2025版一輪高考總復(fù)習數(shù)學第七章　立體幾何與空間向量重難專攻(七)　立體幾何中的綜合問題

重難專攻（七）立體幾何中的綜合問題隨著高考改革的不斷深入，立體幾何中的翻折、探究、動態(tài)等問題備受命題者青睞.解決此類問題的關(guān)鍵是“以靜制動”，將其轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，通過構(gòu)造函數(shù)、基本不等式等方法加以解決.翻折問題【例1】如圖，已知Rt△ABC和Rt△DBC，AB＝AC，BC＝2BD＝2，A＝90°，D＝90°，將Rt△ABC翻折到△A'BC的位置，使二面角A'-BC-D成30°角，E為邊CD上的點，且CE＝2ED.（1）證明：BC⊥A'E；（2）求直線A'D與平面A'BC所成角的正弦值.解題技法翻折問題的兩個解題策略如圖，已知△ABC為等邊三角形，D，E分別為AC，AB邊的中點，把△ADE沿DE折起，使點A到達點P，平面PDE⊥平面BCDE，若BC＝4，求直線DE到平面PBC的距離.探究性問題【例2】（2024·襄陽模擬）如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥BC，PB⊥AC，點P在底面ABC上的射影為點H.（1）證明：PC⊥AB；（2）設(shè)PH＝HA＝HB＝HC＝2，對于動點M，是否存在λ，使得CM＝λCP，且BM與平面PAB所成角的余弦值為45？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由解題技法利用空間向量巧解探究性問題的策略（1）空間向量最適合于解決立體幾何中的探究性問題，它無需進行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷；（2）解題時，把結(jié)論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解”“是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法解題.提醒探究線段上是否存在點時，注意三點共線條件的應(yīng)用.如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD.四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝2，∠CDA＝45°.（1）求證：平面PAB⊥平面PAD；（2）設(shè)AB＝AP，在線段AD上是否存在一點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等？說明理由.動態(tài)問題考向1軌跡問題【例3】（1）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為棱AB的中點，動點P在側(cè)面BCC1B1上運動，若AP⊥D1M，則動點P的軌跡為（）A.兩個點 B.線段C.圓的一部分 D.拋物線的一部分（2）點P為棱長是25的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球O球面上的動點，點M為B1C1的中點，若滿足DP⊥BM，則動點P的軌跡的長度為（）A.π B.2πC.4π D.25π聽課記錄解題技法解決動點軌跡問題的方法（1）幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進行判定；（2）定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定，或用代替法進行計算；（3）特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關(guān)系取特殊值或位置進行排除.考向2空間位置關(guān)系的判定【例4】（多選）已知P，Q分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的動點（不與頂點重合），則下列結(jié)論正確的是（）A.AB⊥PQB.平面BPQ∥平面ADD1A1C.四面體ABPQ的體積為定值D.AP∥平面CDD1C1聽課記錄解題技法解決空間位置關(guān)系的動點問題的方法（1）應(yīng)用“位置關(guān)系定理”轉(zhuǎn)化；（2）建立“坐標系”計算.考向3最值（范圍）問題【例5】如圖，在四棱錐S-ABCD中，側(cè)面SAD⊥底面ABCD，SA⊥AD，且四邊形ABCD為平行四邊形，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝π3，SA＝3.點P在線段SD上且滿足SP＝λSD，試確定λ的值，使得直線BP與平面PCD所成的角最大解題技法立體幾何中體積、距離、角的最值（范圍）問題，常用的解題思路是：（1）直觀判斷：判斷點、線、面在何位置時，所求的量有相應(yīng)最大（?。┲?；（2）函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求解.1.如圖，正三角形PAD所在平面與正方形ABCD所在平面垂直，O為正方形ABCD的中心，M為正方形ABCD內(nèi)一點，且滿足MP＝M