2025版一輪高考總復習數(shù)學第七章　立體幾何與空間向量第五節(jié)　空間向量的概念及運算

第五節(jié)空間向量的概念及運算1.了解空間向量的概念，了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.1.空間向量及其有關概念概念語言描述共線向量（平行向量）表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于的向量共線向量定理對任意兩個空間向量a，b（b≠0），a∥b?存在實數(shù)λ，使共面向量定理如果兩個向量a，b，那么向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序實數(shù)對（x，y），使p＝xa＋yb空間向量基本定理及推論定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數(shù)組（x，y，z），使得p＝.推論：設O，A，B，C是不共面的四點，則對平面ABC內(nèi)任一點P都存在唯一的有序實數(shù)組（x，y，z），使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝2.空間向量的數(shù)量積及坐標運算（1）兩個非零空間向量的數(shù)量積①a·b＝；②a⊥b?a·b＝0；③設a＝（x，y，z），則｜a｜2＝a2，｜a｜＝x2（2）空間向量運算的坐標表示a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R向量和a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）向量差a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）數(shù)乘向量λa＝（λa1，λa2，λa3）數(shù)量積a·b＝共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R，b≠0）垂直a⊥b?＝0夾角公式cos＜a，b＞＝a1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）空間中任意兩個非零向量a，b共面.（）（2）若{a，b，c}是空間的一個基底，則a，b，c中至多有一個零向量.（）（3）對于向量a，b，若a·b＝0，則一定有a＝0或b＝0.（）（4）空間直角坐標系中，在Oyz平面上的點的坐標一定是（0，b，c），b，c∈R.（）2.已知向量a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），則a·（b＋c）＝（）A.6 B.7C.9 D.133.已知空間向量a＝（1，1，0），b＝（0，－1，4），則｜a＋b｜＝（）A.15 B.15C.17 D.174.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點.若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則下列向量中與BM相等的向量是（A.－12a＋12b＋c B.12a＋1C.－12a－12b＋c D.12a－15.在△ABC中，已知AB＝（2，4，0），BC＝（－1，3，0），則∠ABC＝.在空間中，P，A，B，C四點共面的充要條件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC（其中x＋y＋z＝1），O為空間中任意一點.O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且OP＝14OA＋18OB＋tOC，若P，A，B，C四點共面，則實數(shù)空間向量的線性運算【例1】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點.化簡A1O－12AB－12AD＝；用AB，AD，AA1表示聽課記錄解題技法空間向量線性運算中的三個關鍵點1.如圖，三棱錐O-ABC中，M，N分別是AB，OC的中點，設OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示NM，則NM＝（）A.12（－a＋b＋c） B.12（a＋b－C.12（a－b＋c） D.12（－a－b＋2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P是C1D1的中點，且AP＝AD＋xAB＋yAA1，則實數(shù)x＋y＝（A.－32 B.－1C.12 D.共線、共面向量定理的應用【例2】已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足OM＝13（OA＋OB＋OC）（1）判斷MA，MB，MC三個向量是否共面；（2）判斷點M是否在平面ABC內(nèi).解題技法證明三點共線和空間四點共面的方法比較1.已知空間中A，B，C，D四點共面，且其中任意三點均不共線，設P為空間中任意一點，若BD＝6PA－4PB＋λPC，則λ＝（）A.2 B.－2C.1 D.－12.若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三點共線，則m＋n＝.空間向量數(shù)量積的應用【例3】如圖，正四面體ABCD的棱長為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中各棱的中點，設AB＝a，AC＝b，AD＝c，試采用向量法解決下列問題：（1）求EF的模長；（2）求EF與GH的夾角.解題技法空間向量數(shù)量積的3個應用（1）求夾角：設向量a，b的夾角為θ，則cosθ＝a·b｜（2）求長度（距離）：利用公式｜a｜2＝a·a，可將線段長度的計算問題轉化為向量數(shù)量積的計算問題；（3）解決垂直問題：利用a⊥b?a·b＝0（a≠0，b≠0），可將垂直問題轉化為向量數(shù)量積的計算問題.1.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝14，若（a