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重難專攻(七)立體幾何中的綜合問題隨著高考改革的不斷深入,立體幾何中的翻折、探究、動態(tài)等問題備受命題者青睞.解決此類問題的關鍵是“以靜制動”,將其轉化為平面幾何問題,通過構造函數(shù)、基本不等式等方法加以解決.翻折問題【例1】如圖,已知Rt△ABC和Rt△DBC,AB=AC,BC=2BD=2,A=90°,D=90°,將Rt△ABC翻折到△A'BC的位置,使二面角A'-BC-D成30°角,E為邊CD上的點,且CE=2ED.(1)證明:BC⊥A'E;(2)求直線A'D與平面A'BC所成角的正弦值.解題技法翻折問題的兩個解題策略如圖,已知△ABC為等邊三角形,D,E分別為AC,AB邊的中點,把△ADE沿DE折起,使點A到達點P,平面PDE⊥平面BCDE,若BC=4,求直線DE到平面PBC的距離.探究性問題【例2】(2024·襄陽模擬)如圖,在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥BC,PB⊥AC,點P在底面ABC上的射影為點H.(1)證明:PC⊥AB;(2)設PH=HA=HB=HC=2,對于動點M,是否存在λ,使得CM=λCP,且BM與平面PAB所成角的余弦值為45?若存在,求出λ的值,若不存在,請說明理由解題技法利用空間向量巧解探究性問題的策略(1)空間向量最適合于解決立體幾何中的探究性問題,它無需進行復雜的作圖、論證、推理,只需通過坐標運算進行判斷;(2)解題時,把結論當作條件,據(jù)此列方程或方程組,把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解”“是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題,所以為使問題的解決更簡單、有效,應善于運用這一方法解題.提醒探究線段上是否存在點時,注意三點共線條件的應用.如圖所示,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD.四邊形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=2,∠CDA=45°.(1)求證:平面PAB⊥平面PAD;(2)設AB=AP,在線段AD上是否存在一點G,使得點G到點P,B,C,D的距離都相等?說明理由.動態(tài)問題考向1軌跡問題【例3】(1)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為棱AB的中點,動點P在側面BCC1B1上運動,若AP⊥D1M,則動點P的軌跡為()A.兩個點 B.線段C.圓的一部分 D.拋物線的一部分(2)點P為棱長是25的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球O球面上的動點,點M為B1C1的中點,若滿足DP⊥BM,則動點P的軌跡的長度為()A.π B.2πC.4π D.25π聽課記錄解題技法解決動點軌跡問題的方法(1)幾何法:根據(jù)平面的性質進行判定;(2)定義法:轉化為平面軌跡問題,用圓錐曲線的定義判定,或用代替法進行計算;(3)特殊值法:根據(jù)空間圖形線段長度關系取特殊值或位置進行排除.考向2空間位置關系的判定【例4】(多選)已知P,Q分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上的動點(不與頂點重合),則下列結論正確的是()A.AB⊥PQB.平面BPQ∥平面ADD1A1C.四面體ABPQ的體積為定值D.AP∥平面CDD1C1聽課記錄解題技法解決空間位置關系的動點問題的方法(1)應用“位置關系定理”轉化;(2)建立“坐標系”計算.考向3最值(范圍)問題【例5】如圖,在四棱錐S-ABCD中,側面SAD⊥底面ABCD,SA⊥AD,且四邊形ABCD為平行四邊形,AB=1,BC=2,∠ABC=π3,SA=3.點P在線段SD上且滿足SP=λSD,試確定λ的值,使得直線BP與平面PCD所成的角最大解題技法立體幾何中體積、距離、角的最值(范圍)問題,常用的解題思路是:(1)直觀判斷:判斷點、線、面在何位置時,所求的量有相應最大(?。┲?;(2)函數(shù)思想:通過建系或引入變量,把這類問題轉化為函數(shù),從而利用代數(shù)方法求解.1.如圖,正三角形PAD所在平面與正方形ABCD所在平面垂直,O為正方形ABCD的中心,M為正方形ABCD內(nèi)一點,且滿足MP=M
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