2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.2-同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式-專項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.2-同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式-專項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．已知cosθ＝－eq\f(12,13)，若θ是第二象限角，則tan(π＋θ)的值為()A．eq\f(5,12) B．eq\f(12,5)C．－eq\f(5,12) D．－eq\f(12,5)2．已知α是第四象限角，tanα＝－eq\f(8,15)，則sinα等于()A．eq\f(15,17) B．－eq\f(15,17)C．eq\f(8,17) D．－eq\f(8,17)3．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且cosα＝－eq\f(5,13)，則eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),cosα＋π)等于()A．eq\f(12,13) B．－eq\f(12,13)C．eq\f(13,12) D．－eq\f(13,12)4．sineq\f(29π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(29π,3)))－taneq\f(25π,4)＝()A．0 B．eq\f(1,2)C．1 D．－eq\f(1,2)5．已知α是第四象限的角，化簡eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))＋eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))的結(jié)果是()A．eq\f(2,sinα) B．－eq\f(2,sinα)C．－eq\f(2,cosα) D．eq\f(2,cosα)6．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值是()A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2\r(2),3) D．－eq\f(2\r(2),3)7．已知tanθ＝2，則eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ)＋sin2θ的值為()A．eq\f(19,5) B．eq\f(16,5)C．eq\f(23,10) D．eq\f(17,10)8．已知eq\f(1,tan\f(θ,2))－taneq\f(θ,2)＝2sinθ，則cosθ＝()A．eq\f(\r(5)－2,4) B．eq\f(2－\r(5),2)C．eq\f(1－\r(5),2) D．eq\f(\r(5)－1,2)二、多選題9．已知x∈R，則下列等式恒成立的是()A．sin(－x)＝sinx B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝cosxC．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sinx D．cos(x－π)＝－cosx10．已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，則下列結(jié)論正確的是()A．θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B．cosθ＝－eq\f(3,5)C．tanθ＝eq\f(3,4) D．sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)11．定義：角θ與φ都是任意角，若滿足θ＋φ＝eq\f(π,2)，則稱θ與φ“廣義互余”．已知sin(π＋α)＝－eq\f(1,4)，下列角β中，可能與角α“廣義互余”的是()A．sinβ＝eq\f(\r(15),4) B．cos(π＋β)＝eq\f(1,4)C．tanβ＝eq\r(15) D．tanβ＝eq\f(\r(15),5)三、填空題12．若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\f(sinθ,cos2θ)＝eq\f(sinθ－cosθ,1－sin2θ)，則tanθ＝.13．設(shè)f(tanα)＝sinαcosα，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(11π,6)))＝.14．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝.15．已知sin(3π＋α)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，則eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)的值為.四、解答題16．已知eq\f(1＋2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝2.(1)求tanα的值；(2)求2sin2α＋3sinαcosα－cos2α的值．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．(多選題)在△ABC中，下列結(jié)論正確的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2)C．tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))D．cos(A＋B)＝cosC2．已知eq\f(sinα,1＋cosα)＝－eq\f(2,3)，則eq\f(sinα,1－cosα)的值是()A．eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)3．已知曲線f(x)＝eq\f(2,3)x3在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的傾斜角為α，則eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝()A．eq\f(1,2) B．2C．eq\f(3,5) D．－eq\f(3,8)4．黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小、密度大、吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再出來，數(shù)字中也有類似的“黑洞”．任意取一個(gè)數(shù)字串，長度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個(gè)數(shù)、奇數(shù)的個(gè)數(shù)以及總的數(shù)字個(gè)數(shù)，把這三個(gè)數(shù)從左到右寫成一個(gè)新的數(shù)字串．重復(fù)以上工作，最后會(huì)得到一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字串，我們稱它為“數(shù)字黑洞”，如果把這個(gè)數(shù)字串設(shè)為a，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)π＋\f(π,3)))＝()A．eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)5．已知x∈(－π，0)，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).(1)求sinx－cosx的值；(2)求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．6．已知第二象限角α滿足sinα，cosα是關(guān)于x的方程25x2－5x－12＝0的兩個(gè)實(shí)根．(1)求tanα＋eq\f(1,tanα)的值；(2)求eq\f(2sinα＋cosα,sin2α2cosα－sinα)的值． 參考答案 【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．(C)[解析]由題意求出sinθ，又tan(π＋θ)＝tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)，再將sinθ，cosθ的值代入即可得出答案．∵θ是第二象限角，又cosθ＝－eq\f(12,13)，∴sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(5,13)，∴tan(π＋θ)＝tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(5,12).故選C．2．(D)[解析]∵tanα＝－eq\f(8,15)，∴eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(8,15)，∴sinα＝－eq\f(8,15)cosα代入sin2α＋cos2α＝1，cos2α＝eq\f(225,289)，∵α是第四象限角，∴cosα＝eq\f(15,17)，∴sinα＝－eq\f(8,15)×eq\f(15,17)＝－eq\f(8,17)，故選D．3．(C)[解析]由已知得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(12,13)，∴eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),cosα＋π)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))·cosα＋π)＝eq\f(cosα,－sinα·－cosα)＝eq\f(1,sinα)＝eq\f(13,12).4．(A)[解析]原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(5π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－10π＋\f(π,3)))－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(π,4)))＝sineq\f(5π,6)＋coseq\f(π,3)－taneq\f(π,4)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－1＝0.5．(D)[解析]原式＝eq\r(\f(1＋sinα2,1－sinα1＋sinα))＋eq\r(\f(1－sinα2,1＋sinα1－sinα))＝eq\r(\f(1＋sinα2,cos2α))＋eq\r(\f(1－sinα2,cos2α))＝eq\f(1＋sinα,|cosα|)＋eq\f(1－sinα,|cosα|)＝eq\f(2,|cosα|)，因?yàn)棣潦堑谒南笙薜慕?，所以cosα>0，所以原式化簡的結(jié)果是eq\f(2,cosα).故選D．6．(B)[解析]因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3).7．(C)[解析]原式＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ)＋eq\f(sin2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ)＋eq\f(tan2θ,tan2θ＋1)，將tanθ＝2代入上式，則原式＝eq\f(23,10).8．(D)[解析]利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式化簡已知等式可得cosθ＝sin2θ>0，進(jìn)而可得cos2θ＋cosθ＝1，解方程即可求解cosθ的值．因?yàn)閑q\f(1,tan\f(θ,2))－taneq\f(θ,2)＝2sinθ，所以eq\f(cos\f(θ,2),sin\f(θ,2))－eq\f(sin\f(θ,2),cos\f(θ,2))＝eq\f(cos2\f(θ,2)－sin2\f(θ,2),sin\f(θ,2)cos\f(θ,2))＝eq\f(cosθ,\f(1,2)sinθ)＝2sinθ，可得cosθ＝sin2θ>0，所以cos2θ＋cosθ＝1，解得cosθ＝eq\f(\r(5)－1,2)(負(fù)值舍去)．故選D．二、多選題9．(CD)[解析]sin(－x)＝－sinx，故A不成立；sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝－cosx，故B不成立；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sinx，故C成立；cos(x－π)＝cos(π－x)＝－cosx，故D成立．10．(BD)[解析]因?yàn)閟inθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(1,25)，可得2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，因?yàn)棣取?0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，所以θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故A錯(cuò)誤，又由(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(49,25)，可得sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)，故D正確，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(1,5)，,sinθ－cosθ＝\f(7,5)，))解得sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝－eq\f(3,5)，故B正確，由tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(4,3)，故C錯(cuò)誤．故選BD．11．(AC)[解析]由已知求得sinα，再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．∵sin(π＋α)＝－sinα＝－eq\f(1,4)，∴sinα＝eq\f(1,4)，若α＋β＝eq\f(π,2)，則β＝eq\f(π,2)－α.sinβ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα＝±eq\f(\r(15),4)，故A符合條件；cos(π＋β)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sinα＝－eq\f(1,4)，故B不符合條件；tanβ＝eq\r(15)，即sinβ＝eq\r(15)cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±eq\f(\r(15),4)，故C符合條件；tanβ＝eq\f(\r(15),5)，即sinβ＝eq\f(\r(15),5)cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±eq\f(\r(6),4)，故D不符合條件．故選AC．三、填空題12．[解析]因?yàn)閑q\f(sinθ,cos2θ)＝eq\f(sinθ－cosθ,1－sin2θ)，所以eq\f(sinθ,cos2θ)＝eq\f(sinθ－cosθ,sinθ－cosθ2)因?yàn)閟inθ－cosθ≠0，所以eq\f(sinθ,cos2θ)＝eq\f(1,sinθ－cosθ)，即sin2θ－sinθcosθ－cos2θ＝0，因?yàn)棣取蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosθ≠0，tanθ>0，所以tan2θ－tanθ－1＝0，解得tanθ＝eq\f(\r(5)＋1,2).13．[解析]因?yàn)閒(tanα)＝sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,1＋tan2α)，所以f(x)＝eq\f(x,1＋x2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(11π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(－\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝－eq\f(2,5).14．[解析]coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))－1＝－eq\f(2＋\r(3),3).15．[解析]∵sin(3π＋α)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα，∴tanα＝2，∴eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)＝eq\f(tanα－4,5tanα＋2)＝－eq\f(1,6).四、解答題16．[解析](1)eq\f(1＋2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(sinα＋cosα2,cosα－sinαcosα＋sinα)＝eq\f(sinα＋cosα,cosα－sinα)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2，解得tanα＝eq\f(1,3).(2)2sin2α＋3sinαcosα－cos2α＝eq\f(2sin2α＋3sinαcosα－cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α＋3tanα－1,tan2α＋1)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋3×\f(1,3)－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋1)＝eq\f(1,5).INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．(ABC)[解析]在△ABC中，有A＋B＋C＝π，則sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正確．sineq\f(B＋C,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝coseq\f(A,2)，B正確．tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))，C正確．cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D錯(cuò)誤．故選ABC．2．(D)[解析]∵eq\f(sinα,1＋cosα)×eq\f(sinα,1－cosα)＝eq\f(sin2α,1－cos2α)＝eq\f(sin2α,sin2α)＝1，∴eq\f(sinα,1－cosα)＝－eq\f(3,2).3．(C)[解析]由f′(x)＝2x2，得tanα＝f′(1)＝2，所以eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(tan2α－1,2tanα＋1)＝eq\f(3,5).4．(A)[解析]根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取數(shù)字2021，經(jīng)過第一步之后為314，經(jīng)過第二步之后為123，再變?yōu)?23，再變?yōu)?23，所以“數(shù)字黑洞”為123，即a＝123，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)π＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(82π＋\f(