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文檔簡(jiǎn)介
高中
專題15排列組合
——題型一:相鄰問(wèn)題61易指點(diǎn):相鄰與不相鄰問(wèn)題處理方法不當(dāng)致誤
——題型二:不相鄰問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn):"捆綁法"中忽略了"內(nèi)部排列"或"整體列”
排列組合------題型三:排列組合綜合⑥、.易錯(cuò)點(diǎn):忽倜涉I」數(shù)、組合數(shù)公式的隱含條件
——題型四:力能去與乘5去原理3一易惜點(diǎn):實(shí)際問(wèn)題不清楚導(dǎo)致計(jì)算重復(fù)或者遺漏致誤
一-題型五:相同元素與不同元素分配問(wèn)題三、易宙點(diǎn):均勻分組與不均勻分組混淆致誤
易錯(cuò)點(diǎn)一:相鄰與不相鄰問(wèn)題處理方法不當(dāng)致誤(相鄰問(wèn)題)
相鄰問(wèn)題
技巧總結(jié)
相鄰問(wèn)題
1、思路:對(duì)于相鄰問(wèn)題,一般采用“捆綁法”解決,即將相鄰的元素看做是一個(gè)整體,在
于其他元素放在一起考慮.如果設(shè)計(jì)到順序,則還應(yīng)考慮相鄰元素的順序問(wèn)題,再與其他元
素放在一起進(jìn)行計(jì)算.
2、解題步驟:
第一步:把相鄰元素看作一個(gè)整體(捆綁法),求出排列種數(shù)
第二步:求出其余元素的排列種數(shù)
第三步:求出總的排列種數(shù)
易錯(cuò)提醒:排列組合實(shí)際問(wèn)題主要有相鄰問(wèn)題和不相鄰問(wèn)題。(1)相鄰問(wèn)題捆綁法(把相令B
的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素,然后再與其余“普通元素”全排列,最后再“松綁”,
將特殊元素在這些位置上全排列);
(2)不相鄰(相間)問(wèn)題插空法(某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用
插空法,即先安排好沒(méi)有限制條件的元素,然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元
素之間);
三
高中1
高中
例、現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相,其中甲、乙、丙3人不能相鄰的排法有()
A.A〉A(chǔ);種B.(A\A:.A;)種
C.A〉A(chǔ);種D.(A'A:)種
變式1:加工某種產(chǎn)品需要5道工序,分別為N,B,C,D,E,其中工序4,2必須相鄰,
工序C,。不能相鄰,那么有()種加工方法.
A.24B.32C.48D.64
變式2:中國(guó)航天工業(yè)迅速發(fā)展,取得了輝煌的成就,使我國(guó)躋身世界航天大國(guó)的行列.中
國(guó)的目標(biāo)是到2030年成為主要的太空大國(guó).它通過(guò)訪問(wèn)月球,發(fā)射火星探測(cè)器以及建造自己
的空間站,擴(kuò)大了太空計(jì)劃.在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中,要先后實(shí)施6個(gè)程序,其中
程序/只能出現(xiàn)在第一步或最后一步,程序3和C實(shí)施時(shí)必須相鄰,請(qǐng)問(wèn)實(shí)驗(yàn)順序的編排
方法共有()
A.24種B.48種C.96種D.144種
變式3:為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開(kāi)展,營(yíng)造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開(kāi)新局”
的濃厚氛圍,某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日
這五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排,以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行,若主題班會(huì)、主題團(tuán)日這兩
個(gè)階段相鄰,且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動(dòng)日不相鄰,則不同的安排方案
共有()
A.10種B.12種C.16種D.24種
1.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間,甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員與5名志愿者站成一排拍照留念,若甲
與乙相鄰、丙不排在兩端,則不同的排法種數(shù)有()
A.1120B.7200C.8640D.14400
2.六名同學(xué)暑期相約去都江堰采風(fēng)觀景,結(jié)束后六名同學(xué)排成一排照相留念,若甲與乙相
鄰,丙與丁不相鄰,則不同的排法共有()
A.48種B.72種C.120種D.144種
3.把二項(xiàng)式的所有展開(kāi)項(xiàng)重新排列,記有理項(xiàng)都相鄰的概率為P,有理項(xiàng)兩兩不
相鄰的概率為9,則"=()
q
高中2
高中
11
A.5B.-C.4D.-
54
4.A,B,C,D,E,廠六人站成一排,滿足/,8相鄰,C,。不相鄰的不同站法的種數(shù)為
()
A.48B.96C.144D.288
5.2023年5月21日,中國(guó)羽毛球隊(duì)在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中
以總比分3:0戰(zhàn)勝韓國(guó)隊(duì),實(shí)現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場(chǎng)
合影留念,其中甲、乙均不能站左端,且甲、丙必須相鄰,則不同的站法共有()
A.18種B.24種C.30種D.36種
6.為配合垃圾分類在學(xué)校的全面展開(kāi),某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識(shí)比賽活動(dòng).高一、高
二、高三年級(jí)分別有1名、2名、3名同學(xué)獲一等獎(jiǎng).若將上述獲一等獎(jiǎng)的6名同學(xué)排成一排合
影,要求同年級(jí)同學(xué)排在一起,則不同的排法共有()
A.18種B.36種C.72種D.144種
7.甲、乙兩個(gè)家庭周末到附近景區(qū)游玩,其中甲家庭有2個(gè)大人和2個(gè)小孩,乙家庭有2
個(gè)大人和3個(gè)小孩,他們9人在景區(qū)門口站成一排照相,要求每個(gè)家庭的成員要站在一起,
且同一家庭的大人不能相鄰,則所有不同站法的種數(shù)為()
A.144B.864C.1728D.2880
8.某駕校6名學(xué)員站成一排拍照留念,要求學(xué)員/和2不相鄰,則不同的排法共有()
A.120種B.240種C.360種D.480種
9.某高鐵動(dòng)車檢修基地庫(kù)房?jī)?nèi)有/~£共5條并行的停車軌道線,每條軌道線只能停一列
車,現(xiàn)有動(dòng)車01,02、高鐵01,02,03共五列車入庫(kù)檢修,若已知兩列動(dòng)車安排在相鄰軌道,
則動(dòng)車01停放在A道的概率為()
1111
A.—B.-C.-D.—
45810
10.班長(zhǎng)邀請(qǐng)C,。四位同學(xué)參加圓桌會(huì)議.如圖,班長(zhǎng)坐在⑤號(hào)座位,四位同學(xué)隨機(jī)
坐在①②③④四個(gè)座位,則42兩位同學(xué)座位相鄰的概率是()
①
高中3
高中
r1
A?-2
3
1
C.一D
4-1
11.將3名男生,2名女生排成一排,要求男生甲必須站在中間,2名女生必須相鄰的排法
種數(shù)有()
A.4種B.8種C.12種D.48種
12.5名同學(xué)排成一排,其中甲、乙、丙三人必須排在一起的不同排法有()
A.70種B.72種C.36種D.D種
13.現(xiàn)有2名男生和3名女生,在下列不同條件下進(jìn)行排列,則()
A.排成前后兩排,前排3人后排2人的排法共有120種
B.全體排成一排,女生必須站在一起的排法共有36種
C.全體排成T排,男生互不相鄰的排法共有72種
D.全體排成一排,甲不站排頭,乙不站排尾的排法共有72種
14.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列說(shuō)法正確的是()
A.若甲、乙、丙按從左到右的順序排列,則不同的排法有12種
B.若甲、乙不相鄰,則不同的排法有72種
C.若甲不能在最左端,且乙不能在最右端,則不同的排法共有72種
D.如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊,則不同的排法有24種
15.甲乙丙等5人的身高互不相同,站成一排進(jìn)行列隊(duì)訓(xùn)練,則()
A.甲乙不相鄰的不同排法有48種
B.甲乙中間恰排一個(gè)人的不同排法有36種
C.甲乙不排在兩端的不同排法有36種
D.甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有20種
16.某學(xué)校舉行校園歌手大賽,共有4名男生,3名女生參加,組委會(huì)對(duì)他們的出場(chǎng)順序進(jìn)
行安排,則下列說(shuō)法正確的是()
A.若3個(gè)女生不相鄰,則有144種不同的出場(chǎng)順序
B.若女生甲在女生乙的前面,則有2520種不同的出場(chǎng)順序
C.若4位男生相鄰,則有576種不同的出場(chǎng)順序
D.若學(xué)生的節(jié)目順序已確定,再增加兩個(gè)教師節(jié)目,共有72種不同的出場(chǎng)順序
17.某校高二年級(jí)安排甲、乙、丙三名同學(xué)到4B,C,D,£五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活
高中4
高中
動(dòng),每名同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng),且多名同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行實(shí)踐活
動(dòng),則下列說(shuō)法正確的有()
A.如果社區(qū)/必須有同學(xué)選擇,則不同的安排方法有61種
B.如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)則不同的安排方法有50種
C.如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同,則不同的安排方法共有60種
D.如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū),則不同的安排方法共有20種
18.在樹(shù)人中學(xué)舉行的演講比賽中,有3名男生,2名女生獲得一等獎(jiǎng).現(xiàn)將獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)
生排成一排合影,則()
A.3名男生排在一起,有6種不同排法B.2名女生排在一起,有48種不同排法
C.3名男生均不相鄰,有12種不同排法D.女生不站在兩端,有108種不同排法
19.甲,乙,丙,丁,戊五人并排站成一排,下列說(shuō)法正確的是()
A.如果甲,乙必須相鄰且乙在甲的右邊,那么不同的排法有24種
B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有42種
C.甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種
D.甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有40種
20.(多選)把5件不同產(chǎn)品/,B,C,D,E擺成一排,貝I]()
A./與8相鄰有48種擺法
B./與C相鄰有48種擺法
C.A,8相鄰又C相鄰,有12種擺法
D.4與8相鄰,且/與C不相鄰有24種擺法
21.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念.要求老師必須站在正中間,且
甲同學(xué)不與老師相鄰,則不同的站法種數(shù)為()
A.A—A:B.A:_C;A:C.C;C;A;D.%
易錯(cuò)點(diǎn)二:“捆綁法”中忽略了“內(nèi)部排列”或“整體列”
(不相鄰問(wèn)題)
不相鄰問(wèn)題
技巧總結(jié)
高中5
高中
1.思路:對(duì)于不相鄰問(wèn)題一般采用“插空法”解決,即先將無(wú)要求的元素進(jìn)行全排列,然后
將要求不相鄰的元素插入到已排列的元素之間,最后進(jìn)行計(jì)算即可
2.解題步驟:
①先考慮不受限制的元素的排列種數(shù)
②再將不相鄰的元素插入到已排列元素的空當(dāng)種(插空法),求出排列種數(shù)
③求出總的排列種數(shù)
易錯(cuò)提醒:處理相鄰問(wèn)題的基本方法是“捆綁法”,即把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)
元素,然后與其余元素全排列,最后“松綁”,將特殊元素在這些位置上全排列.處理不相鄰
問(wèn)題的基本方法是“插空法”,即先安排好沒(méi)有限制條件的元素,然后把有限制條件的元素按
要求插入到排好的元素之間.但應(yīng)該注意插入的元素之間如果也有順序,應(yīng)先進(jìn)行排列.
例、有3名男生,4名女生,在下列不同條件下,求不同的排列方法的總數(shù).
(1)全體排成一行,其中男、女生各站在一起;
(2)全體排成一行,其中男生必須排在一起.
變式1:為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開(kāi)展,營(yíng)造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開(kāi)新局”
的濃厚氛圍,某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日
這五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排,以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行,若主題班會(huì)、主題團(tuán)日這兩
個(gè)階段相鄰,且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動(dòng)日不相鄰,則不同的安排方案
共有()
A.10種B.12種C.16種D.24種
變式2:甲,乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行,則甲、乙相鄰,丙、丁不相鄰的概率
為()
A.-B.-C.-D.—
54312
變式3:某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排,則舞臺(tái)站位時(shí)男女間隔的不同排
法共有()
A.12種B.24種C.72種D.120種
高中6
a+
1.4名男生和3名女生排隊(duì)(排成一排)照相,下列說(shuō)法正確的是()
A.若女生必須站在一起,那么一共有A;A;種排法
B.若女生互不相鄰,那么一共有A;A:種排法
C.若甲不站最中間,那么一共有C:A:種排法
D.若甲不站最左邊,乙不站最右邊,那么一共有A;-2A:種排法
2.某校文藝匯演共6個(gè)節(jié)目,其中歌唱類節(jié)目3個(gè),舞蹈類節(jié)目2個(gè),語(yǔ)言類節(jié)目1個(gè),
則下列說(shuō)法正確的是()
A.若以歌唱類節(jié)目開(kāi)場(chǎng),則有360種不同的出場(chǎng)順序
B.若舞蹈類節(jié)目相鄰,則有120種出場(chǎng)順序
C.若舞蹈類節(jié)目不相鄰,則有240種不同的出場(chǎng)順序
D.從中挑選2個(gè)不同類型的節(jié)目參加市藝術(shù)節(jié),則有11種不同的選法
3.現(xiàn)將8把椅子排成一排,4位同學(xué)隨機(jī)就座,則下列說(shuō)法中正確的是()
A.4個(gè)空位全都相鄰的坐法有120種
B.4個(gè)空位中只有3個(gè)相鄰的坐法有240種
C.4個(gè)空位均不相鄰的坐法有120種
D.4個(gè)空位中至多有2個(gè)相鄰的坐法有900種
4.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué),下列說(shuō)法正確的是().
A.若五位同學(xué)排隊(duì)要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰,則不同的排法有12種
B.若五位同學(xué)排隊(duì)最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有42種
C.若甲、乙、丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊(duì),則不同的排法有20種
D.若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個(gè)社區(qū)參加志愿活動(dòng),每個(gè)社區(qū)至少一位同
學(xué),則不同的分配方案有36種
5.現(xiàn)將9把椅子排成一排,5位同學(xué)隨機(jī)就座,則下列說(shuō)法中正確的是()
A.4個(gè)空位全都相鄰的坐法有720種
B.4個(gè)空位中只有3個(gè)相鄰的坐法有1800種
C.4個(gè)空位均不相鄰的坐法有1800種
D.4個(gè)空位中至多有2個(gè)相鄰的坐法有9000種
6.現(xiàn)有3位歌手和4名粉絲站成一排,要求任意兩位歌手都不相鄰,則不同的排法種數(shù)可
以表示為()
高中7
高中
C.A;-A:A;A:-C;A;A;A:D.A:A;
7.為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”,某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開(kāi)設(shè)“禮”、“樂(lè)”、“射”、
“御”、“書“數(shù),,六門體驗(yàn)課程,每周一門,連續(xù)開(kāi)設(shè)六周,則下列說(shuō)法正確的是()
A.某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí),共有15種選法
B.課程“樂(lè)”“射”排在不相鄰的兩周,共有240種排法
C.課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周,共有144種排法
D.課程“禮”不排在第一周,也不排在最后一周,共有480種排法
8.有甲、乙、丙等6名同學(xué),則說(shuō)法正確的是()
A.6人站成一排,甲、乙兩人不相鄰,則不同的排法種數(shù)為480
B.6人站成一排,甲、乙、丙按從左到右的順序站位,則不同的站法種數(shù)為240
C.6名同學(xué)平均分成三組到/、B、C工廠參觀(每個(gè)工廠都有人),則有90種不同的
安排方法
D.6名同學(xué)分成三組參加不同的活動(dòng),甲、乙、丙在一起,則不同的分組方法有6種
9.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué),下列說(shuō)法正確的是()
A.若五位同學(xué)排隊(duì)要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰,則不同的排法有12種
B.若五位同學(xué)排隊(duì)最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有42種
C.若甲乙丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊(duì),則不同的排法有20種
D.若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個(gè)社區(qū)參加志愿活動(dòng),每個(gè)社區(qū)至少一位同
學(xué),則不同的分配方案有72種
10.4名男生和3名女生排成一排照相,要求男生和男生互不相鄰,女生與女生也互不相鄰,
則不同的排法種數(shù)是()
A.36B.72C.81D.144
11.杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬9月14日在浙江臺(tái)州傳遞,火炬?zhèn)鬟f路線以“和合臺(tái)州活力城
市”為主題,全長(zhǎng)8公里.從和合公園出發(fā),途經(jīng)臺(tái)州市圖書館、文化館、體育中心等地標(biāo)
建筑.假設(shè)某段線路由甲、乙等6人傳遞,每人傳遞一棒,且甲不從乙手中接棒,乙不從甲
手中接棒,則不同的傳遞方案共有()
A.288種B.360種C.480種D.504種
12.A,B,C,D,E五名學(xué)生按任意次序站成一排,其中A和B不相鄰,則不同的排法
高中8
高中
種數(shù)為()
A.72B.36C.18D.64
13.某選拔性考試需要考查4個(gè)學(xué)科(語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、政治),則這4個(gè)學(xué)科不同的考
試順序中物理考試與數(shù)學(xué)考試不相鄰的概率為()
工
A.3BB.2—Cc.3—UD-—4
14.現(xiàn)有4男3女共7個(gè)人排成一排照相,其中三個(gè)女生不全相鄰的排法種數(shù)為()
A.A5A5B.A,-A5A3C.A4AjD.A;-A;
15.黃金分割最早見(jiàn)于古希臘和古埃及.黃金分割又稱黃金率、中外比,即把一條線段分成
長(zhǎng)短不等的。,6兩段,使得長(zhǎng)線段”與原線段6的比等于短線段。與長(zhǎng)線段。的比,即
a:(a+b)=b:a,其比值約為0.618339….小王酷愛(ài)數(shù)學(xué),他選了其中的6,1,8,3,3,9
這六個(gè)數(shù)字組成了手機(jī)開(kāi)機(jī)密碼,如果兩個(gè)3不相鄰,則小王可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為()
A.180B.210C.240D.360
易錯(cuò)點(diǎn)三:忽視排列數(shù)、組合數(shù)公式的隱含條件(排列組合綜合)
1.兩個(gè)重要公式
(1)排列數(shù)公式
4:=7—x=n[n_1)(〃一2).......(n-m+1)(〃,meN*,且加<n).
(2)組合數(shù)公式
C:=—=&T厄一生???《〃—+eN*,且加<n)
m\\n-mj.m\
2、要點(diǎn):……(〃一加上D一般用于計(jì)算,而c:=〃!和
m\
Am
謫一般用于證明、解方程(不等式)?
重點(diǎn):三個(gè)重要性質(zhì)和定理
組合數(shù)性質(zhì)
高中9
高中
(1)對(duì)稱性:=去=C7"(n,”N*,且mW4;
4
組合意義:從〃個(gè)不同的元素中任取掰個(gè)元素,則c;.
從〃個(gè)不同的元素中任取加個(gè)元素后只剩下〃一加個(gè)元素了,則從“個(gè)不同的元素中任取
掰個(gè)元素與從〃個(gè)不同的元素中任取7〃個(gè)元素是等效的.則故c:=C;m.
等式特點(diǎn):等號(hào)兩邊組合數(shù)的下標(biāo)相同,上標(biāo)之和等于下標(biāo).
VI
應(yīng)用:①簡(jiǎn)化計(jì)算,當(dāng)加〉5時(shí),通常將計(jì)算c:轉(zhuǎn)化為計(jì)算ar”,如
J小篝I"
②列等式:由C;=C:,可得x=y或x+y=〃,如則3=%或3+》=8故x=3
或x=5.
(2)C:+i=C:+C:T(〃加eN*,且加V〃);
組合意義:從(〃+1)個(gè)不同的元素中任取加個(gè)元素,則。,篙.
對(duì)于某一元素,只存在著取與不取兩種可能,如果取這一元素,則需從剩下的〃個(gè)元素中任
取?-1)個(gè)元素,所以共有C:i種,如果不取這一元素,則需從剩下的〃個(gè)元素中任取加
個(gè)元素,所以共有C;",根據(jù)分類加法原理:C::I=C;+C;T.
等式特點(diǎn):下標(biāo)相同而上標(biāo)相差1的兩個(gè)組合數(shù)之和,等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與較大的
相同的一個(gè)組合數(shù).
應(yīng)用:恒等變形
常見(jiàn)的組合恒等式:黑="〃1+%:\£:'=—^£豈,C:=&C"
mn-mm
CC++CC++CCC
"+r+1+r+2-"C"=C"+l'J",。"+mC"+,n'"mn=m+n-
(3)C°=l.
重點(diǎn):三個(gè)重要性質(zhì)和定理
組合數(shù)性質(zhì)
高中10
高中
(1)對(duì)稱性:=去=C7"(n,”N*,且mW4;
4
組合意義:從〃個(gè)不同的元素中任取掰個(gè)元素,則c;.
從〃個(gè)不同的元素中任取加個(gè)元素后只剩下〃一加個(gè)元素了,則從“個(gè)不同的元素中任取
掰個(gè)元素與從〃個(gè)不同的元素中任取7〃個(gè)元素是等效的.則故c:=C;m.
等式特點(diǎn):等號(hào)兩邊組合數(shù)的下標(biāo)相同,上標(biāo)之和等于下標(biāo).
VI
應(yīng)用:①簡(jiǎn)化計(jì)算,當(dāng)加〉5時(shí),通常將計(jì)算c:轉(zhuǎn)化為計(jì)算ar”,如
J小篝I"
②列等式:由C;=C:,可得x=y或x+y=〃,如則3=%或3+》=8故x=3
或x=5.
(3)CM=C:+eN*,且加<〃);
組合意義:從(〃+1)個(gè)不同的元素中任取加個(gè)元素,則。,篙.
對(duì)于某一元素,只存在著取與不取兩種可能,如果取這一元素,則需從剩下的〃個(gè)元素中任
取?-1)個(gè)元素,所以共有C:i種,如果不取這一元素,則需從剩下的〃個(gè)元素中任取加
個(gè)元素,所以共有C",根據(jù)分類加法原理:c:;i=c:+c:T.
等式特點(diǎn):下標(biāo)相同而上標(biāo)相差1的兩個(gè)組合數(shù)之和,等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與較大的
相同的一個(gè)組合數(shù).
應(yīng)用:恒等變形
常見(jiàn)的組合恒等式:黑="〃1+%:",c:
mn-mm
CC++CC++CCC
"+r+1+r+2-"C"=C"+l'J",。"+mC"+,n'"mn=m+n-
(3)C°=l.
易錯(cuò)提醒:解排列、組合的綜合問(wèn)題要注意以下幾點(diǎn)
(1)元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法,無(wú)序的問(wèn)題是組合問(wèn)題,有序的問(wèn)題是
高中11
高中
排列問(wèn)題.
(2)對(duì)于有限多個(gè)限制條件的復(fù)雜問(wèn)題,應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件,然后再考慮是分類還
是分步,這是處理排列、組合的綜合問(wèn)題的一般方法.
三9
例、解不等式A;<6A>.
變式1.若C:=C:,則〃的值為()
A.7B.8C.9D.10
變式2.計(jì)算C:+C;+C;+L+以a的值為()
A.以B.%5
C-Co-1D.C:015-l
變式3.若整數(shù)X滿足C:”x+2=c:5,則x的值為()
A.IB.-1C.1或-1D.1或3
1.(%-2)(%-3)(工-4)...(>-15)(%£、,%〉15)可表示為()
A.A;、B.A;、
C.D.A匕
2.已知A:=C;3,貝lj〃=()
A.6B.7C.8D.9
3.l」!+2?2!+3?3!+…+672?672!除以2019的余數(shù)為()
A.1B.2018C.2017D.前三個(gè)答案都不對(duì)
4.甲,乙,丙3位同學(xué)從即將開(kāi)設(shè)的4門校本課程中任選一門參加,則他們參加的校本課
程各不相同的概率為()
3388
A,B.-C.—D.
A84279
高中12
高中
5.若A:=12C;,則〃等()
A.8B.4C.3或4D.5或6
6.若3cti=5A:,則正整數(shù)〃=()
A.7B.8C.9D.10
7.一條鐵路有〃個(gè)車站,為適應(yīng)客運(yùn)需要,新增了加個(gè)車站,且知〃>1,客運(yùn)車票增加
了62種,則現(xiàn)在車站的個(gè)數(shù)為()
A.15B.16C.17D.18
8.不等式4'<6x4"2的解集為()
A.{2,8}B.{2,6}
C.{7,12}D.{8}
9.若24C:=P;,貝lj〃7=_____.
10.已知A:+A3=AA::;("GN+,">2),求x的值.
11.解關(guān)于正整數(shù)x的不等式P;<6P12.
12.解關(guān)于正整數(shù)〃的方程:A;“M=140A;
13.已知A:=56C:,且(l-2x)"=4H--FqJ.求q+2a2+3/------的值.
14.(1)解不等式A:<4A「.
(2)若C;+C;+C;+…+戲=55,求正整數(shù)".
15.(1)若3A:=2A;+[+6A;,則x=.
(2)不等式C:>C:的解集為.
易錯(cuò)點(diǎn)四:實(shí)際問(wèn)題不清楚導(dǎo)致計(jì)算重復(fù)或者遺漏致誤
(加法與乘法原理)
正難則反問(wèn)題
技巧總結(jié)
高中13
高中
正難則反排除處理:對(duì)于正面不好解決的排列、組合問(wèn)題,考慮反面(取補(bǔ)集的思想),一
般在題目中有字眼“至多、至少”等體現(xiàn)。
正規(guī)方法:限制(定位)問(wèn)題優(yōu)先處理:某個(gè)(幾個(gè))元素要排在指定位置,可先排這個(gè)
(幾個(gè))元素,再排其它元素,或某個(gè)(幾個(gè))位置要求排指定元素,可先排這個(gè)(幾個(gè))
位置,再排其它位置。(即可從限制元素或限制位置兩方面去考慮。)。
秒殺方法:對(duì)立事件處理+韋恩圖解釋
模型:7個(gè)同學(xué)站隊(duì),要求甲同學(xué)不站在排首,乙同學(xué)不站在排尾,求站隊(duì)的總方案數(shù).
'包含合理的方案
破解:①全部方案:
包含不合理的方案
k甲站在排首的情況:/:(含乙站在排尾的情況)
②其中不合理的方案<2、乙站在排尾的情況:含甲站在排首的情況)
3、甲站在排首、乙站在排尾的情況:4
貝?。〢^-Al-A1+Al=3720種方案.
解釋:
Ar\B
易錯(cuò)提醒:排歹h組合問(wèn)題由于其思想方法獨(dú)特,計(jì)算量龐大,對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)困難,所以我
們?cè)诮鉀Q這類問(wèn)題時(shí)就要遵循一定的解題原則,如特殊元素原則、位置優(yōu)先原則、先取后排
原則、先分組后分配原則、正難則反原則等,只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時(shí),
解答組合問(wèn)題必須心思細(xì)膩,考慮周全,這樣才能做到不重不漏,正確解題.
例、有20個(gè)零件,其中16個(gè)一等品,4個(gè)二等品,若從這20個(gè)零件中任意取3個(gè),那么
高中14
至少有1個(gè)一等品的不同取法有多少種?
變式1:四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn),在其中取4個(gè)不共面點(diǎn),不同取法有種。
變式2:從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì),要求其中男、女醫(yī)
生都有,則不同的組隊(duì)方案共有()
A.70種B.80種C.100種D.140種
變式3:定義“規(guī)范01數(shù)列”{4}如下:{%}共有2加項(xiàng),其中加項(xiàng)為0,加項(xiàng)為1,且對(duì)
任意k£2m,%,外,…,即中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)。若加=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)
列”共有()
A.18個(gè)B.16C.14個(gè)D.12個(gè)
1.高考期間,為保證考生能夠順利進(jìn)入考點(diǎn),交管部門將5名交警分配到該考點(diǎn)周邊三個(gè)
不同路口疏導(dǎo)交通,每個(gè)路口至少1人,至多2人,則不同的分配方染共有()
A.60種B.90種C.125種D.150種
2.某日,甲、乙、丙三個(gè)單位被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約到aB,C三家醫(yī)院接種疫苗,每家醫(yī)院每
日至多接待兩個(gè)單位.已知/醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗,B醫(yī)院接種的
是需要打兩針的滅活疫苗,C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗,則甲單位不接種需
要打三針的重組蛋白疫苗的概率為()
1223
A.-B.-C.-D.—
3355
3.將3張不同的電影票全部分給10個(gè)人,每人至多一張,則不同的分法種數(shù)是()
A.1260B.120C.240D.720
4.用數(shù)字3,6,9組成四位數(shù),各數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù),且數(shù)字3至多出現(xiàn)一次,則可
以組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為()
A.81B.48C.36D.24
5.從4名優(yōu)秀學(xué)生中選拔參加池州一中數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三學(xué)科培優(yōu)研討會(huì),要求每名學(xué)
生至多被一學(xué)科選中,則每學(xué)科至少要選用一名學(xué)生的情況有()種
A.24B.36C.48D.60
高中15
高中
6.將5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子,每個(gè)盒子至少1個(gè)球,至多2個(gè)球,則不同的
放法種數(shù)有()
A.30種B.90種C.180種D.270種
7.哈六中高一學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,現(xiàn)在從
中任選3人,要求這三人不能是同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生,且在三班至多選1人,不同的選取法的
種數(shù)為
A.484B.472C.252D.232
8.下列說(shuō)法正確的是()
A.4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目,每人報(bào)一項(xiàng),共有81種報(bào)名方法
B.4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目,每項(xiàng)限報(bào)一人,且每人至多報(bào)一項(xiàng),共有
24種報(bào)名方法
C.4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍,共有64種可能的結(jié)果
D.從0,2中選一個(gè)數(shù)字,從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字,組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中
奇數(shù)的個(gè)數(shù)為12個(gè)
9.如圖,線路從A到8之間有五個(gè)連接點(diǎn),若連接點(diǎn)斷開(kāi),可能導(dǎo)致線路不通,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)
之間線路不通,則下列判斷正確的是()
2
1――—I5
A.至多三個(gè)斷點(diǎn)的有19種B.至多三個(gè)斷點(diǎn)的有22種
C.共有25種D.共有28種
10.某班有5名同學(xué)報(bào)名參加校運(yùn)會(huì)的四個(gè)比賽項(xiàng)目,計(jì)算在下列情況下各有多少種不同的
報(bào)名方法.
(1)每人恰好參加一項(xiàng),每項(xiàng)人數(shù)不限;
(2)每項(xiàng)限報(bào)一人,每項(xiàng)都有人報(bào)名,且每人至多參加一項(xiàng);
(3)每人限報(bào)一項(xiàng),人人參加了項(xiàng)目,且每個(gè)項(xiàng)目均有人參加.
11.已知8件不同的產(chǎn)品中有3件次品,現(xiàn)對(duì)它們一一進(jìn)行測(cè)試,直至找到所有次品.
(1)若在第5次測(cè)試時(shí)找到最后一件次品,則共有多少種不同的測(cè)試方法?
(2)若至多測(cè)試5次就能找到所有次品,則共有多少種不同的測(cè)試方法?
高中16
高中
12.杭州亞運(yùn)會(huì)啟動(dòng)志愿者招募工作,甲、乙等6人報(bào)名參加了/、B,C三個(gè)項(xiàng)目的志愿
者工作,因工作需要,每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者,每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目,若甲不能參加
3項(xiàng)目,乙不能參加3、C項(xiàng)目,那么共有種不同的選拔志愿者的方案.(用數(shù)字
作答)
13.某校在高二年級(jí)開(kāi)設(shè)選修課,其中數(shù)學(xué)選修課開(kāi)四個(gè)班.選課結(jié)束后,有四名同學(xué)要求
改修數(shù)學(xué),但每班至多可再接收2名同學(xué),那么不同的分配方案有(用數(shù)字作答)
14.某單位有4B、。、。四個(gè)科室,為實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效,每科室抽調(diào)2人,去參加再就業(yè)
培訓(xùn),培訓(xùn)后這8人中有2人返回原單位,但不回到原科室工作,且每科室至多安排1人,
問(wèn)共有種不同的安排方法?
易錯(cuò)點(diǎn)五:均勻分組與不均勻分組混淆致誤(相同元素與不同元
素分配問(wèn)題)
不同元素分組分配問(wèn)題
I技巧總結(jié)
分組問(wèn)題與分配問(wèn)題
I:將“個(gè)不同元素按照某些條件分成左組,稱為分組問(wèn)題.
分組問(wèn)題共分為3類:不平均分組、平均分組、部分平均分組.
將〃個(gè)不同元素按照某些條件分配給左個(gè)不同的對(duì)象,稱為分配問(wèn)題.
分配問(wèn)題共分為2類:定額分配、隨機(jī)分配.
區(qū)別:分組問(wèn)題是組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同,是不區(qū)分的.而分配問(wèn)題即使兩組元素個(gè)
數(shù)相同,但因?qū)ο蟛煌?,仍然是可區(qū)分的,對(duì)于分配問(wèn)題必須先分組后分配.
逐分組問(wèn)題的常見(jiàn)形式及快速處理方君)
①非均勻不編號(hào)分組:〃個(gè)不同元素分成加組,每組元素?cái)?shù)目均不相等,且不考慮各組間
的順序,不管是否分完,其分法種數(shù)為:
mm
N-Q\.C%.C冽3...........Qm
一加]J〃一(m1+加2)m-\)
n—\mx+m2+......m
高中17
高中
如:6個(gè)不同的球分為3組,且每組數(shù)目不同,有多少種情況?
Cg-Cj-C^=6x10x1=60
②均勻不編號(hào)分組:將〃個(gè)不同元素分成不編號(hào)的加組,假定其中外組元素個(gè)數(shù)相等,不
N
管是否分盡,其分法種數(shù)為7(N為非均勻不編號(hào)分組的分法種數(shù)).如果再有左組均勻
分組,應(yīng)再除以Zf.除的原因?yàn)椋喝纾?23456平均分成3組,可能是[1,2]、[3,4]、[5,6]
也可能是1,2卡[5,6卡[3,4]或者是[5,6]、[3,4]、[1,2]等,一共有種不同的組別,但這些組都是
一樣的,所以除以
如:2、B、C、。兩兩一組,分兩組,若直接用=6種,但列舉出來(lái)的分別為
{[/、用,仁、£>]}、腦、外歷、回}、/4、川,[8、C]}再往下列舉就已經(jīng)重復(fù)了.
如:伽、C],[Z、£>]}、伽、D\[A.C]}、{仁、用}.
如:6個(gè)不同的球分為3組,且每組數(shù)目相同,有多少種情況?
4=?!?。:&=90,種數(shù)=3=史=15.
6
③非均勻編號(hào)分組:將〃個(gè)不同元素分成加組,各組元素?cái)?shù)目均不相等,且考慮各組間的
順序,其分法種數(shù)為(N為非均勻不編號(hào)分組的分法種數(shù))
④均勻編號(hào)分組:將〃個(gè)不同元素分成加組,各組元素?cái)?shù)目均相等,且考慮各組間的順序,
N-A'n
其分法種數(shù)為丁與(N為非均勻不編號(hào)分組的分法種數(shù)).
易錯(cuò)提醒:均勻分組和部分均勻分組在計(jì)數(shù)過(guò)程中易出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象,注意計(jì)算公式的應(yīng)用.重
復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù),即若有m組元素個(gè)數(shù)相等,則分組時(shí)應(yīng)除以初.
三建
例、將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人,每人至少一本的不同分法共有種.(用
高中18
高中
數(shù)字作答)
變式1:12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查,若每個(gè)路口4人,則不同的分
配方案共有
)種。
「40404
C.C^CXD.
變式2:將2名教師,4名學(xué)生分成2個(gè)小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),
每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有(
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