2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第七章　立體幾何與空間向量教考銜接7⇒空間直角坐標系的構(gòu)建策略

空間直角坐標系的構(gòu)建策略坐標法是利用空間向量的坐標運算解決立體幾何問題的重要方法，運用坐標法解題就需要建立空間直角坐標系，而如何建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系是本章的難點，這就要求學(xué)生抓住空間幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，充分利用圖形中的垂直關(guān)系（或在圖形中構(gòu)造垂直關(guān)系）建系，下面就幾種常見的建系方法予以說明.建系方法類型1利用共頂點的互相垂直的三條棱構(gòu)建空間直角坐標系【例1】（2023·新高考Ⅰ卷18題）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.（1）證明：B2C2∥A2D2；（2）點P在棱BB1上，當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時，求B2P.建系方法以C為坐標原點，CD，CB，CC1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系C-反思感悟由題意知，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，三條棱CD，CB，CC1兩兩互相垂直且交于一點C，可考慮以點C為原點，三條棱所在的直線為坐標軸建立空間直角坐標系，此為根據(jù)題目中現(xiàn)有的條件，直接建立空間直角坐標系.類型2利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標系【例2】（2021·全國乙卷18題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC的中點，且PB⊥AM.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.建系方法因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.在矩形ABCD中，AD⊥DC，故可以點D為坐標原點建立空間直角坐標系.反思感悟由條件中的垂直關(guān)系PD⊥底面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，進而得PD，AD，DC兩兩垂直且共點于D，可建立空間直角坐標系，此為通過先證明題目中建系的條件，再建立空間直角坐標系.類型3利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標系【例3】（2021·新高考Ⅰ卷20題）如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點.（1）證明：OA⊥CD；（2）若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.建系方法由題意知AO⊥平面BCD，顯然AO⊥OB.以O(shè)為坐標原點，OB，OA所在直線分別為x，z軸，在平面BCD內(nèi)，以過點O且與BD垂直的直線為y軸建立空間直角坐標系.反思感悟由已知條件平面ABD⊥平面BCD，結(jié)合其他已知證得AO⊥平面BCD，選取OB，OA所在的直線分別為x，z軸后，y軸就可由以下三個限制條件確定：①必須在平面BCD內(nèi)且過點O；②必須垂直于OB；③方向必須符合右手直角坐標系.類型4利用正棱錐的底面中心與高所在的直線構(gòu)建空間直角坐標系【例4】已知正四棱錐V-ABCD中，E為VC的中點，正四棱錐的底面邊長為2a，高為h，若BE⊥VC，則∠DEB的余弦值為.建系方法如圖所示，以V在底面ABCD內(nèi)的投影O為坐標原點建立空間直角坐標系，其中Ox∥BC，Oy∥AB.反思感悟解決有關(guān)正棱錐的題目時，一般要利用正棱錐的底面中心與正棱錐的高所在的直線構(gòu)建空間直角坐標系.類型5利用底面正三角形構(gòu)建空間直角坐標系【例5】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點.（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.建系方法在正三棱柱ABC-A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點分別為O，O1，連接OB，OO1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{OB，OC，OO1}為基底，反思感悟底面為正三角形的幾何體建系時，一般將正三角形底邊中線和與底邊中線垂直的直線作為建立的空間直角坐標系的x軸，y軸，再結(jié)合其他條件確定z軸.類型6不規(guī)則圖形的建系【例6】（2023·新高考Ⅱ卷20題）如圖，三棱錐A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC的中點.（1）證明：BC⊥DA；（2）點F滿足EF＝DA，求二面角D-AB-F的正弦值.建系方法由于題目中沒有明確給出建系所需的垂直條件，而是給出了其他可證明三線共點且兩兩垂直的條件，在此情況下就必須先證明再建系.本題在第（1）問證明BC⊥DA時，已證得BC⊥平面ADE，又因DA＝DB＝DC，設(shè)DA＝DB＝DC＝2，由∠ADB＝∠ADC＝60°，知△ABD與△ACD為等邊三角形，所以AB＝AC＝2.又BD⊥CD，所以BC＝22.因為AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC為直角三角形，且∠BAC＝90°，所以AE＝2.因為BD⊥CD，所以DE＝12BC＝2.因為AE2＋DE2＝AD2，所以AE⊥DE.又AE⊥BC，BC?平面BCD，DE?平面BCD，BC∩DE＝E，所以AE⊥平面BCD，所以可分別以ED，EB，EA所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標反思感悟若題目中給出的幾何體不是簡單的空間幾何體，而是不規(guī)則的幾何圖形，應(yīng)先根據(jù)已知條件證明出共點的三線兩兩垂直，再建立空間直角坐標系.一般原點選取在某線段的中點或互相垂直的兩線段的交點處.綜上六類常見幾何圖形的建系特征，即從直接利用具有公共頂點的三條棱構(gòu)建空間直角坐標系，到利用線面垂直、面面垂直構(gòu)建空間直角坐標系，再到利用立體圖形的對稱性等構(gòu)建空間直角坐標系，有些題目可直接建立空間直角坐標系，而有些題目需先證明存在垂直關(guān)系后，再建立空間直角坐標系.無論利用哪種關(guān)系建系，都應(yīng)遵循與求解問題相關(guān)的元素盡可能在坐標軸上或坐標平面上，這樣便于計算點的坐標（空間向量的坐標），減少運算量.高考還可這樣考1.如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中點（1）證明：直線CE∥平面PAB；（2）點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成的角為45°，求二面角M-AB-D的余弦值