2024-2025學(xué)年重慶市萬(wàn)州區(qū)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年重慶市萬(wàn)州區(qū)高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.直線(xiàn)y=100—8久的傾斜角為()

A.30°B.60°C,120°D.150°

2.若直線(xiàn)ax+3y+6=0與直線(xiàn)辦：久+(a+2)y-2=0平行，則a=()

A.-3B.1C.-~D.-1

3.已知圓+y2+8久-4y+19=0的圓心為c,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以。C為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x—2)2+(y+1)2=5B.。+2產(chǎn)+(y—l)2=5

C.(x+2/+(y-l)2=20D.(x-2)2+(y+I)2=20

4.若位石工｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列選項(xiàng)中能作為基底的是()

————————>T———

A.a—c,a—b,b—cB.a+c,b,a+c—b

—>—>—>—>—>—>—>—>—>.—>—>

C.b+a,b—a+c,c+2bD.a+b,b+c9a+c

5.空間內(nèi)有三點(diǎn)P(-l,2,3),E(2,l,l),F(l,2,2),則點(diǎn)P到直線(xiàn)EF的距離為()

A.A/2B.A/3C.2A/2D.2^/3

6.在空間四邊形。ABC中，OA=a,^B=b,OC=c,且麗=2耐，~BN=2NO,則麗=()

1-*lr2^1-2^2T

AA.——a+—D+—cB.——a+—b——c

C2TlM2T1—i-?2T

C.——a+-b——cD.——a+—b——c

7.某手機(jī)信號(hào)檢測(cè)設(shè)備的監(jiān)測(cè)范圍是半徑為200/n的圓形區(qū)域，一名人員持手機(jī)以每分鐘50nl的速度從設(shè)

備正東200平稅的4處沿西偏北30。方向走向位于設(shè)備正北方向的B處，則這名人員被持續(xù)監(jiān)測(cè)的時(shí)長(zhǎng)約為

()

A.2分鐘B.3分鐘C.4分鐘D.5分鐘

8.如圖，在四面體4BCD中，平面4CD1平面力BC,△力BC是邊長(zhǎng)為6的正三角

形，△4CD是等腰直角三角形，ZXDC=90°,E是4C的中點(diǎn)，CF=^CB,DG

=2而，若4G〃平面DEF,貝D=()

A.1B.|C.|D.1

Z343

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知正方體力BCD-a/iCiDi的棱長(zhǎng)為1,貝|()

第1頁(yè)，共10頁(yè)

A.-AC=1B.AB-A^C=1C.CD-AB[=1D,AB-砸=1

10.已知圓C：久2+外一4久+2y+i=o與直線(xiàn)/：4x_3y+m=0,點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)Q在直線(xiàn)/上，則下列

說(shuō)法正確的是()

A.若巾=9,則直線(xiàn)/與圓C相切

B.若圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)1對(duì)稱(chēng)，則爪=-11

C.若m=14,則|PQbn譏=3

D.若爪=14,從Q點(diǎn)向圓C引切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值是聲

11.如圖，正方體4BCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E,F分別為ZB,BC的中點(diǎn)，P為

底面力B—CD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且徒，貝1」()

A.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為與

B.存在點(diǎn)P,使異面直線(xiàn)DiP與EF所成的角為?

C.點(diǎn)P到平面DiEF的距離的最小值為6":2回

D.點(diǎn)P到平面DiEF的距離的最大值為尋

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知直線(xiàn)/垂直于直線(xiàn)x+2y-1=0,且過(guò)點(diǎn)P(-2,3),則直線(xiàn)[的斜截式方程為；在x軸上的截距

為.

13.己知向量2=(-4,0,1),b=(2,73.3),貝g在另方向上的投影向量的模為.

14.已知圓C：(尤+2)2+(y—1)2=8,直線(xiàn)1：4x-y-8=0,M為直線(xiàn)1上一動(dòng)點(diǎn)，N為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)

P(2,3),則|MN|+|MP|的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知點(diǎn)4(—1,1),8(。,—1),。(3,0),且四邊形4BCD是平行四邊形.

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)求平行四邊形4BCD的面積.

16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐4—BCED中，底面BCED為直角梯形，DE//BC,DE1CE,AD=BD=CD=BC,AC=

*AE=\/2CE.

第2頁(yè)，共10頁(yè)

(1)判斷直線(xiàn)48與CD是否垂直，并說(shuō)明理由;

(2)求平面4DE與平面4CD的夾角的余弦值.

17.(本小題15分)

已知圓的：%2+y2-2%+2y=0與圓。2相交于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)PQ的方程為％-曠一2=0.

(1)若圓。2的圓心在圓G外，求圓。2的半徑的取值范圍；

(2)若P(0,-2),B是圓。2上的動(dòng)點(diǎn)，且APBC2的面積的最大值為5,求圓C2的方程.

18.(本小題17分)

如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體aBCD-AiB?小中，E為BC的中點(diǎn)，P為底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(包括邊界)，且滿(mǎn)

足BiP1DiE.

(1)是否存在點(diǎn)P,使得BiP〃平面DiDE?

(2)求為P的取值范圍.

⑶求點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離的最小值.

19.(本小題17分)

古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k(k>0且卜41)的點(diǎn)的

軌跡是圓后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，N(l,0),動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足需=2,

設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線(xiàn)C.

(1)求曲線(xiàn)C的軌跡方程；

第3頁(yè)，共10頁(yè)

(2)若直線(xiàn)x—y+1=0與曲線(xiàn)。交于力，B兩點(diǎn)，求|力B|；

(3)若曲線(xiàn)C與x軸的交點(diǎn)為E,F,直線(xiàn)I：x=my_l與曲線(xiàn)C交于G,H兩點(diǎn)，直線(xiàn)EG與直線(xiàn)FH交于點(diǎn)D,

證明：點(diǎn)D在定直線(xiàn)上.

第4頁(yè)，共10頁(yè)

參考答案

1.C

2.B

3.5

4.D

5.4

6.D

7.C

8.A

9.AB

10.BC

11.ACD

12.y=2%+7

喉

14.2"

15.解：(1)根據(jù)題意，直線(xiàn)4B的斜率為心B=%=-2,

所以直線(xiàn)4B的方程為y-l=-2(x+l),即y=-2x-l,

因?yàn)橹本€(xiàn)CD與直線(xiàn)48平行，且過(guò)C(3,0),

所以直線(xiàn)CD的方程為y=-2(%-3),即y=-2x+6.

直線(xiàn)BC的斜率為kmc=

U-JD

因?yàn)橹本€(xiàn)AD與直線(xiàn)8C平行，且過(guò)4(-1,1),

所以直線(xiàn)4。的方程為y-l=|(x+1),即y=1%+|.

y=-2.x+6(y—3

由正=3+號(hào)，解得］),即點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,2).

(2)因?yàn)镸B|=次一1一0)2+(1+1，=5

且點(diǎn)C(3,0)到直線(xiàn)48的距離d=號(hào)集*=等，

所以平行四邊形力BCD的面積S=\AB\-d=7.

第5頁(yè)，共10頁(yè)

16.1?：(1)48和CD不垂直，理由如下：

設(shè)4E=CE-a(a>0),貝(lAC=也a,

在△BCD中，BD=CD=BC,所以△BCD為等邊三角形，所以NBCD=60°,

因?yàn)镈E1CE,DE//BC,所以8C1CE,從而NDCE=30。，

所以在直角△DEC中，CD=—^=久％,DE=CExtan300=2,

又因?yàn)?。=CD,所以4。=嚕1,所以在ADEA中，滿(mǎn)足。+4《2=2。2,

故ADE力為直角三角形，則OE14E,

又因?yàn)镈E1CE,CEnX￡=E,所以DE1平面ACE；

因?yàn)锳C="AE=.CE,所以AC2=4^2+CE2,所以CE1AE,

故以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC,EA,ED所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

y

設(shè)DE=1,貝!=BD=CD=BC-2,AE=CE=^/3,AC=y[6

所以E(0,0,0),71(0,73,0),5(73,0,2),C(G，0,0),￡>(0,0,1),

所以4B=CD=(—^/3,0,l),

所以方?而=-3+0+2大0,

所以荏1而不成立，故48和CD不垂直.

(2)由(1)可知CE1AE,CE1DE,AEnDE=E,所以CE_L平面ADE,

故前=(8,0,0)為平面ADE的一個(gè)法向量,

又方=(0,避1),反=(避,0,-1),

設(shè)平面力CD的法向量元=(x,y,z),

n-DA=0

取z=8，貝!|工=1,y=1,

故元=(1,1,73),

設(shè)平面4DE與平面4CD的夾角為仇

第6頁(yè)，共10頁(yè)

所以cos。=|cos<n,￡C>|=*￡1

11\n\x\EC\y[3xyf55

所以平面ADE與平面AC。的夾角的余弦值為宰.

17.解:(1)由圓Ci：壯+y2—2%+2y=0可化為(x—1)2+(y+1)2=2,

可得圓Ci的半徑ri=避，圓心為(1,—1),且圓心(1,—1)在直線(xiàn)PQ上.

因?yàn)閳AC2的圓心在圓Ci外，

所以連結(jié)C1C2，|C1C2|>".

又因?yàn)镃1C2IPQ,連接C2Q,

在RtACiCzQ中，圓心的半徑GQI=)"+|。停2/>12+2=2.

故圓C2的半徑的取值范圍為(2,+8)；

(2)設(shè)圓。2的圓心為(科死)，

由題意直線(xiàn)PQ是兩圓相交弦所在直線(xiàn)可得的。21PQ,

即心心,kpQ=,1=-1'化簡(jiǎn)可得n=-?、?

設(shè)圓。2的半徑為心在2PB中，邊C2P上的高為拉，

當(dāng)C2Ple2B時(shí)，即此時(shí)力取得最大值r,APBC2的面積取得最大值,

2

△PBC2的面積的最大值為加2Pl■\C2B\=|r=5,解得

所以IPC2I=皿2+(n+2尸=F②.

第7頁(yè)，共10頁(yè)

由①②聯(lián)立方程組可得｛片=11或■二當(dāng)，

所以圓C2的方程為Q+1)2+0-1)2=10或(%-3)2+(y+3)2=10.

18.解：(1)存在「(,|,0),使得BiP〃平面小DE,理由如下：

如圖，以。為原點(diǎn)，DA,DC,。力所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則81(2,2,2),D(0,0,0),Z)i(0,0,2),F(l,2,0),

因?yàn)槲?(0,0,2),歷=(1,2,0),席=(1,2,—2),

設(shè)平面D1DE的法向量為訪(fǎng)=(久i，yi，zQ,則西1帚，DElm,

所以｝黑J：_°，解得Z1=O,令卬=一2,則%=1,所以藐=(一2,1,0),

IL/C*IlL一4]I"乙yi-u

設(shè)PQ,y,0)(0<x<2,0<y<2),所以瓦7=(久一2,丫一2,—2),

又B[P.LD^E,所以％—2+2y—4+4=0,即x+2y—2=0>所以=(-2y,y—2,-2),

設(shè)存在點(diǎn)P,使得為P〃平面。1。已

則帝?方=4y+y—2=0,解得y=|,則x=—2y+2=—2X￡+2=也

則P送,0)，

所以存在點(diǎn)P，使得BiP〃平面DiDE；

⑵由⑴知，B^P=(-2y,y—2,—2),

所以I=\l4y2+(J7-2)2+4=4外一?+8,

因?yàn)楹瘮?shù)t=5y2-4y+8在[0芻上單調(diào)遞減，在脩2]上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)y="I■時(shí)，“1伍=當(dāng)，當(dāng)y=2時(shí)，t?jax=20,所以t6[^,20],

所以|瓦西的取值范圍是[$2"].

(3)由(1)知，點(diǎn)PQ:,y,0)滿(mǎn)足x+2y—2=0,

取CD中點(diǎn)為F,貝UP點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段4F,

第8頁(yè)，共10頁(yè)

所以點(diǎn)P到直線(xiàn)D1E的距離的最小值就是異面直線(xiàn)力F與DiE的距離,

因?yàn)镋(l,2,0),F(O,1,O),4(2,0,0),所以羽=(一2,1,0),率=(1,2,—2),

設(shè)元=(a,瓦c),則n11

則｛a鬣2tx2c2o，令a=2,b=4,c=5,所以元=(2,4,5),

又因?yàn)榉?(-1,-1,0),

所以點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離的最小值d=端a=0：北:25=竽.

19.解：(1)在平面直角坐標(biāo)系中，N(l,0),M(4,0),動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足需=2,設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線(xiàn)C,

設(shè)Q(x,y),因?yàn)轷?2,所以|QM|2=4|QN『，

即(%—4)2+y2=4[(x—I)2+y2],整理得久2+儼=4,

所以曲線(xiàn)C的軌跡方程為第2+y2=%

(2)直線(xiàn)%—y+1=0與曲線(xiàn)C交于48兩點(diǎn)，

曲線(xiàn)C的圓心到直線(xiàn)%-y+1=0的距離d=八2=￡

1-

V十V2

所以|4B|=2y/r2-d2=2JU；

證明：(3)曲線(xiàn)C與x軸的交點(diǎn)為E,F,直線(xiàn)I：x=my—1與曲線(xiàn)C交于G,H兩點(diǎn)，直線(xiàn)EG與直線(xiàn)FH交于點(diǎn)

D,

設(shè)GQi,yi),H(x2,y2)>D(xo,yo),

第9頁(yè)，共10頁(yè)

y/

D?

2

聯(lián)乂+y3=4,得（血