2024年北京某中學高一（上）期中數(shù)學試題及答案

2024北京景山學校高一(上)期中

數(shù)學

2024年10月

本試卷共4頁，共150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复蛟诖痤}卡上，在試卷上作答無效。

考試結(jié)束后，將答題卡交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1.若集合4={%|0<%<16},B={x\x>2},則/門8=()

A.{x|0<x<2}B.{x|0<x<2}C.{x|2<x<16}D.{x\2<x<16}

2.若實數(shù)訪b滿足則下列不等式成立的是()

A.同〉|臼B.a+c>b+cC.a2>b2D.ac2>bc2

3.已知命題p：Vx>0,x+^>2,則為()

11

A.Vx>0,xH—42B.Vx<0,%+-<2

XX

11

C.x4—42D.三%>0,x4—42

XX

4.已知偶函數(shù)/(x)在區(qū)間(-oo,-1］上單調(diào)遞減，則下列關(guān)系式中成立的是()

A-/(—$</(—3)</(2)B./(-3)</(-1)</(2)

C./(2)</(-3)<^-1)D.7(2)</(-|)</(-3)

5.已知集合A={%,1),集合3={尤2,x+y,0},若N=8,則%2023+丁2024=()

A.-1B.0C.1D.2

6.已知函數(shù)f0)=Hu次0若八a)+/(V2)=0,則實數(shù)a=()

A.-1B.-3C.1D.3

7.若a>0,b>0,則“a+Z￡4”是“說4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知定義在(0,1)上的函數(shù)/(x)=卜”是有理數(shù)與⑺’正是互質(zhì)的正整數(shù))，則下列結(jié)論正確的是

%是無理數(shù)

()

A./(%)的圖象關(guān)于％=±對稱B./(X)的圖象關(guān)于》對稱

C./(%)在(0,1)單調(diào)遞增D./(%)有最小值

1q

9.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,滿足f(久一2)="久)，且當xd(0,2］時，/(%)=x(2-x).若/(t)2芋

則/的最大值是()

141311Q

A.B.一彳C.-彳D.-4

%2+4%+3/x<0/1

10.已知/(%)=2若XlVx2〈X3(X4,且f(XI)=f(X2)=f(X3)=f(X4),則一+

必

U|3--X|1,%>0,

111,

—+—+一的取值范圍是()

x

X2%34

A.(-8,竽)B.(-oo,2)C.(—00/各D.埠，竽)

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.函數(shù)/(%)=7Tzi的定義域是.

12.已知集合4={x[(a-1)/一21+1=0}有且僅有2個子集，則實數(shù)Q的值為.

11

13.已知仍>0,且〃+46=1,則一+一的最小值為

ab

14.已知奇函數(shù)危淀義域為R,當這0時，加)=/+2%,則火-4)=；

若44)次1-則實數(shù)m的取值范圍是.

15.已知函數(shù)/(%)=\~aX+3'"給出下列四個結(jié)論：

1(久一2)2,x<a.

①當a=0時，/(/(-1))=3；

②若/(x)存在最小值，則。的取值范圍為(-00,0]；

③若/G)存在零點，則a的取值范圍為(—8,-V3]U(0,+oo)；

④若/(x)是減函數(shù)，則a的取值范圍為(0,1—孝]U[l+￥，2].

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.已知集合/={x|-l<xV2},B={x\\x-2\>2)-

(I)求4U5,AHQRB；

(II)記關(guān)于％的不等式f-(2冽+4)x+加之+4加go的解集為若MUCRA,求實數(shù)加的取值范圍.

17.已知函數(shù)/(x)=ax2-2ax-3.

(I)若。=1,求不等式/G)K)的解集；

(II)已知a>0,且/(x)K)在[3,+oo)上恒成立，求〃的取值范圍.

4

18.已知函數(shù)/■(>)=無一彳

(I)判斷/G)在區(qū)間(0,+oo)上的單調(diào)性，并用定義進行證明；

(II)設(shè)g(x)=a-3x,若也1引1,4],3x2e[l,4],使得/(xi)=g(x2),求實數(shù)a的取值范圍.

19.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：對任意實數(shù)x,y,都有/(x+y)+f-y)=2f(x)/(y)；且當

x￡［0,1)時，有/(X)>0.

(I)求/(0)；

(ID判斷并證明函數(shù)/(x)的奇偶性；

(III)若/(I)=0,直接寫出/(x)的所有零點(不需要證明).

20.已知關(guān)于x的函數(shù)/(x)=x1-2ax+2.

1

(I)當心2時,求/(x)在弓,3］上的最小值g(a)；

(2)如果函數(shù)F(x)同時滿足：

①函數(shù)在整個定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；

②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間。，勿，使得函數(shù)在區(qū)間［p,q］上的值域為［/A

則我們稱函數(shù)F(%)是該定義域上的“閉函數(shù)”.

⑺若關(guān)于x的函數(shù)>=五二二I+f(x>l)是“閉函數(shù)”，求實數(shù)f的取值范圍；

(?)判斷(1)中g(shù)(a)是否為“閉函數(shù)”？若是，求出pq的值或關(guān)系式；若不是，請說明理由.

21.設(shè)〃為不小于3的正整數(shù)，集合6={(xi,x2,...X")忻e{0,1},i—1,2,n},對于集合Q”

中的任意元素a=(xi,X2,X"),p=(yi,yi,功)

記a*P=(xi+yi-xiyi)+(x2+y2-X2y2)+...+(xn+yn-x?yn)

(I)當〃=3時，若a=(1,1,0),請寫出滿足a*p=3的所有元素花

(II)設(shè)a,peQ?5.a*a+p*p=?,求a*|3的最大值和最小值；

(III)設(shè)S是孰的子集，且滿足：對于S中的任意兩個不同元素a,p,有a*歸成立，求集合S中

元素個數(shù)的最大值.

參考答案

一.選擇題(共10小題)

1.【點評】本題主要考查補集、交集的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.

2.【分析】根據(jù)條件分別取。=1,b=-1可排除aC,取c=0可知。錯誤，由不等式的性質(zhì)可知2正

確.

【解答】解：由取a=l,b=-I,則可排除/,C,

當c=0時，ac2=bc2,故。錯誤，

由a>6,可得a+c>6+c,故3正確.

故選：B.

【點評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

3.【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，求解即可.

【解答】解：根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題知，

11

命題p：Vx>0,x+2>2,則、為：3x>0,x+-<2.

故選：D.

【點評】本題考查了全稱量詞命題的否定應用問題，是基礎(chǔ)題.

4.【分析】由函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的應用求解即可.

【解答】解：因為一3<—#一2,

又函數(shù)/G)在區(qū)間(-8,-1］上單調(diào)遞減，

W(-3)>/(-|)>/(H2))

又于3為偶函數(shù)，

則/(2)=/(-2),

則/⑵</(—當</(—3)，

故選：D.

【點評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，重點考查了函數(shù)單調(diào)性的應用，屬基礎(chǔ)題.

5.【分析】根據(jù)集合相等的概念以及集合中元素的互異性求解.

【解答】解：因為/=8,且集合/中xWO,

所以集合/中的元素丫=0,

X

解得歹=0,

又因為1E4,所以1EB,

所以工2=1或％=1,

若%2=1,

解得X=1或％=-1,

經(jīng)檢驗，％=1時，與集合中元素的互異性矛盾，、=-1時，滿足題意，

若X=l,由上述過程可知，不滿足題意；

綜上X=-1,

所以f023+y2024=_1+0=_1,

故選：A.

【點評】本題主要考查了集合相等的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】故選:B.

7.【分析】充分條件和必要條件的定義結(jié)合均值不等式、特值法可得結(jié)果

【解答】解：Va>0,6>0,：.4^a+b^24ab,

2>y[ab,.,.°6W4,即a+6W4今。6W4,

1

右a=4,b=彳，則ab=lW4,

1

但。+6=4+彳>4,

q

即abW4推不出Q+6W4,

.??Q+6W4是ab〈A的充分不必要條件

故選：A.

【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，均值不等式，考查了推理能力與計算能力.

8.【分析】由所給函數(shù)的解析式結(jié)合定義域即可一一判斷.

【解答】解：對于Z項，當x是有理數(shù)時，設(shè)x=與(m<n),則/(%)=，，1一%=彳"，由于〃-冽和

n互質(zhì)，

所以“1—久)=，故/正確；

對于2項，/(I—字)=1,f?=1，故8錯誤;

對于C項，f(1)=溫)]故C錯誤；

1

對于。項，設(shè)/(%)有最小值一，pEZ,

取〃備)即可，其中4使得是質(zhì)數(shù)，

此時/(急1)=急11與1一是最小值矛盾，故。錯誤?

p十qp十qpp

故選：A.

【點評】本題考查了分段函數(shù)的應用，屬于中檔題.

9.【分析】由/(x-2)=2f3可知，自變量每減小2個單位，函數(shù)變?yōu)樵瓉淼亩?，可先求?(x)在

1c

(0,2)上的最大值，然后當自變量減少4個單位時，首次出現(xiàn)/(x)2芋，先求出沅(0,2]時，/(x)

=x(2-x)=翌時的x的值，然后取較大的x,然后減去4即為所求.

【解答】解：由已知得：自變量每減小2個單位，函數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍，

當比(0,2]時，/(x)=x(2-x)G[0,1],則在此基礎(chǔ)上，/(x-4)G[0,4],

11qo5511

令》(2—久)=五x才，解得x=%或：，故t的最大值為:-4=

，q44,444

故選：c.

【點評】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，類比周期函數(shù)的性質(zhì)解決本題是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

10.【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合對稱性，數(shù)形結(jié)合得到X1+X2=-4,Xie(-4,-3),X26(-1,0),

4

t>,1148

求出—+-=7---~—(-3-

%1%2(汽2+2)2-4

令X2+4X+3=3,解得x=-4或0,

因為y=x2+4x+3的對稱軸為x=-2,由對稱性可得xi+x2=-4,

且xie(-4,-3),X2&(-1,0),

-44

,11%i+x2-4

其中一+—A/*=—~A/*-=——AX'

%]X?X/2(-4-X2)X2(久2+2)2-4’

因為X2C(-1,0),所以(X2+2)2-4G(-3,0),

114

\

-+---7

右

肛3

22-11

又一一3=3一丁，故一+—=3,

工3工4%3久4

―11115

所以一+—+—+—￡(-8,-).

%2x3x43

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，作出圖象是關(guān)鍵，屬于中檔題.

二.填空題(共4小題)

11.【答案】(—8,3].

12.【答案】1或2.

【分析】由題意可知，方程(a-1)x2-2x+l=0只有一個根，分a-1=0和a-1W0兩種情況討論,

即可求出實數(shù)。的值.

【解答】解：由題意可知，方程(a-1)--2x+l=0只有一個根，

①當a-1=0時，a—1,

此時方程化為-2x+l=0,

解得x=最符合題意，

②當a-l=0,即aWl時，

A=4-4(a-1)=0,

解得a=2,

綜上所述，實數(shù)。的值為1或2.

故答案為：1或2.

【點評】本題主要考查了集合的子集個數(shù)，考查了分類討論的數(shù)學思想，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】9.

【分析】把“1”換成4a+6,整理后積為定值，然后用基本不等式求最小值

【解答］解：\'ab>0,且a+46=l,

.,.一+-=(一+-)(a+4b)=1+4+—+^>5+2I—■=9,當且僅當6='時取等號，

ababab\ab36

11

+工的最小值為9,

ab

故答案為：9.

【點評】本題考查了基本不等式在求最值中的應用，解決本題的關(guān)鍵是“1”的代換.

14.【答案】必____；

1

(-°0,—U(0,+0°).

15?【答案】①②④.

【分析】根據(jù)所給分段函數(shù)直接計算求解可判斷①，根據(jù)分段函數(shù)的最小值的求法判斷②，分段求函數(shù)

的零點可判斷③，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性可求解判斷④.

3%>0

'一,，，/(f(—D)=H(—1-2)2]=f(9)=3，故①正

{(無_27，x<0

確；

②當a22時，/G)=(x-2)2,x<a有最小值0,此時/(x)=-ax+3,x'a為減函數(shù)，且/(x)

一=r=,,(—ax+3/x>a_^?,=

-—8,無取小值，故/(%)=|無取小值，

1(%—2)2,x<a

當0Va<2時，f(x)=(x-2)2,無最小值，f(x)=-ax+3,無最小值,

—ax+3,x>a

故f(%)=無最小值,

(%—2產(chǎn)，x<a

2

當時，f(x)=-ax+3,x^a為增函數(shù)，最小值為-/+3,f(%)=(x-2),x<a單調(diào)遞減，

所以只需滿足-d+3W(〃-2)2,解得a41—孝或aN1+￥，所以故②正確；

3

③令/(無)=(x-2)2=0,x<a若有解，則a>2,令/(x)=-ax+3=0,尤若有解，則一2a,

a

解得aW-百或0VaW百，綜上若/(x)存在零點，則a的取值范圍為(一8,-V3]U(0,V3]U(2,

+oo),故③錯誤；

④若/G)是減函數(shù)，則需滿足-a<0且aW2且(。-2)2》-屋+3,解得。W1-苧或1+孝W

a<2,故④正確.

故答案為：①②④.

【點評】本題考查了分段函數(shù)的應用，屬于中檔題.

三.解答題(共6小題)

16.【分析】(I)先求解出一元二次不等式，絕對值不等式的解集為集合HB,然后根據(jù)并集概念求解出

AUB,再根據(jù)交集和補集概念求解出NCCRB;

(II)根據(jù)不等式先求解出M,然后根據(jù)列出關(guān)于加的不等式組，由此能求出實數(shù)加的取

值范圍.

【解答】解：(I)VX2-X-2<0,解得

：.A^{x\-l<x<2},

V|x-||>|,解得G4或xWl,??.8={x|xWl或x24},

???4U5={x|xV2或x24},

，：CRB={X\1<X<4},

：.AnQRB={x\l<x<2}.

(II)*.*關(guān)于x的不等式x2-(2冽+4)x+m2+4m^0的解集為M,

由-(2冽+4)%+加？+4加W0,得機WxW加+4,

?*.M={x|加WxW加+4},

?.,MUCRA,；WT,解得力W—5或m22,

實數(shù)m的取值范圍是{刑加W-5或爪N2}.

【點評】本題考查一元二次不等式，絕對值不等式的解法、集合的運算等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力,

是基礎(chǔ)題.

17?【分析】(I)運用二次不等式的解法可得所求解集；

(II)考慮二次函數(shù)的圖象和對稱軸，以及單調(diào)性，只要/(3)20,可得所求范圍；

【解答】解：(I)當。=1時，由/(x)=f-2x-320解得{鄧:23或xW-1}；

(II)當a>0時，二次函數(shù)/(x)=°/-2如-3開口向上，對稱軸為x=l,

所以/(x)在[3,+8)上單調(diào)遞增，

要使/'(x)》0在[3,+8)上恒成立，只需/(3)=9a-6a-3N0,

所以a的取值范圍是?！?；

【點評】本題考查二次函數(shù)和二次不等式、二次方程的關(guān)系，考查不等式的解法和函數(shù)方程思想，以及

恒成立問題解法，考查運算能力，屬于中檔題.

18.【分析】(1)/(%)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)遞增.分析如下：Vxi,X2C(0,+co),且xi<x2,只

要證明f(XI)-f(X2)<0即可.

(II)VxG[l,4],由⑺可得/(x)在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞增，可得f(x)￡[/,(1),/(4)].xG[l,

4],則函數(shù)g(x)=。-3x在此區(qū)間上單調(diào)遞減，可得g(無)G[g(4),g(1)].若Vxi€[l,4],3X2G[1,

4],使得/(xi)=g(X2),可得/(I),/(4)]c[g(4),g(1)].進而得出實數(shù)。的取值范圍.

【解答】解:(I)/(x)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)遞增.

證明如下：Vxi,X2G(0,+8),且X1<X2,

A.A.A.

貝(1/(XI)~f(X2)—XI-----(X2-----)—(XI~X2)(Id-----)<0,

X1x2xlx2

.'.f(XI)<f(X2),

：.f(X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增.

(II)VxG[l,4],由(/)可得/(x)在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞增，

/(I)=-3,/(4)=3,

可得/(x)￡[-3,3].

x￡[l,4],則函數(shù)g(x)=a-3x在此區(qū)間上單調(diào)遞減，；.g(x)E[a-12,a-3].

若Vxie[l,4],3x2e[l,4],使得/(xi)=g(x2),

則[-3,3]c[fl-12,a-3],

.(u-12<-3

"13<a-3'

解得6WaW9,

實數(shù)。的取值范圍是[6,9].

【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性定義及其應用、恒成立與存在性問題的轉(zhuǎn)化、不等式的解法，考查了

推理能力與計算能力，屬于中檔題.

19.【分析】(I)令x=0,y=0,即可求解了(0)；

(II)/(x)是偶函數(shù)，令x=0,y為任意實數(shù)，可得/(-y)=/3),即可得證；

(III)若/(I)=0,根據(jù)已知條件可得/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得了(-1)

=0,從而可得/(x)的所有零點.

【解答】解：(I)令x=0,y=0,則f(0)+f(0)=2f(0)/(0),

可得/(O)[f(0)-l]=0,因為對任意xe[O,1),f(x)>0,

所以/(O)=1.

(II)/(x)是偶函數(shù)，證明如下：

令x=0,y為任意實數(shù)，則/⑶)=2<(0)/(y)=/(y),

即/(-y)=f(y)，所以y(x)是偶函數(shù)?

(III)若/(I)=0,令7=0,則/(x+1)+f(x-1)(x)/(1)=0,

即/(尤+1)=-/(X-1),

則/(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

所以/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

又/(-1)=/⑴=0，

所以/(x)的所有零點為2〃+1,〃ez.

【點評】本題考查抽象函數(shù)及其應用，考查奇偶性與周期性的判斷，考查賦值法的應用，屬于中檔題.

20.【分析】(1)對于函數(shù)/(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,根據(jù)對稱軸，分類討論即可，

(2)(i)據(jù)閉函數(shù)的定義，列出方程組，可得/,/為方程序HT+/=x的二實根，再由二次方程實

根的分布，即可得到所求/的范圍

(萬)由新定義，假設(shè)g(a)為“閉函數(shù)”，討論Dq的范圍，通過方程的解即可判斷

【解答】解：(1)函數(shù)/'(x)=x2-2ax+2=(x-a)~+2-a2)其對稱軸方程為x=a,

當a共時，/(%)在6,3］上單調(diào)遞增，其最小值為g(a)=//=笄—竽；

11

當孑WaW2時，/(x)在［，3］上的最小值為g(Q)=/(〃)=2-a2；

fl92a,1

函數(shù)/(x)=--2"+2在［-，3］上的最小值g(a)=〈933

32—小，—VQ<2

VD

(2)(z)???片，％2-1+/在［1,+8)遞增,

由閉函數(shù)的定義知，該函數(shù)在定義域［1,+8)內(nèi),

+t=p2

存在區(qū)間g，q\(p<q),使得該函數(shù)在區(qū)間。，句上的值域為。2,/］,所以p》l,

+t=q?

2

???/,q為方程—1+t=x的二實根,

即方程f-(2/+1)X+金+1=0在［1,+°°)上存在兩個不等的實根且方恒成立,

令〃(x)—J?-(2什1)x+F+1,

/r3

>t>-

f/21>104

計1

1

>4t>-

22

〃)

a->or"2>O

<1k--

vtI<111)

一

3

解得:

4

3

???實數(shù)/的取值范圍(I，1］.

(商)對于(1),易知g(a)在(-8,2］上為減函數(shù),

①若p<qjg(a)遞減，若g(a)為“閉函數(shù)”，

2

19-2P3-q

則

2

19-223-p

21

兩式相減得p+q=可這與p<q<可矛盾.

②"<產(chǎn)2時，若g(a)為“閉函數(shù)”,則仁；；二。

此時/+才=2滿足條件的p,q存在，

1

A-<p<q^2^f使得g(a)為“閉函數(shù)”?，鄉(xiāng)存在，

乙"-n2

③VqW2時,若g(a)為“閉函數(shù)”，則q_3_q,

2—<72=n2

消去9得知2-62+1=0,即(3〃-1)2=0

解得夕=&此時，q=^^~<1,且/+12=2

.?.0=}VqW2時，使得g(a)為“閉函數(shù)”p,q存在，

1

綜上所述，當P，4滿足W2時，g(°)為“閉函數(shù)，，

*2+Q2=2

【點評】本題考查新定義題，關(guān)鍵是理解題中的新定義，此題型是近幾年高考?？碱}型.求分段函數(shù)的

函數(shù)值關(guān)鍵是判斷出自變量所屬的范圍.

21?【分析】(1)由a*0=(Xl-^1-Xiyi)+(X2+y2-X2y2)H---F(Xn+yn-Xnyn)中〃=3,a=(1,1,0),

求得p滿足的元素

(2)因為a*a+0*0=〃，所以XI+%2H---^-Xn+yi+y2-^---^-yn=n,所以xi,xi,…，yi,yi,…，處中有

n個量的值為1,n個量的值為0.

再由不等式OWa*0=(xi-Fji-xiyi)+{xi+yi-X2y2)+,??+(xn+yn-xnyn)^x\+y\+x2+y2+***+xn+yn=n,

對幾分類討論可得其最值；

(3)設(shè)集合S是滿足條件的集合中元素個數(shù)最多的一個.S=S1US2,51052=0.集合Si中元素個數(shù)不

超過〃+1個，集合S2中元素個數(shù)不超過鬣個.

集合S中的元素個數(shù)為至多為九+1+以=層+九+1.再根據(jù)已知〃-1成立，確定其最大值.

【解答】解：(I)a=(1,1,0),且a*0=(xi+yi-x\yi)+(%2+y2-X2y2)H---F(xn+yn-

Xnyn\

，a*B=3的0元素為(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1).

(II)1己a=(XI,XI,…，Xu),B=(>1,>2,…，yn\

注意到xiC{0,1},所以羽(加-1)=0,

所以a*a=(xi+xi-XlJ^l)+(X2+X2-X2X2)H---F{Xn+xn-XnXn)=X1+X2+…+x〃，0*0="+>2+…也〃

因為a*a+B*0=〃，所以xi+x2+,,,+xn+yi+y2~^--^yn—n,

所以XI,X2,…，Xn>Vb>2,…，歹〃中有幾個量的值為1,〃個量的值為0.

顯然OWa*0=(xi-Hvi-x\y\)+(x2+y2-X2y2)+…+(