2025高考數(shù)學(xué)二輪專題-概率-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)二輪專題-概率-專項(xiàng)訓(xùn)練一．選擇題（共4小題）1．某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并部分整理下表：畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）生產(chǎn)數(shù)61218302410據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（）A．100塊稻田畝產(chǎn)量中位數(shù)小于1050kg B．100塊稻田中的畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80% C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間 D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間2．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）A． B． C． D．3．生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中S，N分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù)．生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)S沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由N1變?yōu)镹2，生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15，則（）A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．＝ D．＝4．下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是（）A． B． C． D．二．多選題（共1小題）（多選）5．為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值＝2.1，樣本方差s2＝0.01，已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N（1.8，0.12），假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N（，s2），則（）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2 B．P（X＞2）＜0.5 C．P（Y＞2）＞0.5 D．P（Y＞2）＜0.8三．填空題（共5小題）6．甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后輪次中不能使用）．則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為．7．在如圖的4×4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．8．有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次取1個(gè)球．記m表示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記n表示前三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則m與n差的絕對(duì)值不超過的概率是．9．A，B，C，D，E五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加，甲選到A的概率為；已知乙選了A活動(dòng)，他再選擇B活動(dòng)的概率為．10．某校舉辦科學(xué)競技比賽，有A、B、C3種題庫，A題庫有5000道題，B題庫有4000道題，C題庫有3000道題．小申已完成所有題，他A題庫的正確率是0.92，B題庫的正確率是0.86，C題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是．四．解答題（共6小題）11．設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)ai和aj（i＜j）后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1，a2…，a4m+2是（i，j）——可分?jǐn)?shù)列．（1）寫出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使數(shù)列a1，a2，…，a6是（i，j）——可分?jǐn)?shù)列；（2）當(dāng)m≥3時(shí)，證明：數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分?jǐn)?shù)列；（3）從1，2，…，4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j（i＜j），記數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）——可分?jǐn)?shù)列的概率為Pm，證明：Pm＞．12．某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)都由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績?yōu)?分，若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分，該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．（1）若p＝0.4，q＝0.5，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率；（2）假設(shè)0＜p＜q，（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，則該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？13．某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造．升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間乙車間能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p＝0.5．設(shè)為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率．如果＞p+1.65，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了．根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（≈12.247）附：K2＝，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

14．某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造．升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間乙車間能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的估級(jí)品率存在差異？（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p＝0.5．設(shè)為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率．如果＞p+1.65，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了．根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（≈12.247）附：K2＝，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

15．某保險(xiǎn)公司為了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：索賠次數(shù)01234保單份數(shù)800100603010假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前三次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元．假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．（1）估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差．（i）記X為一份保單的毛利潤，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX；（ii）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少4%，有索賠的保單的保費(fèi)增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中EX估計(jì)值的大小，（結(jié)論不要求證明）

16．為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)約為多少？（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長（精確到0.1）．（3）是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？

參考答案與試題解析一．選擇題（共4小題）1．【解答】解：對(duì)于A，根據(jù)頻率分布表知，6+12+18＝36＜50，所以100塊稻田畝產(chǎn)量中位數(shù)不小于1050kg，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，畝產(chǎn)量不低于1100kg的稻田頻數(shù)為24+10＝34，所以畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例為＝66%，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，畝產(chǎn)量的極差最大值為1200﹣900＝300，最小值為1150﹣950＝200，所以極差介于200kg至300kg之間，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，估計(jì)平均數(shù)為＝（6×925+12×975+18×1025+30×1075+24×1125+10×1175）＝1067，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：C．2．【解答】解：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有＝24種可能，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的情況有＝8種可能，故P＝＝．故選：B．3．【解答】解：根據(jù)個(gè)體總數(shù)由N1變?yōu)镹2可列式，＝2.1，＝3.15，所以2.1lnN1＝3.15lnN2，約分可得2lnN1＝3lnN2，故＝，所以＝．故選：D．4．【解答】解：由題意可知選項(xiàng)A的散點(diǎn)圖可知，相關(guān)關(guān)系強(qiáng)，|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；所以A的相關(guān)性系數(shù)最大．故選：A．二．多選題（共1小題）5．【解答】解：依題意，X～N（1.8，0.12），Y～N（2.1，0.12），對(duì)于X～N（1.8，0.12），由于2＝1.8+2×0.1＝μ+2σ，則P（X＞2）＝P（X＞μ+2σ）＜P（X＞μ+σ）＝1﹣0.8413＝0.1587，A錯(cuò)；P（X＞2）＜P（X＞1.8）＝0.5，B對(duì)；對(duì)于Y～N（2.1，0.12），由于2＝2.1﹣0.1＝μ﹣σ，則P（Y＞2）＞P（Y＞2.1）＝0.5，C對(duì)；P（Y＞2）＝P（Y＞μ﹣σ）＝P（Y＜μ+σ）＝0.8413＞0.8，D錯(cuò)．故選：BC．三．填空題（共5小題）6．【解答】解：甲出1一定輸，所以甲最多得3分，若得3分，就只有一種組合1﹣8、3﹣2、5﹣4、7﹣6；若得2分有三類，分別列舉如下：①出3和出5的贏，其余輸：1﹣6，3﹣2，5﹣4，7﹣8；②出3和出7的贏，其余輸：1﹣4，3﹣2，5﹣8，7﹣6；1﹣8，3﹣2，5﹣6，7﹣4；1﹣6，3﹣2，5﹣8，7﹣4；③出5和出7的贏，其余輸：1﹣2，3﹣8，5﹣4，7﹣6；1﹣4，3﹣8，5﹣2，7﹣6；1﹣8，3﹣4，5﹣2，7﹣6；1﹣6，3﹣8，5﹣2，7﹣4；1﹣8，3﹣6，5﹣2，7﹣4；1﹣6，3﹣8，5﹣4，7﹣2；1﹣8，3﹣6，5﹣4，7﹣2；共12種組合滿足要求，而所有組合為種，所以甲得分不小于2的概率為．故答案為：．7．【解答】解：在如圖的4×4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有＝24種選法，每種選法可標(biāo)記為{a，b，c，d}，a，b，c，d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，則所有可能的結(jié)果為：（11，22，33，44），（11，22，34，43），（11，22，33，44），（11，22，34，42），（11，24，33，43），（11，24，33，42），（11，21，33，44），（12，21，34，43），（12，22，31，44），（12，22，34，40），（12，24，31，43），（12，34，33，40），（13，21，33，44），（13，21，34，42），（13，22，31，44），（13，22，34，40），（13，24，31，42），（13，24，33，40），（15，21，33，43），（15，21，33，42），（15，22，31，43），（15，22，33，40），（15，22，31，42），（15，22，33，40），在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個(gè)數(shù)之和最大的是（15，21，33，43），最大值是：15+21+33+43＝112．故答案為：24；112．8．【解答】解：記前三個(gè)球的號(hào)碼分別為a、b、c，則共有種可能，令可得：|a+b﹣2c|≤3，根據(jù)對(duì)稱性：c＝1或6時(shí)，均有2種可能；c＝2或5時(shí)，均有10種可能；c＝3或4時(shí)，均有16種可能；故滿足條件的共有56種可能，．故答案為：．9．【解答】解：設(shè)事件A表示“選到A”，事件B表示“選到B”，則甲從中選3個(gè)．甲選到A的概率為P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴乙選了A活動(dòng)，他再選擇B活動(dòng)的概率為：P（B|A）＝＝＝．故答案為：，．10．【解答】解：由題可知，A題庫占比為，B題庫占比為，C題庫占比為，故．故答案為：．四．解答題（共6小題）11．【解答】解：（1）根據(jù)題意，可得當(dāng)（i，j）?。?，2）時(shí)，可以分為a3，a4，a5，a6一組公差為d的等差數(shù)列，當(dāng)（i，j）?。?，6）時(shí)，可以分為a2，a3，a4，a5一組公差為d的等差數(shù)列，當(dāng)（i，j）?。?，6）時(shí)，可以分為a1，a2，a3，a4一組公差為d的等差數(shù)列，所以（i，j）可以為（1，2），（1，6），（5，6）；（2）證明：當(dāng)m＝3時(shí)，a1，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11，a12，a14，可以分為a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14三組公差為3d的等差數(shù)列，所以m＝3時(shí)符合題意；當(dāng)m＞3時(shí)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2去掉a2和a13后，前三組還按照m＝3時(shí)的分法，即a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14，后面的每四個(gè)相鄰的項(xiàng)分為一組，即a15，a16，a17，a18；...；a4m﹣1，a4m，a4m+1，a4m+2，每一組都能構(gòu)成等差數(shù)列，所以數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分?jǐn)?shù)列；（3）證明：設(shè)在給定m的情況下，（i，j）的組數(shù)為bm，當(dāng)m變成m+1時(shí)，數(shù)列就變成了a1，a2，a3，a4，a5，…，a4m+2，a4m+3，a4m+4，a4m+5，a4m+6，這里可以分成3組，前4個(gè)一組即{a1，a2，a3，a4}，中間的一組，后4個(gè)一組即{a4m+3，a4m+4，a4m+5，a4m+6}，此時(shí)我們要在這里面刪除2個(gè)數(shù)，那么會(huì)有以下幾種情況：一、兩個(gè)都在中間中間有4m﹣2個(gè)數(shù)，且為等差數(shù)列，刪除2個(gè)的話，總數(shù)為bm﹣1種；二、一個(gè)在第一組，一個(gè)在中間組或兩個(gè)都在第一組第一組和中間組連起來，會(huì)變成4m+2個(gè)數(shù)的等差數(shù)列，這里面總共有bm種方法，但是要去掉兩個(gè)都在中間的情況，共有bm﹣bm﹣1種；三、一個(gè)在中間組，一個(gè)在最后一組，或者都在最后一組和上面一樣，也是共有bm﹣bm﹣1種；四、一個(gè)在第一組，一個(gè)在最后一組此時(shí)，將a1，a4m+6同時(shí)刪除是肯定可以的，這算一種；然后，從（2）的結(jié)果來看，把a(bǔ)2，a4m+5同時(shí)刪除也是可以的，因?yàn)閙＝3成立之后，當(dāng)m＞3時(shí)，只是相當(dāng)于往中間加了4個(gè)連續(xù)的等差數(shù)而已，其它是不變的，這也算一種．綜上，就會(huì)有bm+1≥bm﹣1+2（bm﹣bm﹣1）+2＝2bm﹣bm﹣1+2，bm+1﹣bm﹣（bm﹣bm﹣1）≥2，可得bm+1﹣bm≥2m+2，即有b2﹣b1≥2×1+2，b3﹣b2≥2×2+2，……bm﹣bm﹣1≥2（m﹣1）+2，累加可得bm﹣b1≥2×（1+2+3+…+m﹣1）+2（m﹣1），即bm≥m2+m+1，因?yàn)閎0＝0，b1＝3，所以bm≥m2+m+1，如果你是隨便刪除，總共有＝8m2+6m+1種，所以Pm＝≥＞．12．【解答】解：（1）∵甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分，∴甲第一階段至少投中一次，乙第二階段至少投中一次，∴甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率為：P＝（1﹣0.63）（1﹣0.53）＝0.686．（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在人的比賽成績?yōu)?5分的概率為：P甲＝[1﹣（1﹣p）3]q3，若乙參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率為：P乙＝[1﹣（1﹣q）3]?p3，∴P甲﹣P乙＝q3﹣（q﹣pq）3﹣p3+（p﹣pq）3＝（q﹣p）（q2+pq+p2）+（p﹣q）[（p﹣pq）2+（q﹣pq）2+（p﹣pq）（q﹣pq）]＝（p﹣q）（3p2q2﹣3p2q﹣3pq2）＝3pq（p﹣q）（pq﹣p﹣q）＝3pq（p﹣q）[（1﹣p）（1﹣q）﹣1]＞0，∴P甲＞P乙，∴為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，該由甲參加第一階段的比賽．（ii）若甲先參加第一階段的比賽，比賽成績X的所有可能取值為0，5，10，15，P（X＝0）＝（1﹣p）3+[1﹣（1﹣p）3]?（1﹣q）3，P（X＝5）＝[1﹣（1﹣p）3]，P（X＝10）＝[1﹣（1﹣p）3]，P（X＝15）＝[1﹣（1﹣p）3]?q3，∴E（X）＝15[1﹣（1﹣p）3]q＝15（p3﹣3p2+3p）q，記乙參加第一階段比賽，比賽成績Y的所有可能取值為0，5，10，15，同理E（Y）＝15（q3﹣3q2+3q）p，∴E（X）﹣E（Y）＝15[pq（p+q）（p﹣q）﹣3pq（p﹣q）]＝15（p﹣q）pq（p+q﹣3）＞0，∴為使得甲、乙，所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)與期望最大，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽．13．【解答】解：（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下2×2的列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間2624乙車間7030零假設(shè)H0：根據(jù)α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率不存在差異，X2＝＝4.6875＞3.841，有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異；零假設(shè)H0：根據(jù)α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率不存在差異，4.6875＜6.635，沒有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異．（2）由題意得＝＝0.64，p+1.65＝0.5+1.65