2024-2025學(xué)年浙教版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期專項復(fù)習(xí)：圓（考點(diǎn)清單）解析版

清單04圓的基本概念（考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

考點(diǎn)儕單

【清單01］圓的定義

1.在一個平面內(nèi)，線段。4繞它固定的一個端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓.這個固

定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段。I叫做半徑.以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作。0,讀作圓0.

注意：（1）圓指的是“圓周”，即一條封閉的曲殘，而不是“圓面”。

（2）“圓上的點(diǎn)”指的是圓周上的點(diǎn)，圓心不在圓周上。

（3）確定一個圓需要兩個要素:一是定點(diǎn)，即圓心；二是定長，即半徑。圓心確定圓的位置，半徑確

定圓的大小。只有圓心和半徑都確定了，圓才能被唯一確定。

【清單02】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

點(diǎn)和圓的點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系

圖示

位置關(guān)系文字語言符號語言

圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都小于半徑，

點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)P在圓內(nèi)<r

到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)都在圓內(nèi)@

圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑，@F

點(diǎn)在圓上點(diǎn)尸在圓上od=r

到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在圓上

圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都大于半徑，&

點(diǎn)在圓外點(diǎn)P在圓外od>r

到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)都在圓外

注意：（1）利用d與廠的數(shù)量關(guān)系可以判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系；同時，知道了點(diǎn)和圓的位置善長，也可以確

定d與廠的數(shù)量關(guān)系。

（2）符號“O”讀作“等價于”，它表示從符號的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端。

（3）弦、弧、圓心角

1.連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是同一圓中最長的弦，直徑等于半徑的

2倍.

2.圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、3為端點(diǎn)的弧記作前，讀作弧AB.在同圓或等圓中，

能夠重合的弧叫做等弧.

3.圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)

弧，小于半圓的弧叫做劣弧.

4.從圓心到弦的距離叫做弦心距.

5.由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.

6.頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

【清單03］定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓.

注意：⑴“不在同一直線上”這個條件不可忽視，換句話說，在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓；

⑵“確定”一詞的含義是“有且只有"，即“唯一存在”.

【清單04】三角形的外接圓

⑴經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三

角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.

⑵三角形外心的性質(zhì)：

①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；

②三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)

個，這些三角形的外心重合.

⑶銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形

外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.

【清單04】旋轉(zhuǎn)的概念

一般地，一個圖形變?yōu)榱硪粋€圖形，在運(yùn)動的過程中，原圖形上的所有點(diǎn)都繞一個固定的點(diǎn)，按同

一個方向，轉(zhuǎn)動同一個角度，這樣的圖形運(yùn)動叫做圖形的旋轉(zhuǎn).這個固定的定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過的

角叫做旋轉(zhuǎn)角.如下圖，點(diǎn)0為旋轉(zhuǎn)中心，/AOA，（或NB0B，或/COC，）是旋轉(zhuǎn)角.

注意：

（1）旋轉(zhuǎn)的三個要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.

（2）如上圖，如果圖形上的點(diǎn)A經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)A',那么這兩個點(diǎn)叫做這個圖形旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn).點(diǎn)

B與點(diǎn)B，,點(diǎn)C與點(diǎn)均是對應(yīng)點(diǎn)，線段AB與A'B，、線段AC與A，C'、線段BC與B'。均是

對應(yīng)線段.

【清單05］旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

一般地，圖形的旋轉(zhuǎn)有下面的性質(zhì)：

(1)圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形和原圖形全等；

(2)對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

(3)任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角度.

要點(diǎn)：圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按順時針旋轉(zhuǎn)也可以按逆時針旋轉(zhuǎn).

【清單06】旋轉(zhuǎn)的作圖

在畫旋轉(zhuǎn)圖形時，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，再將這些關(guān)鍵點(diǎn)沿指定的方向旋轉(zhuǎn)

指定的角度，然后連接對應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形.

注意：作圖的步驟：

(1)連接圖形中的每一個關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；

(2)把連線按要求(順時針或逆時針)繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度(旋轉(zhuǎn)角)；

(3)在角的一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；

(4)連接所得到的各對應(yīng)點(diǎn).

【清單07】垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分

弦所對的兩條弧；

如圖，幾何語言為:

AE=BE

要點(diǎn)：是直徑'

CD{AC=BC

CDXAB,

AD=BD

2.推論定理1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦

所對的弧.

定理2：平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦.

要點(diǎn)：

(1)分一條弧成相等的兩條弧的點(diǎn)，叫做這條弧的中點(diǎn).

(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.

【清單08】垂徑定理的拓展

根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：

（1）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；

（2）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

（3）圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

注意：

在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這

五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的弦不

能是直徑）

【清單09】圓心角與弧的定義

1.圓心角定義：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.如圖所示，NAOB就是一個圓心角.

要點(diǎn)：（1）一個角要是圓心角，必須具備頂點(diǎn)在圓心這一特征;

（2）圓心角/AOB所對的弦為線段AB,所對的弧為弧AB.

2.1°的弧的定義

1°的圓心角所對的弧叫做1°的弧.如下圖，

要點(diǎn):

（1）圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.注意不是角與弧相等.即不能寫成圓心角NA0B=0.

（2）在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧.等弧的長度相等，所含度數(shù)相等（即彎曲程度相等）.

【清單10］圓心角定理及推論

1.圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

要點(diǎn)：（1）圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距。（2）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對兩條弦的弦心距

相等。（3）注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.

2.圓心角定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等,

那么它們所對應(yīng)的其余各對應(yīng)量都相等.

要點(diǎn)：在同圓或等圓中，弦，弧，圓心角，弦心距等幾何量之間是相互關(guān)聯(lián)的，即它們中間只要有一組量相

等，（例如圓心角相等），那么其它各組量也分別相等（即相對應(yīng)的弦、弦心距以及弦所對的弧也分別相等）.

*如果它們中間有一組量不相等，那么其它各組量也分別不等

【清單11】圓周角

圓周角定義：

像圖中/AEB、/ADB、NACB這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

【清單12】圓周角定理：

內(nèi)容：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半.

要點(diǎn)：（1）圓周角必須滿足兩個條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.（2）圓周角定理成立的前提條

件是在同圓或等圓中.（3）圓心與圓周角存在三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；

圓心在圓周角的外部.（如下圖）

第一種情況第二種情況第三種情況

1.圓周角定理的推論1：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

2.圓周角定理的推論2：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧也相等.

【清單13】圓內(nèi)接四邊形

如果一個四邊形的各個頂點(diǎn)在同一個圓上，那么這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的

外接圓.

【清單14】圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理

圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).

圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）.

要點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起

來.在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補(bǔ).

【清單15】正多邊形的概念

各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.

要點(diǎn)：判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱

形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

【清單16】正多邊形的重要元素

1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊

形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓.

2.正多邊形的有關(guān)概念

⑴一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

⑶正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

3.正多邊形的有關(guān)計算

⑴正n邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是""；

⑵正n邊形每個中心角的度數(shù)是把；

(3)正n邊形每個外角的度數(shù)是把.

n

要點(diǎn)：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.

【清單17】正多邊形的性質(zhì)

1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.

2.正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形.

3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)

邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相

似比的平方.

5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

要點(diǎn)：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外

切正多邊形.

【清單18】弧長公式

半徑為R的圓中360。的圓心角所對的弧長（圓的周長）公式：C=

n°的圓心角所對的圓的弧長公式：/=晝?nèi)ɑ∈菆A的一部分）

180

要點(diǎn)：（1）對于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的一，即」二”R=型；

360360180

（2）公式中的n表示1。圓心角的倍數(shù)，故n和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

（3）弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第

三個量.

【清單19】扇形面積公式

1.扇形的定義

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.

2.扇形面積公式

半徑為R的圓中360°的圓心角所對的扇形面積（圓面積）公式：5=開五2

n°的圓心角所對的扇形面積公式：%=空H=LR

**3602

[2

要點(diǎn)：（1）對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的—即J_x成2=至上

360360360

（2）在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩

個量就可以求出第三個量.

（3）扇形面積公式S扇形=；/R,可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式S=有點(diǎn)類

似，可類比記憶；

（4）扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：S扇形=幽_=工㈣~XR=LR.

扇形36021802

盛型儕單

【考點(diǎn)題型一】圓的基本概念

【例1】以下命題：（1）等弧所對的弦相等；（2）相等的圓心角所對的弧相等；（3）三點(diǎn)確定一個圓;

（4）圓的對稱軸是直徑；（5）三角形的內(nèi)心到三角形三邊距離相等.其中正確的命題的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項.

本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì).

【詳解】解：(1)等弧所對的弦相等，正確，符合題意；

(2)同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故原命題錯誤，不符合題意;

(3)不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓，故原命題錯誤，不符合題意；

(4)圓的對稱軸是直徑所在的直線，故原命題錯誤，不符合題意；

(5)三角形的內(nèi)心到三角形三邊距離相等，正確，符合題意；

正確的命題有2個，

故選：B..

【變式1-1］下面說法錯誤的是()

A.圓有無數(shù)條半徑和直徑B.直徑是半徑的2倍

C.圓有無數(shù)條對稱軸D.圓的大小與半徑有關(guān)

【答案】B

【分析】本題主要考查了圓的相關(guān)概念，明確在同一個圓和等圓內(nèi)、所有的半徑都相等、所有的直徑都相

等、所有直徑是半徑的2倍成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)圓的特征逐項分析即可解答.

【詳解】解：A.圓有無數(shù)條半徑和直徑，說法正確；

B.由直徑的定義可知，同一個圓的直徑是半徑的2倍，選項缺少在同一個圓中，故說法錯誤；

C.因為圓是軸對稱圖形，且它的直徑所在的直線就是其對稱軸，而圓有無數(shù)條直徑，所以圓就有無數(shù)條

對稱軸；

D.圓的大小和圓的半徑有關(guān)，說法正確.

故選：B.

【變式1-2］如圖，在。。中，AB是直徑，BC是弦，點(diǎn)尸是劣弧BC上任意一點(diǎn).若4B=4,NB=30。，則

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】本題主要考查直徑是最長的弦，由AB是。0直徑得AB是。0中最長的弦，且AB=4,故有AP<

AB,所以可得結(jié)論.

【詳解】解：AB是O0直徑，

；.AB是O0中最長的弦，

AAP<AB,

VAB=4,

AAP<4,

.??只有選項D符合題意，

故選：D.

【考點(diǎn)題型二】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【例2】如圖，已知。。及其所在平面內(nèi)的4個點(diǎn).如果。。半徑為5,那么到圓心。距離為7的點(diǎn)可能

是（）

?M

Q

A.P點(diǎn)B.。點(diǎn)C.M點(diǎn)D.N點(diǎn)

【答案】C

【分析】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)在圓上，則d=r；點(diǎn)在圓外，d>r；點(diǎn)在圓內(nèi)，d<r

（d即點(diǎn)到圓心的距離，r即圓的半徑）.

【詳解】解：:。。半徑為5,

.,.0P<5,0Q<5,ON=5,0M>5,

???到圓心O距離為7的點(diǎn)為M點(diǎn)，

故選：C.

【變式2-1］如圖，在RtaABC中，AACB=90°,AC=6,BC=8,CP,CM分別是4B上的高線和中

線.如果04是以點(diǎn)4為圓心，4為半徑的圓，那么下列判斷中，正確的是（）

c

C.點(diǎn)P在。4內(nèi)，點(diǎn)M在。4外D.以上選項都不正確

【答案】c

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，掌握根據(jù)點(diǎn)與圓心之間的距離和圓的半

徑的大小關(guān)系作出判斷是解題的關(guān)鍵.先利用勾股定理求得AB的長，再根據(jù)面積公式求出CP的長，根據(jù)勾

股定理求出AP的長，根據(jù)中線的定義求出AM的長，然后由點(diǎn)P、M到A點(diǎn)的距離判斷點(diǎn)P、M與圓A的位置

關(guān)系即可.

【詳解】解：在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

AB=VAC2+BC2=io,

???CP、CM分別是AB上的高和中線，

???工AB-CP=工AC?BC,AM=iAB=5,

222

即±xlOCP=±x6x8,

22

CP=4.8,

AP=VAC2-CP2=3.6,

???AP=3.6<4,AM=5>4,

二點(diǎn)P在OA內(nèi)、點(diǎn)M在OA外，

故選：C.

【變式2-2］如圖，正方形4BCD的邊長為4,點(diǎn)尸是以ZB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，貝UCP的最小值

【答案】2V5-2/-2+2V5

【分析】本題考查的是圓外一點(diǎn)與圓的距離的最小值，勾股定理的應(yīng)用，如圖，連接OP,OC,0C交半圓

。于點(diǎn)P',利用勾股定理求解0C=VOB?+BC?=2小,再進(jìn)一步可得答案.

【詳解】解：如圖，連接OP,OC,0C交半圓0于點(diǎn)P,

在RtAOBC中，0C=VOB2+BC2=2V5,CP>0C-OP,

.,.CP>2V5-2,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P'重合時，CP取得最小值2遍-2.

故答案為：2西-2

【變式2-3］在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,。。的半徑為5,則點(diǎn)P(-3,4)與。。的位置關(guān)系

是.

【答案】點(diǎn)P在。。上

【分析】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理

求出0P的長，再與。0的半徑比較即可.

【詳解】解：?.?點(diǎn)P(-3,4),

???OP=J(-3)2+42=5

。0的半徑為5,

.??點(diǎn)P(-3,4)在圓上，

故答案為：點(diǎn)P在O0上.

【考點(diǎn)題型三】三角形的外接圓

【例3】如圖，A、。在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，每個小方格的邊長為1,在此網(wǎng)格中找兩個格點(diǎn)(即小

正方形的頂點(diǎn))B、C,使。為△48C的外心，則BC的長度是()

A.3V2B.2V5C.4D.V17

【答案】A

【分析】本題考查外心的定義：外心是三角形外接圓的圓心，外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，也考查

了勾股定理.根據(jù)題意作出圖形，得到點(diǎn)B和點(diǎn)C的位置，根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示，

?.?點(diǎn)O為AABC的外心，

...OA=OB=OC,點(diǎn)B和點(diǎn)C的位置如圖所示，

/.BC=V32+32=3V2,

故選：A.

【變式3-1】若點(diǎn)。是等腰△48C的外心，且/8。。=60。，底邊BC=2,則AABC的面積

為.

【答案】2+b或2-b

【分析】分兩種情形討論：①當(dāng)圓心O在AABC內(nèi)部時.②當(dāng)點(diǎn)O在AABC外時.分別求解即可.本題考

查三角形的外接圓與外心、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，注

意一題多解，屬于中考?？碱}型.

【詳解】解：①當(dāng)圓心O在AABC內(nèi)部時，作AE1BC于E.

：OB=OC,NBOC=60°,

.?.△OBC是等邊三角形，

AOB=0C=BC=2,

AAE=0A+0E=2+V3,

ASAABC=jBC-AE^|x2x（2+V3）=2+V3,

②當(dāng)點(diǎn)O在△ABC外時，連接0A交BC于E.

故答案為：2+8或2—舊

【變式3-2］如圖，在AABC中，ABAC=90°,BC邊上的高2D=6,則△力BC周長的最小值

為

【答案】12V2+12/12+12V2

【分析】延長CB到E,使得BE=BA,延長BC至IJF,使得CF=CA,連接AE,AF,作△AEF的外接圓。0,

過點(diǎn)O作OJ1EF于點(diǎn)J,交。0于點(diǎn)T.求出EF的最小值，可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，延長CB至IJE,使得BE=BA,延長BC到F,使得CF=CA,連接AE,AF,作AAEF的外

接圓O0,連接OE,OF,過點(diǎn)O作0J1EF于點(diǎn)J,交。。于點(diǎn)T.

0尸0(

VBA=BE,CA=CF,

."BAE=ZBEA,ZCAF=zCFA,

VZ.ABC=ZBAE+ZBEA,Z.ACB=zCAF+zCFA,

/.ZAEF+ZAFE=|(ZABC+ZACB)=45°,

AzEAF=135°,

?"EOF=90°,

VOJ1EF,

AEJ=JF,

i

.*.OJ=-EF,

設(shè)OE=OF=r,貝ljEF=V^r,OJ=yr,

VAB+BC+AC=EB+BC+CF=EF,

???EF最小時，△ABC的周長最小，

VAD1BC,

AAD+OJ<OT,

/.6+—r<r,

2

.'.r>12+6V2,

；.EF>12V2+12,

AAB+BC+AC>12V2+12,

；.△ABC的周長的最小值為12迎+12,

故答案為：12V2+12.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱最短問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓等知識，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

【變式3-3］如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一個△2BC.

⑴利用網(wǎng)格，只用不刻度的直尺作出ANBC的外接圓的圓心。，并寫出圓心坐標(biāo)是

⑵判斷點(diǎn)E(2,0)與。。的位置關(guān)系，說明理由；

(3)A4BC最小覆蓋圓的半徑為.

【答案】(1)0(1,5),圖見解析

⑵點(diǎn)E(2,0)在圓外

(3汨

【分析】(1)分別作AB,BC邊的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心0；

(2)用勾股定理分別求出OE,0A,比較即可；

(3)取AC中點(diǎn)P,連接0P,△ABC最小覆蓋圓的半徑為PC的長，用勾股定理求解即可.

分別作AB,BC邊的垂直平分線，相交于點(diǎn)0(1,5)

(2)V0(1,5),E(2,0)

0E=V26

由圖可得：A(-l,l)

0A=V20

0E>0A

.?.點(diǎn)E(2,0)在圓外;

(3)取AC中點(diǎn)P,連接0P,

△ABC最小覆蓋圓的半徑為PC的長，

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，三角形的外接圓等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是關(guān)鍵.

【變式3-4］如圖，已知點(diǎn)A、B、C不在同一條直線上，請用尺規(guī)作圖法作經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的。0.(不

寫作法，保留作圖痕跡)

A

【答案】見解析

【分析】本題考查了作圖一三角形的外接圓，連接AB、BC、AC得至IUABC,分別作線段BC、AB的垂直平

分線交于點(diǎn)O,然后以O(shè)點(diǎn)為圓心，0A為半徑作圓即可.

【詳解】解：如圖所示，。0即為所求.

【考點(diǎn)題型四】確定圓的條件

【例4】如圖，A,B,C,。是。。上的四個點(diǎn)，已知N4DC=60。，ABDC=40°,貝吐4CB=()

A.60°B.70°C.79°D.80°

【答案】D

【分析】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)冼求出NADB=NADC+NBDC=100。，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對

角互補(bǔ)即可得到答案.

【詳解】解：VzADC=60°,ZBDC=40°,

Z.ADB=ZADC+ZBDC=100°,

:四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，

Z.ZACB=180°-ZADB=80°,

故選：D

【變式4-1］如圖，點(diǎn)A,B,C均在直線/上，點(diǎn)P在直線/外，則經(jīng)過其中任意三個點(diǎn)，最多可畫出圓

的個數(shù)為()

P.

ABC

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】本題主要考查了確定圓的條件，根據(jù)不共線的三點(diǎn)可以確定一個圓進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：.??不共線的三點(diǎn)可以確定一個圓，

.,?取點(diǎn)P,再取A、B、C中的任意兩點(diǎn)，都可以確定一個圓，

.??最多可以確定3個圓(過P、A、B三點(diǎn)，過P、A、C三點(diǎn)，過P、B、C三點(diǎn))，

故選B.

【變式4-2］平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個點(diǎn)4(4,-3),5(0,-3),C(2,-3),_____確定一個圓，(填“能”或“不

能”).

【答案】不能

【分析】本題考查確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是掌握：不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓.

判斷三個點(diǎn)在不在一條直線上即可.

【詳解】解：：A(4,—3),B(0,—3),C(2,—3),在y=—3這條直線上,，

六三個點(diǎn)A(4,-3),B(0,-3),C(2,-3)不能確定一個圓.

故答案為：不能.

【考點(diǎn)題型五】旋轉(zhuǎn)的生活現(xiàn)象

【例5】下列物體的運(yùn)動：①電梯上下迎送顧客；②風(fēng)車的轉(zhuǎn)動；③鐘擺的擺動；④方向盤的轉(zhuǎn)動.屬于

旋轉(zhuǎn)的有()

A.1種B.2種C.3種D.4種

【答案】C

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的判斷，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的概念解答即可.解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi)，

將一個圖形沿某一個定點(diǎn)轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運(yùn)動稱為旋轉(zhuǎn).

【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的概念，可知：

①電梯上下迎送顧客屬于平移；

②風(fēng)車的轉(zhuǎn)動屬于旋轉(zhuǎn)；

③鐘擺的擺動屬于旋轉(zhuǎn)；

④方向盤的轉(zhuǎn)動屬于旋轉(zhuǎn).

故其中屬于旋轉(zhuǎn)的有3個.

故選：C.

【變式5-1】下列運(yùn)動中不屬于旋轉(zhuǎn)的是（）

A.摩天輪的轉(zhuǎn)動B.酒店旋轉(zhuǎn)門的轉(zhuǎn)動

C.氣球升空的運(yùn)動D.電風(fēng)扇葉片的轉(zhuǎn)動

【答案】C

【分析】本題考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；旋轉(zhuǎn)是圍繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度的圖形變換，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋

轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這時判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義解答即可

【詳解】解：A.摩天輪的轉(zhuǎn)動，屬于旋轉(zhuǎn)，故不符合題意；

B.酒店旋轉(zhuǎn)門的轉(zhuǎn)動，屬于旋轉(zhuǎn)，故不符合題意；

C.氣球升空的運(yùn)動,，屬于平移，故符合題意；

D.電風(fēng)扇葉片的轉(zhuǎn)動，屬于旋轉(zhuǎn)，故不符合題意；

故選：C

【考點(diǎn)題型六】旋轉(zhuǎn)圖形的判斷

【例61杭州亞運(yùn)會吉祥物是一組承載深厚底蘊(yùn)和充滿時代活力的機(jī)器人，如圖所示的“遂珍”經(jīng)過旋轉(zhuǎn)不

能得到的是（）

【答案】B

【分析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)是圍繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度的圖形變換，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心

和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這是判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵.由如圖圖形旋轉(zhuǎn)，分別判斷、解答即可.

【詳解】解：A.由圖形旋轉(zhuǎn)而得出，故本選項不符合題意;

B.由圖形對稱而得出，故本選項符合題意；

C.由圖形旋轉(zhuǎn)而得出，故本選項不符合題意；

D.由圖形旋轉(zhuǎn)而得出，故本選項不符合題意；

故選：B.

【變式6-1】2022年北京冬奧會會徽是以漢字“冬”為靈感來源設(shè)計的.下面四個選項中，能由如圖所示的

圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的是（）

等書

【答案】c

【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案，根據(jù)旋轉(zhuǎn)只改變圖形的方向不改變圖形的形狀和大小解答.

【詳解】解：能通過旋轉(zhuǎn)得到的是C選項圖案.

故選：C.

【考點(diǎn)題型七】旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)的變化

【例7】如圖，點(diǎn)4在才軸上，N04B=90°,ZS=30°,OB=6,將4。力B繞點(diǎn)。按順時針方向旋轉(zhuǎn)120。得

到則點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（）

A.（3V3,-3）B.（3,3V3）C.（3A/3,3）D.（3,-3V3）

【答案】D

【分析】本題考查坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)，含30度角的直角三角形，過點(diǎn)B'作B（lx軸，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，結(jié)合角

的和差關(guān)系，得到NCOB，=6（T,OB，=OB=6,進(jìn)而求出OC,B（的長，即可得出結(jié)果。

【詳解】解：過點(diǎn)B'作BClx軸,

VZOAB=90°,ZB=30°,OB=6,

AzAOB=60°,

?.?將△OAB繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)120。得到△0AB,

.?.OB'=OB=6,/BOB'=120°,

."B'OC=/BOB'-ZAOB=60°,

."OB'C=30。，

AOC=1OB，=3,B(=V30C=3V3,

.?.B[3,—3⑹；

故選D。

【變式7-1]在AABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,2),C(-3,1),將△ABC繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)105。得到

△則點(diǎn)名的坐標(biāo)為()

yjk

B

q

cA

A.(V2,V6)^(-V6,-V2)B.(A/6,V2)^(-A/6,-V2)

C.(-V2,-V6)^(V6,V2)D.佝或(魚,佝

【答案】c

【分析】本題考查坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)，分順時針旋轉(zhuǎn)和逆時針旋轉(zhuǎn)，兩種情況，進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】解：VA(-l,l),B(-2,2),

...A,B兩點(diǎn)在第二象限的角平分線上，

.?.直線AB與y軸正半軸的夾角為45。，

當(dāng)△ABC繞原點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)105。時，如圖：

B

NOx

過點(diǎn)B作BN1x軸,過點(diǎn)電作B1M1y軸,

22

貝lj：BN=ON=2,OBt=OB=V2+2=2A/2,々BOB】=105。，

."BiOM=60°,

AzOBiM=30°,

.?.0M=(0Bi=a,BiM=V3OM=V6,

，B](痣仞

當(dāng)△ABC繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)105。時，如圖：

c

-Np/~d

■?，/

?/

:/

?

B、

同法可得：OM=2OBi=V^,BiM=V30M=V6,

-伺；

故選C.

【變式7-2］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(-4,0),8(0,3),對△4。8連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到

三角形(1),(2),(3),(4),…，則第(2020)個三角形的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)是.

【答案】(8076,0)

【分析】本題主要考查了與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，勾股定理，先得到OA=4,OB=3,進(jìn)而利用

勾股定理得至UAB=VOA?+OB?=5,再由題意可得每三次旋轉(zhuǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán).一個循環(huán)組旋轉(zhuǎn)

過的長度為3+4+5=12,據(jù)此求出循環(huán)次數(shù)和剩下的翻轉(zhuǎn)次數(shù)即可得到答案.

【詳解】解：：A(-4,0),B(0,3),

AOA=4,OB=3,

AAB=VOA2+OB2=5,

由題意可知每三次旋轉(zhuǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán).一個循環(huán)組旋轉(zhuǎn)過的長度為3+4+5=12,

V2020+3=673……1.

.??三角形(2020)是第674個循環(huán)組的第一個三角形，其直角頂點(diǎn)與第673組的最后一個直角三角形頂點(diǎn)重

合.

V12x673=8076,

...三角形(2020)的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(8076,0),

故答案為：(8076,0).

【考點(diǎn)題型八】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【例8】如圖，在Rt△力BC中，ZC=90°.將△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A夕C,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)

夕落在的中點(diǎn)處時，求乙4'的度數(shù).

【答案】300

【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合直角三角形的性質(zhì)

得出是等邊三角形，進(jìn)而得出答案，正確掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：將△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AEC,

.\CB=CB',NA=NA',

?.?點(diǎn)夕可以恰好落在AB的中點(diǎn)處,

二點(diǎn)B，是AB的中點(diǎn)，

ZACB=90°,

.?.CB'=-AB=BB\

2

ACB=CB'=BB',

即ACBB'是等邊三角形，

AZB=60°,

VZ.ACB=90°,

."A=NA'=30°.

【變式8-1］如圖，四邊形4BCD是正方形，E、尸分別是邊OC和CB延長線上的點(diǎn)，且DE=BF,連接

AE,AF,EF.

⑴求證：AADE^LABF.

(2)A4BF可以由△4DE繞旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn),按順時針方向旋轉(zhuǎn)度得到.

(3)若AF=10,DE=6,求四邊形4FCE的面積.

【答案】(1)見解析

(2)A、90

◎)S四邊形AFCE=64.

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB,ZD=ZABC=90°,然后利用“SAS”易證得△ADE三△ABF；

(2)由于AADE三△ABF得NBAF=NDAE,貝I|NBAF+NBAE=90。，即NFAE=90。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可得

到AABF可以由AADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點(diǎn)，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到；

(3)由AADEmAABF得AE=AF,SAADE=SAABF,推出四邊形AFCE的面積等于正方形的面積，利用勾股

定理求得正方形的邊長即可求解.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABCD是正方形，

AAD=AB,ZD=ZABC=90°,

而F是CB的延長線上的點(diǎn)，

ZABF=ZD=90°,

又：AB=AD,DE=BF,

A△ADE三△ABF(SAS)；

(2)解：VAADESAABF,

.\ZBAF=ZDAE,

而NDAE+NEAB=90°,

AZBAF+ZBAE=90°,即，F(xiàn)AE=90°,

/.△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點(diǎn)，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到.

故答案為：A、90；

(3)解：ADE三△ABF,

..AE=AF=10,SAADE=SAABF，

??S四邊形AFCE=S"BF+S四邊形ABCE=SAADE+S四邊形ABCE=S正方形ABCD'

AD2=AE2-DE2=102-62=64,

四邊形AFCE=S正方形ABCD=AD?=64.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中

心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理.

【考點(diǎn)題型九】利用垂徑定理求值

【例9】如圖，是。。的弦，C是腦的中點(diǎn)，0C交力B于點(diǎn)D.若2B=8cm,0D=3cm,則。。的半徑

A.4cmB.5cmC.8cmD.10cm

【答案】B

【分析】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)垂徑定理判斷出OC是AB的垂直平分線是解答此題的關(guān)

鍵.

連接OA,由垂徑定理得AD=(AB=4cm,根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：連接OA,

C

；C是AB的中點(diǎn),

1

AOC1AB,AD=-AB=4cm

2

在R3OAD中，OD=3cm,AD=4cm,Z.ADO=90°,

由勾股定理可得，OA2=AD2+OD2,則OA=A/AD2+OD2="2+32=5(cm),

即。。的半徑為5cm

故選：B

【變式9-1］如圖，CD為。。直徑，弦垂足為點(diǎn)瓦。E=3,48=8,則CD長為

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)垂徑定理得到AE=|AB=4,再由勾股定理即可求出AO=5,即可解答.

【詳解】解：連接AO,

11

.".AE=-AB=-X8=4,

22

.?.在RtAAEO中，AO=VAE2+OE2=V42+32=5,

???。0的半徑為5,

.,.CD=10.

故答案為：10.

【變式9-2】如圖，O。的直徑4B垂直于弦CD,垂足為E,AE=2,CD=8.

(1)求O。的半徑長；

(2)連接BC,作。F1BC于點(diǎn)尸，求。F的長.

【答案】(1)5

(2)遙

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理.熟練掌握垂徑定理，勾股定理求線段是解題的關(guān)鍵.

(1)連接0D,如圖，設(shè)。0的半徑長為r,先根據(jù)垂徑定理得到DE=CE=4,再利用勾股定理得到

0-2)2+42=",然后解方程即可；

(2)先利用勾股定理計算出BC=4西，再根據(jù)垂徑定理得到BF=CF=2近，然后利用勾股定理可計算出

0F的長.

【詳解】(1)解：連接0D,如圖，設(shè)的半徑長為r,

VAB1CD,

11

AzOED=90°,DE=CE=-CD=ix8=4,

22

在RtAODE中，

VOE=r-2,OD=r,DE=4,

A(r-2)2+42=r2,

解得r=5,

即OO的半徑長為5；

(2)解：在RtABCE中，

VCE=4,BE=AB-AE=8,

BC=V42+82=4V5,

VOF1BC,

ABF=CF=-BC=2V5,ZOFB=90°,

2

在RtAOBF中，OF=VOB2-BF2=52-(2A/5)2=V5,

即OF的長為

【考點(diǎn)題型十】垂徑定理的應(yīng)用

【例10］某品牌太陽能熱水器的實物圖和截面示意圖如圖所示，支架CD與地面垂直，真空集熱管48與地

面水平線夾角NB4C為30。，直線28與CD都經(jīng)過水箱截面的圓心。.己知DC=65cm,AB=180cm,則水

箱內(nèi)水面寬度BE為cm.

【答案】50V3

【分析】取OC與BE的交點(diǎn)為點(diǎn)G,由題意得，BE||AC,zC=90°,從而可得NOGB=90°,zBAC=

ZOBG=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BE=2BG,AO=2OC,設(shè)OG=x,貝l|BO=OD=2x,BG=

V3x,進(jìn)而可得AO=(180+2x)cm,OC=(65+2x)cm,再利用AO=2OC,列方程求解即可.

【詳解】解：取OC與BE的交點(diǎn)為點(diǎn)G,

由題意得，BE||AC,ZC=90°,

."OGB=90°,ZBAC=ZOBG=30°,

ABE=2BG,

設(shè)OG=x,貝?。軧O=OD=2x,BG=V3x,

/.AO=AB+BO=(180+2x)cm,OC=OD+DC=(65+2x)cm,

VAO=2OC,

.".2(65+2x)=180+2x,

解得x=25,

BG=25V5cm,

BE——2BG=2x25A/3-50vsem,

故答案為：50V3.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)、垂徑定理、平行線的性質(zhì)、解一元一次方程，熟練掌握直角三角形

的性質(zhì)和垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

【變式10-1】明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了“筒車”（見圖1,一種水利灌溉工具）的

工作原理.如圖2,筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心。為圓心的圓.已知圓心。在水面上方，且。。被水

面截得弦48長為8米，。。半徑長為6米，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦28所在直線的距離

是多少？

【答案】（6-2佝米

【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

連接OA,OC交AB于點(diǎn)D,再由勾股定理得OD2=OA2-AD?,然后計算即可求解.

【詳解】解：連接OA,OC交AB于點(diǎn)D,如圖，

圖2

即OA=OC=6m,

???點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，AB=8m,

1

AOC1AB,AD=BD=-AB=4m,

2

由勾股定理，得OD2=OA2-AD2,

即OD=A/62-42=2V5m,

CD=OC-OD=(6-2V5)m,

故點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是(6-2遮)米.

【變式10-2］高致病性禽流感是一種傳染性極強(qiáng)的傳染病.

(1)養(yǎng)殖場有4萬只雞.假設(shè)有一只雞得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天將新增病雞10只，

到第三天又將新增病雞100只，以后每天新增病雞數(shù)依此類推，請問到第四天，共有多少只雞得了禽流

感？到第幾天，所有的雞都會感染禽流感？

(2)為防止禽流感蔓延，防疫部門規(guī)定：離疫點(diǎn)3千米范圍內(nèi)為捕殺區(qū)，所有的禽類全部捕殺；離疫點(diǎn)3~5

千米范圍內(nèi)為免疫區(qū)，所有的禽類強(qiáng)制免疫；同時對捕殺區(qū)和免疫區(qū)的村莊，道路實行全封閉管理.現(xiàn)有

一條筆直的公路4B通過禽流感病區(qū).如圖所示，。為疫點(diǎn)，到公路4B的最短距離為1千米，問這條公路

在該免疫區(qū)內(nèi)有多少千米？(結(jié)果保留根號)

【答案】(1)第四天共有1111只雞得了禽流感；到第六天所有雞都會被感染；

(2)(476-4V2)km

【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，數(shù)字類的規(guī)律探索：

(1)根據(jù)題意可得規(guī)律第n天新增只病雞，據(jù)此求出第四天，第五天，第六天得了禽流感的雞的數(shù)

量即可得到答案；

(2)過點(diǎn)。作OE1AB于E,利用勾股定理求出AE=2乃km,CE=2/km,再利用垂徑定理求出AC+

BD的值即可.

【詳解】(1)解：第一天新增1只病雞，

第二天新增10只病雞，

第三天新增100只病雞，

以此類推，可知，第n天新增10吁1只病雞，

第四天共有1+10+100+1000=1111只雞得了禽流感;

到第五天得禽流感病雞數(shù)為10000+1111=11111只

到第六天得禽流感病雞數(shù)為100000+11111=111111>40000,

...到第六天所有雞都會被感染；

(2)解：如圖所示，過點(diǎn)O作OELAB于E,

由題意得，OA=5km,OC=3km,OE=1km,

在RtAAOE中，由勾股定理得AE=A/OA2—OE2=2v^km,

在RtACOE中，由勾股定理得CE=VOA2-OE2=2&km,

由垂徑定理可得AB=2AE,CD=2CE,

AAC+BD=AB-CD=（4V6-4夜）km,

.??這條公路在該免疫區(qū)內(nèi)有（4傷—4a）km.

【考點(diǎn)題型十一】畫旋轉(zhuǎn)圖形

【例11]如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，△48C的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

(1)畫出將△28C關(guān)于原點(diǎn)。的中心對稱圖形△.

(2)將4DEF繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△D[EF],畫出△D1EF1.

(3)若4。石尸由44BC繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，則這點(diǎn)的坐標(biāo)為

【答案】(1)見解析

(2)見解析

⑶(0,1)

【分析】本題主要考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可畫出△AiBiJ；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出ADiEFi；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心為兩組對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)可得點(diǎn)P的位置.

【詳解】(1)解：如圖，AAiBiQ即為所求；

(2)解:如圖，ADiEFi即為所求;

(3)解：如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，旋轉(zhuǎn)中心為AD和CF垂直平分線的交點(diǎn)，圖中點(diǎn)P即為旋轉(zhuǎn)中心,

故答案為：（0,1）.

【變式11-1】正方形網(wǎng)格中（網(wǎng)格中的每個小正方形邊長是1）,AABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請在所給的直

角坐標(biāo)系中解答下列問題：

⑴作出△ABC繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)90。的4AB1G，再作出△AB?關(guān)于原點(diǎn)。成中心對稱的4ArB2C2.

（2）點(diǎn)Bi的坐標(biāo)為，點(diǎn)C2的坐標(biāo)為.

【答案】（1）作圖見解析；

(2)(-3,-1),(2,3).

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和中心對稱圖形的性質(zhì)作圖即可；

（2）直接利用（1）中所畫圖形寫出坐標(biāo)即可；

此題考查了旋轉(zhuǎn)變換，作中心對稱圖形，坐標(biāo)與圖形，掌握旋轉(zhuǎn)和中心對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：如圖所示，AABiCi、AAiB2c2即為所求；

X

(2)解:由(1)圖可得，Bi(-3,-1),C2(2,3)

故答案為：(―3,—1)，(2,3).

【變式11-2］如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點(diǎn)三角形ABC(頂點(diǎn)時網(wǎng)

⑴將A4BC繞C點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到Aa/iC,請畫出AZ/iC；

(2)求線段8當(dāng)?shù)拈L度為

【答案】(1)見解析

(2)372

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)作圖、勾股定理等知識點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)正確作圖成為解題的關(guān)鍵.

(1)先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別得出對應(yīng)點(diǎn)的位置，然后再順次連接即可；

(2)直接利用勾股定理得出線段BBI的長度.

【詳解】⑴解：如圖：AAiBiC即為所求.

(2)解：線段BBi的長度為：V32+32=3V2.

【考點(diǎn)題型十二】利用弦、弧