=2米,=38米，￡G=1.7米，

；./N=2米，加=8。+。尸=40米，DN=MF=L6米,CN=CD-DN=03米,

■：CD//EF,

:.AACN~AAEM,

,ANCN2_0.3

"IMs40

解得￡M=6（米），

則城樓的高度為GW=EM+MF—EG=6+1.6-1.7=5.9（米），

答：城樓的高度為5.9米.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的應用等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造相似三

角形是解題關(guān)鍵.

9.（1）見解析

答案第6頁，共36頁

（2）4

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及三角形的中位線定理：

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出28=CD=2/。，NADC=ND4B=90。,結(jié)合直角三角形的性質(zhì)、

等腰三角形的判定求出則O￡=CE,即可求出所是的中位線，根據(jù)三

角形中位線的性質(zhì)求解即可；

（2）結(jié)合（1）求出80=12,根據(jù)矩形的性質(zhì)求出D差F=：1,大BF二1由

AB2AD2

AD//BC,即可判定△O￡Gs△氏4G,^FBH^ADH,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出

QG=4,BH=4,根據(jù)線段的和差求解即可.

【詳解】（1）證明：??,四邊形45c。是矩形，AB=2AD,

,AB=CD=2AD,ZADC=/DAB=90°,AD=BC,

-ZDAE=45°f

??./DEA=90°-45°=45°=/DAE,

AD=ED,

:.CD=2DE,

：.DE=CE,

?.F為5。的中點，

???￡/是△BCD的中位線，

??.BD=2EF；

（2）解：由（1）知，BD=2EF,

EF=6,

.-.52）=12,

vAB=CD=2AD=2DE,AD=BC,方為5C的中點，

DE_1BF_1

W，~AD=2f

在矩形/BCD中，CD//AB.AD//BC,

?EGs小BAG,小FBH^ADH

DE_DGBHBF

，，'7B=~BG=2,~DH~7D=2f

DG_1BH_1

''12-DG~29U-BH~2f

DG=4,BH=4,

答案第7頁，共36頁

：.GH=BD-DG-BH=4.

10.A

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題,

屬于中考?？碱}型.如圖，取格點J,K,設交格線于。.證明AAZOSABKO,求出

OK,OD,再證明ADOMSACBM,可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，取格點J,K,設N8交格線于。.

■：AJ//BK,

:.△AJOS^BKO,

:.JO:OK=AJ:BK=1:3,

3

:.OK=-,

4

7

:.OD=DK+OK=-,

4

DO//BC,

：ADOMS4cBM,

7

DMDO4_7,

.MC12

一標一7,

故選：A

11.3V2

【分析】本題考查圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相關(guān)性質(zhì)定理是正確解決本

題的關(guān)鍵.

根據(jù)圓周角定理得出的兩組相等的對應角，易證得“EBS.DEC,根據(jù)C。、4B的長，即

可求出兩個三角形的相似比；設BE=x,則OE=7-x,然后根據(jù)相似比表示出/￡、EC的

長，連接8C,首先在RM8EC中，根據(jù)勾股定理求得8C的表達式，然后在中，

由勾股定理求得x的值，進而可求出。E的長.

【詳解】解：ZD=ZA,NDCA=ZABD,

答案第8頁，共36頁

:."EBsaEC；

ECDEDC_3

35

BE-x,貝lj￡>￡=7-x,EC=~x/百=§（7-x）;

連接BC,則NZCB=90。；

D

34

CRLBCE中，BE=x,EC=-x,貝"C=1；

O

35164

在Rt/k/BC中，AC=AE+EC---------x,BC=-x；

3155

由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2,

整理,得f一14巳+31=0,

解得：X[=7+3近（不合題意舍去），x2=7—3A/2,

則?！?7-x=3亞.

12.12

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出/5IIC。，進而可得出△GQR根據(jù)相似三角形的

ApAg

性質(zhì)可得出====2,結(jié)合尸G=2可求出NRNG的長度，由CGII4B、ZB=2CG可得出

GFGD

CG為的中位線，再利用三角形中位線的性質(zhì)可求出“￡的長度，此題得解.

【詳解】???四邊形48co為正方形，.?.48=CD,ABWCD,.-.^ABF=AGDF,4BAF=4DGF,

AF4B

■.AABF-AGDF,—=—=2,：.AF=2GF=A,：.AG=6.

GFGD

■：CGUB,AB=2CG,,CG為△E/2的中位線，；./￡=2/6=12.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形的中位線，利用相

答案第9頁，共36頁

似三角形的性質(zhì)求出AF的長度是解題的關(guān)鍵.

13.(1)/BC尸=70。

(2)尸G=4

(3)證明見解析

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)和判定，相似三角形的判

定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運用相關(guān)知識.

(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)可得//=110。，AD//BC,N4DC=180。-44,根據(jù)。=CE可得

ZADC=ZCED,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得的度數(shù)；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)可證ADEGSAD/B,可得器=黑=空=：,根據(jù)m=15可得

DAABDB3

QG=10,再根據(jù)EG//AB,可得ZFDC=ZFGE,ZFCD=ZFEG,從而證得AFDCS公FGE,

口FGEGEGDG2“工分金

且而=而=益=礪=屋從而求待PG的長;

FGEF

(3)由(2)同理可證：AFDCS^FGE,得到---=---,證明石尸,得到

DFCF

DFEF/［。廠FG目

工，進而倚到而=而，從而證倚如?=2見

BF

【詳解】(1)解：.??四邊形/BCD為菱形，乙4=110。,

.?.Z^Z>C=180o-110o=70°,AD//BC,

CD=CE,

.?.△CQ￡是等腰三角形，ZADC=ZCED=70°,

?:AD〃BC,

./BCF=ZCED=70°；

(2)解:vEG//AB,

.△DEGS^DAB,

DEDEDG

.五-DE+AE―五'

?AD=15,DE=2AE,

DE_DE_DG_2

~DA~DE^AE~DB~3

.DG=10,

又???四邊形"BCD為菱形，

DC=AB,DC//AB//EG,

:AFDCS^FGE,

答案第10頁，共36頁

FGEGEGDG2

~FD~^C~AB~DB-3

FG+FD=DG=10,

:.FG=4；

(3)證明：由(2)同理可證：AFDCSAFGE,

.FGEF

,^F~~CF9

??,AD//BC,

，ADEFS^BCF,

.DFEF

.DFFG

一而一BF’

..DF?=FGBF.

14.(1)FG//BDf見解析

(2)-

(3)6

【分析】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)

等知識.熟練掌握平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

Ar4FAEAGAFAG、丁皿

(1)由￡尸〃5C,可得——=——,由￡G〃C。，可得---,貝n！!-f--二---，證明

ABACACADABAD

在AGs小BAD,貝=進而可證FG〃9；

FFAFAGAF

(2)證明則---=---,證明△4EGS44CD,則---=---,可得

BCACADAC

4GFFFFBC5FHEF4留十

—,可求旦="=巳，證明所〃^EFH^AGH,則西計算求

ADBCAGAD9

解即可;

APAJ7Ap1

(3)由(1)知，,由E為/C的中點，可得r=由(1)可知

ABACAB2

FGAFFG1

JAGSABAD,貝=即不？=彳，計算求解即可.

BUAB122

【詳解】(1)解：FG//BD,理由如下；

EF//BC,

AF_AE

~AB~AC

答案第11頁，共36頁

-EG//CD,

AEAG

,?刀-IF'

AFAG

??瓦―茄’

又?:/FAG=/BAD,

???八FAGS^BAD,

??.ZAFG=/ABD,

FG//BD；

(2)W：-EF//BC,

ZAFE=ZABC,ZAEF=ZACB,

：.AAEFS"CB,

EFAE

,?茄一就‘

-EG//CD,

同理，AAEGS^ACD,

AGAE

,?而一就‘

AGEF

,?茄一就’

EFBC_5

??前一而一“

-EF//BC,BC//AD,

?-EF//AD,

ZEFH=ZAGH,ZFEH=ZGAH,

.MEFHS^AGH,

FHEF

??前一前‘

FH5

...=一；

HG9

,.,AFAE

(z3x)解：由(z1)知，--=――，

ABAC

???￡為ZC的中點，

AF

—―，

AB2

由(1)可知AE4GSAA4￡>,

答案第12頁，共36頁

FGAFFG1

???——=——，即Rn——=-,

BDAB122

解得，F(xiàn)G=6,

?,?尸G的長為6.

15.B

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相

似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明根據(jù)相似三角形

S1

的面積比等于相似比的平方，求出甘迪=之,設邑3,=x，則S-=16x,根據(jù)同高三

角形的面積比等于底邊比，求出S”=4x,進而可得S.mv=5x,然后推出

S四邊形CAW5=19%,即可得出結(jié)果.

【詳解】解：???四邊形/BCD為四邊形，且AN=：NB,

：.AB//CD,AB=CD,AN=-AB=-CD,

44

MANMSKDM,

MNAN

"MD~CD~49

,S^ANMJAN^1

S.CDM{CD}16,

設S4ANM=%，則S&ADM=16%,

S"=MN=1

3ADMMD4'

S叢ADM~4x,

S^ADN=S^AMN+S“DM=5x,S“c0=S“DM+^^CDM=4x+16x=20x

???S“BC=S.ACD=20、，

S四邊形=S&ABC_S“NM=19%,

S"DN-S四邊形CMNS-5,19?

故選：B.

16.C

【分析】過點〃作HQ///3交。后于點。，HG交DE于點、N,

答案第13頁，共36頁

【詳解】解：如圖所示，過點H作HQ//4B交DE于點Q,HG交DE于點N,設/B=3a,

利用8。〃。,//0〃8,四〃所,得到三角形相似，對應線段成比例，求出9=生匣，從

7

而得到黑=言即可得出結(jié)果-

?.?正方形ZBCD由四個全等的直角三角形拼接而成,

△AEH=^BFE=ACGF=ADHG,

設45=3a,

AH1

,~AE~29

AE=BF=CG=DH=2a,

BE=CF=DG=AH=tz,

HG=y/5a,

HQ//AB,

,HQ_DHHQ_2a

一=---即=—

AEAB2a3a

4

-HQ!ICD,

4

HNHQ即鏟—HN

2VG-DG

ay[5a-NH

，*宇

?.?HNHEF,

4小a

HM=網(wǎng)即

HM

IAFEF7

~MFy[5a

HM4

~MF~^

答案第14頁，共36頁

故選：c.

【點睛】本題主要考查了三角形相似，得出對應線段成比例，由線段平行，得出三角形相似

是解本題的關(guān)鍵.

17.D

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判斷,

先由菱形的性質(zhì)得到ND〃3C,AC1BD,AD=BC,再證明/C||E尸，進而證明四邊形

NEFC是平行四邊形，得到=由此可得到。E：BF=1-.5,再證明

△TYEHs4BFH,得到==—,則DH：DB=—.

BHBF56

【詳解】解：???四邊形/BCD是菱形，

AD//BC,AC1BD,AD=BC,

EF上BD,

：.AC\\EF,

???四邊形是平行四邊形，

??.AE=CF,

vED：CF=1：2,

/.ED：AE=1:2,

ED:AD=ED：BC=1:3,

???DE：BF=1:5,

???AD//BC

DHDE\

??而一而一丁

:.DH：DB，,

6

故選：D.

18.B

【分析】通過證明△/“Ns/XCBN,可得0"=則，可證CN=2/N；過D作DH〃BM

BCCN

交/C于G,可證四邊形是平行四邊形，可得BH=MD=；BC,由直角三角形的性

質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得DN=DC；由平行線性質(zhì)可得=,

ZABC=ZANM=90°,可證△/九Ws2Xc/B；通過證明△/BMs△臺。，可得

答案第15頁，共36頁

務款可求必爭c，即可得器哆則可求解.

【詳解】解：在矩形/5C。中,

AD〃BC,

:AAMNSKBN,

AM_AN

^C~~CN"

河是Z。邊的中點,

,AM=MD=-AD=-BC,

22

.AN-1

,,一，

NC2

:.CN=2AN,故①正確；

如圖，過。作?！āㄊ蟅f交ZC于G,

???DH//BM,BM1AC,

-：DH//BM,AD//BC,

二四邊形BA0H是平行四邊形,

BH=MD=-BC,

2

BH=CH,

???NBNC=90°,

NH=HC,且?！╛L4C,

〃是NC的垂直平分線，

：.DN=CD,故②正確；

???四邊形/BCD是矩形，

AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,

:.NDAC=NACB,ZABC=ZANM=90°,

FAMNSACAB,故④正確；

■：^AMN^CAB,

答案第16頁，共36頁

.MNAB

…而一而’

???AD//BC,

：.ADAC=ZBCA,S.ABAC+ZACB=90°,ZDACZAMB=90°f

:.ZBAC=ZAMB,>ZBAM=ZABC,

:AABMS八BCA,

.AM_AB

AB1=-BC2,

2

AB=—BC,

.AB

.旦=叵,故③錯誤.

AD2

故選：B.

【點睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，斜邊上的中

線，中垂線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的

關(guān)鍵.

19.(1)1

⑵12

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握相似三角形面積的

比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵.

(1)證明△/DESZX/8C,根據(jù)相似三角形對應邊的比相等列式，可解答；

(2)根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可得△/2C的面積是32,同理可得A￡FC

的面積是18,根據(jù)面積差可得答案.

【詳解】(1)解：,??四邊形跳切是平行四邊形，

:.DE\\BF,

:.DE//BC,

:.LADEs△力,

.ADDE

一下一茄一"

???AB=4,

答案第17頁，共36頁

.-.AD=1；

(2)解："ADEs"BC,

1

.s.ADE,(DE\py：

"S"hcjUJ16,

???△4DE的面積為2,

:.AABC的面積是32,

???四邊形BFED是平行四邊形,

EF//AB,

:.AEFCSAABC,

.?.△EFC的面積是18,

:?平行四邊形跳‘磯)的面積=32-18-2=12.

20.⑴見詳解

3

(2)y=—y/3x+3A/3,0<x<—

⑶①!或者?②w

【分析】(1)根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得/E=；AB,即可得

CG=GD=DE=AE,再證明AEGD四AE",問題得證；

13

(2)先證明=尸=30。=乙455，即有骸=55，進而可得4E1=5/6=5,

GE=EF=BE=*,則有GF=GE+EF=3百，即有GP=Gk-Pk=3右一了，結(jié)合

PG=43AQ,AQ=X,可得36一>=3，問題隨之得解；

(3)①分類討論，當