2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第十章　第三節(jié)第1課時(shí)　變量間的相關(guān)關(guān)系及回歸模型

第三節(jié)成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析第1課時(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系及回歸模型1.結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.2.結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過(guò)相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性.3.結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法.4.針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).1.變量的相關(guān)關(guān)系（1）相關(guān)關(guān)系：若兩個(gè)變量之間有關(guān)系，但又不是函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系；（2）相關(guān)關(guān)系的分類：①?gòu)恼w上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，就稱這兩個(gè)變量；②當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量；提醒注意相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.（3）線性相關(guān)：如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在附近，就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).2.樣本相關(guān)系數(shù)對(duì)于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過(guò)隨機(jī)抽樣獲得的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），若x與y存在線性相關(guān)關(guān)系，可用樣本相關(guān)系數(shù)r定量分析它們的相關(guān)程度的強(qiáng)弱.（1）樣本相關(guān)系數(shù)r＝∑i（2）樣本相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)①當(dāng)r＞0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)；當(dāng)r＜0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)；當(dāng)r＝0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系；②樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為.當(dāng)｜r｜越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越；當(dāng)｜r｜越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越.3.一元線性回歸模型（1）經(jīng)驗(yàn)回歸直線：從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做經(jīng)驗(yàn)回歸直線；（2）經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝bx＋a，其中b＝∑i=1n（xi－x)(（3）通過(guò)求Q＝∑i=1n（yi－bxi－a）2的最小值而得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小4.判斷回歸模型的擬合效果由成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，n）按照最小二乘法得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝bx＋a，其中y叫做觀測(cè)值，y叫做預(yù)測(cè)值，殘差e＝y(tǒng)－y.相對(duì)于樣本點(diǎn)（xi，yi）的隨機(jī)誤差ei＝y(tǒng)i－yi＝y(tǒng)i－（bxi＋a（1）殘差分析法①作殘差圖：作圖時(shí)縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或xi數(shù)據(jù)，或yi數(shù)據(jù)，這樣作出的圖形稱為殘差圖；②殘差分析：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高.（2）決定系數(shù)（R2）法：R2＝1－∑i=1n（yi－y1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系.（）（2）散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段.（）（3）經(jīng)驗(yàn)回歸直線y＝bx＋a至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一個(gè)點(diǎn).（）（4）樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng).（）2.兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系有①正相關(guān)，②負(fù)相關(guān)，③不相關(guān)，則下列散點(diǎn)圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是（）A.①②③ B.②③①C.②①③ D.①③②3.對(duì)于x，y兩變量，有四組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，分別算出它們的樣本相關(guān)系數(shù)r如下，則線性相關(guān)性最強(qiáng)的是（）A.－0.82 B.0.78C.－0.69 D.－0.874.在對(duì)兩個(gè)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)有下列步驟：①對(duì)所求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程作出解釋；②收集數(shù)據(jù)（xi，yi），i＝1，2，…，n；③求經(jīng)驗(yàn)回歸方程；④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖.則下列操作順序正確的是（）A.①②④③ B.③②④①C.②③①④ D.②④③①5.已知x，y的取值如下表，已知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝0.95x＋a，則a＝.x0134y2.24.34.86.7變量間相關(guān)關(guān)系的判斷【例1】（1）某商家今年上半年各月的人均銷售額（單位：千元）與利潤(rùn)率統(tǒng)計(jì)表如下：月份123456人均銷售額658347利潤(rùn)率（%）12.610.418.53.08.116.3根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.利潤(rùn)率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系 B.利潤(rùn)率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系C.利潤(rùn)率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系 D.利潤(rùn)率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系（2）已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是（）A.x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) B.x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C.x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) D.x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)聽課記錄解題技法判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法（1）畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；（2）樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r＞0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r＜0時(shí)，負(fù)相關(guān)；｜r｜越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)；（3）經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)b＞0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)b＜0時(shí)，負(fù)相關(guān).1.下列關(guān)系不屬于相關(guān)關(guān)系的是（）A.森林中的同一類樹木，其橫截面直徑與高度之間的關(guān)系B.球的體積與表面積的關(guān)系C.父母的身高與子女身高的關(guān)系D.人的身高與體重的關(guān)系2.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A.r2＜r4＜0＜r3＜r1 B.r4＜r2＜0＜r1＜r3C.r4＜r2＜0＜r3＜r1 D.r2＜r4＜0＜r1＜r3樣本相關(guān)系數(shù)【例2】（2022·全國(guó)乙卷19題）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得∑i=110xi2＝0.038，∑i=1（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.附：相關(guān)系數(shù)r＝∑i=1n解題技法樣本相關(guān)系數(shù)r的統(tǒng)計(jì)含義及應(yīng)用（1）由r的正、負(fù)可判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中兩相關(guān)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（2）可根據(jù)｜r｜的大小從量的角度判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是否具有線性相關(guān)性，進(jìn)而可知能否用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)；（3）當(dāng)｜r｜≤0.25時(shí)，即便求得了經(jīng)驗(yàn)回歸方程也沒有任何統(tǒng)計(jì)意義.某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，20），其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得∑i=120xi＝60，∑i=120yi＝1200，∑i=120（xi－x）2＝80，∑i=120（yi－y）2＝9000，∑（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本（xi，yi）（i＝1，2，…，20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由.附：r＝∑i=1n經(jīng)驗(yàn)回歸模型考向1線性經(jīng)驗(yàn)回歸問(wèn)題【例3】某研究機(jī)構(gòu)為調(diào)查人的最大可視距離y（單位：米）和年齡x（單位：歲）之間的關(guān)系，對(duì)不同年齡的志愿者進(jìn)行了研究，收集數(shù)據(jù)得到下表：x2025303540y167160150143130（1）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）根據(jù)（1）中求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，估計(jì)年齡為50歲的人的最大可視距離.參考公式：經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝bx＋a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b＝∑i=1n（xi－x)(解題技法線性回歸分析問(wèn)題的解題策略（1）利用公式，求出回歸系數(shù)b；（2）利用經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心求系數(shù)a；（3）利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，把回歸方程看作一次函數(shù)，將解釋變量x的值代入，得到預(yù)測(cè)變量y的值.考向2非線性經(jīng)驗(yàn)回歸問(wèn)題【例4】“綠水青山就是金山銀山”的理念推動(dòng)了新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展.以下表格和散點(diǎn)圖反映了近幾年某新能源汽車的年銷售量情況.年份20192020202120222023年份代碼x12345某新能源汽車年銷售量y/萬(wàn)輛1.55.917.732.955.6（1）請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝bx＋a與y＝cx2＋d中哪一個(gè)更適宜作為年銷售量y關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2024年該新能源汽車的年銷售量.（精確到0.1）參考數(shù)據(jù)：y＝22.72，∑i=15（wi－w）2＝374，∑i=15（wi－w）（yi－y）＝851.2（其中解題技法有些非線性回歸分析問(wèn)題并不給出經(jīng)驗(yàn)公式，這時(shí)我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與學(xué)過(guò)的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等）的圖象進(jìn)行比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，用適當(dāng)?shù)淖兞窟M(jìn)行變換，如通過(guò)換元或取對(duì)數(shù)等方法，把問(wèn)題化為線性回歸分析問(wèn)題，使之得到解決.1.已知變量x與y，且觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表（其中6.5＞a＞4＞b＞1，a＋b＝6），則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可能是（）x12345y6.5a4b1A.y＝0.4x＋2.3 B.y＝2x－2.4C.y＝－2x＋9.5 D.y＝－0.3x＋0.442.數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮（3×3）內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復(fù).數(shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國(guó)數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽，賽前小明在某數(shù)獨(dú)APP上進(jìn)行一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天的解題平均速度y（秒）與訓(xùn)練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如表的數(shù)據(jù)：x（天）1234567y（秒）990990450320300240210（1）現(xiàn)用y＝a＋bx作為經(jīng)驗(yàn)回歸模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該經(jīng)驗(yàn)回歸方程（2）請(qǐng)用第（1）題的結(jié)論預(yù)測(cè)，小明經(jīng)過(guò)100天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度約為多少秒？參考數(shù)據(jù)其中ti＝1xi：∑i＝17tiyi參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其經(jīng)驗(yàn)回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為β＝∑i=1nuivi－n刻畫擬合效果【例5】假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測(cè)得5組數(shù)據(jù)如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2若由最小二乘法計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝0.29x＋34.7.（1）計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；（2）求R2，并說(shuō)明回歸模型擬合效果的好壞.參考數(shù)據(jù)：∑i=15（yi－y解題技法刻畫擬合效果的三種方法（1）殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說(shuō)明選用的模型比較合適；（2）殘差平方和法：殘差平方和∑i=1n（yi－yi）2（3）決定系數(shù)法：R2＝1－∑i=1n（y1.在一元線性回歸模型Y＝bx＋a＋e中，下列說(shuō)法正確的是（）A.Y＝bx＋a＋e是一次函數(shù)B.響應(yīng)變量Y是由解釋變量x唯一確定的C.響應(yīng)變量Y除了受解釋變量x的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生D.隨機(jī)誤差e是由于計(jì)算不準(zhǔn)確造成的，可通過(guò)精確計(jì)算避免隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生2.現(xiàn)代物流成為繼勞動(dòng)力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤(rùn)的重要因素.某企業(yè)去年前八個(gè)月的物流成本和企業(yè)利潤(rùn)的數(shù)據(jù)（單位：萬(wàn)元）如下表所示：月份1234物流成本x8383.58086.5利潤(rùn)y114116106122殘差ei＝y(tǒng)i－0.20.61.8－3月份5678物流成本x8984.57986.5利潤(rùn)y132114m132殘差ei＝y(tǒng)i－－1－4.6－1根據(jù)最小二乘法求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝3.2x－151.8.（1）求m的值，并利用已知的經(jīng)驗(yàn)回歸方程求出8月份對(duì)應(yīng)的殘差值e8（2）